竞赛辅导-理论力学-动力学

基本概念—质心速度（2） 匀质杆OA、OB铰接，各点速度分布如图，则此时系统 质心的速度为多大？ 分析：
vC
，
mv M
i i
m mi dx l
l
u vi x l
ux m mu x 2 l mu mi vi 0 l l dx l 2 2 |0 2
u vC 2
5
注意区分质点系质心速度与机构上与质点系质心重合点的速度。
3
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基本概念—质心速度（1）
O2 vA C2 v3 C3 v1 A
如图所示的四杆机构中，各均质杆质量均为m，杆O1A 与杆O2B长度均为l。图示瞬时，杆角速度为，且与杆 平行。试求此时系统的动量。(P210)
基本概念—冲量 冲量 I F dt
t1 t2
e m v m v I i 2i i i1 i p2 p1 I Re
如图a所示，质量为m的质点做匀速圆锥摆运动， 计算张力F在半周期内的冲量。
I F I p mvb mva 2mv b
注意：I是恒与力F相一致的矢量。
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周培源力学竞赛辅导 （动力学部分）
张亚红 航天学院力学教学示范中心
E-mail: zyhxjtu@mail.xjtu.edu.cn Office：教一北313
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基本概念—功的计算+守恒
M1、M2两质量块分别套在两平行光滑水平 导轨上，弹簧刚度系数为k，原长为b，两杆 之间的距离为b。现将两质量块拉开水平距离 l，在初速为零时放开，当两质量块运动到同 一铅垂线时，滑块M1的速度是多少？
2
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试题范围（专题部分）
(一) 虚位移原理 掌握虚位移、虚功的概念；掌握质点系的自由度、广义坐 标的概念；会应用质点系虚位移原理。 (二) 碰撞问题 (1) 掌握碰撞问题的特征及其简化条件。掌握恢复因数概念 (2) 会求解两物体对心碰撞以及定轴转动刚体和平面运动刚 体的碰撞问题。 (三)拉格朗日方程
IF （ 2mvb） (G
2
t2 t1
R
v
)2
mv2n mv1n Fn dt
t1
t2
mv2 mv1 F dt
对否？
7
矢量等式只有向同一坐标轴投影才对！上两式左右两边对应不同的坐标系。
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基本量计算+守恒
v
v0 r0 R
分析： （a）小球相对立柱中心线的动量矩守恒
mv0 r0 mvR
小球碰到立柱时的速度： （b）小球运动过程中机械能守恒 以小球运动平面为零势能面
向心力
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此瞬时系统的质量相对直线对称分布，系统的质心与杆的质心重 合。此时系统的动量是否等于总质量与点的速度乘积 （即 p 3mv 3ml ）？为什么？ 4
x 3
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基本概念—功
主动力和约束力的功
a）图中轮子在FT作用下纯滚动S距离； b）图中轮子由细绳缠绕下滑S距离。 求： FT
做的功。
方法1：根据元功的定义 图a）： 图 b ）：
W FT v A dt
T
A 2vC WF 2 FT s
A 0
WFT 0
方法2：根据力系等效，将FT平移至轮心， 附加一力偶
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基本概念—动量矩的计算+守恒
水平圆台，半径为R=0.3m，台上有一过圆心的直槽AB，一长0.2m，质量 为1kg的匀质杆放置在圆台上的直槽中间，圆台绕铅垂直轴Oz以匀角速度转 动。 由于扰动，杆的中心稍微偏离圆台中心时，杆将沿槽运动。求杆一端运动至 台边缘时，台的角速度。已知圆台对转轴的转动惯量I=0.1kg·m2，设轴承及直槽 均光滑。
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试题范围（基本部分）
(1) 掌握建立质点的运动微分方程的方法。了解两类动力学基本问题的求 解方法。 (2) 掌握刚体转动惯量的计算。了解刚体惯性积和惯性主轴的概念。 (3) 能熟练计算质点系与刚体的动量、动量矩和动能；并能熟练计算力的 冲量（矩），力的功和势能。 (4) 掌握动力学普遍定理(包括动量定理、质心运动定理、对固定点和质心 的动量矩定理、动能定理)及相应的守恒定理，并会综合应用。 (5) 掌握建立刚体平面运动动力学方程的方法。了解其两类动力学基本问 题的求解方法。 (6) 掌握达朗贝尔惯性力的概念，掌握平面运动刚体达朗贝尔惯性力系的 简化。掌握质点系达朗贝尔原理(动静法) ，并会综合应用。了解定轴转动 刚体静平衡与动平衡的概念。
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基本概念—动量
杆的角速度为 ，轮子相对于杆的角速度为，轮和杆质量已知，几何 尺寸已知。计算图示系统的动量。
p p1 p2e p2r
p x p2r p2e sin
刚体系中各刚体动量应对同 一惯性参考系计算!
p y p1 p2e cosθ
p
2 px p2 y
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J C mvC aC FvC Fs (vC r )
J C Fs r maC F Fs
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基本概念—转动惯量计算+动能定理(一题多解)
匀质圆环，质量为m，半径为R，置于粗糙水平面上。 质点A质量为m，固结于圆环边缘。初始静止，A点位于最 高点。求当A位于水平位置时圆环的角速度、角加速度以 及B处的约束力。 1 2 T J T 0 2 B 1 解：由初始位置到一般位置 2
分析： e M z 0
Lz 1 ( I
Hale Waihona Puke Baidu
Lz1 Lz 2
1 1 ml 2 ) 0 (0.1 0.2 2 ) 0 0.1033 0 12 12
1 Lz 2 ( I ml 2 m (0.3 0.1) 2 ) 0.1433 12
0.7210
1 2 Lt , 匀质杆AB长为L，质量为m，在oxy平面内运动，运动方程为： x A 4 1
yA
求：t=1s时杆对OZ轴的动量矩。
基本概念—动量矩的计算
，
4
2 Lt
t 4
xA , y A
单位为米， 单位为弧度，t单位为秒。
解：质心 1 1 1 xC xA L cos 2 Lt L cos( t ) 2 4 2 4 1 1 1 yC y A L sin 2 Lt L sin( t ) 2 4 2 4 1 1 C x 2L L sin( t ) 4 24 4 1 1 C y 2L L cos( t ) 4 24 4 4 1 1 2 1 L my x mx y mL xC L x z C C C C C 2 L(1 ) 12 2 4 4 2 t=1s时 1 mL 1 7 yC L y C 2 L(1 ) 2 4 4 48
s 图a）： WFT FT s FT r r s 图b）：WFT - FT s FT r 0 r
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分析：动量守恒 能量守恒
1 1 1 2 2 m1v1 m2 v2 k ( l 2 b 2 b) 2 2 2 2
1 1 1 m1v12 m2 v2 2 k[l 2 2b 2 2b l 2 b 2 ]2 2 2 2
m1v1 m2 v2
m1v1 v2 m2
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1 2 1 2 1 d 2 k 2 1 ) 2 x mu 2 2 mv 2 k m( 2 2 2 2dt 2 2
l 动量矩守恒： LCo 2 mv ( ) 2
2
x l
LC 2 mu

2
u
(1 ) v

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1 1 d 2 m (1 ) 2 v 2 k 2 2 mv k m ( ) ( l ) 2 4 dt 2 2
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基本概念—动能计算+守恒
质量相同的两个小球用刚度为k，自然长度为L的弹簧连结，放在光滑水 平面上，若开始弹簧拉长，而且使两个球各自获得大小相等的初速度，方 向垂直于弹簧，指向相反，则弹簧长度的变化规律为 ? 分析： 光滑： 动量矩守恒 保守系统：能量守恒 设运动过程中弹簧的长度为，垂直于弹簧的速度为u，则根据能量守恒
基本概念—功
动力学定理的等价关系
圆轮向前滑滚，摩擦力参与做功，此种情况下动能定理与 动量定理、动量矩定理可互换。 圆轮受力如图 根据 T T0 两边对t求导 比较系数
Fs mgf
vC r
纯滚动对应 的距离
W
1 1 2 2 J C mvC Fs Fs ( s s ' ) 2 2
v2

O1
杆O1A： 杆AB： 杆O2B： 系统动量：
l v1 2
l p x1 mv1 m 2
vB
B
v 3 v A l
1 l v2 v A 2 2
p x 3 mv3 lm
p x 2 mv 2 l m 2
p x p x1 p x 2 p x 3 2ml