导数在三次函数中的运用
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⑵设 F ( x) f ( x) g( x) x3 (2 a)x2 4
Q F ( x)≥ 0在0， 恒成立 F ( x)min ≥ 0，x 0，
若 2 a 0，显然F(x)min 4 0 ;若 2a0，F(x)3x2 (42a)x
令F ( x) 0，解得x 0，x 2a 4 3
三次函数f(x)在R上是增函数 a>0,且Δ ≤ 0; 三次函数f(x)在R上是减函数 a<0,且Δ≤0.
例 4 、 已 知 函 数 f ( x) 4x ax2 2 x3 ( x R) 在 区 间 3
1,1 上是增函数，求实数 a 的取值范围．
解： f (x) 4 2ax 2x2 ，因为 f x 在区间1,1 上是增 函数，所以 f (x) ≥ 0 对 x 1,1 恒成立，即 x2 ax 2 ≤ 0
∴当 x=-1 时， f ( x) 取得极大值为 4 ；
当 x 1 时， f ( x) 取得极小值为 112 .
3
27
已知函数 f (x) x3 2x2 x 4，g(x) ax2 x 8 .
⑴求函数 f ( x) 的极值；
⑵若对任意的 x 0， 都有 f(x)≥g(x)，求实数 a 的取值范围.
f '(x)
f '(x)
f '(x)
o
x
3k 0 0
k 1
o
x
o
x
3k 0 0
不符合题意
k 1
导数在三次函数中的运用
例3 函数 f (x) kx3 3x2 3x 1(k 0) 在R上是增函数,
求实数k的取值范围.
分析 f (x) 3kx2 6x 3
Q k 0, f (x)图象是一条过定点(0,3)的抛物线
极值 点个
数
单 调 性
a>0
Δ>0
Δ≤0
a<0
Δ>0
Δ≤0
2
0
2
0
在(, x1),(x2, )上
在(, x1),(x2, )上
是增函数;
在R上是 是减函数;
在R上是
在 (x1, x2)上是减 增函数 在 (x1, x2)上是增 减函数
函数
函数
三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)
其导数为f´(x)=3ax2+2bx+c(a≠0)
根，求求实实数数ak的取值范围。
分析 (1) f (x) 3x2 3， 令 f (x) 0,得x=±1. f(x)随x变化：
(2)f(0)=0,f(3)=18, 则f(x)min=-2，f(x)max=18
例题2、函数y＝f(x）=x3+ax2+bx+a2在x=1时, 有极值10, 那么a,b的值为 .
导数在三次函数中的运用 很重要哦！
复习回顾
函数 y f (x) 的图象如图所示,则f′(x)
的图象最有可能是
y
Y
Y
O
A
XO
B
0
x
Y
Y
XO
XO
X
C
D
复习回顾
函数 y=f′(x ) 的图象如图所示,则 y f (x)
的图象最有可能是
y
0
x
x x1 x2
A
x x0
B
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x x1 x2
C
x x0
D
导数在三次函数中的运用 探究 三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d(a 0)在R上的
导函数的判别式为△=4b2-12ac △≤0
a>0
a<0
a>0
△>0 a<0
x1 x2
x1 x2
导数在三次函数中的运用
例1 已知函数 f (x) x3 3x, x R
(1)求函数 f (x)的单调区间； (2)求 f (x)在x[0,3]上的最值； (3)在点A(2,2)处作曲线y=f(x)的切线,求切线方程。
当 0 x 2a 4 时, F ( x) 0; 当 x 2a 4 时, F ( x) 0;
3
3
∴当 x 0， 时, F(x)min F2a34≥0即2a343(a2)2a3424≥0
对 x 1,1 恒成立，解之得： 1≤ a ≤1 所以实数 a 的取值范围为1,1 ．
说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的 题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递 增，则 f (x) ≥ 0 ；若函数单调递减，则 f (x) ≤ 0 ”来求 解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．
单调性与极值点个数. f (x) 3ax2 2bx c, f (x) 0的判别式为 若a>0, f (x)图象是一条开口向上的抛物线
f '(x)
o x1
x2 x
导数在三次函数中的运用
结论1 三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d (a 0) f (x) 3ax2 2bx c, f (x) 0的判别式为 其中x1, x2(设x1 x2 )是方程f (x) 0的根.
f '(x)
f '(x)
f '(x)
o
x
o
x
o
x
结论2
三次函数 f (x) 在Ｒ上是增函数(或减函数)
f (x) 0(或f (x) 0)
导数在三次函数中的运用
结论2 三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d(a 0)
其中f (x) 3ax2 2bx c, f (x) 0的判别式为 4b2 12ac
对吗？
我来画图 看看
解：
a b
411或ab
3 .
3
反思:极值存在的条件是什么呢？
导数在三次函数中的运用
例3 函数 f (x) kx3 3x2 3x 1(k 0) 在R上是增函数,
求实数k的取值范围.
分析 f (x) 3kx2 6x 3
Q k 0, f (x)图象是一条过定点(0,3)的抛物线
例题 5、已知函数 f (x) x3 2x2 x 4，g(x) ax2 x 8 . ⑴求函数 f ( x) 的极值；
⑵解若:⑴对任f 意(x的) x3x20，4x都1有令ff((xx))≥g0(x解)，得求x实1 数 a1或的x取2 值范13 围.
当 x 变化时， f ( x)、f ( x) 的变化情况如下：
分析 (1) f (x) 3x2 3， 令 f (x) 0,得x=±1. f(x)随x变化：
(2)f(0)=0,f(3)=18, 则f(x)min=-2，f(x)max=18
导数在三次函数中的运用
例1 已知函数 f (x) x3 3x, x R
变式一二 若关于xx的的不方等程式f f(x(x) )ak有在3[个0互,3不]上相恒等成的立实，
Q F ( x)≥ 0在0， 恒成立 F ( x)min ≥ 0，x 0，
若 2 a 0，显然F(x)min 4 0 ;若 2a0，F(x)3x2 (42a)x
令F ( x) 0，解得x 0，x 2a 4 3
三次函数f(x)在R上是增函数 a>0,且Δ ≤ 0; 三次函数f(x)在R上是减函数 a<0,且Δ≤0.
例 4 、 已 知 函 数 f ( x) 4x ax2 2 x3 ( x R) 在 区 间 3
1,1 上是增函数，求实数 a 的取值范围．
解： f (x) 4 2ax 2x2 ，因为 f x 在区间1,1 上是增 函数，所以 f (x) ≥ 0 对 x 1,1 恒成立，即 x2 ax 2 ≤ 0
∴当 x=-1 时， f ( x) 取得极大值为 4 ；
当 x 1 时， f ( x) 取得极小值为 112 .
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已知函数 f (x) x3 2x2 x 4，g(x) ax2 x 8 .
⑴求函数 f ( x) 的极值；
⑵若对任意的 x 0， 都有 f(x)≥g(x)，求实数 a 的取值范围.
f '(x)
f '(x)
f '(x)
o
x
3k 0 0
k 1
o
x
o
x
3k 0 0
不符合题意
k 1
导数在三次函数中的运用
例3 函数 f (x) kx3 3x2 3x 1(k 0) 在R上是增函数,
求实数k的取值范围.
分析 f (x) 3kx2 6x 3
Q k 0, f (x)图象是一条过定点(0,3)的抛物线
极值 点个
数
单 调 性
a>0
Δ>0
Δ≤0
a<0
Δ>0
Δ≤0
2
0
2
0
在(, x1),(x2, )上
在(, x1),(x2, )上
是增函数;
在R上是 是减函数;
在R上是
在 (x1, x2)上是减 增函数 在 (x1, x2)上是增 减函数
函数
函数
三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)
其导数为f´(x)=3ax2+2bx+c(a≠0)
根，求求实实数数ak的取值范围。
分析 (1) f (x) 3x2 3， 令 f (x) 0,得x=±1. f(x)随x变化：
(2)f(0)=0,f(3)=18, 则f(x)min=-2，f(x)max=18
例题2、函数y＝f(x）=x3+ax2+bx+a2在x=1时, 有极值10, 那么a,b的值为 .
导数在三次函数中的运用 很重要哦！
复习回顾
函数 y f (x) 的图象如图所示,则f′(x)
的图象最有可能是
y
Y
Y
O
A
XO
B
0
x
Y
Y
XO
XO
X
C
D
复习回顾
函数 y=f′(x ) 的图象如图所示,则 y f (x)
的图象最有可能是
y
0
x
x x1 x2
A
x x0
B
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x x1 x2
C
x x0
D
导数在三次函数中的运用 探究 三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d(a 0)在R上的
导函数的判别式为△=4b2-12ac △≤0
a>0
a<0
a>0
△>0 a<0
x1 x2
x1 x2
导数在三次函数中的运用
例1 已知函数 f (x) x3 3x, x R
(1)求函数 f (x)的单调区间； (2)求 f (x)在x[0,3]上的最值； (3)在点A(2,2)处作曲线y=f(x)的切线,求切线方程。
当 0 x 2a 4 时, F ( x) 0; 当 x 2a 4 时, F ( x) 0;
3
3
∴当 x 0， 时, F(x)min F2a34≥0即2a343(a2)2a3424≥0
对 x 1,1 恒成立，解之得： 1≤ a ≤1 所以实数 a 的取值范围为1,1 ．
说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的 题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递 增，则 f (x) ≥ 0 ；若函数单调递减，则 f (x) ≤ 0 ”来求 解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．
单调性与极值点个数. f (x) 3ax2 2bx c, f (x) 0的判别式为 若a>0, f (x)图象是一条开口向上的抛物线
f '(x)
o x1
x2 x
导数在三次函数中的运用
结论1 三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d (a 0) f (x) 3ax2 2bx c, f (x) 0的判别式为 其中x1, x2(设x1 x2 )是方程f (x) 0的根.
f '(x)
f '(x)
f '(x)
o
x
o
x
o
x
结论2
三次函数 f (x) 在Ｒ上是增函数(或减函数)
f (x) 0(或f (x) 0)
导数在三次函数中的运用
结论2 三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d(a 0)
其中f (x) 3ax2 2bx c, f (x) 0的判别式为 4b2 12ac
对吗？
我来画图 看看
解：
a b
411或ab
3 .
3
反思:极值存在的条件是什么呢？
导数在三次函数中的运用
例3 函数 f (x) kx3 3x2 3x 1(k 0) 在R上是增函数,
求实数k的取值范围.
分析 f (x) 3kx2 6x 3
Q k 0, f (x)图象是一条过定点(0,3)的抛物线
例题 5、已知函数 f (x) x3 2x2 x 4，g(x) ax2 x 8 . ⑴求函数 f ( x) 的极值；
⑵解若:⑴对任f 意(x的) x3x20，4x都1有令ff((xx))≥g0(x解)，得求x实1 数 a1或的x取2 值范13 围.
当 x 变化时， f ( x)、f ( x) 的变化情况如下：
分析 (1) f (x) 3x2 3， 令 f (x) 0,得x=±1. f(x)随x变化：
(2)f(0)=0,f(3)=18, 则f(x)min=-2，f(x)max=18
导数在三次函数中的运用
例1 已知函数 f (x) x3 3x, x R
变式一二 若关于xx的的不方等程式f f(x(x) )ak有在3[个0互,3不]上相恒等成的立实，