第七讲计算机辅助几何设计

• 曲面上任一点的坐标均表示成给定参数u和w的函数。
P(t )=[x (u，w ), y (u，w ) , z (u，w )]
第七讲 计算机辅助几何设计
基本知识
二、参数曲线曲面基本知识（续）
– 参数表示
• 端点为P0、P1的直线段参数方程可表示为： P(t)=P0+(P1-P0)t t∈[0, 1];
– 参数曲线的代数和几何形式
• 几何形式（续）
令:
第七讲 计算机辅助几何设计
参数曲线
三、参数曲线
– 参数曲线的代数和几何形式
• 几何形式（续）
对于 令: T t 3 t 2 t 1 则:
P TA


A a3 a2 a 1
T
第七讲 计算机辅助几何设计
参数曲线
三、参数曲线
– 参数曲线的代数和几何形式
F t3 t2

记为: 所以:
F TM P TMB
第七讲 计算机辅助几何设计
参数曲线
三、参数曲线
– 四点式曲线
已知四点:
P 1 P 2 P 3 P 4
u1 u2 u3 u4
求: 过四点曲线的几何和代数形式 解: 令
K P P3 P4 1 P 2
P UMB
T
u P P P2u 1 P 4 1
T B
因为
P1
所以
P2 P 3 P 4
T u1
T
u2 u3 u4
1
T MB
T
B M 1 u1 u2 u3 u4 K M 1 u1 u 2 u3 u 4
T
1
P P2 P3 P4 1
第七讲 计算机辅助几何设计
参数曲线
三、参数曲线
– 四点式曲线
K M
1

u1 u 2
u3 u 4
1 1 0 0

T 1
2 2 1 3 3 2 M 0 0 1 0 0 1
几何表达式Baidu NhomakorabeaP UMB UMKP 代数表达式
P P P 1 2
第七讲 计算机辅助几何设计 主要内容
一、参数曲线曲面概述 二、参数曲线曲面基本知识
三、参数曲线
四、参数曲面 五、CATIA曲线曲面造型技术
第七讲 计算机辅助几何设计
概述
一、参数曲线曲面概述
– 如何表示象飞机、汽车、轮船等具有复杂外形 产品的表面是工程中必须解决的问题？ – 1963年美国波音（Boeing）飞机公司的佛格森 （Ferguson）最早引入参数三次曲线，将曲线 曲面表示成参数矢量函数形式。
第七讲 计算机辅助几何设计
概述
一、参数曲线曲面概述（续）
– 1964年，美国麻省理工学院（MIT）的孔斯（ Coons）用封闭曲线的四条边界定义一张曲面。 – 1964年，舍恩伯格（Schoenberg）提出了参数样 条曲线、曲面的形式。 – 1971年，法国雷诺（Renault）汽车公司的贝塞尔 （Bezier）发表了一种用控制多边形定义曲线和 曲面的方法。
• 几何形式（续）
对于 令: F F0 F1 G0 G1 则:
P FB

t t B P0 P P P 1 0 1

T
第七讲 计算机辅助几何设计
参数曲线
三、参数曲线
– 参数曲线的代数和几何形式
• 几何形式（续）
由 得:
2 3 t 1 0 1 2 3 0 0 1 2 1 0 1 1 0 0
二、参数曲线曲面基本知识（续）
– 隐式表示
一般形式是：f (x，y) =0。 说明：隐式表示的优点是易于判断函数f(x,y)是否大 于、小于或等于零，也就易于判断点是落在所表示曲 线上或在曲线的哪一侧。
– 显式表示和隐式表示为非参数化表示形式。
第七讲 计算机辅助几何设计
基本知识
二、参数曲线曲面基本知识（续）
第七讲 计算机辅助几何设计
基本知识
二、参数曲线曲面基本知识
– 曲线、曲面可以用显式、隐式和参数表示。 – 显式表示
一般形式是：y=f (x)。 说明：在此方程中，一个x 值与一个y 值对应，所以 显式方程不能表示封闭或多值曲线，例如，不能用显 式方程表示一个圆。
第七讲 计算机辅助几何设计
基本知识
– 非参数表示形式的缺点
• 与坐标轴相关； • 会出现斜率为无穷大的情形（如垂线）； • 不便于计算机编程。
第七讲 计算机辅助几何设计
基本知识
二、参数曲线曲面基本知识（续）
– 参数表示
• 曲线上任一点的坐标均表示成给定参数 t 的函数。 P(t )=[x (t ), y (t ) , z (t )]
第七讲 计算机辅助几何设计
概述
一、参数曲线曲面概述（续）
– 1974年，美国通用汽车公司的戈登（Gorden） 和里森费尔德（Riesenfeld）提出了B样条曲线 和曲面。 – 1975年，美国锡拉丘兹（Syracuse）大学的佛斯 普里尔（Versprill）提出了有理B样条方法。 – 80年代后期皮格尔（Piegl）和蒂勒（Tiller）将有 理B样条发展成非均匀有理B样条方法，并已成为 当前自由曲线和曲面描述的最广为流行的技术。
• 拟合
插值和逼近则统称为拟合。
第七讲 计算机辅助几何设计
参数曲线
三、参数曲线
– 参数曲线的代数和几何形式
以三次参数曲线为例，讨论参数曲线的代数和几何形式。
• 代数形式
第七讲 计算机辅助几何设计
参数曲线
三、参数曲线
– 参数曲线的代数和几何形式
• 几何形式
第七讲 计算机辅助几何设计
参数曲线
三、参数曲线
P1 t = t1 P0 t = t0
第七讲 计算机辅助几何设计
基本知识
二、参数曲线曲面基本知识（续）
– 参数表示优越性
• • • • • 与坐标系无关； ！这里教材中有错 有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状； 便于处理斜率为无穷大的情形，不会因此而中断计算； 坐标点各分量的表示是分离的； 规格化的参数变量t∈[0,1]，使得界定曲线、曲面的范围 十分简单； • 易于用矢量和矩阵运算，从而大大简化了计算。
第七讲 计算机辅助几何设计
基本知识
二、参数曲线曲面基本知识（续）
– 构造曲线曲面的方法 • 插值
给定一组有序的数据点Pi，i=0, 1, …, n，构造 一条曲线顺序通过这些数据点，称为对这些数据 点进行插值，所构造的曲线称为插值曲线。
• 逼近
构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定 的数据点，称为对这些数据点进行逼近，所构 造的曲线为逼近曲线。