第8章-第5节 第八章平面解析几何第八章平面解析几何教案资料
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此时，|AB|＝2×ba2＝2×2 3＝3， ∴S△FAB＝12×2×3＝3.
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[答案] 3
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5．(2014·江西高考)过点 M(1,1)作斜率为－12的直线与椭圆 C： xa22＋by22＝1(a>b>0)相交于 A，B 两点，若 M 是线段 AB 的中点，则 椭圆 C 的离心率等于________．
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2．椭圆的标准方程和几何性质
标准 方程
xa22＋by22＝1(a>b>0)
ya22＋bx22＝1(a>b>0)
图形
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范
－a≤x≤ a
围
－b≤y≤ b
－b≤x≤ b －a≤y≤ a
性 顶 A1 (－a,0)，A2 (a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 质 点 B1(0，－b)，B2(0，b) B1(－b,0) ，B2 (b,0)
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
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2．(教材习题改编)焦点在 x 轴上的椭圆x52＋ym2＝1 的离心率为 510，则 m＝________.
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[解析] 由题设知 a2＝5，b2＝m，c2＝5－m，e2＝ac22＝5－5 m＝ ( 510)2＝25，
(1)动点 P 到两定点 A(－2,0)，B(2,0)的距离之和为 4，则点 P 的轨迹是椭圆．( )
(2)椭圆上一点 P 与两焦点 F1，F2 构成△PF1F2 的周长为 2a＋ 2c(其中 a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．( )
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焦
F1 (－c,0)
点
F2 (c,0)
F1(0，－c) F2 (0，c)
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准线
性 质轴
焦距 离心率
l1l：2：xxx＝＝＝x＝－a－ca2acca22c2
l1l：2：yy＝yy＝＝＝－－aacca22ca2c2
长轴 A1A2 的长为 2a
短轴 B1B2 的长为 2b
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固
启
基
智
础
慧
·
·
自
高
主
考
落
研
实
第五节 椭 圆
析
提
知
课
能
后
·
限
典
时
例
自
探
测
究
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要求
考
内容
AB C 纲
中心在坐标原点的椭
传
圆的标准方程与几何
√
真
性质
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1．椭圆的定义 (1)第一定义：平面内与两个定点 F1，F2 的距离之和等于常数(大 于|F1F2 |)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点 叫做椭圆的焦点，两个 焦点 的距离叫做焦距．
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(2)第二定义：平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离的比 是常数e( 0 <e<1)的动点的轨迹是椭圆，定点 F 叫做椭圆的焦点， 定直线 l 叫做焦点 F 相应的准线，根据椭圆的对称性，椭圆有两个 焦点和两条准线．
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(3)椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆．( ) (4)已知点 F 为平面内的一个定点，直线 l 为平面内的一条定直 线．设 d 为平面内一动点 P 到定直线 l 的距离，若 d＝54|PF|，则点 P 的轨迹为椭圆．( )
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[解析] (1)错误，|PA|＋|PB|＝|AB|＝4，点 P 的轨迹为线段 AB； (2)正确，根据椭圆的第一定义知 PF1＋PF2＝2a，F1F2＝2c，故△ PF1F2 的周长为 2a＋2c；(3)错误，椭圆的离心率越大，椭圆越扁．(4) 正确，根据椭圆的第二定义．
F1F2＝ 2c
e＝ac，且 e∈ (0,1)
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a，b，c 性 的关系 质
对称性
c2＝ a2－b2
对称轴：坐标轴 对称中心： 原点
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1．(夯基释疑)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误 的打“×”)
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∵yx11－ －yx22＝－12，x1＋x2＝2，y1＋y2＝2， ∴－ba22＝－12， ∴a2＝2b2.又∵b2＝a2－c2，
∴a2＝2(a2－c2)，∴a2＝2c2，∴ac＝
2 2.
[答案]
2 2
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考向 1 椭圆的定义与标准方程 【典例 1】 (1)(2014·全国大纲卷改编)已知椭圆 C：xa22＋by22＝ 1(a>b>0)的左、右焦点为 F1、F2，离心率为 33，过 F2 的直线 l 交 C 于 A、B 两点．若△AF1B 的周长为 4 3，则 C 的方程为________． (2)(2014·苏州质检)椭圆的中心在原点，焦距为 4，一条准线为 x＝－4，则该椭圆的方程为________．
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[解析]
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则aaxx212222＋＋byby222122＝＝11，，
∴x1－x2a2x1＋x2＋y1－y2b2y1＋y2＝0，
∴yx11－ －yx22＝－ba22·xy11＋ ＋xy22.
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∴5－m＝2，∴m＝3. [答案] 3
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3．椭圆的焦点坐标为(0，－6)，(0,6)，椭圆上一点 P 到两焦 点的距离之和为 20，则椭圆的标准方程为________．
[解析] 椭圆的焦点在 y 轴上，且 c＝6,2a＝20，∴a＝10，b2 ＝a2－c2＝64，故椭圆方程为6x42 ＋1y020＝1.
[答案] 6x42 ＋1y020＝1
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4．(2014·无锡质检)椭圆x42＋y32＝1 的左焦点为 F，直线 x＝m 与椭圆相交于点 A，B，当△FAB 的周长最大时，△FAB 的面积是 ________．
[解析] 直线 x＝m 过右焦点(1,0)时，△FAB 的周长最大，由 椭圆定义知，其周长为 4a＝8，
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5．(2014·江西高考)过点 M(1,1)作斜率为－12的直线与椭圆 C： xa22＋by22＝1(a>b>0)相交于 A，B 两点，若 M 是线段 AB 的中点，则 椭圆 C 的离心率等于________．
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2．椭圆的标准方程和几何性质
标准 方程
xa22＋by22＝1(a>b>0)
ya22＋bx22＝1(a>b>0)
图形
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范
－a≤x≤ a
围
－b≤y≤ b
－b≤x≤ b －a≤y≤ a
性 顶 A1 (－a,0)，A2 (a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 质 点 B1(0，－b)，B2(0，b) B1(－b,0) ，B2 (b,0)
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
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2．(教材习题改编)焦点在 x 轴上的椭圆x52＋ym2＝1 的离心率为 510，则 m＝________.
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[解析] 由题设知 a2＝5，b2＝m，c2＝5－m，e2＝ac22＝5－5 m＝ ( 510)2＝25，
(1)动点 P 到两定点 A(－2,0)，B(2,0)的距离之和为 4，则点 P 的轨迹是椭圆．( )
(2)椭圆上一点 P 与两焦点 F1，F2 构成△PF1F2 的周长为 2a＋ 2c(其中 a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．( )
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焦
F1 (－c,0)
点
F2 (c,0)
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准线
性 质轴
焦距 离心率
l1l：2：xxx＝＝＝x＝－a－ca2acca22c2
l1l：2：yy＝yy＝＝＝－－aacca22ca2c2
长轴 A1A2 的长为 2a
短轴 B1B2 的长为 2b
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固
启
基
智
础
慧
·
·
自
高
主
考
落
研
实
第五节 椭 圆
析
提
知
课
能
后
·
限
典
时
例
自
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要求
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中心在坐标原点的椭
传
圆的标准方程与几何
√
真
性质
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1．椭圆的定义 (1)第一定义：平面内与两个定点 F1，F2 的距离之和等于常数(大 于|F1F2 |)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点 叫做椭圆的焦点，两个 焦点 的距离叫做焦距．
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(2)第二定义：平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离的比 是常数e( 0 <e<1)的动点的轨迹是椭圆，定点 F 叫做椭圆的焦点， 定直线 l 叫做焦点 F 相应的准线，根据椭圆的对称性，椭圆有两个 焦点和两条准线．
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(3)椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆．( ) (4)已知点 F 为平面内的一个定点，直线 l 为平面内的一条定直 线．设 d 为平面内一动点 P 到定直线 l 的距离，若 d＝54|PF|，则点 P 的轨迹为椭圆．( )
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[解析] (1)错误，|PA|＋|PB|＝|AB|＝4，点 P 的轨迹为线段 AB； (2)正确，根据椭圆的第一定义知 PF1＋PF2＝2a，F1F2＝2c，故△ PF1F2 的周长为 2a＋2c；(3)错误，椭圆的离心率越大，椭圆越扁．(4) 正确，根据椭圆的第二定义．
F1F2＝ 2c
e＝ac，且 e∈ (0,1)
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a，b，c 性 的关系 质
对称性
c2＝ a2－b2
对称轴：坐标轴 对称中心： 原点
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∵yx11－ －yx22＝－12，x1＋x2＝2，y1＋y2＝2， ∴－ba22＝－12， ∴a2＝2b2.又∵b2＝a2－c2，
∴a2＝2(a2－c2)，∴a2＝2c2，∴ac＝
2 2.
[答案]
2 2
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考向 1 椭圆的定义与标准方程 【典例 1】 (1)(2014·全国大纲卷改编)已知椭圆 C：xa22＋by22＝ 1(a>b>0)的左、右焦点为 F1、F2，离心率为 33，过 F2 的直线 l 交 C 于 A、B 两点．若△AF1B 的周长为 4 3，则 C 的方程为________． (2)(2014·苏州质检)椭圆的中心在原点，焦距为 4，一条准线为 x＝－4，则该椭圆的方程为________．
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[解析]
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则aaxx212222＋＋byby222122＝＝11，，
∴x1－x2a2x1＋x2＋y1－y2b2y1＋y2＝0，
∴yx11－ －yx22＝－ba22·xy11＋ ＋xy22.
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∴5－m＝2，∴m＝3. [答案] 3
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3．椭圆的焦点坐标为(0，－6)，(0,6)，椭圆上一点 P 到两焦 点的距离之和为 20，则椭圆的标准方程为________．
[解析] 椭圆的焦点在 y 轴上，且 c＝6,2a＝20，∴a＝10，b2 ＝a2－c2＝64，故椭圆方程为6x42 ＋1y020＝1.
[答案] 6x42 ＋1y020＝1
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4．(2014·无锡质检)椭圆x42＋y32＝1 的左焦点为 F，直线 x＝m 与椭圆相交于点 A，B，当△FAB 的周长最大时，△FAB 的面积是 ________．
[解析] 直线 x＝m 过右焦点(1,0)时，△FAB 的周长最大，由 椭圆定义知，其周长为 4a＝8，