导数在三次函数中的运用
应用导数研究三次函数课件
知识点2 切线条数 切点的个数
数学思想方法 数形结合，特殊与一般，化归转化
思考
一般情形的证明
对于对称问题，在函数中讲到了很 多，你能用所学知识证明一般三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d (a 0) 的对称中心 是 ( b , f ( b ))的这个结论吗？
3a 3a
g(x) x3 3x2 2x 1 (1,1)
x y20
过对称中心的切线只有1条
上下区域 1条
左右区域 3条
切线上（除对称中心） 2条
曲线上（除对称中心） 2条
一般情形
小结
知识点1 对称中心
三次函数有唯一的对称中心，对称中心的横 坐标与其导函数顶点的横坐标相同. ( b , f ( b ))
应用导数研究三次函数
图像的对称性及切线条数
湖北省黄冈中学 袁小幼
函数 y x3图像的对称性
函数 y 的x3图像关于（0，0）对称.
三次函数的图像有唯一的对称中心，对称中 心的横坐标与其导函数顶点的横坐标相同.
一般三次函数图像的对称性
三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d (a 0)图像 的对称中心是什么?
f (x) 3ax2 2bx c 3a(x b )2 c b2
3a
3a
( b , f ( b )) 3a 3a
三次函数在对称中心处的切线
函数 g(x) x3 3x2 2x 1 过对称中心 (1,数图像切线条数的探究
同样的，你能证明切线条数的一般 性结论吗？
谢 谢！
三次函数在“导数”教学中的价值分析
显 三次 函数 的性 质 探 究在 导 数 教 学 中 的价 值
教 育心理 学认 为 ，处于 学生 最近 能力 发展 区的教
题 的剖析 加 以说 明如 何 以三次 函数 为素 材进行 导 数教
学．
学 内容 ， 是 最合适 的教学 内容． 从现有数 学教 育体制 看 ，
“ 导数 ” 学习 ， 对学 生数 学处于 “ 承上 启下 ” 的地 位 ： 初 中 数学 开始接 触 函数 ， 意 味 着 由小学 开 始 学 习的 “ 常量 ” 为 主的 数学 开 始进 入 中学 阶段 的 “ 变量 ” 为主 的数 学 ， 高 一接 触 了关 于 初等 函数 的几个 特 征 ，如定 义域 、 值
教 教
案 例 点 评
２ ０ １ ３年 ７月
三次 函数在 “ 导数 ’ ’ 教学 中的价值分析
⑩江 苏 省 镇 江 市 国 际学 校 宋 是通 过 一系列 的教学进 程， 使学 习者 获得某 种知识 与技 能 的发展 ； 当然在 获得
次 函数与一元二次方程 、 一元 二次不等式三 位一体 、 紧密 相关 ， 从 函数图像 、 函数性质到方程求解 、 根 的分 布 、 不等 式 的解集 区间分布等 ， 知识与能力要求环环相扣 ， 集 中体
例１ 设有函数 ） ＝ ｘ ３ － ３ ａ ｘ ＋ ３ ｘ ＋ １ ． （ １ ） 设ａ ＝ ２ ， 求 ）
的单 调 区间 ； （ ２ ） 设 ） 在 区问（ ２ ， ３ ） 中至 少有一 个极 值
点， 求ａ 的取值 范围．
思路 剖析 ： （ １ ） 将ａ ＝ ２ 代入 ， 得 ） ＝ ｘ ３ － ６ ｘ ＋ ３ ｘ ＋ ｌ ， 则
回溯 高二数 学教学 背景可看 出 ，基本初等函数特别
运用现代教育技术培养学生探究能力——谈导数在三次函数中应用的教学体会
一 、 通过几何画板在运动变化中 引导学生探究 三次 函数 、导 函 数之 问的 联 系
展 示 运 动 变 化 ， 不 但 有 利 于 学 生 强 化 对 图 像 的 认 识 ， 还 有 利 于 学 生 弄 清 知 识 脉 络 ， 了 解 知 识 之 问 的 联 系 ， 探 究 数 学 问 题 。 如 利 用 导 数 探 究 三 次 函 数 ）－ａｘ ＋ｂｘ ＋ｃｘ＋ｄ （０，ｂ，ｃ∈Ｒ） 图 像 及 性 质 的 教 学 ， 常 规 教 学 的 处 理 方 法 是 将 导 数 图 像 和 三 次 函 数 图 像 画在 同 一 坐 标 系 中 ，寻 找 导 数 图像 和 三 次 函 数 图 像 之 间 的 联 系 ，为 了 让 学 生 更 好 地 掌 握 导 数 与 三 次 函 数 之 间 的 联 系 ，对 三 次 函 数 的 单 调 性 、 有 没 有 极 值 的 问 题 进 行 探 索 研 究 ，培 养 学 生 的 能 力 ， 我 设 计 了 这 样 一 个 课 件 。 在 几 何 画 板 上 建 立 一Ａ．ｔ， － 系 ， 在 轴 上 建 立 四 点 ａ，ｂ ｄ， 分 别 确 定 ａ，ｂ，ｃ，ｄ 的 值 ，在 几 何 画 板 上 画 出 三 次 函 数 ）－ ￣．ａｘ ＋ｂｘｚ＋ｃｘ＋ｄ （ ，６，ｃ∈Ｒ） 图 像 ， 再 画 出 三 次 函 数 ｆ（ ）的 导 函 数 图 像 ， 并 确 定 Ａ＝４ｂ。一ｌ２ａｃ 的 值 ， 如 图 １。 分 别 移
图 ２
（１） ａ＞０移 动 ｂ 或 Ｃ使 Ａ＝４ｂ 一１２ａｃ 大 于 ０， ／Ｊ＼
于 ０， 等 于 ０，观 察 导 数 图 像 ，探 究 三 次 函 数 单 调
4x的三次方的导数
4x的三次方的导数
在网络世界里，导数是一种数学概念，大家可以通过它衡量函数变化的程度。
在这里，我们讨论的是4x的三次方函数的导数。
首先，我们从数学原理出发，计算4x的三次方函数的导数。
在微积分中，称
这种表达式为“高阶导数”：如果函数的次数大于等于3，我们就称它为高阶导数。
因此，4x的三次方函数的导数为 12x2 。
其次，我们要了解12x2的数学含义，以及它的运算过程。
可以理解，表达式“12x2”就是根据泰勒展开式的前几项求出的，意思是我们可以把一个函数看成是几个“常数项”。
比如，当x取值为2时，我们就可以把原函数分解为
“ 4*2*2*2 = 32 ”。
这条函数就可以分解为三项：4*2*2（首项）+4*2（次项）
+4（末项）。
而每一项都有自己的“指数”，结果就是有了12x2的结果。
最后，我们要讨论4x的三次方函数的导数在应用中的意义。
高阶导数能够衡
量函数变化的程度，因此它在实际中应用非常广泛。
最常使用它的地方是优化算法，通过求导可以快速确定函数最优解，同时也可以测量函数波动的幅度。
以上就是关于4x的三次方函数的导数的讨论，它反映了函数变化的程度，是
在网络世界中应用较为广泛的一种数学概念。
(完整版)专题三导数与三次函数
7 ∴33332222mamambbmmccm 由155fabc ∴32532mmm 6m ∴23ma，39,2122mbcm 2、若函数32111132fxxaxax在区域1,4内为减函数，在区间6,上为增函数，试求实数a的取值范围。（2004全国卷） 解：21fxxaxa 令0fx解得11x，21xa ①当11a即2a时，fx在1,上为增函数，不合题意 ②当11a即2a时，函数fx在,1上为增函数，在1,1a内为减函数，在1,a上为增函数，依题意应有： 当1,4x时，0fx，当6,x时，0fx 所以416a，解得 57a 综上，a的取值范围是5,7 3、已知函数323fxaxbxx在1x处取得极值， ⑴讨论1f和1f是函数fx的极大值还是极小值； ⑵过点0,16A作曲线yfx的切线，求此切线方程。（2004天津）
3 x ,1 －1 （－1，1） 1 1, fx ＋ 0 － 0 ＋ ()fx 极大值 极小值 ∴()fx的单调递增区间是,1和1, ()fx的单调递减区间是1,1 当1x时，fx有极大值311312faa 当1x时，fx有极小值311312faa 要使()fx有一个零点，需且只需2020aa，解得2a 要使()fx有二个零点，需且只需2020aa，解得2a 要使()fx有三个零点，需且只需2020aa，解得22a 变式五、已知函数33,0fxxxa，如果过点,2Aa可作曲线yfx的三条切线，求a的取值范围 解：设切点为00,xy，则233fxx ∴切线方程000yyfxxx 即 2300332yxxx ∵切线过点A,2a ∴23002332xax 即 320023320xaxa ∵过点,2Aa可作yfx的三条切线 ∴方程有三个相异的实数根
三次多项式函数的导数是二次多项式函数例子
三次多项式函数的导数是二次多项式函数这是一个著名的数学定理。
二次多项式函数的概念是指将变量x的平方和一次项组合在一起的函数，其定义域为实数集，而三次多项式函数的概念是指将变量的立方和二次项、一次项组合在一起的函数，其定义域也是实数集。
根据数学定理，三次多项式函数的导数是二次多项式函数。
具体来说，当三次多项式函数形如y=ax³+bx²+cx+d时，其导数为y'=3ax²+2bx+c，可以看出，三次多项式函数的导数是一个二次多项式函数。
下面举一个例子来说明这一点：设y=2x³-5x²+7x-1，则其导数为y'=6x²-10x+7，可以看出，其导数是一个二次多项式函数。
以上就是三次多项式函数的导数是二次多项式函数的例子，从这个例子中可以清楚地看出，三次多项式函数的导数实际上是一个二次多项式函数。
导数与三次函数的关系
通过乘法法则和链式法则，将原函数进行求导，得到 导数表达式。
注意事项
在计算过程中，需要注意各项的系数和变量的指数变 化。
三次函数导数的性质
单调性
通过导数的符号判断函 数的单调性，若导数大 于0，函数单调递增； 若导数小于0，函数单 调递减。
极值点
导数为0的点称为临界 点或驻点，是函数值可 能发生变化的点，即极 值点。
数学教育改革
在数学教育领域，如何更好地教授导数与三次函数的关系，将直接 影响学生理解和应用数学的能力。
未来研究方向
对于导数与三次函数关系的深入研究，将推动数学理论和应用的不 断发展，为解决复杂问题提供更多有效工具。
THANKS
谢谢
凹凸性
通过求二阶导数判断函 数的凹凸性，二阶导数 大于0，函数为凹函数； 二阶导数小于0，函数 为凸函数。
三次函数导数的几何意义
切线斜率
导数在某一点的值表示该点处切线的斜率。
函数变化率
导数表示函数在某一点附近的变化率，即函 数值增量与自变量增量的比值。
单调区间
通过导数的符号变化，可以确定函数的单调 区间。
优化问题求解
导数在优化问题中扮演关键角色，如最大值和最小 值问题，通过求导可以找到使函数取得极值的点。
近似计算
在科学、工程和经济学中，经常需要估算函 数的近似值，导数有助于更精确地估计这些 值。
导数与三次函数关系在数学中的地位
连接初等与高等数学
导数与三次函数的关系是初等数学与 高等数学之间的桥梁，帮助学习者逐
VS
极值判断
在找到极值点后，我们可以进一步判断这 些点是极大值还是极小值。如果函数在极 值点左侧递增，右侧递减，则该点为极大 值；如果函数在极值点左侧递减，右侧递 增，则该点为极小值。
高三数学导数的实际应用试题答案及解析
高三数学导数的实际应用试题答案及解析1.已知函数 ().（1）若,求函数的极值;（2）设．①当时,对任意,都有成立,求的最大值;②设的导函数.若存在,使成立,求的取值范围.【答案】（1）参考解析；（2）①－1－e－1，②(－1,+∞)【解析】（1）由函数 ()，且，所以对函数求导，根据导函数的正负性可得到结论（2）①当时,对任意,都有成立，即时，恒成立. 由此可以通过分离变量或直接求函数的最值求得结果，有分离变量可得b≤x2－2x－在x∈(0,＋∞)上恒成立.通过求函数h(x)＝x2－2x－ (x＞0)的最小值即可得到结论.②若存在,使.通过表示即可得到＝，所以求出函数u(x)＝(x＞1)的单调性即可得到结论.（1）当a＝2,b＝1时,f (x)＝(2＋)e x,定义域为(－∞,0)∪(0,＋∞).所以f ′(x)＝e x. 2分令f ′(x)＝0,得x1＝－1,x2＝,列表(0,)(,＋∞)－↗极大值极小值↗由表知f (x)的极大值是f (－1)＝e－1,f (x)的极小值是f ()＝4. 4分（2）①因为g (x)＝(ax－a)e x－f (x)＝(ax－－2a)e x,当a＝1时,g (x)＝(x－－2)e x.因为g (x)≥1在x∈(0,＋∞)上恒成立,所以b≤x2－2x－在x∈(0,＋∞)上恒成立． 7分记h(x)＝x2－2x－ (x＞0),则h′(x)＝.当0＜x＜1时,h′(x)＜0,h(x)在(0,1)上是减函数;当x＞1时,h′(x)＞0,h(x)在(1,＋∞)上是增函数;所以h(x)min＝h(1)＝－1－e－1;所以b的最大值为－1－e－1. 9分解法二：因为g (x)＝(ax－a)e x－f (x)＝(ax－－2a)e x,当a＝1时,g (x)＝(x－－2)e x.因为g (x)≥1在x∈(0,＋∞)上恒成立，所以g(2)＝－e2＞0,因此b＜0. 5分g′(x)＝(1＋)e x＋(x－－2)e x＝．因为b＜0,所以：当0＜x＜1时,g′(x)＜0,g(x)在(0,1)上是减函数；当x＞1时,g′(x)＞0,g(x)在(1,＋∞)上是增函数．所以g(x)min＝g(1)＝(－1－b)e－1 7分因为g (x)≥1在x∈(0,＋∞)上恒成立，所以(－1－b)e－1≥1,解得b≤－1－e－1因此b的最大值为－1－e－1. 9分②解法一：因为g (x)＝(ax－－2a)e x,所以g ′(x)＝(＋ax－－a)e x.由g (x)＋g ′(x)＝0,得(ax－－2a)e x＋(＋ax－－a)e x＝0,整理得2ax3－3ax2－2bx＋b＝0.存在x＞1,使g (x)＋g ′(x)＝0成立.等价于存在x＞1,2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立． 11分因为a＞0,所以＝.设u(x)＝(x＞1),则u′(x)＝．因为x＞1,u′(x)＞0恒成立,所以u(x)在(1,＋∞)是增函数,所以u(x)＞u(1)＝－1,所以＞－1,即的取值范围为(－1,＋∞). 14分解法二：因为g (x)＝(ax－－2a)e x,所以g ′(x)＝(＋ax－－a)e x.由g (x)＋g ′(x)＝0,得(ax－－2a)e x＋(＋ax－－a)e x＝0,整理得2ax3－3ax2－2bx＋b＝0.存在x＞1,使g (x)＋g ′(x)＝0成立.等价于存在x＞1,2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立. 11分设u(x)＝2ax3－3ax2－2bx＋b(x≥1)u′(x)＝6ax2－6ax－2b＝6ax(x－1)－2b≥-2b 当b≤0时,u′(x）≥0此时u(x)在[1,＋∞)上单调递增,因此u(x)≥u(1)＝－a－b因为存在x＞1,2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立所以只要－a－b＜0即可,此时－1＜≤0 12分当b＞0时,令x0＝＞＝＞1,得u(x)＝b＞0,又u(1)＝－a－b＜0于是u(x)＝0,在(1,x)上必有零点即存在x＞1,2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立,此时＞0 13分综上有的取值范围为(－1,+∞)------14分【考点】1.函数的极值.2.函数最值.3.函数恒成立问题.4.存在性的问题.5.运算能力.2.将一个边长分别为a、b(0<a<b)的长方形的四个角切去四个相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体形的盒子．若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则的取值范围是________．【答案】【解析】设减去的正方形边长为x，其外接球直径的平方R2＝(a－2x)2＋(b－2x)2＋x2，由R′＝0，∴x＝(a＋b)．∵a<b，∴x∈，∴0<(a＋b)< ，∴1<<.3.对于三次函数，给出定义：是函数的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.某同学经研究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心.若，请你根据这一发现，求：（1）函数的对称中心为__________；（2）=________.【答案】(1)；（2）2013.【解析】，，令，∴，∴∴对称中心为，∴，∴.【考点】1.新定义题；2.导数.4.已知，函数．（1）当时，写出函数的单调递增区间；（2）当时，求函数在区间[1，2]上的最小值；（3）设，函数在（m，n）上既有最大值又有最小值，请分别求出m，n的取值范围（用a表示）．【答案】（1）；（2）；（3）详见解析.【解析】（1）对于含绝对值的函数一般可通过讨论去掉绝对值化为分段函数再解答，本题当时，函数去掉绝对值后可发现它的图象是由两段抛物线的各自一部分组成，画出其图象，容易判断函数的单调递增区间；（2）时，所以，这是二次函数，求其在闭区间上的最小值，一般要分类讨论，考虑对称轴和区间的相对位置关系，从而判断其单调性，从而求出最小值；（3）函数在开区间上有最大值和最小值，必然要使开区间上有极大值和极小值，且使极值为最值，由于函数是与二次函数相关，可考虑用数形结合的方法解答.试题解析：（1）当时，, 2分由图象可知，的单调递增区间为． 4分（2）因为，所以． 6分当，即时，； 7分当，即时，． 8分． 9分（3）， 10分①当时，图象如图1所示．图1由得． 12分②当时，图象如图2所示．图2由得． 14分【考点】含绝对值的函数、二次函数.5.设，当时，恒成立，则实数的取值范围为。
导数的定义及其应用
导数的定义及其应用导数是微积分中一个非常重要的概念，它在自然科学、工程学、经济学等多个领域都有广泛的应用。
本文将从导数的定义、导数的计算方法和导数的应用三个方面进行论述。
一、导数的定义导数是函数在某个点上的变化率，它描述了函数在一点附近的斜率，可以表示为函数在该点的极限。
具体地说，如果函数$f(x)$在点$x_0$处可导，那么它的导数为：$$f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$其中$h$为趋近于$0$的实数。
如果这个极限存在，则称$f(x)$在$x_0$处可导。
例如，求函数$f(x)=x^2$在$x=2$处的导数，我们可以将$x_0=2$代入上式，得到：$$f'(2)=\lim_{h\to0}\frac{(2+h)^2-2^2}{h}=\lim_{h\to0}(4+4h+h^2)/h=4$$因此，$f(x)=x^2$在$x=2$处的导数为$4$。
二、导数的计算方法导数的计算方法有很多种，这里介绍三种常用的方法。
1. 用定义式计算。
根据导数的定义，我们可以将函数在某个点的导数表示为极限，通过计算该极限来求出导数的值。
这种方法往往比较繁琐，适用于简单函数或需要进行特殊推导的函数。
2. 利用导数的性质计算。
导数具有很多有用的性质，如加减法、乘法、链式法则等，可以帮助我们快速计算导数。
例如，对于两个函数$f(x)$和$g(x)$，它们的和函数$(f+g)(x)$的导数为$f'(x)+g'(x)$，积函数$(f\cdot g)(x)$的导数为$f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$，以及由复合函数$u(x)=f(g(x))$构成的函数$v(x)=u'(x)=f'(g(x))g'(x)$的导数等等。
3. 利用数值计算方法计算。
数值计算方法是一种近似计算导数的方法，常用的方法有差分法、牛顿-莱布尼茨公式、微分方程法等等。
导数在三次函数中的应用教学设计
导数在三次函数中的应用教学设计一.教学内容分析三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠ 是高中数学利用导数研究函数单调性、极值、最值等内容的一个重要载体，是应用二次函数图像和性质的重要素材. 本课立足于一道题目，建构三次函数图像特征，对零散知识进行串联，运用变式，探究解决问题的通性通法，同时根据问题的自身特点寻求简化解法，培养提高学生思考问题分析解决问题的能力. 二．学生学习情况分析学生已经学习了导数在研究函数单调性及其极（最）值的应用，掌握了利用导数求函数单调区间、求极值最值、求切线方程，求参数取值范围的一般方法.三．教学目标导数及其应用主要两个方面：一是利用导数研究函数的单调性，二是用导数研究函数的极（最）值，三次函数是一类重要的函数，在高考中占有重要地位，因此以三次函数为载体，掌握利用导数研究三次函数单调性，求极值最值的通性通法，巩固数形结合、分类讨论、化归数学思想的应用.四．教学重点与难点教学重点：用导数解决三次函数的单调性、极值最值、切线方程等问题教学难点：分类讨论,数形结合，化归思想在解决问题中的综合应用五．教学过程一、课前练习1.3()31=--f x x x 的单调递减区间为2. 322()3=+++f x x ax bx a 在1=-x 时有极值0，则-=a b3. 3()1=--f x x ax 在(2,)-+∞上既有极大值又有极小值，则a 的取值范围是4. 3()3=-+f x x x a 有三个零点，则a 的取值范围二、问题分析问题13()31=-+f x ax x ，讨论()f x 的单调性，做出大致图像.32()0f x ax bx cx d a =+++>（）类似于二次函数的图像和性质表：232(0）=++>ax bx c a问题2、已知函数3()31=-+f x ax x 在(1,1)-单调递减，求实数a 的取值范围变式：已知函数3()31=-+f x ax x 单调递减区间为(1,1)-，求实数a 的取值范围问题3：已知函数3()31=-+f x ax x 在(1,2)上不单调，求实数a 的取值范围问题4：已知函数3()31=-+f x ax x 在[1,2]上存在单调增区间，求实数a 的取值范围问题5： 设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1 (x ∈R )，若对于x ∈[－1，1]，都有f (x )≥0，则实数a 的值为__________________三、小结反思通过本节课学习谈谈你的收获 032>-ac b 032≤-ac b图像()0f x =根的个数与x 轴的交点单调性极值。
追根溯源,引出活水——基于导数在三次函数极值问题中的运用
与极 小值 ．
析
本题 是课 本 教材 改 编 的基 础 性 试 题 ， 三次 函 数极 值 问题 的根 题 ， 利 用 导数 解 决 该 类 试 题
◇ 解 析 根 据 题 意 三 次 函 数厂 （ ｚ ） 的 图 象 经 过４ 个象
在 ２个 不 等 的零 点 之 间的等 价 关 系是 解 题 关键 之 处 ，
和 感 觉头疼 的方 面 ， 这 就 要 求 一 线数 学教 师在 平 时教
学 中应 该 注重 分类 讨论 思 想方 法 的渗透 ， 注 重 学 生能 力 的培 养． 总 而言 之 ， 导数 是处 理 三次 函数极 值 问题 的一把
１ ２ ａ － ４（ 口 ∈Ｒ） ， 若 － 厂 （ ｚ ） 在 ｚ — 。 处 取 得极 小 值 且满
三次 函数 极 值 问题 的“ 根源” 出发 ， 进 行 合 理 的 引 申与
拓展 ， 让 学生 创新 思 维 的“ 活水 ” 不断 涌 出．
∞ Ｊ ■ ０
例 １ 试求函数 厂 （ ｚ ） 一詈 。 一８ ｘ ＋６的极大值
Ｊ
变式３ 已知函数 － 厂 （ ｚ ） 一÷ｎ ＋寺口 ｚ － ２ ａ ｘ ＠
ｆ （ ） 一厂 （ 一２ ） 一 ； 一 ２时 （ ） ＝ ： ＝ ， （ ２ ） 一一 １ ４
．
或 ｚ 一１ ， 则
｛ ｆ 。 ’
解 得 厂 （ ｚ ） 一 。 ＋口 ＿ ｚ ＋ｂ ｘ＋ｎ 在 一１ 处 存在 极值 为 １ ０ ， 试求 ： ａ ＋ｂ的值．
限， 说 明三次 函 数不 能纯 粹 的 单 调 递增 或 者
是 常见 的解 题方 法 ． 由题 意 得 ｆ （ ） 一２ ｘ 。 一８ ＝０ ， 即
运用导数解决三次函数问题教学设计
课题：运用导数解决三次函数问题（教案）一．教学目标引导学生归纳反思运用导数工具研究三次函数的有关问题，进一步体会导数在研究函数性质中的重要作用。
二、教学重点：运用导数工具认识三次函数图像及与其有关的切线、极值等有关问题三、教学难点：灵活解决三次函数中含参数以及与坐标轴的交点问题。
课前准备：学生阅读教材并完成本节学案四、教学过程：引例1：画一画：如何画出下面函数函数的图像133123+--=x x x y 动画演示：（几何画板） （一）想一想:三次函数与其导函数图象之间的关系a>0 a<0 f′(x )= 3ax 2+ 2bx+c 判判别式△>0 △=0 △<0 △>0 △=0 △<0 图图象f (x )=ax 3+bx 2+cx +d单单调性图图象引例2：练一练：方程x 3－6x 2+9x －10=0的实根个数是（二）探一探：三次函数图像与x 轴交点有哪几种可能性？回顾三次函数的图像情况：结论：1. 三次函数没有极值或极大值小于零或极小值大于零时图像与x 轴交点只有一个；2. 三次函数极大值等于零或极小值等于零时图像与x 轴交点有二个；3. 三次函数极大值大于零且极小值小于零时图像与x 轴交点有三个.（三）与三次函数有关问题：例1：（2009北京文）设函数3()3(0)f x x ax b a =-+≠.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点))2(,2(f 处与直线8y =相切，求,a b 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间与极值点.【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．（Ⅰ）()'233f x x a =-,∵曲线()y f x =在点))2(,2(f 处与直线8y =相切，∴()()()'203404,24.86828f a a b a b f ⎧=-=⎧=⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=-+==⎪⎩⎪⎩⎩ （Ⅱ）∵()()()'230f x x aa =-≠, 当0a <时，()'0f x >，函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增，此时函数()f x 没有极值点.当0a >时，由()'0f x x =⇒=当(,x ∈-∞时，()'0f x >，函数()f x 单调递增，当(x ∈时，()'0f x <，函数()f x 单调递减，当)x ∈+∞时，()'0f x >，函数()f x 单调递增，∴此时x =()f x的极大值点，x =()f x 的极小值点.小结1：（1） 切线问题处理（2） 单调性、极值问题例2：设函数329()62f x x x x a =-+-,若方程 f (x )=0 有且仅有一个实根，求 a 取值范围． 解：'2()3963(1)(2)f x x x x x =-+=--, 因为 当1x <时, '()0f x >;当12x <<时, '()0f x <;当2x >时, '()0f x >; 所以 当1x =时,()f x 取极大值 5(1)2f a =-; 当2x =时,()f x 取极小值 (2)2f a =-;故当(2)0f > 或(1)0f <时, 方程()0f x =仅有一个实根. 解得 2a <或52a >. 变式：(1）若方程 f (x )=0 有三个不同的实根，求 a 的取值范围（2）若函数y=f (x )图象与直线y =4 有三个不同的实根，求 a 的取值范围（3）设函数 g (x )=2x+b-a .若f (x )、g (x )图像只有一 个公共点，求b 的取值范围.小结2：方程根的情况与相应函数图像与x 轴交点之间的关系。
用导数法解三次函数问题
导数法解“三次”函数问题新教材中导数内容的介入，为研究函数的性质提供了新的活力，通过求导可以研究函数的单调性和极值，其操作的步骤学生易掌握，判别的方法也不难。
特别地，当f(x)为三次函数时，通过求导得到的f /(x)为二次函数，且原函数的极值点就是二次函数的零点；同时利用导数的几何意义：曲线在某一点P （00,y x ）处的切线的斜率)(0/x f k =，可得到斜率 k 为关于0x 的二次函数。
根据这些特点，一般三次函数问题，往往可通过求导，转化为二次函数或二次方程问题，然后结合导数的基本知识及二次函数的性质来解决。
下面笔者从课堂或试卷上出现的这一类型题目中选择几例，同时结合学生产生的问题，略作说明。
例1：已知f(x)=d cx bx x +++23在（—∞，0）上是增函数，在[0，2]上是减函数，且方程f(x)=0有三个根，它们分别为α、2、β.（1） 求c 的值；（2） 求证：f(1)≥2（3） 求｜α-β｜的取值范围。
解：（1）,23)(2/c bx x x f ++=由题意可得：x=0为f(x)的极值点，∴0,0)0(/=∴=c f（2）令023)(2/=+=bx x x f ，得32,021b x x -== ∵f(x)在（—∞，0）上是增函数，在[0，2]上是减函数， ∴232≥-b ，即3-≤b 又∵b d d b f 48,048,0)2(--=∴=++∴=∴.2371)1(≥--=++=b d b f（3）∵方程f(x)=0有三个根α、2、β.∴设),)(2()(223n mx x x d cx bx x x f ++-=+++= 由待定系数法得2,2d n b m -=+= ∴α、β为方程02)2(2=-++d x b x 的两根， ∴ α+β=-（b+2），αβ=-d/2；∴｜α-β｜2=16)2(1242)2(222--=--=++b b b d b∵3-≤b ，∴｜α-β｜2≥9，∴｜α-β｜ ≥3一般地，若已知三次函数f(x)=)0(23>+++a d cx bx ax 在（—∞，m ）上是增函数，在[m ，n]上是减函数，在（n,+∞）上是增函数,则二次方程f /(x)=0即0232=++c bx ax 的两个根为m ，n ；且当),(),(+∞⋃-∞∈n m x 时f /(x)>0，当),(n m x ∈时f /(x)<0，反之亦然。
三次函数及高次函数的性质
三次函数及高次函数的性质三次函数是指具有三次方程式的函数表达式，形式通常为 f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d，其中 a、b、c、d 是常数。
三次函数常见的性质包括零点的个数、导数的凸凹性、拐点的存在等。
除此之外，高次函数还包括四次函数、五次函数等更高次数的函数，它们也具有类似的性质。
1. 零点的个数：三次函数的特点之一是它至少有一个零点。
由于三次方程式的根为实数、复数或重数根，所以三次函数的图像通常会与 x 轴交于一个或多个点。
根据三次函数的系数，我们可以通过解方程或借助综合定理来确定零点个数和位置。
2. 导数的凸凹性：导数反映了函数在不同点处的斜率变化情况。
对于三次函数，它的导数是一个二次函数。
根据导数的正负性，我们可以判断三次函数在不同区间的凸凹性。
具体来说，当导数大于零时，函数在该区间上是上凸的；当导数小于零时，函数在该区间上是下凸的。
通过凸凹性判断，我们可以进一步分析函数的极值点、最值等。
3. 拐点的存在：拐点是函数图像在某一点处由凹转凸（或由凸转凹）的点。
对于三次函数，它的二阶导数是一个一次函数。
通过二阶导数的正负性，我们可以确定三次函数的拐点存在和位置。
对于高次函数，它们的性质与三次函数类似，但随着函数次数的增加，性质会变得更加复杂。
高次函数可能有多个拐点、多个零点，导数的次数也会增加，进而影响到函数的凸凹性。
因此，研究高次函数的性质时，我们需要更深入地分析导数和二阶导数的特征，判断函数的局部变化情况。
总结而言，三次函数及高次函数具有独特的性质，包括零点的个数、导数的凸凹性、拐点的存在等。
掌握这些性质有助于我们更深入地理解函数的变化规律，并在实际问题中应用函数来描述和解决。
因此，在学习数学和应用数学领域时，我们需要充分掌握和理解三次函数及高次函数的性质。
三次函数的导数问题
三次函数的导数问题在微积分学中，导数被用于研究函数的变化率。
在下面的文章中，我们将研究三次函数的导数问题。
三次函数的定义三次函数是指具有一次、二次和三次项的函数，可以表示为：f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d其中a、b、c和d是常数。
三次函数的图像通常是一个“S”形的曲线，其形状取决于函数的系数。
具体来说，当a>0时，曲线呈现“下凸”，当a<0时，曲线则呈现“上凸”。
三次函数的导数三次函数的导数通常表示为f'(x)，它是指在某个点x处的切线斜率，也是函数在该点处的变化率。
为了求出三次函数的导数，我们可以使用微积分理论中的求导法则。
具体来说，我们需要求出三次函数的每一项的导数，然后将它们相加。
因此，三次函数的导数可以表示为：f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c其中3a、2b和c是三次函数的一次导数项的系数。
三次函数的导数图像三次函数的导数图像通常是一个二次函数，并且其形状与三次函数本身的形状有很大的关系。
当三次函数的a>0时，它的导数图像呈现“上凸”的U形；当a<0时，导数图像则呈现“下凸”的n形。
如果三次函数有其导数为0的点，则该点是函数的临界点，也是函数的最值点之一。
应用三次函数的导数在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在物理学中，三次函数可以用来描述物体的加速度变化；在经济学中，三次函数可以用来描述收入和消费之间的关系；在工程学中，三次函数可以用来描述材料的强度和韧性之间的关系等等。
结论通过本文，我们学习了三次函数的导数问题。
我们发现，三次函数的导数是函数变化率的表示，它可以帮助我们更好地理解和使用这些函数。
同时，我们也了解到了三次函数和导数图像的形状及其应用。
三次函数的图像和性质
导数是新课标下高考的必考内容之一，利用导数研究函数的 性质，主要是利用导数求函数的单调区间、极值和最值等，这 些年来也是高考的重点.考纲的主要要求有：(1)导数的概念及其 意义；(2)导数的运算；(3)导数在研究函数中的应用.其中第（3） 点有两个小点：①了解函数单调性和导数的关系；能利用导数 研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般 不超过三次).②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件； 会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过 三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一 般不超过三次).括号中的内容：其中多项式函数一般不超过三次. 这提示着我们，如果考与多项式有关的导数问题，多项式函数 中一元三次函数是重点.从近几年各地的高考题来看这一点也是 值得肯定的，特别是文科的高考题.基于导数高考大纲多项式函 数中一元三次函数的重要地位，因此我们有必要着重于对一元 三次函数的图象进行深入的研究，其目的在于通过研究函数
y
f ( x)
y
f / ( x)
o
x
图1
o
图1中函数f ( x)在x R
x
y
严格递增,没有极值点;
y
f ( x)
f / ( x)
图2中函数f ( x)在x R 严格递增,有一拐点x0 ;
o x0 x
图2
o
y
x1
图3
x0
x
y
x1o x2
f ( x)
f / ( x) 图3中函数f ( x)有两个
f ( x) x 3x.
3
4.已知f ( x) ax3 bx 2 3x在x 1处取得极值. (1)求函数f ( x)的解析式. 求实数m的取值范围.
谈谈导数在解决三次函数问题中的应用
从而知不等式 (1) 成立 . 由(4)、 (5)及排序不等式原理, 得 A A B cos sin sin ∑ 2 2 2 A B C ≤∑ cos sin sin . 2 2 2 A A 由 2cos sin = sin A , 得 2 2 B sin Asin ∑ 2 A B C ≤2∑ cos sin sin . 2 2 2 A B C 而 2∑ cos sin sin 2 2 2
3ax +2bx +c = 0 无解,故函数 f ( x) 没有极值点. 1.3 一元三次函数的单调性 当 a > 0, Δ= 4( b2 3ac ) > 0 时 , 由 导函 数 f '( x) = 3ax2 + 2bx + c 的图象可知 ,在区间 ( ∞ , 17
x1 ) 和 区 间 ( x2 , +∞ ) 上 f '( x) > 0 , 故 函数 y = f ( x) 在区间 ( ∞ , x1 ) 和区间 ( x2 , +∞ ) 上单调 递增 ; 在区间 ( x1 , x2 ) 上 f '( x) < 0 , 故函数 y = f ( x) 在区间 ( x1 , x2 ) 上单调递减 . 同理可得到如下结论: 当 a < 0, Δ= 4(b 2 3ac ) > 0 时 , 函数 y = f ( x) 在区间 ( ∞ ,x ) 上单调递 1 ) 和区间 ( x 2 , +∞ 减, 在区间 ( x1 , x2 ) 上单调递增; 当 a > 0, Δ= 4(b 2 3ac ) ≤ 0 时 , 函数 y = f ( x) 在 R 上单调递增 ; 当 a < 0, Δ= 4(b 2 3ac ) ≤ 0 时 , 函数 y = f ( x) 在 R 上单调递减 . 1.4 一元三次函数的最值 (1)当 a > 0, Δ> 0 时, 一元三次函数 f ( x) = 3 ax + bx2 + cx + d ( a ≠ 0) 在闭区间 [αβ , ] ( α≤ x1 < x2 ≤ β)上的最大值为{ f (α), f ( x1), f (β )}max , 最小值为 { f (α ), f ( x2 ), f ( β )}min ; (2)当 a < 0, Δ> 0 时, 一元三次函数 f ( x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) 在闭区间 [α ,β ] (α ≤ x1 < x2 ≤β ) 上 的 最 大 值 为 { f (α ), f ( x2 ), f (β )}max , 最小值为 { f (α ), f ( x1 ), f (β )}min ; (3)当 a > 0, Δ≤ 0 时, 一元三次函数 f ( x) 3 2 = ax + bx + cx + d (a ≠ 0) 在闭 区间 [α ,β ]上 的最大值为 f ( β ) , 最小值为 f (α ); (4)当 a < 0, Δ≤ 0 时, 一元三次函数 f ( x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) 在 闭区 间 [α ,β ]上 的最大值为 f (α ) , 最小值为 f ( β ). 2 一元三次函数问题归类解析 2.1 根据三次函数的解析式研究其性质 此类问题多在客观题中出现 , 主要考查学 生应用导数的知识解决三次函数在某点处的 切线方程, 单调区间,极值、最值等问题的能力. 例 1 (2004 年重庆文科 )已知曲线 y = x3 / 3 + 4/3, 则过点 P (2,4) 的切线方程是 _____. 点评 此题要先判断点 P(2,4)在曲线上. 例 2 (2005 年广东卷理科第 19 题 )函数 f ( x) = x3 3x2 +1 是减函数的区间为 ( ). (A) (2, +∞ ) (B) ( ∞ , 2) (C) ( ∞ ,0) (D) (0, 2) 18
2.8数学探究活动(二)探究三次函数性质课件高二下学期数学北师大版选择性
必修第二册
三次函数y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)是高中阶段一种重要的函数,同时又是高考
的重点内容.三次函数的性质存在一定的规律性,下面用导数工具探求其图
象及性质.
一、三次函数图象和性质
三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),导数f'(x)=3ax2+2bx+c(a≠0),
数知识的关系,使学生既学到了新知识,又巩固了旧知识,为更有效解决三
次函数的极值、某一区间的单调性、证明不等式等问题找到较好的解决
办法.
3.上述例题均以三次函数为背景,主要考查导数在研究函数的单调性、极
值、最值中的应用,意在考查考生运用数形结合思想、分类讨论思想解决
问题的能力.
∴m的取值范围是[-22,+∞).
规律方法
1.要学会用导数方法解决三次函数单调性与极值问题中四类
题型:(1)已知函数解析式求单调性问题;(2)已知函数解析式求极值问题;(3)
已知含参数的函数解析式的极值问题求参数;(4)已知含参数的函数解析式
的单调性问题求参数.
2.通过上述例题研究了三次(高次)函数的性质,同时验证了高ax2-(a2-4),
∵当x=1时,函数f(x)有极大值,∴f'(1)=3a-(a2-4)=0,解得a=4,或a=-1.
若a=4,f'(x)=12x2-12=12(x+1)(x-1),
可得当-1<x<1时,f'(x)<0,此时函数f(x)单调递减;当x>1时,f'(x)>0,此时函数
2
-∞,- 3
2
三次函数的性质及导函数研究函数的应用
专题一：三次函数的中心、单调性、极值、零点和恒成立问题前言：研究三次函数的性质，实质上是研究导函数对应的二次函数的性质。
一、三次多项式函数的中心理论：①若))(,(00x f x 是三次函数的中心，则0)(0//=x f 且0212x x x =+时，有)(2)()(021x f x f x f =+。
②若三次函数)(),(x f x g 的中心分别是))(,()),(,(0000x f x x g x ，则)()(x f x g y +=的中心为))()(,(000x g x f x +。
例1：（1）若()323f x x x =-，则1220122012f f ⎛⎫⎛⎫++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4022...2012f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭40232012f ⎛⎫+=⎪⎝⎭A -8046B -4023C -2013D -2012（2）若321151()3132122g x x x x x =-+-+-，则12342010()()()()()20112011201120112011g g g g g +++++= （A ）2010 （B ）2011 （C ）2012 （D ）2013 二、三次函数的极值理论：函数有极值⇔函数不单调⇔导函数二次函数的0>∆； 函数无极值⇔函数单调⇔导函数二次函数的0≤∆。
例2：（1）若a ＞0，b ＞0，且函数224)(23+--=bx ax x x f 在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于 【 】 A ．2 B ．3 C ．6 D ．9（2）已知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋cx ＋d 有极值，则c 的取值范围为 【 】A ．c ＜14B ． c ≤14C ．c ≥14D ．c ＞14（3）133)(23++-=x ax x x f 。
（i ）2=a 时，求)(x f 的单调区间；（ii ）若)(x f 在)3,2(中至少有一个极值点，求a 的范围。
人教版高考总复习一轮数学精品课件 第四章 一元函数的导数及其应用-第四节 三次函数的图象与性质
[, ]上恒成立，可得 ≤ + ， + ≥ ⋅ = ，当且仅当 = 时取等号，可
得 ≤ .故选D.
2
3
（2）已知函数 = 3 + 2 + + 在 = − 与 = 1处都取得极值.
①求,的值与函数 的单调区间；
解 = 3 + 2 + + ，′ = 3 2 + 2 + ，由
−
−
> ,
−
< ,
即
−
−
−
−
+ > ,
解得 < −.故选B.
−
−
+
+ < ,
（2）(2023扬州校考)设为实数，函数 = − 3 + 3 + .
①求 的极值.
解 ′ = −3 2 + 3，令′ = 0，得 = −1或 = 1.当 ∈ −∞, −1 时，′ < 0；
− ,
3
−
3
和极小值点三等分，类似地，对极小值也有类似结论.
自测诊断
1.已知三次函数 =
1 3
3
− 4 − 1 2 + 152 − 2 − 7 + 2在上是增函数，
则实数的取值范围是() D
A. < 2或 > 4B.−4 < < −2C.2 < < 4D.2 ≤ ≤ 4
为
1 ，2
1 ，2
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f '(x)
f '(x)
f '(x)
o
x
3k 0 0
k 1
o
不符合题意
k 1
导数在三次函数中的运用
例3 函数 f (x) kx3 3x2 3x 1(k 0) 在R上是增函数,
求实数k的取值范围.
分析 f (x) 3kx2 6x 3
Q k 0, f (x)图象是一条过定点(0,3)的抛物线
极值 点个
数
单 调 性
a>0
Δ>0
Δ≤0
a<0
Δ>0
Δ≤0
2
0
2
0
在(, x1),(x2, )上
在(, x1),(x2, )上
是增函数;
在R上是 是减函数;
在R上是
在 (x1, x2)上是减 增函数 在 (x1, x2)上是增 减函数
函数
函数
三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)
其导数为f´(x)=3ax2+2bx+c(a≠0)
分析 (1) f (x) 3x2 3， 令 f (x) 0,得x=±1. f(x)随x变化：
(2)f(0)=0,f(3)=18, 则f(x)min=-2，f(x)max=18
导数在三次函数中的运用
例1 已知函数 f (x) x3 3x, x R
变式一二 若关于xx的的不方等程式f f(x(x) )ak有在3[个0互,3不]上相恒等成的立实，
根，求求实实数数ak的取值范围。
分析 (1) f (x) 3x2 3， 令 f (x) 0,得x=±1. f(x)随x变化：
(2)f(0)=0,f(3)=18, 则f(x)min=-2，f(x)max=18
例题2、函数y＝f(x）=x3+ax2+bx+a2在x=1时, 有极值10, 那么a,b的值为 .
对 x 1,1 恒成立，解之得： 1≤ a ≤1 所以实数 a 的取值范围为1,1 ．
说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的 题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递 增，则 f (x) ≥ 0 ；若函数单调递减，则 f (x) ≤ 0 ”来求 解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．
三次函数f(x)在R上是增函数 a>0,且Δ ≤ 0; 三次函数f(x)在R上是减函数 a<0,且Δ≤0.
例 4 、 已 知 函 数 f ( x) 4x ax2 2 x3 ( x R) 在 区 间 3
1,1 上是增函数，求实数 a 的取值范围．
解： f (x) 4 2ax 2x2 ，因为 f x 在区间1,1 上是增 函数，所以 f (x) ≥ 0 对 x 1,1 恒成立，即 x2 ax 2 ≤ 0
f '(x)
f '(x)
f '(x)
o
x
o
x
o
x
结论2
三次函数 f (x) 在Ｒ上是增函数(或减函数)
f (x) 0(或f (x) 0)
导数在三次函数中的运用
结论2 三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d(a 0)
其中f (x) 3ax2 2bx c, f (x) 0的判别式为 4b2 12ac
单调性与极值点个数. f (x) 3ax2 2bx c, f (x) 0的判别式为 若a>0, f (x)图象是一条开口向上的抛物线
f '(x)
o x1
x2 x
导数在三次函数中的运用
结论1 三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d (a 0) f (x) 3ax2 2bx c, f (x) 0的判别式为 其中x1, x2(设x1 x2 )是方程f (x) 0的根.
导函数的判别式为△=4b2-12ac △≤0
a>0
a<0
a>0
△>0 a<0
x1 x2
x1 x2
导数在三次函数中的运用
例1 已知函数 f (x) x3 3x, x R
(1)求函数 f (x)的单调区间； (2)求 f (x)在x[0,3]上的最值； (3)在点A(2,2)处作曲线y=f(x)的切线,求切线方程。
∴当 x=-1 时， f ( x) 取得极大值为 4 ；
当 x 1 时， f ( x) 取得极小值为 112 .
3
27
已知函数 f (x) x3 2x2 x 4，g(x) ax2 x 8 .
⑴求函数 f ( x) 的极值；
⑵若对任意的 x 0， 都有 f(x)≥g(x)，求实数 a 的取值范围.
⑵设 F ( x) f ( x) g( x) x3 (2 a)x2 4
Q F ( x)≥ 0在0， 恒成立 F ( x)min ≥ 0，x 0，
若 2 a 0，显然F(x)min 4 0 ;若 2a0，F(x)3x2 (42a)x
令F ( x) 0，解得x 0，x 2a 4 3
对吗？
我来画图 看看
解：
a b
411或ab
3 .
3
反思:极值存在的条件是什么呢？
导数在三次函数中的运用
例3 函数 f (x) kx3 3x2 3x 1(k 0) 在R上是增函数,
求实数k的取值范围.
分析 f (x) 3kx2 6x 3
Q k 0, f (x)图象是一条过定点(0,3)的抛物线
当 0 x 2a 4 时, F ( x) 0; 当 x 2a 4 时, F ( x) 0;
3
3
∴当 x 0， 时, F(x)min F2a34≥0即2a343(a2)2a3424≥0
例题 5、已知函数 f (x) x3 2x2 x 4，g(x) ax2 x 8 . ⑴求函数 f ( x) 的极值；
⑵解若:⑴对任f 意(x的) x3x20，4x都1有令ff((xx))≥g0(x解)，得求x实1 数 a1或的x取2 值范13 围.
当 x 变化时， f ( x)、f ( x) 的变化情况如下：
导数在三次函数中的运用 很重要哦！
复习回顾
函数 y f (x) 的图象如图所示,则f′(x)
的图象最有可能是
y
Y
Y
O
A
XO
B
0
x
Y
Y
XO
XO
X
C
D
复习回顾
函数 y=f′(x ) 的图象如图所示,则 y f (x)
的图象最有可能是
y
0
x
x x1 x2
A
x x0
B
x x1 x2
C
x x0
D
导数在三次函数中的运用 探究 三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d(a 0)在R上的