实变函数与泛函分析基础第三版标准答案

实变函数与泛函分析基础第三版答案

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泛函分析 习题解答

1、设(,)X d 为一度量空间，令00(,){|,(,)}U x x x X d x x εε=∈< 00(,){|,(,)}S x x x X d x x εε=∈≤，问

0(,)U x ε的闭包是否等于0(,)S x ε。

解答：在一般度量空间中不成立00(,)(,)U x S x εε=，例如：取1R 的度量子空间[0,1][2,3]X =U ，则X 中的开球(1,1){;(1,)1}U x X d x =∈<的的闭包是[0,1]，而(1,1){;(1,)1}[0,1]{2}S x X d x =∈≤=U

2、设[,]C a b ∞

是区间[,]a b 上无限次可微函数全体，定义()()()()0

1|()()|

(,)max 21|()()|

r r r r r r a t b

f t

g t d f g f t g t ∞

=≤≤-=

+-∑

，证明：[,]C a b ∞按(,)d f g 构成度量空间。

证明：（1）显然(,)0d f g ≥且(,)0d f g =⇔()()()()

1|()()|

,max 021|()()|

r r r r r a t b

f t

g t r f t g t ≤≤-∀=+-⇒,[,]r t a b ∀∀∈有()()|()()|0r r f t g t -=，特别当0,[,]r t a b =∀∈时有|()()|0f t g t -=⇒[,]t a b ∀∈有 ()()f t g t =。

（2）由函数()1t f t t

=

+在[0,)+∞上单调增加，从而对,,[,]f g h C a b ∞

∀∈有 ()()()()0()()()()()()()()0()()01|()()|(,)max 21|()()|

1|()()()()|

=max

21|()()()()|1|()()| max

2

r r r r r r a t b

r r r r r r r r r a t b r r r r a t b r f t g t d f g f t g t f t h t h t g t f t h t h t g t f t h t ∞

=≤≤∞

≤≤=∞

≤≤=-=+--+-+-+--+≤∑

∑∑()()()()()()()()()()()()0()()()()0|()()|

1|()()||()()|1|()()|

=max

2

1|()()||()()|1|()()|

max

2

1|()()|r r r r r r r r r r r r r a t b r r r r r r a t b r h t g t f t h t h t g t f t h t f t h t h t g t h t g t f t h t ∞

≤≤=∞

≤≤=-+-+--+-+--++-+∑∑()()()()()()()()()()00|()()|1|()()|1|()()|

max max 2

1|()()|21|()()| (,)(,)

r r r r r r r r r r r r a t b a t b r r h t g t f t h t h t g t f t h t h t g t d f h d h g ∞

∞≤≤≤≤==---≤++-+-=+∑∑

即三角不等式成立(,)(,)(,)d f g d f h d h g ≤+。

3、设B 是度量空间X 中的闭集，证明必有一列开集12,,,n O O O L L 包含B ，而且

1

n n O B ∞

==I

。

证明：设B 为度量空间X 中的闭集，作集：1{|(,)},(1,2,)n O x d x B n n

=<=…… ，n O 为开集，从而只要证1n n B O ∞

==I ；

可实上，由于任意正整数n ，有n B O ⊂，故：1

n n B O ∞

=⊂I 。

另一方面，对任意的01

n n x O ∞

=∈I ，有01

0(,)d x B n

≤<

，(1,2)n =…… 令 n →∞有0(,)0d x B =。所以0x B ∈（因B 为闭集）。这就是说， 1

n n O B ∞=⊂I 综上所证有：1n n B O ∞

==I 。

4、设(,)d x y 为度量空间(,)X d 上的距离，证明(,)

(,)1(,)

d x y d x y d x y =

+也是X 上的距离。

证明：首先由(,)d x y 为度量空间(,)X d 上的距离且(,)

(,)1(,)

d x y d x y d x y =

+，因此显然有(,)d x y 且(,)0

d x y =的充要条件是(,)0d x y =，而(,)0d x y =的充要条件是x y =，因此(,)0d x y =的充要条件是x y =。其次由函数

()1t

f t t

=

+在[0,)+∞上单调增加有 (,)(,)(,)

(,)1(,)1(,)(,)

(,)(,)

1(,)(,)1(,)(,)(,)(,)

(,)(,)

1(,)1(,)

d x y d x z d y z d x y d x y d x z d y z d x z d y z d x z d y z d x z d y z d x z d y z d x z d y z d x z d y z +=

≤

+++≤+++++≤+≤+++

即三角不等式成立。所以(,)d x y 也是X 上的距离。

5、证明点列{}n f 按题2中距离收敛于[,]f C a b ∞

∈的充要条件为n f 的各阶导数在[,]a b 上一致收敛于f 的

各阶导数。

证明：由题2距离的定义：()()()()01|()()|

(,)max 2

1|()()|r r r r r a t b r f t g t d f g f t g t ∞

≤≤=-=+-∑则有： 若{}n f 上述距离收敛于f ，则()()()()0|()()|1

(,)max 0()21|()()|r r n n r r r a t b r n

f t f t d f f n f t f t ∞

≤≤=-=→→∞+-∑。所以对任何非负整

数r 有：()()()()|()()|max 2(,)0()1|()()|r r r

n n r r a t b n

f t f t d f f n f t f t ≤≤-≤→→∞+-。由此对任何非负实数r 有

()()max |()()|0()r r n a t b

f t f t n ≤≤-→→∞。