2016届江西省宜春市上高二中高三(上)11月月考数学试卷(理科)(a部)(解析版)

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2015-2016学年江西省宜春市上高二中高三(上)11月月考数学试卷(理科)(A部)
参考答案与试题解析
一.选择题(12×5)
1.已知集合A={x|x<﹣3或x>4},B={x|x≥m}.若A∩B={x|x>4},则实数m的取值范围是()
A.(﹣4,3)B.[﹣3,4]C.(﹣3,4)D.(一∞,4]
【考点】交集及其运算.
【专题】计算题;集合.
【分析】由A,B,以及A与B的交集,求出m的范围即可.
【解答】解:∵A={x|x<﹣3或x>4},B={x|x≥m},且A∩B={x|x>4},
∴实数m的取值范围为[﹣3,4],
故选:B.
【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.
2.设x∈R,则“|x﹣2|<1”是“x2+x﹣2>0”的()
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【专题】简易逻辑.
【分析】根据不等式的性质,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
【解答】解:由“|x﹣2|<1”得1<x<3,
由x2+x﹣2>0得x>1或x<﹣2,
即“|x﹣2|<1”是“x2+x﹣2>0”的充分不必要条件,
故选:A.
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,比较基础.
3.已知a=1.5﹣0.2,b=1.30.7,c=则a,b,c的大小为()
A.c<a<b B.c<b<a C.a<b<c D.a<c<b
【考点】指数函数的图象与性质.
【专题】转化思想;数学模型法;函数的性质及应用.
【分析】由指数函数的单调性,先分析三个指数式与1的大小,再化为同底的指数式,结合单调性进行比较,可得答案.
【解答】解:∵b=1.30.7>1,
a=1.5﹣0.2=<1,
c=<1,
>,
故c<a<b,
故选:A
【点评】本题考查的知识点是指数函数的图象和性质,数的大小比较,难度不大,属于基础题.
4.已知cos(π﹣θ)=3m(m<0),且cos(+θ)(1﹣2cos2)<0,则θ是()
A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角
【考点】二倍角的余弦;三角函数的化简求值.
【专题】三角函数的求值.
【分析】由已知可得cosθ∈(0,1),利用诱导公式化简已知不等式可得sinθcosθ<0,得解sinθ>0,即可判断象限角.
【解答】解:∵cos(π﹣θ)=3m(m<0),0<3m<1
∴﹣cosθ∈(0,1),
∵cos(+θ)(1﹣2cos2)=sinθcosθ<0,
∴sinθ>0,
∴θ是第二象限角.
故选:B.
【点评】本题主要考查了诱导公式,三角函数的图象和性质的应用,属于基础题.
5.已知函数在一个周期内的
图象如图所示,则=()
A.1 B.C.﹣1 D.
【考点】由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.
【专题】计算题;三角函数的图像与性质.
【分析】由图知,A=2,易求T=π,ω=2,由f()=2,|φ|<,可求得φ=,从而可
得函数y=f(x)的解析式,继而得f()的值.
【解答】解:由图知,A=2,且T=﹣=,
∴T=π,ω=2.
∴f(x)=2sin(2x+φ),
又f()=2,
∴sin(2×+φ)=1,
∴+φ=2kπ+(k∈Z),又|φ|<,
∴φ=,
∴f(x)=2sin(2x+),
∴f()=2sin=1,
故选:A.
【点评】本题考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,求φ是难点,考查识图与运算能力,属于中档题.
6.已知函数f(x)=2sinxsin(x++φ)是奇函数,其中φ∈(0,π),则函数g(x)=cos (2x﹣φ)的图象()
A.关于点(,0)对称
B.可由函数f(x)的图象向右平移个单位得到
C.可由函数f(x)的图象向左平移个单位得到
D.可由函数f(x)的图象向左平移个单位得到
【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
【专题】三角函数的图像与性质.
【分析】由条件利用诱导公式,正弦函数、余弦函数的奇偶性,函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得结论.
【解答】解:由于函数f(x)=2sinxsin(x++φ)是奇函数,故y=sin(x++φ)是偶函数,
故φ+=kπ+,k∈Z,即φ=kπ+,结合φ∈(0,π),可得φ=,f(x)=2sinxsin(x+
+)=sin2x=cos(2x+).
故函数g(x)=cos(2x﹣)的图象可以由f(x)=cos(2x+)=cos2(x+)的图象向
右平移个单位得到的,
故选:B.
【点评】本题主要考查诱导公式,正弦函数、余弦函数的奇偶性,函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,属于基础题.
7.已知函数f(x)=sinwx+coswx(w>0),y=f(x)的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π,则f(x)的单调递增区间是()
A.[kπ﹣,kπ+],k∈Z B.[kπ+,kπ+],k∈Z
C.[kπ﹣,kπ+],k∈Z D.[kπ+,kπ+],k∈Z
【考点】两角和与差的正弦函数;正弦函数的单调性.
【分析】先把函数化成y=Asin(ωx+φ)的形式,再根据三角函数单调区间的求法可得答案.
【解答】解:f(x)=sinwx+coswx=2sin(wx+),(w>0).
∵f(x)的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π,恰好是f(x)的一个周期,
∴=π,w=2.f(x)=2sin(2x+).
故其单调增区间应满足2kπ﹣≤2x+≤2kπ+,k∈Z.kπ﹣≤x≤kπ+,
故选C.
【点评】本题主要考查三角函数单调区间的求法.求三角函数的周期、单调区间、最值都要把函数化成y=Asin(ωx+φ)的形式在进行解题.
8.若0<α<,﹣<β<0,cos(+α)=,cos(﹣)=,则cos(α+)=()
A.B.﹣C.D.﹣
【考点】三角函数的恒等变换及化简求值.
【专题】三角函数的求值.
【分析】先利用同角三角函数的基本关系分别求得sin(+α)和sin(﹣)的值,进
而利用cos(α+)=cos[(+α)﹣(﹣)]通过余弦的两角和公式求得答案.
【解答】解:∵0<α<,﹣<β<0,
∴<+α<,<﹣<
∴sin(+α)==,sin(﹣)==
∴cos (α+)=cos[(+α)﹣(﹣)]=cos (+α)cos (﹣)+sin (+α)
sin (﹣
)=
故选C
【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换及化简求值.关键是根据cos (α+)=cos[(
+α)﹣(﹣
)],巧妙利用两角和公式进行求解.
9.已知,则=( )
A .
B .
C .﹣1
D .±1 【考点】两角和与差的余弦函数.
【专题】计算题.
【分析】先利用两角和公式把cos (x ﹣)展开后加上cosx 整理,进而利用两角和的余弦
公式化简,把cos (x ﹣)的值代入即可求得答案.
【解答】解:∵cos (x ﹣)=﹣

∴cosx+cos (x ﹣)=cosx+cosx+sinx
=cosx+sinx=

cosx+sinx )=
cos (x ﹣
)=﹣1.
故选C
【点评】此题考查了两角和与差的余弦函数公式,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握公式是解本题的关键.
10.已知α∈(0,π),cos (α+)=﹣,则tan2α=( )
A .
B .﹣
或﹣
C .﹣
D .﹣ 【考点】两角和与差的余弦函数;二倍角的正切.
【专题】三角函数的求值.
【分析】由已知求得α+∈(,
),从而可求sin (α+
)的值,进而可求tan (α+

=±1,从而解得tan α=
﹣2或
+2,从而由二倍角公式可求tan2α的值.
【解答】解:∵α∈(0,π),
∴α+∈(,),
∵cos(α+)=﹣,
∴sin(α+)=±=±,
∴tan(α+)====±1,
从而解得tanα=﹣2或+2,
∴tan2α===﹣或tan2α==
=﹣.
故选:C.
【点评】本题考查二倍角的正切,求得tanα的值是关键,考查运算能力,属于基本知识的考查.
11.若把函数的图象向右平移m(m>0)个单位长度后,所得到的图象关于y轴对称,则m的最小值是()
A.B.C.D.
【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换;两角和与差的正弦函数.
【专题】计算题;三角函数的图像与性质.
【分析】利用两角和的余弦公式对解析式进行化简,由所得到的图象关于y轴对称,根据对称轴方程求出m的最小值.
【解答】解:由题意知,=2cos(2x+)
令2x+=kπ,k∈Z,可得对称轴方程x=kπ﹣,k∈Z,
∵函数的图象向右平移m(m>0)个单位长度后,所得到的图象关于y轴对称,
∴由对称轴的方程得,m的最小值是.
故选B.
【点评】本题考查三角函数的图象变换,考查余弦函数图象的特点,属于基础题.
12.已知函数f(x)=lnx+(x﹣b)2(b∈R)在区间上存在单调递增区间,则实数b的取值范围是()
A.B.C.(﹣∞,3)D.
【考点】利用导数研究函数的单调性.
【专题】计算题;函数思想;方程思想;转化思想;导数的综合应用.
【分析】利用导函数得到不等式恒成立,然后求解b的范围.
【解答】解:∵函数f(x)在区间上存在单调增区间,
∴函数f(x)在区间上存在子区间使得不等式f′(x)>0成立.

设h(x)=2x2﹣2bx+1,则h(2)>0或,
即8﹣4b+1>0或,
得.
故选:B.
【点评】本题考查函数的导数的综合应用,不等式的解法,考查计算能力.
二、填空题(4×5)
13.由命题“存在x∈R,使x2+2x+m≤0”是假命题,则实数m的取值范围为(1,+∞).
【考点】特称命题.
【专题】计算题.
【分析】原命题为假命题,则其否命题为真命题,得出∀x∈R,都有x2+2x+m>0,再由△<0,求得m.
【解答】解:∵“存在x∈R,使x2+2x+m≤0”,
∴其否命题为真命题,即是说“∀x∈R,都有x2+2x+m>0”,
∴△=4﹣4m<0,
解得m>1.
∴m的取值范围为(1,+∞).
故答案为:(1,+∞)
【点评】本题考查了存在命题的否定,不等式恒成立问题.考查转化、计算能力.
14.若tan x=﹣3,则=.
【考点】同角三角函数基本关系的运用.
【专题】计算题;转化思想;分析法;三角函数的求值.
【分析】利用同角三角函数关系式的应用化简所求,代入已知即可求解.
【解答】解:∵tan x=﹣3,
∴===.
故答案为:.
【点评】本题主要考查了同角的三角函数关系式的应用,属于基础题.
15.若不等式恒成立,则实数a的最小值为.
【考点】函数恒成立问题.
【专题】转化思想;分类法;函数的性质及应用.
【分析】不等式整理为x2≤log a x在x∈(0,]时恒成立,只需x2的最大值小于log a x的最小值,利用分类讨论对a讨论即可.
【解答】解:不等式恒成立,
即为x2≤log a x在x∈(0,]时恒成立,
∴x2的最大值小于log a x的最小值.
∴x2≤≤log a x,
当a>1时,log a x为递增,但最小值为负数不成立.
当0<a<1时,log a x为递减,
最小值在x=上取到,
∴log a≥=log a,
∴a≥,
故a的最小值为.
故答案为:.
【点评】本题考查不等式恒成立问题的解法,注意运用对数函数的单调性和恒成立思想,考查运算能力,属于中档题.
16.已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,对∀x∈R都有f(x﹣1)=f(x+1)成立,当
x∈(0,1]且x1≠x2时,有<0.给出下列命题
(1)f(1)=0
(2)f(x)在[﹣2,2]上有5个零点
(3)点(2014,0)是函数y=f(x)的一个对称中心
(4)直线x=2014是函数y=f(x)图象的一条对称轴.
则正确的是(1)(2)(3).
【考点】抽象函数及其应用.
【专题】计算题;函数的性质及应用.
【分析】(1)令x=0,求f(1);
(2)由题意可得f(0)=f(1)=f(﹣1)=f(2)=f(﹣2)=0;
(3)证明f(2014+x)=﹣f(2014﹣x)即可;
(4)由于(3)正确,故(4)不正确.
【解答】解:(1)由题意,令x=0,则f(﹣1)=f(1),即﹣f(1)=f(1),则f(1)=0;
(2)由题意,f(0)=0,f(1)=f(﹣1)=0,f(2)=f(1﹣1)=f(0)=0,f(﹣2)=0,
则f(x)在[﹣2,2]上有5个零点;
(3)由f(x﹣1)=f(x+1)可知,f(x)以2为周期,
∵f(2014+x)=f(x),f(2014﹣x)=f(﹣x)=﹣f(x),
∴f(2014+x)=﹣f(2014﹣x),
∴点(2014,0)是函数y=f(x)的一个对称中心,
(4)由于(3)正确,故(4)不正确;
故答案为:(1)(2)(3).
【点评】本题考查了函数的奇偶性的应用,属于中档题.
三.简答题(70分)
17.已知p:“∃x0∈R,使得x02+mx0+2m﹣3<0”;q:命题“∀x∈[1,2],x2﹣m≤0”,若p∨q 为真,p∧q为假,求实数m的取值范围.
【考点】复合命题的真假.
【专题】转化思想;不等式的解法及应用;简易逻辑.
【分析】求出命题p,q为真命题的等价条件,结合p∨q为真,p∧q为假得到p,q一真一假,根据条件关系解不等式即可.
【解答】解:∵命题p为真命题的充要条件是△>0,即m2﹣4(2m﹣3)>0,
∴m>6或m<2.…(3分)
命题q为真命题的充要条件是m≥4 …(6分)
若p∨q为真,p∧q为假,则p,q一真一假
若p真q假,得m<2;
若q真p假得4≤m≤6
∴实数m的取值范围为m<2或4≤m≤6 …(10分)
【点评】本题主要考查复合命题的真假之间的关系的判断,求出命题的等价条件是解决本题的关键.
18.已知函数f(x)=cos
(1)求函数f(x)的周期T;
(2)求f(x)的单调递增区间.
【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象.
【专题】函数思想;综合法;三角函数的求值;三角函数的图像与性质.
【分析】(1))f(x)=cos﹣sin﹣cos﹣1=﹣cos﹣sin﹣1=﹣sin
(+)﹣1,代入周期公式即可;
(2)f(x)单调递增时,y=sin(+)单调递减,令+2kπ≤≤+2kπ,解出f(x)的单调递增区间.
【解答】解:(1)f(x)=cos=cos﹣sin﹣cos﹣1
=﹣cos﹣sin﹣1=﹣sin(+)﹣1,
∴T==6.
(2)令+2kπ≤≤+2kπ,
∴6k+1≤x≤6k+4,k∈Z
∴f(x)的单调递增区间为[6k+1,6k+4],k∈Z.
【点评】本题考查了三角函数的恒等变换和单调区间,是基础题.
19.某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:元/千克)与销售价格
x(单位:元/千克)满足关系式,其中3<x<6,m为常数,已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.
(Ⅰ)求m的值;
(Ⅱ)若该商品的成品为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用.
【专题】应用题;函数思想;综合法;导数的概念及应用.
【分析】(Ⅰ)通过将x=5时y=11代入函数解析式计算即得m的值;
(Ⅱ)通过(Ⅰ)可知,利用“利润=销售收入﹣成本”代入计算可知
利润,通过求导考查f(x)在区间(3,6)上的单调性,进而计算可得结论.
【解答】解:(Ⅰ)因为销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克,所以
;….(4分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知该商品每日的销售量,所以商场每日销售该商品所获得的利润:
….(8分)
f'(x)=24(x2﹣10x+24)=24(x﹣4)(x﹣6),令f'(x)=0得x=6或x=6(舍去)
f(x)在区间(3,4)上单调递增,在区间(4,6)上单调递减,
∴当x=4时f(x)取最大值f(4)=38…(12分)
【点评】本题考查是一道关于函数的简单应用题,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于中档题.
20.已知函数.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;
(2)若关于x的方程f(x)﹣m=1在上有两个不等实数解,求实数m的取值范围.
【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象.
【专题】计算题;转化思想;分析法;三角函数的求值;三角函数的图像与性质.
【分析】(1)利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得:f(x)=2cos(2x+)
+1,利用周期公式可求最小正周期,由,即可解得f(x)的单调递增区间.
(2)由,可求,函数f (x )的值域为[1,3],
由f (x )有两个不等实数解,利用余弦函数的图象和性质可得:f (x )∈[2,3),而f (x )=m+1,从而可得2≤m+1<3,即可解得m 的取值范围.
【解答】解:(1)∵
=

∴函数f (x )的最小正周期T==π.

,解得,

∴函数f (x )的单调递增区间为:.
(2)∵,
∴,


∴函数f (x )的值域为[1,3],
而方程f (x )﹣m=1,变形为f (x )=m+1,
∵f (x )有两个不等实数解,利用余弦函数的图象和性质可得:f (x )∈[2,3),
∴2≤m+1<3,即1≤m <2,
∴m ∈[1,2).
【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用,周期公式,余弦函数的图象和性质,不等式的解法及应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题.
21.已知函数f (x )=alnx+
.. (Ⅰ)当a=2时,求f (x )的单调区间;
(Ⅱ)若f (x )在区间(1,2)上不具有单调性,求a 的取值范围. 【考点】利用导数研究函数的单调性. 【专题】函数的性质及应用.
【分析】(Ⅰ)当a=2时,求出f′(x)的解析式,令f′(x)=0,求得x的值,再利用导数的符号确定函数f(x)的单调区间.
(Ⅱ)由题意可得,f′(x)=0在(1,2)上有实数根,且在此根的两侧附近,f′(x)异号.由f′(x)=0求得根的值,可得a的取值范围
【解答】解:(Ⅰ)当a=2时,函数f(x)=alnx+x2﹣(1+a)x 的定义域为(0,+∞),f′
(x)=+x﹣(1+2)=
令f′(x)=0,求得x=1,或x=2.
在(0,1)、(2,+∞)上,f′(x)>0,f(x)是增函数;在(1,2)上,f′(x)<0,f (x)是减函数.
(Ⅱ)若f(x)在区间(1,2)上不具有单调性,则f′(x)=+x﹣1﹣a=0在(1,2)上有实数根,且在此根的两侧附近,f′(x)异号.
由f′(x)=0求得x=1或x=a,
∴1<a<2,
故a的取值范围为(1,2).
【点评】本题主要考查求函数的导数,利用导数研究函数的单调性,属于中档题.
22.已知函数f(x)=+alnx(a不是0)
(Ⅰ)若a=1,求函数f(x)的极值和单调区间;
(Ⅱ)若在区间[1,e]上至少存在一点x0,使得f(x0)<0成立,求实数a的取值范围.
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值.
【专题】导数的综合应用.
【分析】(Ⅰ)通过a=1,求出函数的导数,利用导数为0求出极值点,判断导函数的符号即可求解函数单调区间;
(Ⅱ)求出函数的导数,求解极值点,转化在区间[1,e]上至少存在一点x0,使得f(x0)<0成立,为求解函数的最值问题,利用a的取值范围的讨论,求解函数的最值,即可求得实数a的取值范围.
【解答】解:(I)因为,…(2分)
当a=1,,令f'(x)=0,得x=1,又f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x),
f(x)随x的变化情况如下表:
x (0,1) 1 (1,+∞)
f'(x)﹣0 +
f(x)↘极小值↗
所以x=1时,f(x)的极小值为1.…(4分)f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1);…(5分)
(II)因为,且a≠0,令f'(x)=0,得到,
若在(0,e]上存在一点x0,使得f(x0)<0成立,其充要条件是f(x)在区间(0,e]上的
最小值小于0即可.(1)当,即a<0时,f'(x)<0对x∈(0,+∞)成立,所以f(x)在区间(0,e]上单调递减,
故f(x)在区间(0,e]上的最小值为,
由,得,即…(8分)
(2)当,即a>0时,
①若,则f'(x)≤0对x∈(0,e]成立,所以f(x)在区间(0,e]上单调递减,
所以,f(x)在区间(0,e]上的最小值为,
显然,f(x)在区间(0,e]上的最小值小于0不成立…(10分)
②若,即时,则有
x
f'(x)﹣0 +
f(x)↘极小值↗
所以f(x)在区间(0,e]上的最小值为,
由,
得1﹣lna<0,解得a>e,即a∈(e,+∞).
综上,由(1)(2)可知:符合题意.…(12分)【点评】本题考查函数的导数的应用,考查分类讨论思想的应用,同时考查转化思想的应用.。

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