2016届江西省宜春市上高二中高三(上)11月月考数学试卷(理科)(a部)(解析版)

2015-2016学年江西省宜春市上高二中高三（上）11月月考数学试卷（理科）（A部）
参考答案与试题解析
一.选择题（12×5）
1．已知集合A={x|x＜﹣3或x＞4}，B={x|x≥m}．若A∩B={x|x＞4}，则实数m的取值范围是（）
A．（﹣4，3）B．[﹣3，4]C．（﹣3，4）D．（一∞，4]
【考点】交集及其运算．
【专题】计算题；集合．
【分析】由A，B，以及A与B的交集，求出m的范围即可．
【解答】解：∵A={x|x＜﹣3或x＞4}，B={x|x≥m}，且A∩B={x|x＞4}，
∴实数m的取值范围为[﹣3，4]，
故选：B．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】简易逻辑．
【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：由“|x﹣2|＜1”得1＜x＜3，
由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，
即“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，
故选：A．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．
3．已知a=1.5﹣0.2，b=1.30.7，c=则a，b，c的大小为（）
A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．a＜c＜b
【考点】指数函数的图象与性质．
【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．
【分析】由指数函数的单调性，先分析三个指数式与1的大小，再化为同底的指数式，结合单调性进行比较，可得答案．
【解答】解：∵b=1.30.7＞1，
a=1.5﹣0.2=＜1，
c=＜1，
＞，
故c＜a＜b，
故选：A
【点评】本题考查的知识点是指数函数的图象和性质，数的大小比较，难度不大，属于基础题．
4．已知cos（π﹣θ）=3m（m＜0），且cos（+θ）（1﹣2cos2）＜0，则θ是（）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
【考点】二倍角的余弦；三角函数的化简求值．
【专题】三角函数的求值．
【分析】由已知可得cosθ∈（0，1），利用诱导公式化简已知不等式可得sinθcosθ＜0，得解sinθ＞0，即可判断象限角．
【解答】解：∵cos（π﹣θ）=3m（m＜0），0＜3m＜1
∴﹣cosθ∈（0，1），
∵cos（+θ）（1﹣2cos2）=sinθcosθ＜0，
∴sinθ＞0，
∴θ是第二象限角．
故选：B．
【点评】本题主要考查了诱导公式，三角函数的图象和性质的应用，属于基础题．
5．已知函数在一个周期内的
图象如图所示，则=（）
A．1 B．C．﹣1 D．
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【专题】计算题；三角函数的图像与性质．
【分析】由图知，A=2，易求T=π，ω=2，由f（）=2，|φ|＜，可求得φ=，从而可
得函数y=f（x）的解析式，继而得f（）的值．
【解答】解：由图知，A=2，且T=﹣=，
∴T=π，ω=2．
∴f（x）=2sin（2x+φ），
又f（）=2，
∴sin（2×+φ）=1，
∴+φ=2kπ+（k∈Z），又|φ|＜，
∴φ=，
∴f（x）=2sin（2x+），
∴f（）=2sin=1，
故选：A．
【点评】本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，求φ是难点，考查识图与运算能力，属于中档题．
6．已知函数f（x）=2sinxsin（x++φ）是奇函数，其中φ∈（0，π），则函数g（x）=cos （2x﹣φ）的图象（）
A．关于点（，0）对称
B．可由函数f（x）的图象向右平移个单位得到
C．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到
D．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】由条件利用诱导公式，正弦函数、余弦函数的奇偶性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．
【解答】解：由于函数f（x）=2sinxsin（x++φ）是奇函数，故y=sin（x++φ）是偶函数，
故φ+=kπ+，k∈Z，即φ=kπ+，结合φ∈（0，π），可得φ=，f（x）=2sinxsin（x+
+）=sin2x=cos（2x+）．
故函数g（x）=cos（2x﹣）的图象可以由f（x）=cos（2x+）=cos2（x+）的图象向
右平移个单位得到的，
故选：B．
【点评】本题主要考查诱导公式，正弦函数、余弦函数的奇偶性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
7．已知函数f（x）=sinwx+coswx（w＞0），y=f（x）的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，则f（x）的单调递增区间是（）
A．[kπ﹣，kπ+]，k∈Z B．[kπ+，kπ+]，k∈Z
C．[kπ﹣，kπ+]，k∈Z D．[kπ+，kπ+]，k∈Z
【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．
【分析】先把函数化成y=Asin（ωx+φ）的形式，再根据三角函数单调区间的求法可得答案．
【解答】解：f（x）=sinwx+coswx=2sin（wx+），（w＞0）．
∵f（x）的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，恰好是f（x）的一个周期，
∴=π，w=2．f（x）=2sin（2x+）．
故其单调增区间应满足2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z．kπ﹣≤x≤kπ+，
故选C．
【点评】本题主要考查三角函数单调区间的求法．求三角函数的周期、单调区间、最值都要把函数化成y=Asin（ωx+φ）的形式在进行解题．
8．若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos（+α）=，cos（﹣）=，则cos（α+）=（）
A．B．﹣C．D．﹣
【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．
【专题】三角函数的求值．
【分析】先利用同角三角函数的基本关系分别求得sin（+α）和sin（﹣）的值，进
而利用cos（α+）=cos[（+α）﹣（﹣）]通过余弦的两角和公式求得答案．
【解答】解：∵0＜α＜，﹣＜β＜0，
∴＜+α＜，＜﹣＜
∴sin（+α）==，sin（﹣）==
∴cos （α+）=cos[（+α）﹣（﹣）]=cos （+α）cos （﹣）+sin （+α）
sin （﹣
）=
故选C
【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换及化简求值．关键是根据cos （α+）=cos[（
+α）﹣（﹣
）]，巧妙利用两角和公式进行求解．
9．已知，则=（ ）
A ．
B ．
C ．﹣1
D ．±1 【考点】两角和与差的余弦函数．
【专题】计算题．
【分析】先利用两角和公式把cos （x ﹣）展开后加上cosx 整理，进而利用两角和的余弦
公式化简，把cos （x ﹣）的值代入即可求得答案．
【解答】解：∵cos （x ﹣）=﹣
，
∴cosx+cos （x ﹣）=cosx+cosx+sinx
=cosx+sinx=
（
cosx+sinx ）=
cos （x ﹣
）=﹣1．
故选C
【点评】此题考查了两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．
10．已知α∈（0，π），cos （α+）=﹣，则tan2α=（ ）
A ．
B ．﹣
或﹣
C ．﹣
D ．﹣ 【考点】两角和与差的余弦函数；二倍角的正切．
【专题】三角函数的求值．
【分析】由已知求得α+∈（，
），从而可求sin （α+
）的值，进而可求tan （α+
）
=±1，从而解得tan α=
﹣2或
+2，从而由二倍角公式可求tan2α的值．
【解答】解：∵α∈（0，π），
∴α+∈（，），
∵cos（α+）=﹣，
∴sin（α+）=±=±，
∴tan（α+）====±1，
从而解得tanα=﹣2或+2，
∴tan2α===﹣或tan2α==
=﹣．
故选：C．
【点评】本题考查二倍角的正切，求得tanα的值是关键，考查运算能力，属于基本知识的考查．
11．若把函数的图象向右平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）
A．B．C．D．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；两角和与差的正弦函数．
【专题】计算题；三角函数的图像与性质．
【分析】利用两角和的余弦公式对解析式进行化简，由所得到的图象关于y轴对称，根据对称轴方程求出m的最小值．
【解答】解：由题意知，=2cos（2x+）
令2x+=kπ，k∈Z，可得对称轴方程x=kπ﹣，k∈Z，
∵函数的图象向右平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，
∴由对称轴的方程得，m的最小值是．
故选B．
【点评】本题考查三角函数的图象变换，考查余弦函数图象的特点，属于基础题．
12．已知函数f（x）=lnx+（x﹣b）2（b∈R）在区间上存在单调递增区间，则实数b的取值范围是（）
A．B．C．（﹣∞，3）D．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【专题】计算题；函数思想；方程思想；转化思想；导数的综合应用．
【分析】利用导函数得到不等式恒成立，然后求解b的范围．
【解答】解：∵函数f（x）在区间上存在单调增区间，
∴函数f（x）在区间上存在子区间使得不等式f′（x）＞0成立．
，
设h（x）=2x2﹣2bx+1，则h（2）＞0或，
即8﹣4b+1＞0或，
得．
故选：B．
【点评】本题考查函数的导数的综合应用，不等式的解法，考查计算能力．
二、填空题（4×5）
13．由命题“存在x∈R，使x2+2x+m≤0”是假命题，则实数m的取值范围为（1，+∞）．
【考点】特称命题．
【专题】计算题．
【分析】原命题为假命题，则其否命题为真命题，得出∀x∈R，都有x2+2x+m＞0，再由△＜0，求得m．
【解答】解：∵“存在x∈R，使x2+2x+m≤0”，
∴其否命题为真命题，即是说“∀x∈R，都有x2+2x+m＞0”，
∴△=4﹣4m＜0，
解得m＞1．
∴m的取值范围为（1，+∞）．
故答案为：（1，+∞）
【点评】本题考查了存在命题的否定，不等式恒成立问题．考查转化、计算能力．
14．若tan x=﹣3，则=．
【考点】同角三角函数基本关系的运用．
【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值．
【分析】利用同角三角函数关系式的应用化简所求，代入已知即可求解．
【解答】解：∵tan x=﹣3，
∴===．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了同角的三角函数关系式的应用，属于基础题．
15．若不等式恒成立，则实数a的最小值为．
【考点】函数恒成立问题．
【专题】转化思想；分类法；函数的性质及应用．
【分析】不等式整理为x2≤log a x在x∈（0，]时恒成立，只需x2的最大值小于log a x的最小值，利用分类讨论对a讨论即可．
【解答】解：不等式恒成立，
即为x2≤log a x在x∈（0，]时恒成立，
∴x2的最大值小于log a x的最小值．
∴x2≤≤log a x，
当a＞1时，log a x为递增，但最小值为负数不成立．
当0＜a＜1时，log a x为递减，
最小值在x=上取到，
∴log a≥=log a，
∴a≥，
故a的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用对数函数的单调性和恒成立思想，考查运算能力，属于中档题．
16．已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，对∀x∈R都有f（x﹣1）=f（x+1）成立，当
x∈（0，1]且x1≠x2时，有＜0．给出下列命题
（1）f（1）=0
（2）f（x）在[﹣2，2]上有5个零点
（3）点（2014，0）是函数y=f（x）的一个对称中心
（4）直线x=2014是函数y=f（x）图象的一条对称轴．
则正确的是（1）（2）（3）．
【考点】抽象函数及其应用．
【专题】计算题；函数的性质及应用．
【分析】（1）令x=0，求f（1）；
（2）由题意可得f（0）=f（1）=f（﹣1）=f（2）=f（﹣2）=0；
（3）证明f（2014+x）=﹣f（2014﹣x）即可；
（4）由于（3）正确，故（4）不正确．
【解答】解：（1）由题意，令x=0，则f（﹣1）=f（1），即﹣f（1）=f（1），则f（1）=0；
（2）由题意，f（0）=0，f（1）=f（﹣1）=0，f（2）=f（1﹣1）=f（0）=0，f（﹣2）=0，
则f（x）在[﹣2，2]上有5个零点；
（3）由f（x﹣1）=f（x+1）可知，f（x）以2为周期，
∵f（2014+x）=f（x），f（2014﹣x）=f（﹣x）=﹣f（x），
∴f（2014+x）=﹣f（2014﹣x），
∴点（2014，0）是函数y=f（x）的一个对称中心，
（4）由于（3）正确，故（4）不正确；
故答案为：（1）（2）（3）．
【点评】本题考查了函数的奇偶性的应用，属于中档题．
三.简答题（70分）
17．已知p：“∃x0∈R，使得x02+mx0+2m﹣3＜0”；q：命题“∀x∈[1，2]，x2﹣m≤0”，若p∨q 为真，p∧q为假，求实数m的取值范围．
【考点】复合命题的真假．
【专题】转化思想；不等式的解法及应用；简易逻辑．
【分析】求出命题p，q为真命题的等价条件，结合p∨q为真，p∧q为假得到p，q一真一假，根据条件关系解不等式即可．
【解答】解：∵命题p为真命题的充要条件是△＞0，即m2﹣4（2m﹣3）＞0，
∴m＞6或m＜2．…（3分）
命题q为真命题的充要条件是m≥4 …（6分）
若p∨q为真，p∧q为假，则p，q一真一假
若p真q假，得m＜2；
若q真p假得4≤m≤6
∴实数m的取值范围为m＜2或4≤m≤6 …（10分）
【点评】本题主要考查复合命题的真假之间的关系的判断，求出命题的等价条件是解决本题的关键．
18．已知函数f（x）=cos
（1）求函数f（x）的周期T；
（2）求f（x）的单调递增区间．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．
【专题】函数思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．
【分析】（1））f（x）=cos﹣sin﹣cos﹣1=﹣cos﹣sin﹣1=﹣sin
（+）﹣1，代入周期公式即可；
（2）f（x）单调递增时，y=sin（+）单调递减，令+2kπ≤≤+2kπ，解出f（x）的单调递增区间．
【解答】解：（1）f（x）=cos=cos﹣sin﹣cos﹣1
=﹣cos﹣sin﹣1=﹣sin（+）﹣1，
∴T==6．
（2）令+2kπ≤≤+2kπ，
∴6k+1≤x≤6k+4，k∈Z
∴f（x）的单调递增区间为[6k+1，6k+4]，k∈Z．
【点评】本题考查了三角函数的恒等变换和单调区间，是基础题．
19．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：元/千克）与销售价格
x（单位：元/千克）满足关系式，其中3＜x＜6，m为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．
【专题】应用题；函数思想；综合法；导数的概念及应用．
【分析】（Ⅰ）通过将x=5时y=11代入函数解析式计算即得m的值；
（Ⅱ）通过（Ⅰ）可知，利用“利润=销售收入﹣成本”代入计算可知
利润，通过求导考查f（x）在区间（3，6）上的单调性，进而计算可得结论．
【解答】解：（Ⅰ）因为销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克，所以
；…．（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知该商品每日的销售量，所以商场每日销售该商品所获得的利润：
…．（8分）
f'（x）=24（x2﹣10x+24）=24（x﹣4）（x﹣6），令f'（x）=0得x=6或x=6（舍去）
f（x）在区间（3，4）上单调递增，在区间（4，6）上单调递减，
∴当x=4时f（x）取最大值f（4）=38…（12分）
【点评】本题考查是一道关于函数的简单应用题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
20．已知函数．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）若关于x的方程f（x）﹣m=1在上有两个不等实数解，求实数m的取值范围．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．
【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．
【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得：f（x）=2cos（2x+）
+1，利用周期公式可求最小正周期，由，即可解得f（x）的单调递增区间．
（2）由，可求，函数f （x ）的值域为[1，3]，
由f （x ）有两个不等实数解，利用余弦函数的图象和性质可得：f （x ）∈[2，3），而f （x ）=m+1，从而可得2≤m+1＜3，即可解得m 的取值范围．
【解答】解：（1）∵
=
，
∴函数f （x ）的最小正周期T==π．
由
，解得，
．
∴函数f （x ）的单调递增区间为：．
（2）∵，
∴，
∴
，
∴函数f （x ）的值域为[1，3]，
而方程f （x ）﹣m=1，变形为f （x ）=m+1，
∵f （x ）有两个不等实数解，利用余弦函数的图象和性质可得：f （x ）∈[2，3），
∴2≤m+1＜3，即1≤m ＜2，
∴m ∈[1，2）．
【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，周期公式，余弦函数的图象和性质，不等式的解法及应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
21．已知函数f （x ）=alnx+
．． （Ⅰ）当a=2时，求f （x ）的单调区间；
（Ⅱ）若f （x ）在区间（1，2）上不具有单调性，求a 的取值范围． 【考点】利用导数研究函数的单调性． 【专题】函数的性质及应用．
【分析】（Ⅰ）当a=2时，求出f′（x）的解析式，令f′（x）=0，求得x的值，再利用导数的符号确定函数f（x）的单调区间．
（Ⅱ）由题意可得，f′（x）=0在（1，2）上有实数根，且在此根的两侧附近，f′（x）异号．由f′（x）=0求得根的值，可得a的取值范围
【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，函数f（x）=alnx+x2﹣（1+a）x 的定义域为（0，+∞），f′
（x）=+x﹣（1+2）=
令f′（x）=0，求得x=1，或x=2．
在（0，1）、（2，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）是增函数；在（1，2）上，f′（x）＜0，f （x）是减函数．
（Ⅱ）若f（x）在区间（1，2）上不具有单调性，则f′（x）=+x﹣1﹣a=0在（1，2）上有实数根，且在此根的两侧附近，f′（x）异号．
由f′（x）=0求得x=1或x=a，
∴1＜a＜2，
故a的取值范围为（1，2）．
【点评】本题主要考查求函数的导数，利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
22．已知函数f（x）=+alnx（a不是0）
（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值和单调区间；
（Ⅱ）若在区间[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，求实数a的取值范围．
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．
【专题】导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）通过a=1，求出函数的导数，利用导数为0求出极值点，判断导函数的符号即可求解函数单调区间；
（Ⅱ）求出函数的导数，求解极值点，转化在区间[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，为求解函数的最值问题，利用a的取值范围的讨论，求解函数的最值，即可求得实数a的取值范围．
【解答】解：（I）因为，…（2分）
当a=1，，令f'（x）=0，得x=1，又f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x），
f（x）随x的变化情况如下表：
x （0，1） 1 （1，+∞）
f'（x）﹣0 +
f（x）↘极小值↗
所以x=1时，f（x）的极小值为1．…（4分）f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）；…（5分）
（II）因为，且a≠0，令f'（x）=0，得到，
若在（0，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，其充要条件是f（x）在区间（0，e]上的
最小值小于0即可．（1）当，即a＜0时，f'（x）＜0对x∈（0，+∞）成立，所以f（x）在区间（0，e]上单调递减，
故f（x）在区间（0，e]上的最小值为，
由，得，即…（8分）
（2）当，即a＞0时，
①若，则f'（x）≤0对x∈（0，e]成立，所以f（x）在区间（0，e]上单调递减，
所以，f（x）在区间（0，e]上的最小值为，
显然，f（x）在区间（0，e]上的最小值小于0不成立…（10分）
②若，即时，则有
x
f'（x）﹣0 +
f（x）↘极小值↗
所以f（x）在区间（0，e]上的最小值为，
由，
得1﹣lna＜0，解得a＞e，即a∈（e，+∞）．
综上，由（1）（2）可知：符合题意．…（12分）【点评】本题考查函数的导数的应用，考查分类讨论思想的应用，同时考查转化思想的应用．。