弹塑性力学与有限元

x yx zx X 0 x y z
《弹塑性力学与有限元》
应力分析

平衡微分方程
x xy xz 2u X 0( 2 ) x y z t yx y yz 2v Y 0( 2 ) x y z t zx zy z 2w Z 0( 2 ) x y z t
八面体平面：通过某点做平面 ，该平面的法线与 三个应力主轴夹角相等。设在这一点取 1 , 2 , 3 坐标轴与三个应力主轴一致，则等斜面法线的三 个方向余弦为：
1 3 1 l2 cos(n, y ) 3 1 l3 cos(n, z ) 3 l1 cos(n, x)
应力分析

主要内容

力与应力的概念
应力的Mohr圆
一点的应力状态
pi ij l j
平衡微分方程
主应力与应力张量不变量 最大剪应力（主剪应力）
n pili ijlil j
偏应力张量（应力张量的分解） 八面体应力
《弹塑性力学与有限元》
应力分析

八面体应力
应变分析
应变—位移关系

位移—由于外部因素如载荷或温度
变化,物体内部各点空间位置发生的
变化 ；

如果各点的位移完全相同，物体发
生刚体平移；如果各点的位移不同， 但各点间的相对距离保持不变，物 体发生刚体转动等刚体移动；
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应变分析
应变—位移关系
z y x
ij l j Xi
——静力边界条件
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应力分析

作业：
1）请完成教材第69～71页的习题：2.1；2.2；2.6；2.7（d）。
《弹塑性力学与有限元》
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弹塑性力学与有限元 —应变分析
应变分析

主要内容
应变—位移关系（几何方程） 一点的应变状态 应变张量 主应变 偏应变张量（应变张量的分解） 八面体应变
oct
2 3
J2
八面体面上的应力向量可分解为两个分量：
1)垂直于八面体面的分量，即正应力 oct m ，它与应力球张量有 关，或者说与 I1 有关； 2 J 2 ，与应力偏张 2)沿八面体面某一切向的分量，即剪应力 oct 3 量的第二不变量 J2 有关。
《弹塑性力学与有限元》
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应力分析

八面体应力
1 3
oct 1l12 2l22 32l32
oct
2 Toct oct 2 1 3
1
2 3
1 3
I1 m
( 1 2)2 ( 2 3)2 ( 3 1)2 .
应力分析

应力的Mohr圆

P1( 1 ,0) , P2( 2 ,0) , P3( 3 ,0) 在 平面上，
三点中的任意两点为直径端点，可作出三 个Mohr圆，如右图所示.其半径为：
P1 P2 2 1 3, 2 2 P2 P3 3 2 1, 2 2 P3 P1 3 1 2. 2 2
O P3
M P2
P 1
3
2

1
图 3-3 1、 2、 3 ——称为主剪应力， max ——最大剪应力.
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应力分析

应力的Mohr圆

由右图可见，若在已知应力状态上 叠加一个静水压力，其效果仅使三 个 Mohr圆一起沿 轴平移一个距离 ，该距离等于所叠加的静水应力， 并不改变Mohr圆的大小。 τ轴的位置与屈服及塑性变形无关 ，决定屈服与塑性变形的只是Mohr 圆本身的大小。
O P3 O M P2 s3
P 1

m
s2
s1
图 3-4
《弹塑性力学与有限元》
应力分析

应力的Mohr圆
若将τ轴平移到O' ，并使

OO '
则：
1 ( 1 2 3) m 3
O P1 1 m s1, O P3 2 m s2 , O P3 3 m s3 ,
2ui ij , j X i 0( 2 ) t
——平衡（运动）微分方程（Navier方程） 《弹塑性力学与有限元》
应力分析

平衡微分方程
n
X A
x l1 xy l2 xz l3 X yx l1 y l2 yz l3 Y zx l1 zy l2 z l3 Z
2.
3.
xy xz x 在x=dx面上的应力 x dx、 xy dx、 xz dx x x x 由x方向的平衡
yx x dx dydz x dydz yx dy dxdz yx dxdz x x y zx zx dz dxdy zx dxdy Xdxdydz 0 z
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应变协调方程（连续性
方程、相容方程）
应变分析
本章学习要点：

理解变形体内部任意一点处应变状态的基本概念；
掌握计算物体内任一点、任意微分面上的主应变及应变主
方向的计算公式；

理解Cauchy方程和Saint Venant的物理意义，熟练掌握这两 个基本方程。
《弹塑性力学与有限元》
O P3 O M P2 s3
P 1

mቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
s2
移轴后的三向Mohr圆正是描述应力偏
s1
张量的三向Mohr圆，如右图所示。
图 3-4
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应力分析

平衡微分方程
微分平行六面体
ij ij x, y, z
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应力分析

1.
平衡微分方程
在x=0的面上，应力是 x、xy、 xz