利用马尔柯夫链对天津市恩格尔系数的实证分析

利用马尔柯夫链对天津市恩格尔系数的实证分析

把天津市恩格尔系数的变化过程看成是一个马尔可夫链，并针对恩格尔系数的特点引入恩格尔系数增减率，建立天津市恩格尔系数变化对马尔可夫链模型，并进行预测分析，以供有关方面参考。

标签：马尔柯夫链天津市恩格尔系数

1 分析背景

恩格尔系数是从一个方面反映一个国家或地区消费结构状况，衡量居民生活水平高低，且被世界各国广泛采用的消费结构指标。联合国粮农组织(FAO)根据各国的消费习惯，利用恩格尔系数对一个国家或地区的居民生活质量提出了一个相对标准，即60%以上为绝对贫困，50%-60%为勉强度日，40%-50%为小康，30%-40%为富裕，30%以下为最富裕。联合国粮农组织的这一举措，使恩格尔系数成为评价国家或地区生活水平高低的重要标准之一，恩格尔系数和恩格尔定律得到了广泛的认同。

中国从改革开放以来，随着经济发展，居民收入差距扩大，消费档次逐步拉开，引起人们对恩格尔系数普遍关注。另外，中国宣布“总体达到小康”，其衡量标准之一就是恩格尔系数。我国劳动和社会保障部确定最低工资标准的方法之一就是恩格尔系数法。因此研究恩格尔系数具有和重要的现实意义。

2 马尔可夫链

马尔可夫链的数学定义为：设随机过程的状态空间S为R中的可列集。如果对T中任意n个参数t1＜t2＜…tn，以及使

成立的S中任意状态i1，…in-1与in均有则称为马尔可夫链。设I为离散的马尔可夫链的状态空间。称条件概率

，为的h步转移概率。转移概率表示已知过程在m的马尔可夫链称为齐次马尔可夫链。此时，k步转移概率可以记为p(k)。当时k=1，称为一步转移概率，简记为p；并且p(k)=pk，k≥1。概率转移矩阵中的元素具有非负性以及行和为1两个性质。

应用马尔可夫链的方法预测的基本思路是:如果某种事物或某种现象的各状态的时间序列为马尔可夫链，则根据T(u-1)时刻的状态估计或预报T(u)时刻的状态。对于一个符合马尔可夫过程的时间序列，先根据具体情况，将其划分成若干离散的状态，再计算一阶转移概率矩阵。由T(u-1)时刻的S(u-1)某状态，经一步转移到T(u)时刻的S(u)某状态的概率，称为一步转移概率。一步转移概率为：，其中ωu为状态S(u)出现的次数，ωuk为从状态S(u)转移到状态S(k)的次数，puk 为由状态S(u)经过一阶转移到状态S(k)的转移概率。

习惯上把尚未发生转移变化的初状态概率称为0步，记作ro。由问题需要，0步可确定在任意时刻，它是预测模型的初始条件。设rk=（r1k，r2k，…，rnk）表示T（k）时的状态概率，根据条件概率公式，有T(k+1)时状态：rk+1=（r1k+1，r2k+1，…rnk+1）=（r1k，r2k，…，rnk）xp=rkxp，由此可以得出：rk+1=rkxp=rk-1xp2=…=roxpk+1，该式即为马尔可夫链预测模型，只要初始状态向量ro已知，状态转移矩阵给定，以后每步的状态向量就都可以计算，进而可以计算出恩格尔系数的变化趋势。

3 天津恩格尔系数的实证分析

利用天津市1985年至2006年城镇居民家庭恩格尔系数作为数据，见表1。由于恩格尔系数呈一种波动的降低趋势，若直接将恩格尔系数进行状态划分，则状态显得比较集中，计算不便。为避免这种弊端，引入增减率，用恩格尔系数的增减率描述在一定程度上弱化了长期趋势，使波动特征更加明显，符合人们生活水平的动态特征。按增减率的大小将恩格尔系数分为减少、持平、增加3种状态组成马尔柯夫链.表1中22年来的恩格尔系数在总体上呈现下降趋势，此即说明人们的生活水平呈提高趋势，因此，根据这个特点，将恩格尔系数的增减率划分为3个状态，即减少、持平、增加，分别以1，2，3来表示，相对应的增减率范围分别为：[-4.5914，-1.5305]，[-1.5305，2.1700]，和[2.1700，6.5099]。

令r(n)表示恩格尔系数在第n年的增减率，显然是一个离散参数随机过程。这里只考虑其3个状态，则pij(i，j=1，2，3)表示状态由i转向j的概率，如p12表示恩格尔系数相对于前一年由减少变为持平的概率。

由表1计算一步转移概率，如状态“2”共出现12次，其中，转移为“1”的有5次，转移为“2”的有7次，转移为“3”的有0次。从而构成一步概率转移矩阵的第二行，其它以此类推.只是状态“1”应去掉最后一年份，出现次数为7次。以2006年为基准，由表1知天津市2006年城镇居民家庭恩格尔系数的增减率处于状态1，即初始状态概率向量p（0）=（100），由预测模型，利用MATLAB计算得到2007-2011年的转移状态如下表所示：

从上表可以看出，恩格尔系数上升的概率很小。更多是保持平衡和上升。另外，转移概率矩阵，在第7步之后成为稳定的，其状态概率的分布恒为。

4 结语

本文的实例说明，运用随机理论来刻画恩格尔系数的随机变化是可行的。马尔柯夫随机预报模型有较高的可靠性，适于实际应用。建立预报模型的关键是构造相应的概率转移矩阵。长期预报应及时利用最新监测数据对概率转移矩阵作出调整，以保障预报模型的可靠性。

参考文献：

[1]王银银.马尔柯夫链在预测江苏省恩格尔系数中的应用.淮海工学院学报.2007.第16卷第2期.

[2]梁盛泉.甘肃省各地市人均GDP的马尔可夫预测及变动分析.中国农业资源与区划.2007.第28卷第2期.

[3]林元烈.应用随机过程.北京：清华大学出版社.2002年.