轴力与轴力图

4
15
[例5] 已知三铰屋架如图，承受竖向均布载荷，载荷的 分布集度为：q =4.2kN/m，屋架中的钢拉杆直径 d =16 mm，
许用应力[]=170M Pa。 试校核钢拉杆的强度。
q
q
C
A
钢拉杆
8.5m
B
16
解： ① 整体平衡求支反力
HA A
RA
q
q
C
钢拉杆
8.5m
X 0 HA 0 mB 0 RA 19.5kN
3、脆性、塑性材料


L1 L0 L0
100 00


A0
A0
A1
100
0
0
以

5
0 0
为界 29

0.2
0 0.2
bL
0
5、无明显屈服现象的塑性材料
名义屈服应力：（0.2%残余应变）
0.2 ，即此类材料的失效应力。
6、铸铁拉伸时的机械性能
ｂL ---铸铁拉伸强度极限（失效应力）
画出杆的轴力图。 q(x)
解：x坐标向右为正，坐标原点在 自由端。
L
取左侧x段为对象，内力N(x)为：
O x
O x
q
q(x)
N(x)
x
qL
N
N(x)

0x

kxdx


1 2
kx2
–
k L2 2
N ( x)m ax


1 2
kL2
6
§8-3 杆件拉伸与压缩时的应力
P
P
一、问题提出
P
P
内力大小不能衡量构件强度的大小。 强度：① 内力在截面的分布集度应力；
N (x)dx
L L (dx) L EA(x)
L n Ni Li
i 1 Ei Ai
39
3、单向应力状态下的胡克定律
(dx) 1 N (x) 1 即: E
dx E A( x) E
4、泊松比（或横向变形系数）

或:
5、杆的横向变形：
ac ac ac
38
二、拉压杆的胡克定律
1、等内力拉压杆的弹性定律
L PL A
P
P
2、变内力拉压杆的弹性定律
L PL NL EA EA
NN（(xx) ）
x dx 内力在n段中分别为常量时
EA 称为杆的抗拉压刚度。
(dx) N ( x)dx EA( x)
RB
17
② 局部平衡求 轴力：
q HA A
RA
mC 0 N 26.3kN
HC
C ③ 应力：
RC

max
N A

4P
d2
N

4 26.3103 3.14 0.0162
131MPa
④ 强度校核与结论： max 131 MPa 170 MPa
此杆满足强度要求，是安全的。
2
轴力
轴向拉伸、压缩时，杆的内力与杆轴线重合，称为轴力，
用N 表示。
轴力的正负规定:
N
N 与外法线同向，为正轴力(拉力)
N与外法线反向，为负轴力(压力) N
轴力图
N N>0
N N<0
N (x) 的图象表示。 ① 反映出轴力与横截面位置变化关系，较直观；
② 确定出最大轴力的数值
及其所在横截面的位置， N
当 = 90°时，
( )m in 0
当
=
±
45°时，|
|m
ax
0
2
( 45°斜截面上剪应力最大 )
当 = 0, 90°时， | |min 0
20
[例6] 直径为d =1 cm 杆受拉力P =10 kN的作用，试求最大剪 应力，并求与横截面夹角30°的斜截面上的正应力和剪应力。
ab cd
x L
2、线应变： 单位长度的线变形。
1、杆的纵向总变形： L L1 L
3、平均线应变：
L L1 L
L
L
37
P
a´
b´
P
c´
d´
x dx
L1 4、x 点处的纵向线应变：
6、x 点处的横向线应变：
lim dx
x0 x
ac
ac
② 材料承受荷载的能力。
二、应力计算
1. 定义：由外力引起的内力集度，称为应力。
7
工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度的定 义不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内力集 度最大处开始。
2. 应力的表示：
① 平均应力：
P
M
pM

ΔP ΔA
A
② 全应力（总应力）：
lim p
23
24
3、低碳钢试件的应力--应变曲线( -- 图)
25
(一) 低碳钢拉伸的弹性阶段 (oe段) 1、op -- 比例段:
p -- 比例极限
2、pe --曲线段:
e -- 弹性极限
由于比例极限与弹性极限 通常很接近，因此工程上 常不作区分。
26
(二) 低碳钢拉伸的屈服(流动）阶段 (es 段)
18
四、拉（压）杆斜截面上的应力
k
设有一等直杆受拉力P作用。 P
P
求：斜截面k-k上的应力。
解：采用截面法
P

k
k
P
由平衡方程：P=P

k
则：
p

P A
A：斜截面面积；P：斜截面上内力。
由几何关系：cos A
A

AAc源自s代入上式，得：p

P A

Pcos
A

41
解 (1) 作轴力图 杆的轴力图如图b)所示。
(2) 计算杆的变形 应用胡克定律分别求出各段杆的变形
lAB

FN ABlAB EAAB

20 103 100 103 200 109 400 106
0.025 103 m 0.025 mm
ΔP dP
ΔA0 ΔA dA
8
③ 全应力分解为： a.垂直于截面的应力称为“正应力” (Normal Stress)；
p



lim
Δ A0
ΔN ΔA

dN dA

M
b.位于截面内的应力称为“剪应力”(Shearing Stress)。


ΔT
lim
Δ A0
Δ
A

dT dA
9
三、拉（压）杆横截面上的应力
e s --屈服段: s ---屈服极限 塑性材料的失效应力:s 。
滑移线：
27
(三)、低碳钢拉伸的强化（硬化）阶段 (ｓｂ 段)
１、ｂ---强度极限
２、卸载定律：
３、冷作硬化： 加载时变形变
小，弹性极限提高
28
(四)、低碳钢拉伸的颈缩（断裂）阶段 (b f 段)
1、延伸率:
2、面缩率：
许用应力 ·安全因数 ·极限应力
1、许用应力： jx
n
2、安全系数： n>1
3、极限应力：
jx
s， 0.2， b
安全因数可查设计手册。通常对同一材料按屈服应 力确定的安全因数要小于按强度极限确定的安全因数 ；塑性材料要比脆性材料的安全因数小。
36
§8-7 胡克定律与拉压杆的变形 一、拉压杆的变形及应变
30
二、压缩时材料的力学性能
d
31
h
ｂy---铸铁压缩强度极限； ｂy（4～6）ｂL
32
§8-5 圣维南原理与应力集中的概念
一、 Saint-Venant原理：
离开载荷作用处一定距离，应力分布与大小不受外载荷 作用方式的影响。
二、 应力集中（Stress Concentration）：
② 应力：
max
N A

4P
πd 2

4 25103 3.14 0.0142
162MPa
③ 强度校核： max 162MPa 170MPa
④ 结论：此杆满足强度要求，能够正常工作。
12
[例4] 简易旋臂式吊车如图 a)所示。斜杆AB为横截面直径 d＝20 mm的钢材，载荷W=15 kN。 求当W移到A点时，斜杆AB横截面 应力(两杆的自重不计)。
关于弹性模量E：
①由材料决定，表示材料抵抗变形的能力。
②具有与应力相同的量纲，单位GPa。
③在拉伸曲线上，其值为弹性阶段直线的斜率（tgɑ）。
④EA表示杆件抵抗变形的能力。 40
[例7] 如图a)所示的阶梯杆，已知横截面面积AAB＝ABC＝400 mm2，ACD＝200 mm2，弹性模量E＝200GPa，受力情况为FP1＝ 30 kN，FP2＝10 kN，各段长度如图a)所示。试求杆的总变形。
P
即确定危险截面位置，为 强度计算提供依据。
+
x
3
[例1] 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、 4P和 P 的力，方向如图所示，试画出杆的轴力图。
OA
BC
D
PA
N1
A
PA
PB
PC
BC
PB
PC
PD
D
x
PD
解： 求OA段内力N1：设置截面如图，列平衡方程
X 0 N1 PA PB PC PD 0