高中数学_均值不等式教学设计学情分析教材分析课后反思

《§3.2均值不等式不等式》的教学设计

一、教材分析

本节课选自《普通高中课程标准数学教科书·数学（5）》（人

教B 版）第三章第2节第一课时，

2

a b +≤的推导与简单应用．它以前面已学习的有关不等式的基本知识为依据，

2

a b +证明不等式和求最值这两个侧面来体现

2a b +≤的应用，2a b +≤的推导过程中渗透了代换的解题方法，为学生后续学习推理与论证的内容埋下

伏笔，同时在公式推导过程中渗透数形结合等思想方法，此内容都是

学生今后学习中必备的数学素养．

二、教学目标

1．通过探究“数学家大会的会标”及感受会标的变形，引导学生

从几何图形中获得两个基本不等式，了解均值不等式的几何背景培养

学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；培养学生形成数形结合

的思想意识；

2．进一步让学生探究不等式的代数证明，加深对基本不等式的理

解和认识，提高学生逻辑推理的能力和严谨的思维方式。

3．通过例题让学生学会用均值不等式证明不等式和求最值。

三、教学重点、难点

（一）、教学重点：本节课的重点内容是应用数形结合的数学思想

2

a b +≤的证明过程．

（二）、教学难点：（1）

2

a b +≤等号成立条件 （2）理解均值不等式和灵活应用均值不等

式

四、教学策略

我在这节课的设计上采用了由学生身边的校园农场修篱笆这一问题引入，从具体到抽象的教学策略．利用数形结合、代换，化归的思想，层层深入，通过学生自主探究，分析、整理出推导公式的不同思路．同时，借助多媒体的直观演示，实物投影展示帮助学生理解，并通过教师的点拨引导，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破难点．

教法: 问题引导、启发探究，小组讨论和归纳总结相结合

五、学情分析

对于高一的学生，前面有了不等式的基本知识作为铺垫，对不等式的学习已具备基本的认识，能够进行简单的数与式的比较，所以学生可以在巩固不等式性质的前提下学习基本不等式，接受上是容易的，学生也能够较容易理解基本不等式的推导，且达到渗透数学思想、关注数学文化的目的．

六、教学过程

（一）、情景问题设置

我们学校打算在校园农场用篱笆围一个面积为100 平米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？要解决这个问题，就要用到今天要学习的均值不等式。

（二）、引入课题

下图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会议现场。

通过会标弦图的介绍，让学生学生深切感受到我国数学科学的悠久历史和深厚的文化底蕴，以及我国的数学成就对世界数学文明的影响和发展做出的卓越贡献，激发学生喜欢数学，学好数学的热情。

探究一：观察上面的会标。会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形证数、数形结合的思想。

【设计意图】

1．培养学生识图和分析数据的能力，并通过对数量关系的分析得出基本不等式的雏形，进而逐步发现基本不等式的本质和成立条件。

2．鼓励学生独立思考，充分发挥学生的创新和想象能力，进而发现并理解基本不等式的实质 D B

H F G

E

师：假设弦图当中直角三角的直角边分别为a,b,斜边可以表示为什么？

生：师：正方形ABCD 的面积S=＿＿＿＿＿？四个直角三角形的面积和S ’＿＿＿＿？

生：大正方形面积22a b +，四个直角三角形面积和为2ab ，并且。 师：S 与S ’有什么样的不等关系？

生：22a b +>2ab

师：那么它们有相等的情况吗？

生：会相等。 a b =时会相等。

（教师投影展示取等号的条件，证明学生的想法是正确的。） 结论：222a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号）

师：你能给出证明吗？（此问题学生口述即可）

生：由222a b ab +≥，则2220a b ab +-≥⇒2()0a b -≥恒成立。则a b =时取等号。

师：一般的我们都用

a ，

b 表示，那么若将上式中的a ，b

，你又会得出什么结论？如何证明？

【设计意图】

用代数的方法证明基本不等式，进而使学生加深对基本不等式的理解，理解基本不等式中不等号和等号成立的条件；引导学生自己动手写出证明过程，并自我总结归纳基本不等式运用的条件，有利于学生准确、灵活应用。

生： 2(0,0)a b ab a b +≥>> 当且仅当a b =时取等号。

师：很好，还可以写成

(0,0)2

a b ab a b +≤>> 这样我们又一次得到了基本不等式。根据以上证明学生已经基本 解了基本不等式的形式和推导方法，同学们是否真正理解了基本 不等式的含义。

（三）、自主探究 深化认识

1.认识基本不等式的几何背景

如右图，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC a =，

BC b =。过点C 作垂直于AB 的弦DE ,连接AD 、BD 。你

能利用这个图形，得出(0,0)2

a b ab a b +≤

>>的几何解释吗？ 【设计意图】 对图形进一步分析，引导学生发现几何平均数和算术平均数，让学生体会不仅能以数证形，寻找数量关系的几何解释，还可以通过对图形的观察分析以形识数，进而完善前面的代数结论。

师：①如何用a, b 表示OD?

生：OD=__2+a b ____

师：②如何用a, b 表示CD?

生：易证Rt ACD ∆∽Rt DCB ∆，那么2CD CA CB =⋅，即CD ab = 师：这个圆的半径为2b a +，显然，它大于或等于CD ，即ab b a ≥+2

， 其中当且仅当点C 与圆心重合，即a b =时，等号成立.

因此：均值不等式2

a b ab +≤几何意义是“半径不小于半弦”