广东省珠海市第二中学高中数学必修四课件：121任意角的三角函数(2)(共14张PPT)
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2024年度高中数学必修四三角函数PPT课件
建筑设计
在建筑设计中，利用三角函数计算建筑物的角度、高度和距离等 参数，确保设计的准确性和美观性。
机械设计
在机械设计中，三角函数用于计算齿轮、轴承等机械元件的尺寸和 角度，保证机械传动的精确性和稳定性。
航空航天工程
在航空航天工程中，利用三角函数分析飞行器的姿态、航向和速度 等参数，确保飞行安全。
21
2024/3/24
32
THANKS
感谢观看
2024/3/24
33
周期性、奇偶性、单调性等
解三角形
正弦定理、余弦定理及应用
29
常见题型解析及技巧点拨
01
三角函数求值问题：利 用同角关系式、诱导公 式等求解
2024/3/24
02
三角函数的图像与性质 应用：判断单调性、周 期性等
03
04
三角恒等变换的应用： 证明等式、化简表达式 等
30
解三角形问题：利用正 弦定理、余弦定理求解 边或角
易错知识点剖析及防范措施
混淆三角函数定义域和值域
注意定义域和值域的区别，避免混淆
忽视三角函数的周期性
在解题时要考虑周期性，避免漏解或 多解
2024/3/24
错误使用三角恒等变换公式
注意公式的适用条件和变形方式，避 免误用
忽视解三角形的限制条件
在解三角形时要注意边和角的限制条 件，避免得出不符合题意的解
第三象限
正弦、余弦均为负、正切为正 。
第四象限
正弦为负、余弦为正、正切为 负。
2024/3/24
7
02 三角函数诱导公 式与变换
2024/3/24
8
诱导公式及其应用
2024/3/24
诱导公式的基本形式
任意角的三角函数(第二课时)PPT课件
于第一或第三象限。 因为① ②式都成立，所以角θ的终边只能位于第
三象限。 于是角θ是第三象限角。
2020年10月2日
12
（1）. 若sinα=1/3，且α的终边经过点p（—1，y）， 则α是第几象限的角？并求secα，tanα的值。
（答案：α为第二象限的角，sec3 2,tan2 2)
4
（2）下列四个命题中，正确的是 A．终边相同的角都相等 B．终边相同的角的三角函数相等 C．第二象限的角比第一象限的角大 D．终边相同的角的同名三角函数值相等
练习P19-4、5、6
2020年10月2日
10
例3 （1）
解： ①因为2500是第三象限的角，
所以cos 2500 <0。
②因为tan(11π/3)=tan(5π/3+2π)
=tan(5π/3)，
而5π/3是第四象限角，所以
（2）
tan(11π/3)<0。
解： ①cos(9π/4)=cos(π/4+2π)
值的问题，可以转化为求0°～360° (0～2π)间角的三角函数值的问题。
2020年10月2日
9
应用举例 例 3 （1） 确定下列三角函数值的符号：
① cos2500
② tan（11π/3）
（2）求下列三角函数值： ① cos (9π/4) ② tan (－11π/6)
例4 求证，θ为第三象限角的充分必要条件是： sinθ<0 ① 且 tanθ>0 ②
2020年10月2日
1
温故知新
正弦函数、余弦函数、正切函数的定义? 正弦：sinα =MP =y/r 余弦：cosα =OM =x/r 正切：tanα=AT =y/x
三象限。 于是角θ是第三象限角。
2020年10月2日
12
（1）. 若sinα=1/3，且α的终边经过点p（—1，y）， 则α是第几象限的角？并求secα，tanα的值。
（答案：α为第二象限的角，sec3 2,tan2 2)
4
（2）下列四个命题中，正确的是 A．终边相同的角都相等 B．终边相同的角的三角函数相等 C．第二象限的角比第一象限的角大 D．终边相同的角的同名三角函数值相等
练习P19-4、5、6
2020年10月2日
10
例3 （1）
解： ①因为2500是第三象限的角，
所以cos 2500 <0。
②因为tan(11π/3)=tan(5π/3+2π)
=tan(5π/3)，
而5π/3是第四象限角，所以
（2）
tan(11π/3)<0。
解： ①cos(9π/4)=cos(π/4+2π)
值的问题，可以转化为求0°～360° (0～2π)间角的三角函数值的问题。
2020年10月2日
9
应用举例 例 3 （1） 确定下列三角函数值的符号：
① cos2500
② tan（11π/3）
（2）求下列三角函数值： ① cos (9π/4) ② tan (－11π/6)
例4 求证，θ为第三象限角的充分必要条件是： sinθ<0 ① 且 tanθ>0 ②
2020年10月2日
1
温故知新
正弦函数、余弦函数、正切函数的定义? 正弦：sinα =MP =y/r 余弦：cosα =OM =x/r 正切：tanα=AT =y/x
高一数学人教A版必修4课件：1.2.1 任意角的三角函数(二)
满足条件的角 α 的集合为
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20
α|2kπ＋π3≤α≤2kπ＋23π，k∈Z.
①
②
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21
(2)作直线 x＝－12交单位圆于 C、D 两点，连接 OC、OD，则 OC 与 OD 围成的区域(图②阴影部分)即为角 α 终边的范围.故满 足条件的角 α 的集合为 α|2kπ＋23π≤α≤2kπ＋43π，k∈Z.
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22
反思与感悟 利用单位圆中三角函数线，可以非常直 观方便地求出形如sin x≥m或sin x≤m的三角函数的 角的范围，起到“以形助数”的作用.
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23
跟踪训练2 已知点P(sin α－cos α，tan α)在第一象限，在[0,2π)
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11
都有OM＝x＝cos α.同理，当角α的终边不在x轴上时，以M为始 点、P为终点，规定：当线段MP与y轴同向时，MP的方向为正 向，且有正值y；当线段MP与y轴反向时，MP的方向为负向， 且有负值y；其中y为P点的纵坐标.这样，无论哪种情况都有MP ＝y＝sin α. 小结 我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT，分 别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.
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26
例3
求函数 f(x)＝
1－2cos
x＋lnsin
x－
22的定义域.
解 由题意，得自变量x应满足不等式组
1－2cos x≥0，
sin
x－
22>0，
cos x≤12，
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20
α|2kπ＋π3≤α≤2kπ＋23π，k∈Z.
①
②
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21
(2)作直线 x＝－12交单位圆于 C、D 两点，连接 OC、OD，则 OC 与 OD 围成的区域(图②阴影部分)即为角 α 终边的范围.故满 足条件的角 α 的集合为 α|2kπ＋23π≤α≤2kπ＋43π，k∈Z.
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22
反思与感悟 利用单位圆中三角函数线，可以非常直 观方便地求出形如sin x≥m或sin x≤m的三角函数的 角的范围，起到“以形助数”的作用.
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23
跟踪训练2 已知点P(sin α－cos α，tan α)在第一象限，在[0,2π)
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11
都有OM＝x＝cos α.同理，当角α的终边不在x轴上时，以M为始 点、P为终点，规定：当线段MP与y轴同向时，MP的方向为正 向，且有正值y；当线段MP与y轴反向时，MP的方向为负向， 且有负值y；其中y为P点的纵坐标.这样，无论哪种情况都有MP ＝y＝sin α. 小结 我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT，分 别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.
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26
例3
求函数 f(x)＝
1－2cos
x＋lnsin
x－
22的定义域.
解 由题意，得自变量x应满足不等式组
1－2cos x≥0，
sin
x－
22>0，
cos x≤12，
高中数学 1.2.1任意角的三角函数 新人教A版必修4
可将求任意角的三角函数值，转化为求
0～ 2 （或0°～360°)范围内的三角函数
值.
ppt课件
例5. 求下列三角函数的值：
(1) cos9;
4
(2) tan( 11).
6
(3)cos4200 (4)sin(3150)
练习:教材P.15练p习pt课件第7题第⑵、⑷.
本堂课我们学到了什么?
1.学习了利用三角函数的定义判断三角 函数值的符号并总结了记忆方法
三角函数
第一象限 第二象限 cos
第三象限 第四象限
sin
+
+_ _
scions
cos
+
__
+
tan
+
_+
_
思考2:你有什么办p法pt课件记住这些信息？
方法总结（二)
• 就象限而言
一全二正弦;三切四余弦
ppt课件
例3 求证：当不等式组
sin
t
a
n
0 0
成立时，角θ为第三象限角.
反之也成立 .
ppt课件
P(x，y)
自学指导
• 1、请同学们根据任意角三角函数的定义判 断三角函数的值在各象限的符号情况，并 尝试归纳出记忆方法。
• 2、仔细理解公式一的内容并考虑该公式有 何功能作用。
• 3、给定一个角如何判定其三角函数值的符 号，请总结解题步骤。
ppt课件
任意角的三角函数值在各象限的符号：
例4 确定下列三角函数值的符号.
（1）cos250 ;（2）s i n ( ) ;（3）tan(672) ;
4
（4）tan3
; （5）c o s 9 4
0～ 2 （或0°～360°)范围内的三角函数
值.
ppt课件
例5. 求下列三角函数的值：
(1) cos9;
4
(2) tan( 11).
6
(3)cos4200 (4)sin(3150)
练习:教材P.15练p习pt课件第7题第⑵、⑷.
本堂课我们学到了什么?
1.学习了利用三角函数的定义判断三角 函数值的符号并总结了记忆方法
三角函数
第一象限 第二象限 cos
第三象限 第四象限
sin
+
+_ _
scions
cos
+
__
+
tan
+
_+
_
思考2:你有什么办p法pt课件记住这些信息？
方法总结（二)
• 就象限而言
一全二正弦;三切四余弦
ppt课件
例3 求证：当不等式组
sin
t
a
n
0 0
成立时，角θ为第三象限角.
反之也成立 .
ppt课件
P(x，y)
自学指导
• 1、请同学们根据任意角三角函数的定义判 断三角函数的值在各象限的符号情况，并 尝试归纳出记忆方法。
• 2、仔细理解公式一的内容并考虑该公式有 何功能作用。
• 3、给定一个角如何判定其三角函数值的符 号，请总结解题步骤。
ppt课件
任意角的三角函数值在各象限的符号：
例4 确定下列三角函数值的符号.
（1）cos250 ;（2）s i n ( ) ;（3）tan(672) ;
4
（4）tan3
; （5）c o s 9 4
高中数学必修四人教A版 课件《1-2任意角的三角函数-2》
2 2
语言描述 同一个角 α 的正弦、 余弦的平方和等于 1 同一个角 α 的正弦、 余弦的商等于角 α 的 正切
������ α ≠ k������ + ,������∈Z 2
=tan α
-3-
2.同角三角函数基本关系式的变形 (1)sin2α+cos2α=1的变形公式: sin2α=1-cos2α;cos2α=1-sin2α; (sin α+cos α)2=1+2sin αcos α;(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α. (2)tan α= sin������ 的变形公式:
8cos ������ -3cos ������
-11-
探究一
探究二
探究三
思想方法
-12-
探究一
探究二
探究三
思想方法
变式训练 1 已知 tan α=3,求下列各式的值. (1)
4sin ������ -2cos ������ 5cos ������ +3sin ������ 2 1 (2) sin2α+ cos2α. 3 4
cos������
sin α=tan αcos α;cos α=
sin ������
tan ������
.
������ ≠ ������π + ,������∈Z
2
π
-4-
做一做1 sin22 016°+cos22 016°=( ) A.0 B.1 C.2 016° D.2 016 解析:∵sin2α+cos2α=1, ∴当α=2 016°时,sin22 016°+cos22 016°=1. 答案:B
6cos ������ +2sin ������
语言描述 同一个角 α 的正弦、 余弦的平方和等于 1 同一个角 α 的正弦、 余弦的商等于角 α 的 正切
������ α ≠ k������ + ,������∈Z 2
=tan α
-3-
2.同角三角函数基本关系式的变形 (1)sin2α+cos2α=1的变形公式: sin2α=1-cos2α;cos2α=1-sin2α; (sin α+cos α)2=1+2sin αcos α;(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α. (2)tan α= sin������ 的变形公式:
8cos ������ -3cos ������
-11-
探究一
探究二
探究三
思想方法
-12-
探究一
探究二
探究三
思想方法
变式训练 1 已知 tan α=3,求下列各式的值. (1)
4sin ������ -2cos ������ 5cos ������ +3sin ������ 2 1 (2) sin2α+ cos2α. 3 4
cos������
sin α=tan αcos α;cos α=
sin ������
tan ������
.
������ ≠ ������π + ,������∈Z
2
π
-4-
做一做1 sin22 016°+cos22 016°=( ) A.0 B.1 C.2 016° D.2 016 解析:∵sin2α+cos2α=1, ∴当α=2 016°时,sin22 016°+cos22 016°=1. 答案:B
6cos ������ +2sin ������
人教A版高中数学必修四课件：第一章 121任意角的三角函数第二课时(实用资料)ppt
设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点
sin( k 2 ) sin （2） 叫做 的余弦，记作 ，即
；
（1）任意角的三角函数的定义；
（1）因为 是第三象限角，所以
；
cos( k 2 ) cos 同一三角函数值有何关系？
（1）任意角的三角函数的定义；
而 是第一象限角，所以
；
tan( k 2 ) tan （2）三角函数的定义域与三角函数值在各象限的符号；
任意角的三角函数 第二课时
必修4
任意角的三角函数
设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x, y)
那么:（1）y叫做 的正弦，记作 sin ，即 sin y ；
x （2） 叫做 的余弦，记作cos，即 cos x ；
（3）y 叫做的正切，记作 tan ，即 tan y ( x 0) .
一或第三象限. 因为①②式都成立，所以角 的终边只能位于第三象限.
于是角 为第三象限角.
练习：
t a n 练习:求下列式子的值：
(1)若 同一三角函数值有何关系？
0, sin
0
，试指出
所在的象限；
第三象限 （3）公式一及其应用；
（1）因为 是第三象限角，所以
；
2、函数
的值域是( )
设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点
o
x
tan c o s
规律:
一全正 三正切
二正弦 四余弦
例2 求证：当且仅当下列不等式组成立时，
角 为第三象限角.
sin 0
tan
0
① ②
证明：
因为①式 sin 0 成立,所以 角的终边可能位于第三
或第四象限，也可能位于y轴的非正半轴上； 又因为②式tan 0 成立，所以角 的终边可能位于第
课件_人教版数学必修四《任意角的三角函数》PPT课件_优秀版
例1、任意角的三角函数第一定义
（其中
P sin y 知识
） 探究
(x, y)
OP 点评：若已知角α的大小，可求出角α终边与单位圆的交点，然后再利用定义求三角函数值。
1 练习 已知角 的终边过点
，
求 的三个三角函数值.
以原点O为圆心，以单位
例6.作出 2 的正弦线、余弦线、正切线：
3
求 的三个三角函数值.
如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？
α y 点在初中与我原们点是的如距何离定义的锐角终三边角函数的？
解：在直角坐标系中，作
P 终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）
终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）
α 以原点O为圆心，以单位
而 48是第一象限角，所以 ta n6(7)20。
练习 确定 cos 16 的三角函数值的符号：
5
解： cos 16 cos( 6 2 ) cos 6
5
5
5
例5 求 cos 9 的三角函数值：
4
解： cos 9 cos( 2 ) cos 2
4
4
42
练习 求 tan 19 的三角函数值
﹒
交点，然cos后再 利3用, 定义求
B
三角函数值6。 2
tan 3
63
2、任意角的三角函数第二定义：
设角是一个任意角，P(x, y) 是终边上的任意一点，
点 P与原点的距离 r x2 y2 0
那么① y 叫做的正弦，即 sin y
y
r
r
②
x r
叫做的余弦，即 cos x
r
O
y ③x
叫做的正切，即 tan y x 0
高中数学必修4 1.2.1任意角的三角函数课件(54张PPT)
2.任意角的三角函数定义 设是一个任意角，它的终 边与单位圆交于点 P( x, y) 那么： (1) y叫做的正弦，记作sin ,即sin y; (2) x叫做的余弦，记作cos ,即cos x; 所以，正弦，余弦，正 切都是以角为自变量，以单 位圆上点的坐标或坐标的比 值为函数值的函数，我们将 他们称为三角函数. 使比值有意义的角的集合 即为三角函数的定义域.
任意角 的三角函数值仅与 有关，而 与点 P在角的终边上的位置无关.
巩固
求
提高
练习 1、已知角
的终边过点 P 12,5 ，
的三个三角函数值.
r x y
2 2
解：由已知可得：
12
2
5 13
2
y 5 于是，sin r 13 y 5 tan x 12
y y (3) 叫做 的正切，记作 tan ,即 tan ( x 0) x x
y
P x, y
﹒
O
A1,0 x
三角函数的定义域:
三角函数 定义域
y sin
R R
y cos
y tan
{ |
2
k , k Z}
的终边
y
说 明
P c
a
sin
O
b
cos
tan
M
a c b c a b
新课
导入
2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？
P
a
O y
b
M
x
新课
导入
2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？ 其中 : MP b sin OM a
人教A版高中数学必修四课件1.2.1任意角的三角函数(2).pptx
y
-|MP|=y=sinα -|OM|=x=cosα
M Ox
P(x,y)
为了简化表示，我们设想将线段的两个端点规定 一个为始点，另一个为终点，使得线段具有方向性， 带有正负值符号.
我们把规定了方向(即规定了起点和终点)的线段 称为有向线段.
有向线段的数量：若有向线段AB在有向直线或与有向直线 平行，根据有向线段AB与有向直线方向相同和相反，分别 把它的长度添上正号或负号，这样所得的数，叫做有向线 段的数量。
故角θ为第三象限角.
1.2.1 任意角的三角函数（2）
由三角函数的定义可知：
（诱导公式一）
终边相同的角的同一三角函数值相等，
y
sin(α+k·360°) = sinα
P(x,y)
α
cos(α+k·360°) = cosα
0
A(1,0) x tan(α+k·360°) = tanα
其中 k∈Z
利用公式一，可把求任意角的三角函数值， 转化为求 0°~ 360°角的三角函数值．
(1)cos250º；
(2)sin(-π/4)；
(3)tan(-672º)； (4)tan3π。
思考：若
sin tan
0成立时，角θ为第几象限角？ 0
解：
由
sin 0 tan 0
知 θ的终边在第三或第四象限或与x轴的非正半轴重合 θ的终边在第一或第三象限
角α的正切值最合适x？
y
tan y AT
x
MA
O
x
P T
思考8：若角α为第二象限角，其终边与单位圆的交点为
P(x,y)，则tan y是负数，此时用哪条有向线段表示
高中数学必修4课件：1.2.1任意角的三角函数(第二课时)
O
A1,0
探究： 1.三角函数值在各象限的符号
y
y
y
（）
（ ）（ ） （ ） （ ）
o
x
o
x
o
x
（
）（ ）
sin
（ ）（ ）
cos
（
）（
tan
）
例3 （1）判断满足以下条件的角的终边所在的位置： ①sinθ<0 且 tanθ>0
②cosθ≤0 且 tanθ≥0
（2）若 是第二象限角，那么（ ）
2
2
O
x
变式：求出满足下列条件的角的集合
(1) cos 3
2
(3) tan 1
(2)sin 2 1
2
例5、已知角的终边经过点P(－ 3，m)，且sin 2 ,
4
求cos, tan.
A.sin 0
2
B.cos 0
2
C.tan 0
2
D.以上都不对
探究：
2.三角函数的定义域、值域
y
Px, y﹒
zxxkw
O
A1,0
三角函数
sin
cos
tan
定义域
R
R
k
2
,k
Z
值域
[-1,1] [-1,1]
R
例3(1)求函数
y
1
1 sin
x
的定义域。
(2)求 y cos x tan x 的定义域.
（第二课时）
任意角的三角函数定义
设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x, y)
y 那么:（1） 叫做 的正弦，记作 sin ，即 sin y ；
【优质课件】数学1.2.1《任意角的三角函数2》新人教B版必修4优秀课件.ppt
13
π=3
.0
7.已知P(－2，y)是角θ终边上一点，且sinθ= － ,求co5s5θ的值. 解：∵P(－2, y)是角θ终边上一点, r= 4 y2
sin y 5
4 y2
5
解得y=－1.
所以cosθ= － 2 5. 5
感谢各位老师！
祝： 身体健康
万事如意
+
|
tan tan
x x
| 的值域是
(
C
)
(A) {－1，1}
(B) {－1，1，3}
(C) {－1，3}
(D) {1，3}
2.已知角θ的终边上有一点P(－4a, 3a)(a≠0),则
2sinθ+cosθ的值是 ( C)
(A) 2
5
(C) 2 或 － 2
5
5
(B) － 2
5
(D) 不确定
3. 设A是第三象限角，且|sin A |= －sin A ,则
2
2
A 2
是
(
D
)
(A)第一象限角
(B) 第二象限角
(C)第三象限角
(D) 第四象限角
4. sin2·cos3·tan4的值 ( B )
(A)大于0
(B)小于0
(C)等于0
(D)不确定
5.若sinθ·cosθ＞0, 则θ是第 一、象三限的角
6. sin(－ 263π)+cos 17π3·tan4π －cos
例5.已知 1 sin 2 1 ，则为第几象限角？
解：因为
2
1
sin
2
1，所以sin2 >0,
2
则2kπ<2<2kπ+π, kπ<<kπ+
高中数学必修四《任意角的三角函数》PPT(第2课时)
单位圆与 α 的终边(或反向延长线)的交点．
3．三角函数线的正负：三条有向线段凡与 x 轴正方向或 y 轴正方向同向的为正值，与 x 轴正方向或 y 轴正方向反向的为负
值． 4．三角函数线的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母
在后． 5．三角函数线的意义：三角函数线的方向表示三角函数值的
符号；三角函数线的长度等于所表示的三角函数值的绝对值．
A→T即为 α＝－34π的正切线.
小结： 1.作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单 位圆的交点，然后过此交点作 x 轴的垂线，得到垂足，从而得 正弦线和余弦线．
2．作正切线时，应从点 A(1,0)引单位圆的切线，交角的终 边或终边的反向延长线于一点 T，即可得到正切线A→T.
• 例2：如图，已知角α的终边是OP，角β的终 边是OQ，试在图中作出α、β的三角函数， 然后用不等号填空：
• 2．用单位圆中的线段表示三角函数值
• 设角α的顶点在圆心O，始边与x轴的正半轴 重合，终边与单位圆相交于点P，过点P作 PM垂直x轴于M，则点M是点P在x轴上的 __正__射_影___(简称射影)．由三角函数的定义可 知，点P的坐标为(cosα，sinα)，即P(cosα， sinα)．
• 其中cosα＝ຫໍສະໝຸດ __O_M____，sinα＝____M_P___.
x 叫做 α 的余弦，记作 cos α，即 cos α＝ x ；xy叫做
y
α 的正切，记作 tan α，即 tan α＝ x (x≠0).
知识点梳理
1.有向线段 有 向 线 段 是 指 既 有 ___长__度___ ， 又 有 ___方__向___的线段，如果有向线段在直角坐 标系中．我们取和坐标轴同向的线段为 正 ， 反 向 为 负 ． 如 图 所 示 ， A→B ， C→D 为 ___正_____，而B→A，D→C为___负_____．
3．三角函数线的正负：三条有向线段凡与 x 轴正方向或 y 轴正方向同向的为正值，与 x 轴正方向或 y 轴正方向反向的为负
值． 4．三角函数线的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母
在后． 5．三角函数线的意义：三角函数线的方向表示三角函数值的
符号；三角函数线的长度等于所表示的三角函数值的绝对值．
A→T即为 α＝－34π的正切线.
小结： 1.作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单 位圆的交点，然后过此交点作 x 轴的垂线，得到垂足，从而得 正弦线和余弦线．
2．作正切线时，应从点 A(1,0)引单位圆的切线，交角的终 边或终边的反向延长线于一点 T，即可得到正切线A→T.
• 例2：如图，已知角α的终边是OP，角β的终 边是OQ，试在图中作出α、β的三角函数， 然后用不等号填空：
• 2．用单位圆中的线段表示三角函数值
• 设角α的顶点在圆心O，始边与x轴的正半轴 重合，终边与单位圆相交于点P，过点P作 PM垂直x轴于M，则点M是点P在x轴上的 __正__射_影___(简称射影)．由三角函数的定义可 知，点P的坐标为(cosα，sinα)，即P(cosα， sinα)．
• 其中cosα＝ຫໍສະໝຸດ __O_M____，sinα＝____M_P___.
x 叫做 α 的余弦，记作 cos α，即 cos α＝ x ；xy叫做
y
α 的正切，记作 tan α，即 tan α＝ x (x≠0).
知识点梳理
1.有向线段 有 向 线 段 是 指 既 有 ___长__度___ ， 又 有 ___方__向___的线段，如果有向线段在直角坐 标系中．我们取和坐标轴同向的线段为 正 ， 反 向 为 负 ． 如 图 所 示 ， A→B ， C→D 为 ___正_____，而B→A，D→C为___负_____．
121任意角的三角函数课件-人教版高中数学必修四(共21张PPT)
3 1 2 0 1 0 1 222
tan 0 3 3
31
0
0
三、诱导公式一
sin(α＋k·2π)＝sin α， cos(α＋k·2π)＝cos α， tan(α＋k·2π)＝tan α， 其中k∈Z.
类型一 三角函数定义的应用 命题角度1 已知角α终边上一点的坐标求三角函数值 例 1 已知 θ 终边上一点 P(x,3)(x≠0)，且 cos θ＝ 1100x，求 sin θ，tan θ.
小结
1.任意角的三角函数的定义:
2.三角函数的定义域: 3.诱导公式
的终边上的位置是否有关呢？
角终边
y
p2 p1
(1)单位圆：在直角坐标系中，我们称以原点
O为圆心，以 单位长度 为半径的圆为单位圆.
M2 M1 O
x
(2)定义：在平面直角坐标系中，设α是一个任意角， 它的终边与 单位圆 交于点P(x，y)，那么：
①y叫做α的 正弦 ，记作 sin α，即sin α＝y； ②x叫做α的 余弦 ，记作 cos α ，即cos α＝x；
命题角度2 已知角α终边所在直线求三角函数值 例 2 已知角 α 的终边在直线 y＝－3x 上，求 10sin α＋co3s α的值.
类型二 三角函数值符号的判断 例3 判断下列各式的符号： (1)sin 145°cos(－210°)；
(2)sin 3·cos 4·tan 5.
类型三 诱导公式一的应用
在直角三角形中锐角A的三角函数定义:
sin A BC a AB c
cos A AC b AB c
A
B
c
a
b
C
tan A BC a AC b
上述定义只限于直角三角形中的锐角， 而现在角的定义已经拓广到任意角，如:
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都为0;
当角α的终边与 y轴重合时,余弦线变成一
个点,余弦值为0;正切线不存在,此时角α正切值
不存在.
演示三角函 数线课件
例1 作出下列各角的三角函数线:
1 ;2 2 ;313 ;4 8 .
43 4
3
例2 1已知sin 1 ，作出终边和正弦线；
2
2若sin ＞ 1 ，在0，2 内求的取值范围.
终边
α的
y
终边
P
α
MO
A(1,O)
MP y sin ; OM x cos .
y
T
思考?
（1）
为了去掉上述等式中的绝对值符号,能否给
线段OM,MP规定一个适当的方向,使它们
的取值与点P的坐标一致? （2）你能
借助单位圆,找到一条如OM,MP一样的线
段来表示角α的正切吗?
α的
y
终边
P
α
MO
情况都有:MP=y=sinα.
α的
y
终边
P
α
MO
y
OM=x=cosα, MP=y=sinα.
A(1,O)x
T
像OM,MP这种被看作带 有方向的线段,叫做有向线段.
那么,如何用有向线段来 表示角α的正切呢?
如图,过点A（1,0）作单位圆的切线,这条切 线必然平行与y轴（为什么?）,设它与α的终边 （当α为第一,四象限角时）或其反向延长线（当α 为第二,三象限角时）相交于点T .我们有
sinα
＋
＋
－
－
cosα
＋
－
－
＋
tanα
＋
－
＋
－
4、公式一: sin(α+k·360o)=sinα;
cos(α+k·360o)=cosα; tan(α+k·360o)=tanα;
(k∈Z)
1、已知P(-3,4)是角α上的一点， 则sinα= ______ tanα=_____
2、已知30度角终边上一点P到原点的 距离为5，则P的坐标为_____
tan AT y . （为什么?）
x
α的
y
终边
P
α
MO
OM=x=cosα, MP=y=sinα,
tan AT y .
A(1,O)x
x
我们把这三条与单位圆有
y
T
关的线段MP,OM,AT,分别叫做
角α的正弦线,余弦线,正切线,
统称为三角函数线.
当角α的终边与 x轴重合时,正弦线,正切线
分别变成一个点,此时角α的正弦值和正切值为
2
例3 求证：若是锐角，
1sin cos＞1； 2sin ＜＜ tan .
练习 P19 1,2,3,4
作业 P25B 4
复习:
1、三角函数的定义：设P(x,y)是角α终边
上任一点，则
sinα=__ry_,cosα=___rx,tanα=___
2、三角函数的定义域：
y x
三角函数 sinα 定义域 R
cosα R
tanα
{α|α≠kπ+π/2 ,k∈Z}
3、三角函数在各个象 限内的符号：
第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
当线段OM与x轴反向时,OM的
y T 方向为负向,且有负值x.其中x
为P点的横坐标.这样,无论哪一
种情况都有:OM=x=cosα.
同理,当角α的终边不在坐标轴上时,以M为始
点,P为终点,规定:
当线段MP与y轴同向时, MP的方向为正向,且
有正值y;当线段MP与y轴反向时,MP的方向为负向,
且有负值y.其中y为P点的纵坐标.这样,无论哪一种
y
A(1,O)x
T
MP y sin ; OM x cos .
直角坐标系内的点的坐标与坐标 轴的方向有关吗?
怎样规定线段OM,MP的方向,以使 它们的取值与点P的坐标联系起来?
α的
y
终边
P
α
MO
当角α的终边不在坐标轴上 时,以O为始点,M为终点,规定:
当线段OM与x轴同向时， A(1,O)x OM的方向为正向,且有正值x;
三角函数线
如图,角α的终边与单位圆交于点P,过点P作x的垂 线,垂足为M.根据三角函数的定义,我们有:
α的 终边
P
y MP y sin ; OM x cos .
y α的 T 终边
α
P
MO
A(1,O)x
O M A(1,O)x
y
T
y
T
返回8
α的 终边
M
O
P
A(1,O)x
M
O
A(1,O)x
P T α的