2013年北约自主招生数学试题与答案

1. 1

（ ）

A. 2次

B. 3次

C. 5次

D. 6次

2. 在66⨯的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车，每一行每一列只

有一辆车，每辆车占一格，共有几种停放方法？ （ ）

A. 720

B. 20

C. 518400

D. 14400

3. 已知2

2

25,25x y y x =+=+，求3

2

2

3

2x x y y -+的值

（ ）

A. 10

B. 12

C. 14

D. 16

4. 数列{}n a 满足11a =，前n 项和为1,42n n n S S a +=+，求2013a

（ ）

A. 3019⨯2 2012

B. 3019⨯22013

C. 3018⨯22012

D.无法确定

5. 如图，ABC ∆中，AD 为BC 边上中线，,DM DN 分别,ADB ADC ∠∠的角平分线，

则BM CN +与MN 的大小关系为

（ ）

A. BM+CN>MN

B. MN +CN

C. BM+CN =MN

D.无法确定

6. 模长为1的复数A B C 、、，满足0A B C ++≠，求

AB BC CA

A B C

++++的模长 （ ）

A. -1/2

B. 1

C. 2

D.无法确定

7. 最多能取多少个两两不等的正整数，使得其中任意三个数之和都为素数。

8. 已知1232013a a a a R ∈、、、、，满足12320130a a a a ++++=，且

122334201220132013122222a a a a a a a a a a -=-=-=

=-=-。

求证：12320130a a a a =====.

9. 对任意的θ，求632cos cos66cos 415cos 2θθθθ---的值.

10. 已知有mn 个实数，排列成m n ⨯阶数阵，记作{}

mxn

ij

a ，使得数阵中的每一行从左到

右都是递增的，即对任意的123i m =、、、、，当12j j <时，都有12ij ij a a ≤.现将{}

mxn

ij

a 的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的m n ⨯阶数阵，记作

{}

mxn

ij a '，即对任意的123j n =、、、、，当12i i <时，都有12i j i j a a ''≤.试判断{}

mxn

ij

a '中

每一行的n 个数的大小关系，并说明理由.

2013-03-16

（时间90分钟，满分120分）

1．

和1

A. 2

B. 3

C. 5

D. 6

解析：显然，多项式23

()(2)(1)2f x x x ⎡⎤=---⎣⎦

和1

1 5. 若存在一个次数不超过4的有理系数多项式4

3

2

()g x ax bx cx dx e =++++，

其两根分别为

和1,,,,a b c d e 不全为0，则：

420

(42)(2020

a c e g

a c e

b d b d ++=⎧=++++=⇒⎨+=⎩

(

1(7)(232(630g a b c d e a b c d a b c =-+----+++++=

702320

a b c d e a b c d +---=⎧⇒⎨+++=⎩ 即方程组：420

(1)20(2)70(3)2320(4)630

(5)a c e b d a b c d e a b c d a b c ++=⎧⎪+=⎪⎪

+---=⎨⎪+++=⎪

++=⎪⎩，有非0有理数解.

由（1）+（3）得：110a b c d ++-= （6） 由（6）+（2）得：1130a b c ++= （7） 由（6）+（4）得：13430a b c ++= （8） 由（7）-（5）得：0a =，代入（7）、（8）得：0b c ==，代入（1）、（2）知：0d e ==.

于是知0a b c d e =====，与,,,,a b c d e 不全为0矛盾.所以不存在一个次数不超过4的有理系数多项式()g x

和1

1 5.

2． 在66⨯的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车，每一行每一列只

有一辆车，每辆车占一格，共有几种停放方法？

A. 720

B. 20

C. 518400

D. 14400

解析：先从6行中选取3行停放红色车，有3

6C 种选择.最上面一行的红色车位置有6种选择；

最上面一行的红色车位置选定后，中间一行的红色车位置有5种选择；上面两行的红色车位置选定后，最下面一行的红色车位置有4种选择。三辆红色车的位置选定后，黑色车的位置

有3！=6种选择。所以共有3

6654614400C ⨯⨯⨯⨯=种停放汽车的方法.

3． 已知2225,25x y y x =+=+，求3223

2x x y y -+的值. A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 解析：根据条件知：

32232(25)2(25)(25)(25)x x y y x y y x y x -+=+-++++1515450x y xy =---

由2

2

25,25x y y x =+=+两式相减得()()22x y x y y x -+=-故y x =或2x y +=-

①若x y =则225x x =+，解得1x =于是知1x y ==1x y ==

当1x y ==

3223222415()50430504(25)3870x x y y xy x y x x x x x -+=-++-=---=-----

3870108x =--=--

当1x y ==

3223222415()50430504(25)3870x x y y xy x y x x x x -+=--+-=---=-+---

22(25)(25)2()2x y y x y x x y +=+-+=-⇒+=-3870108x =--=-+（2）若x y ≠，则根据条件知：2

2

(25)(25)2()2x y y x y x x y +=+-+=-⇒+=-，于是2

2

(25)(25)2()106x y y x x y +=+-+=++=，

进而知222()()

12

x y x y xy +-+=

=-. 于是知：3

2

2

3

2415()5016x x y y xy x y -+=-+-=-.

综上所述知，3

2

2

3

2x x y y -+的值为108-±16-.

4． 数列{}n a 满足11a =，前n 项和为1,42n n n S S a +=+，求2013a .