弹塑性力学与有限元

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弹塑性力学与有限元-弹塑性应力-应变关系

f ( ij ) 0
df
f
ij
d ij
0
d n 0
f ( ij ) 0
df
f
ij
d ij
0
d n 0
卸载
f ( ij ) 0
df
f
ij
d ij
0
d n 0
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性应力-应变关系
加载总则和流动法则
(a) 理想塑性材料
加载和卸载准则
(b) 强化材料
《弹塑性力学与有限元》
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性应力-应变关系
加载总则和流动法则
g f1 1 2 2k 0 (AB面)
C
g f2 1 3 2k 0 (BC面)
f2 0
B
对AB面
d1p
d1
f1
1
d1
f1 0 A
d
p 2
d1
f1
2
d1
d1p : d2p : d3p d1 : 1 : 0
d3p
因为有
f
ij
J 2
ij
J 2 sij
sij
2
J2 k 0 y
故理想塑性材料与Mises条件相关连的流动法则为：
dipj sijd
0
1
x
3
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性应力-应变关系
加载总则和流动法则
上式表明应变增量张量与应力偏张量成比例，也可以写成 ➢ Mises屈服条件的流动法则：
d p d p d p d p d p d p
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性力学与有限元 —弹塑性应力-应变关系
弹塑性应力-应变关系

弹塑性力学与有限元-单轴状态下材料的特征和模型

单轴应力-应变特性
明显的四个阶段:
➢ 单调加载
e
b
b
e Pபைடு நூலகம்
a c s
1、弹性阶段ob
f P — 比例极限 E
e —
弹性极限 E
tan
2、屈服阶段bc（失去抵抗变形
的能力，塑性变形或塑性流动）
s — 屈服极限
o
3、强化阶段ce（恢复抵抗变形的能力） b — 强度极限
4、软化节段，局部径缩阶段ef
D(s下) A(p)
低碳钢拉伸应力应变曲线
g
E=tg
Ey= tg
O
O1 O2 0.1
0.2
《弹塑性力学与有限元》
单轴状态下材料的特征和模型
单轴应力-应变特性
➢ 卸载和再加载
初始屈服应力
1）弹性范围内卸载、再加载 e P
后继屈服应力
d
b a c s
2）过弹性范围卸载、再加载
d g
o p e
《弹塑性力学与有限元》
单轴状态下材料的特征和模型
单轴状态下的全量应力-应变模型
➢ 塑性变形特点应力~应变的多值性，塑性变形与加载的历程有关。
卸载规律
同一应力值σ对应同一应变值ε对应不同的应变值ε 不同的应力值σ
《弹塑性力学与有限元》
单轴状态下材料的特征和模型
单轴状态下的全量应力-应变模型
《弹塑性力学与有限元》
单轴状态下材料的特征和模型
单轴应力-应变特性
屈服应力
➢ 单调加载
B
C
0.2 A
O 0.2%
D
p e
无明显屈服流动阶段
《弹塑性力学与有限元》
单轴状态下材料的特征和模型

弹塑性力学土木工程应用有限元ABAQUS分析课件

A
A0
l0 l
l 0 未变形的长度 A 0 未变形的平面面积
FF l
A A0 l0
nom(ll0)
nominal
n o m 名义应力
真实应力
弹塑性力学土木工程应用有限元ABAQUS分析
名义、真实应力（变）名义应变，每单位未变形长度的伸长。
noml0l
ll0 l0
l l0
1
l l0
1 nom
塑性性能的材料实验数据，提供的应变包括塑性应变和弹性应变，是材料的总体应变。所以总体应变分解为弹性和塑性应变两项。
弹性应变等于真实应力与弹性模量的比值。
t pl el
el / E
p lte lt/E
p l 真实塑性应变
t 总体真实应变
弹塑性力学土木工程应用有限元ABAQUS分析
l0d lllnll0
lnl lnl0l
l0
l0
nom
l l0
lnl0 l0lln1nom
弹塑性力学土木工程应用有限元ABAQUS分析
名义、真实应力（变）真实应力与名义应力的关系
nom(1nom)
真实应变与名义应变的关系
ln1nom
弹塑性力学土木工程应用有限元ABAQUS分析
名义、真实应力（变）
弹塑性力学的发展
早期精确算法线性问题
如今数字分析法非线性问题
实际的需要，软件应用计算 ANSYS、ABAQUS
弹塑性力学土木工程应用有限元ABAQUS分析
PART.02
名义应力（变）与真实应力（变）
弹塑性力学土木工程应用有限元ABAQUS分析
名义、真实应力（变）
在ABAQUS中必须用真实应力和真实应变定义塑性。

弹塑性力学与有限元-应变分析

位移—由于外部因素如载荷或温度变化,物体内部各点空间位置发生的变化；
如果各点的位移完全相同，物体发生刚体平移；如果各点的位移不同，但各点间的相对距离保持不变，物体发生刚体转动等刚体移动；
《弹塑性力学与有限元》
应变分析
应变—位移关系
连续体内如果各点(或部分点）间的相对距离发生变化，则物体发生了变形，这时的位移是变形体位移。此物体被称为有变形或有应变。
《弹塑性力学与有限元》
应变分析
主应变和主剪应变
I1 x y z
I 2
x y
y z
z x
2 xyБайду номын сангаас
2 yz
2 zx
x
y
y
z
z
x
1 4
(
2 xy
2 yz
2 zx
)
I
3
x
y z
2 xy yz zx
(
x
2 yz
y
2 zx
z
2 xy
)
x
y z
1 4
xy
yz
zx
1 4
(
x
2 yz
个 Mohr圆一起沿轴平移一个距离
，该距离等于所叠加的静水应力，
O P3 O M P2 s3
P1
并不改变Mohr圆的大小。
➢ τ轴的位置与屈服及塑性变形无关，决定屈服与塑性变形的只是Mohr 圆本身的大小。
m
s2
s1
图 3-4
《弹塑性力学与有限元》
应力分析
应力的Mohr圆
若将τ轴平移到O' ，并使
应变分析
应变—位移关系(几何方程)
同理可得另外两个剪应变 xy， yz ,即有剪应变的表达式:

弹塑性力学与有限元-材料非线性问题和几何非线性问题

《弹塑性力学与有限元》
材料非线性问题和几何非线性问题材料非线性问题
➢ 塑性力学的基本法则 (i) Prager运动硬化法则规定加载曲面中心的移动是在表征现时应力状态的应力点的法线方向。
Prager运动法则一般说只能应用于九维应力空间。
《弹塑性力学与有限元》
材料非线性问题和几何非线性问题材料非线性问题
(3)按单元内各个积分点计算D的预测值
1)计算屈服函数值
，然后区分三种情况
《弹塑性力学与有限元》
材料非线性问题和几何非线性问题
材料非线性问题
➢ 弹塑性增量分析数值方法中的几个问题弹塑性状态的决定和本构关系的积分 (i)
(ii) 若
，则该积分点为由弹性
进入塑性的过渡情况，计算比例因子m。
（iii）若
二．应力的度量
《弹塑性力学与有限元》
材料非线性问题和几何非线性问题
二．应力的度量
《弹塑性力学与有限元》
材料非线性问题和几何非线性问题
➢ 大变形情况下的本构关系
《弹塑性力学与有限元》
材料非线性问题和几何非线性问题
➢ 大变形情况下的本构关系
《弹塑性力学与有限元》
材料非线性问题和几何非线性问题
➢ 大变形条件下的应变和应力的度量一．应变的度量
《弹塑性力学与有限元》
材料非线性问题和几何非线性问题
几何非线性问题
➢ 大变形条件下的应变和应力的度量二．应力的度量在大变形问题中，是从变形后的物体中截取出微元体建立平衡方程和与之相等效的虚功原理，所以应从变形后的物体内截取单元体定义应力张量－－欧拉应力张量，tτij
➢ 大变形情况下的本构关系
《弹塑性力学与有限元》

弹塑性力学与有限元

§1.3 发展与研究方法7
钱学森
钱伟长胡海昌
§1.3 发展与研究方法8
杨桂通
徐芝伦
§1.3 发展与研究方法9
•弹性力学——促进数学和自然科学基本理论的建立和发展； •广泛工程应用——造船、建筑、航空和机械制造等。 •发展——形成了一些专门的分学科； •现代科学技术和工程技术——仍然提出新的理论和工程问题。 •对于现代工程技术和科研工作者的培养—— 对于专业基础，思维方法以及独立工作能力都有不可替代的作用。
§1.3
弹性力学的发展和研究方法
弹性力学是一门有悠久历史的学科，早期研究可以追溯到1678年，胡克（R.Hooke）发现胡克定律。这一时期的研究工作主要是通过实验方法探索物体的受力与变形之间的关系。
§1.3 发展与研究方法2
•近代弹性力学的研究是从19世纪开始的。 •柯西1828年提出应力、应变概念，建立了平衡微分方程，几何方程和广义胡克定律。 •柯西的工作是近代弹性力学的一个起点，使得弹性力学成为一门独立的固体力学分支学科。
•——物理关系或者物理方程 •线性弹性体和非线性弹性体
§1.1 弹性力学任务11
研究方法的差别造成弹性力学与材料力学问题的最大不同。
•常微分方程，数学求解没有困难。 •偏微分方程边值问题，在数学上求解困难重重，除了少数特殊问题，一般弹性体问题很难得到解析解。 •这里并不是说弹性力学分析不再需要假设，事实上对于任何学科，如果不对研究对象作必要的抽象和简化，研究工作都是寸步难行的。
三维数学问题，综合分析的结果是偏微分方程边值问题。
§1.1 弹性力学任务4
建筑工程
§1.1 弹性力学任务5
建筑工程
§1.1 弹性力学任务6

弹塑性力学与有限元：塑性理论

式中，h 为记录塑性加载历史的参数
称为加载函数
从拉伸曲线可以看出，应力与应变之间不再是单值对应关系，与加载历史有关
。因此塑性力学问题应该是从某一已知
的初始状态（可以是弹性状态）开始， b
C
随加载过程用应力增量与应变增量之间
B
的关系，逐步将每个时刻的各增量叠加起来得到物体内的应力与应变分布。
l2 l1
ln
l1 l0
1
2
真实应力-对数应变曲线的确定
1）求出屈服点 s
s
Ps A0
式中 Ps为材料开始屈服时的载荷； A0 为试样原始横截面面积。
2）找出均匀塑性变形阶段各瞬间的真实应力Y和对数应变
? P A
? Є
ln
l l0
ln
l0
l
l0
3）找出断裂时的真实应力 K及其对应的对数应变K
均匀塑性变形弹性
失稳破裂
金属材料单轴加载时的应力与应变特征：
b
C
（1）加载开始后，当
B
应力小于A点的应力值时，应力与应变呈
s A’ p A
线性关系。材料处于
线弹性变形阶段。A
点的应力称为比列极 O
E
限。在此阶段卸载，
p e
变形沿OA线返回。
f
F
应力在A~A’之间，
应力与应变关系不
b
C
再为线性关系。变
ps
A’ A
简单应力状态下的加载准则可以写成
加载卸载
d 0
d
0
此式也适用于 0 的压缩情况。有了这一
准则，我们可以把简单的拉伸试件在塑性阶段的应力—应变关系归纳为
O
E

弹塑性力学与有限元绪论

矢量u本身与坐标无关,矢量的分量ui随坐标系而变。
《弹塑性力学与有限元》
矢量和张量
矢量代数、标量积、矢量积、三重积、标量场和矢量场
如下图，三维空间直角坐标系Oxyz,
x3
x1, x2 , x3
x, y, z
P
rV
e3
o
x1
e1
e2
n i 1
ai
xi
• 另外 ( x y z )( x y z ) 应写成 ii jj ，不能写作 ii ii ，因为后者的标号重复了4次。
《弹塑性力学与有限元》
矢量和张量
指标记法与求和约定
求和约定
定义：凡在同一项内不重复出现的指标,如 a ji xi bj , j 为自由指标
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性力学与有限元
建立力学模型
模型建立以后，对其采用适当的求解方法（解析解和有限元）进行计算并对计算的结果进行分析整理，返回实际问题进行验证。
一般通过实验验证：直接实验验证：直接实验比较简单时可以直接进行，但有时十分困难。相似模型实验：相似实验的模型一般应与实际问题的边界条件和形态是几何相似的。
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性力学与有限元
教学内容：包括绪论和如下三部分内容：
（一）弹性力学理论
（三）有限单元法
1) 矢量与张量 2) 应力分析 3) 应变分析 4) 弹性应力-应变关系
（二）塑性力学理论
1) 有限元法的理论基础——加权余量法和变分原理 2) 弹性力学问题有限元方法的一般原理和表达格式 3) 单元和插值函数的构造 4) 等参元和数值积分 5) 有限元法应用中的若干实际考虑 6) 线性代数方程组的解法
a a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32

弹塑性力学与有限元-弹塑性应力-应变关系

《弹塑性力学与有限元》
弹塑性应力-应变关系
强化法则
Mises初始屈服条件
J2
2 s
3
0
3J 2 s 0
加载（后继屈服）条件
3J 2 0
3
2
sij
sij
0
( d p )0
函数可通过单轴拉伸下实验曲线确定.
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性应力-应变关系
强化法则
➢ 随动强化
• 几何特点（在应力空间）：形状和大小、方向保持不变，只是中心位置发生改变，加载面作刚体移动。
量,硬化参量记为 .
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性应力-应变关系
强化法则
目前常用的硬化参量有如下几种：
1．塑性功 w p, w p
ij
d
p ij
是目前岩土弹塑性理论中用得较多的。
2．有效塑性应变
p ij
3．等效塑性剪应变 p S
2 3
d
ijpd
p ij
4．塑性体应变
p v
p x
p y
p z
弹塑性应力-应变关系
强化材料的增量应力-应变关系
其中，是弹塑性柔度张量，表示为 • 以应变增量表示的应力增量
考虑到式(7.29)和式(7.105)有
把dλ和应变增量联系起来，则有其中从式(7.4)，式(7.179)和式(7.112)可得
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性应力-应变关系
强化材料的增量应力-应变关系
• 物理意义：材料在强化后为各向异性。
•
数学表示：f (ij,ij)=f 0(ij-ij) k = 0
f 0(ij-ij) = k
ij 是一个表征加载面中心移动的应力值，称为反（背）应力

弹塑性力学与有限元：2 力学位移和应变分析T

O
x u u dx
x
u
u x
dx
u
dx
u x
PB的正应变：
u
P
dx
v P A
dy
x v v dx
x
y
v
v y
dy
dy
v
v y
P点的剪应变：
y
v v dy y
B
A
B
u u dy
P点两直角线v 段夹v角d的x 变 v化
tan
x dx u dx
xy
v x
u x
u
u
x dy
u
tan
y dy v dy
符号规定：u,v,w与坐标轴正方向一致为正，相反为负。
考虑外力作用下的两种状态：平衡状态：M点只随位置变化，不随时间变化；位移分量（u,v,w）只随位置变化，不随时间变化。运动状态： M点不仅随位置变化，而且随时间变化；位移分量（u,v,w）随位置和时间变化而变化。
本章仅考虑平衡状态。
根据连续性假设，物体上任一点M，当物体变形后，都一一对应于相应的点M’；
考察P点邻域内线段的变形：
PA dx dy
y
u
P
dx
x u u dx x
v P A
dy
v v dx x
B
A
变形前 P
A
变形后
P
u v
v v dy y
B
u u dy y
u u dx x
A v v dx B
x
u u dy
B
y v v dy
y
注：这里略去了二阶以上高阶无穷小量。
PA的正应变：

弹塑性力学基础与有限元分析-接触分析实例

06
结论与展望
结论
1
本文通过理论分析和有限元模拟，深入研究了弹塑性力学基础与有限元分析在接触分析中的应用。
2
研究结果表明，弹塑性力学基础与有限元分析在接触分析中具有较高的精度和可靠性，能够有效地模拟复杂接触问题。
3
本文所采用的有限元分析方法在处理接触问题时具有较好的通用性和扩展性，为进一步研究复杂接触问题提供了有力支持。
弹塑性本构模型
弹塑性本构模型的定义
弹塑性本构模型是描述弹塑性材料力学行为的数学模型，它通过应力应变关系来描述材料的弹塑性行为。
常见的弹塑性本构模型
常见的弹塑性本构模型包括Mohr-Coulomb模型、Drucker-Prager模型、Cam-Clay模型等。这些模型在描述材料的弹塑性行为方面各有特点，适用于不同的材料和工程问题。
接触面完全贴合，无相对运动。
滑动状态
接触面部分贴合，存在相对运动。
混合状态
接触面同时存在分离、粘结和滑动。
接触检测与跟踪
初始接触检测
确定初始状态下接触面的位置和状态。
接触状态跟踪
实时监测接触面的运动状态和相互作用。
接触面更新
根据接触状态调整接触面的几何形状和参数。
接触刚度与阻尼
1 2
接触刚度
描述接触面间的相互作用力与相对位移的关系。
求解阶段主要进行有限元方程的求解，得到各节点的位移和应力等结果。
ABCD
前处理阶段主要完成有限元模型的建立和网格划分，为求解阶段提供输入数据。
后处理阶段主要对求解结果进行可视化、分析和评估，为工程设计和优化提供依据。
04
接触分析原理
接触状态描述
分离状态

“弹塑性力学与有限元”课程教学实施思考——土木水利专业学位研究生核心课程

2022年6月第25期Jun. 2022No.25教育教学论坛EDUCATION AND TEACHING FORUM【特别关注】“弹塑性力学与有限元”课程教学实施思考——土木水利专业学位研究生核心课程禹海涛1，赵慧玲2（1.同济大学土木工程学院，上海 200092；2.上海大学力学与工程科学学院，上海 200444）［摘要］ “弹塑性力学与有限元”是土木水利专业学位研究生核心课程。

该课程具有复杂的理论体系，需要有较深厚的数学力学基础知识，具有较高的教学与培养要求。

目前，学生基础参差不齐、课程辅助教学缺乏等现实存在的问题不利于课程教学内容的实施；因此，保证和促进课程教学实施的措施需要深入思考。

从巩固学生基础、优化设置课程内容、丰富教学模式及考核方式等多个角度，探讨了课程教学实施的措施与建议，为同类研究生培养单位教师提升“弹塑性力学与有限元”课程的教学效果提供借鉴。

［关键词］弹塑性力学与有限元；教学实施；实践能力［课题项目］ 2021年度上海大学“研究生教育培养质量提升”（2021GY12）［作者简介］禹海涛（1983—），男，河南驻马店人，工学博士，同济大学土木工程学院教授，博士生导师，主要从事土木工程专业研究；赵慧玲（1982—），女，山西长治人，博士，上海大学力学与工程科学学院副教授（通信作者），主要从事土木工程专业研究。

［中图分类号］ G642.0 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1674-9324（2022）25-0001-04 ［收稿日期］ 2022-03-04科学技术的飞速发展对高素质科技人才的需求越来越迫切。

研究生教育是高素质人才培养的重要基础。

《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010—2020年）》指出：“提高质量是高等教育发展的核心任务，是建设高等教育强国的基本要求。

”提高人才的专业素养是提升高等教育质量的重要任务之一。

土木工程作为一门传统的工科专业，具有较强的实践性与应用性。

弹塑性力学与有限元：3 应力-应变关系

各向同性材料主应力状态——对应的切应力分量均为零。
所有的切应变分量也为零。所以，各向同性弹性体
应力主轴同时又是应变主轴；应力主方向和应变主方向是重合的。
各向同性材料的应变能函数
应变能
U0
1 2
(
x x
y
y
z z
xy xy yz yz xz xz )
引入各向同性材料应力-应变关系
x 2 x , xy xy y 2 y , yz yz z 2z , xz xz
其独立的弹性常数仅为C11，C12和C44。
但是各向同性弹性体的弹性常数不但与坐标轴的选取无关，而且与坐标轴的任意变换方位也无关。
根据各向同性材料的弹性性质与坐标轴的任意变换方位也无关，各向同性材料广义胡克（Hooke）定理
x 2x , xy xy
y 2 y , yz yz
z C31 x C32 y C33 z
xy C44 xy yz C55 yz xz C66 xz
9个弹性常数
正应力仅与正应变有关，切应力仅与对应的切应变有关，因此拉压与剪切之间，以及不同平面内的剪切之间将不存在耦合作用。
各向同性材料
物理意义——物体各个方向上的弹性性质完全相同，即物理性质的完全对称。
高等工程力学/(一)弹性力学/(4)应力-应变关系
4 应力-应变关系
弹性体的应变能原理应力-应变关系
高等工程力学/(一)弹性力学/(4)应力-应变关系
4.1 弹性体的应变能原理
弹性体发生变形时，外力将要做功，内部的能量也要相应的发生变化。
根据热力学的观点，外力在变形过程中所做的功，一部分将转化为内能，一部分将转化为动能。

弹塑性力学与有限元-屈服总则和弹塑性应力-应变关系

《弹塑性力学与有限元》
屈服总则和弹塑性应力-应变关系
与静水压力无关材料的屈服总则
s
2
➢ Von Mises屈服条件
2 s1 3s1
2 s 2 3s 2
2 s3 3s3
0
s1
s3
x s1 s2 sin 30o s3 sin 30o
x
1 6
2s
1
s2
s3
y s2 cos 30o s3 cos 30o
屈服总则和弹塑性应力-应变关系
与静水压力无关材料的屈服总则
对于金属类材料，由于材料的屈服对静水压力不敏感，因而剪切应力控制其屈服。
➢ Tresca屈服条件 1864年，Tresca作了一系列的挤压实验来研究屈服条件,金属材料在屈服时，可以看到接近于最大剪应力方向的细痕纹(滑移线)，因此塑性变形可以是由于剪切应力所引起的晶体网格的滑移而引起的。
认为最大剪应力达到极限值时开始屈服: (s1 s 2 s3 )
max (s1 s 3 ) / 2 k
(6.18)
(材料力学的第三强度理论)
《弹塑性力学与有限元》
屈服总则和弹塑性应力-应变关系
如不规定s1 s 2 s3
xs
1 2
(s 1
s
3
)
ys
1 6
(2s
2
s1
s
3
)
s1 s2 s3
《弹塑性力学与有限元》
屈服总则和弹塑性应力-应变关系
屈服总则定义
➢ 应力空间和主应力空间 L直线：主应力空间中过原点并与坐标轴成等角的直线。
其方程为 s1 s2 s3 显然，
L直线上的点代表物体中承受静水应力的点的状态，这样的应力状态将不产生塑性变形。

三维弹塑性问题的比例边界有限元法

04
比例边界有限元法的实现过程
网格划分与节点生成
网格划分
将三维空间离散化为有限个小的单元，每个单元由节点连接。
节点生成
根据几何形状和边界条件，在关键区域布置节点，确保计算的精确性。
比例边界条件的处理
边界条件转换
将比例边界条件转换为等效的节点力约束。
节点力平衡
确保所有节点力在平衡状态下，以实现真实比例边界条件的模拟。
材料属性
根据实际问题，设置材料属性，如弹性模量、泊松比、密度等。
力学行为
考虑弹性和塑性行为，建立相应的本构关系和屈服条件。
边界条件与载荷施加
边界条件
根据实际问题，施加相应的边界条件，如固定边界的位移约束、滑动边界的摩擦力约束等。
载荷施加
根据实际问题，施加相应的外部载荷，如重力、压力、扭矩等。同时考虑惯性效应，如质量、阻尼等。
三维弹塑性问题的有限元建模
有限元模型的建立
几何模型
根据实际物理模型，建立相应的几何模型，包括三维实体、
表面等。
网格划分
根据模型复杂程度和计算精度要求，选择合适的网格类型和密度进行划分。
边界定义
根据实际问题，定义模型的边界条件，如固定边界、滑动边界等。
单元选择与属性设置
单元类型
根据实际问题，选择合适的有限元单元类型，如四面体单元、六面体单元等。
三维弹塑性问题的比例边界有限元法
2023-11-06
目录
• 引言 • 三维弹塑性理论基础 • 三维弹塑性问题的有限元建模 • 比例边界有限元法的实现过程 • 三维弹塑性问题的算例分析 • 结论与展望 • 参考文献
01
引言
研究背景与意义

弹塑性力学与有限元-等参元数值分析

《弹塑性力学与有限元》
弹塑性力学与有限元 —等参元和数值积分
等参元和数值积分
等参元和数值积分
等参元
➢ 等参单元的基本概念和单元矩阵的变换 ➢ 等参变换的条件和等参元的收敛性 ➢ 等参元用于分析弹性力学问题的一般格式
数值积分
➢ 数值积分方法 ➢ 等参元计算中数值积分阶次的选择
《弹塑性力学与有限元》
x a 2 b c
y d 2 e f
（4-13）
可见在整体坐标系中，单元的边是一条抛物线或退化为一条直线。
《弹塑性力学与有限元》
等参元和数值积分
等参单元的矩阵变换
图4-6 ANSYS提供的Plane82单元
《弹塑性力学与有限元》
等参元和数值积分
等参单元的矩阵变换
如图4-6所示，ANSYS提供的PLANE82单元是一个四边形八结点等参单元，局部坐标定义为s和t，如图4-7所示。PLANE82单元可以退化为三角形六结点单元。
《弹塑性力学与有限元》
等参元和数值积分
等参单元的基本概念和单元矩阵的变换
形函数为，
1x y
Ni
(1 4
)(1 a
) b
Nj
1 (1 4
x )(1 y ) ab
Nm
1 (1 4
x )(1 a
y) b
Np
1 (1 4
x )(1 a
y) b
上述单元位移模式满足位移模式选择的基本要求：反映了单元的刚体位
因此给出任意四边形单元的结点位移就能得到整个单元上的位移，上式给出的位移模式就是所要找的正确的位移模式。把局部坐标与整体坐标的变换式也取为:
x N1x1 N2 x2 N3x3 N4 x4 （4-8） y N1 y1 N2 y2 N3 y3 N4 y4

弹塑性力学与有限元：2 应变分量与协调方程

刚体位移：所有应变为零时的位移
x
u x
0
y
v y
0
z
w z
0
xy
v x
u y
0
yz
w y
v z
0
zx
u z
w x
0
x
u x
0
y
v y
0
z
w z
0
u f1y, z v f2 x, z w f3x, y
2
f1y,
y 2
z
0
对y求导
f2x, z f1y, z 0 对x求导
x
y
2
f 2 x,
x2
M(x,y,z)
M’(x’,y’,z’)
x' x u u x, y, z y' y v v x, y, z z' z w w x, y, z
变形位移：位移不仅使得位置改变，而且改变了物体内部各个点的相对位置。
位移u，v，w是单值连续函数，进一步分析位移函数具有连续的3阶导数。
初始状态相对位置不变。 • 变形位移：位移不仅使得位置改变，而且改变
了物体内部各个点的相对位置。
M(x,y,z)
M’(x’,y’,z’)
x' x u u x, y, z y' y v v x, y, z z' z w w x, y, z
刚体位移：物体内部各点位置变化，但仍保持初始状态相对位置不变（无变形）。
M(x,y,z)
M’(x’,y’,z’)
x' x u u x, y, z y' y v v x, y, z z' z w w x, y, z

弹塑性力学及有限元法_

写成矩阵形式
R11 cos 2 θ x 1 Ry1 EA cos θ sin θ 1 = Rx 2 l1 − cos 2 θ R1 2 − cos θ sin θ y cos θ sin θ sin 2 θ − cos θ sin θ − sin 2 θ − cos 2 θ − cos θ sin θ cos 2 θ cos θ sin θ
单元刚度矩阵的子矩阵 K ij 表示：当单元 e 中节点 j 取单位位移，且其它节点位移为零时，对应于 i 节点的节点力。
第五章有限元法简介
单元1的节点力和节点位移的关系可写成
R1 K11 = R2 K 21
1
K12 K 22
1
δ1 δ 2
1 θFx1(u1) 3 Fx3 (u3) Fy1(v1 ) Fy3 (v3) y 2 o x
1
Fy2 (v2) Fx2(u2)
2
图5-1 简例结构图
第五章
分析步骤：
有限元法简介
2
1
1 1 Ry2(v2) 1 1 Rx2(u2)
1. 离散结构物为有限个单元分为2个单元，第一个单元的节点编号为1和2，第二个单元的节点编号为2和3。对于第一单元，在第1、2节点处的节点力为 R 11 , R 11 , R 1 2 , R 1 2 ，表示节点施加在单元1上 x y x y
1 − cos θ sin θ u1 1 2 − sin θ v1 cos θ sin θ u1 2 1 si成
R11 k x 1 11 Ry1 k21 1 = Rx 2 k31 R1 k41 y2 k12 k22 k32 k42 k13 k23 k33 k43

弹塑性力学与有限元：6 圣维南原理

都广泛灵活的应用圣维南原理来处理和简化边界条件。
注意事项
必须满足静力等效条件；只能在次要边界（小面积）上用圣维南原理，在主要边界上不能使用。
A
B
主要边界
P
P
A
次要边界
面（应）边界条件
cos(N, x) l
给定面力分量 X ,Y ,Z 边界 —— 应力边界 cos(N, y) m
cos(N, z) n
静力等效两个力系，若它们的主矢量、主矩
相等，则两个力系为静力等效力系。
R Fi MO mO (F i )
这种等效有效的条件？
静力等效
在端面上合力为零，合力矩为M，即静力等效力系，但它们的外力分布不一样。外力作用区域状态肯定不一致，问题是该区域有多大，是否对其他区域有影响？
影响区域约为作用面尺寸的2-3 倍。
N
pXx l x m yx n zx
Z
Y X
Z Y
X
pYy l xy m y n zy
pZz l xz m yz n z
l x s m yx s n zx s X l xy s m y s n zy s Y l xz s m yz s n z s Z
材料力学的性能试验，试验数据与装夹头具体类型无关。
实验证明，夹持钢筋只会使夹持部位有较大应力，无论作用力多大，在距离力的作用区域比较远处，几乎没有应力产生。
有限元分析也证明了这一点。
圣维南原理(Saint-Venant Principle)
物体表面某一小面积上作用的外力力系，如果被一个静力等效力系所替带，那么物体内部只能导致局部应力的改变。而在距离外力的作用点较远处，这种影响便急剧减小，其影响可以忽略不计。

弹塑性力学与有限元

物体发生位移，应变由位移得到。对物体中足够小的区域，认为该区域的应变是均匀的。
《弹塑性力学与有限元》
应变分析
应变—位移关系

x
l l l
z B
线应变——线段的伸长和缩短 x , y , z 剪应变——方向的相对改变，即线段之间夹角改变
x
l
A A'
l'
B'yຫໍສະໝຸດ xy , xz , yz
x yx zx X 0 x y z
《弹塑性力学与有限元》
应力分析

平衡微分方程
x xy xz 2u X 0( 2 ) x y z t yx y yz 2v Y 0( 2 ) x y z t zx zy z 2w Z 0( 2 ) x y z t
当 x， y， z 大于零时，表示线段伸长，反之表示缩短。
C
下面研究六面体的剪应变，即各直角的改变。角应变用 zx 表示，其值为和之和，即：
z
C

A
B
w

B
B
u dx x
w
w dx x
zx
o
A
u
x
u
《弹塑性力学与有限元》
应变分析
可知：如果已知位移分量可以很简单的求出应变分量；反之，则问题比较复杂。
《弹塑性力学与有限元》
应变分析
一点的应变状态
三个方向线元的应变决定该点的应变状态，取与坐标轴相平行的三个方向。
u x x ， v y y w z z