大学物理 电通量 高斯定理

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电场线
1.规定： a) 切线方向表示电场方向; b) 疏密表示场强大小。
方向：切线；
E
大小：E
N S
电力线密度
E
方向
dS E
大小 大学物理
2. 性质:
(1) 起于正电荷(或无穷远)，终止于负电荷(或无穷远)，在无 电荷处不间断也不相交，称为有源场。 (2) 电场线不闭合，称为无旋场。故静电场 是有源无旋场。
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思考
如果线粗细不可忽略，空间场强分布如何？
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例 均匀带电无限长圆柱面的电场。 沿轴线方向单位长度带电量为
高
解：场具有轴对称 高斯面：同轴圆柱面
斯
(1) r <R
e E dS E dS E dS E dS
s
上底
下底
侧面
0 0 E2rl E2rl
l
面
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求：电荷面密度为 的无限大均匀带电平面的场强分布。
解：a. 对称性分析：回顾带电圆盘例题的结论或者面由线组成分析。
b. 选择高斯面—— 与平面正交对称的柱面
底面 E dS 且 大小相等；
E
+
侧面 E dS
+ +
++ ++ ++
dS E
dS
e
E
d
S
S
S
0
+
2SE
E 2 0
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二、 高斯定理的解题步骤：
❖ 定性分析带电体系激发的电场分布情况 ❖ 选取合适的高斯面：
✓ 场点必须在高斯面上。 ✓ 高斯面上各个部份场强要么大小相等，要么与面上场强平
行或垂直。
❖ 根据对称性，选择适当的坐标系，应用高斯定理求解 ❖ 对某些对称分布带电体的简单组合，可以对各带电体
分别使用高斯定理，再用场强的叠加原理求解合场强
电场中假想的曲线
a) 电场线为假想的线,电场中并不存在；
说明:
b) 电荷在电场中的轨迹不是电场线。
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几种常见电场的电场线
点电荷的电力线
负电荷
正电荷
+
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一对等量异号电荷的电场线
+
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一对等量正点电荷的电场线
+
+
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一对异号不等量点电荷的电力线
2+q
q
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带电平行板电容器的电场
对于均匀、对称 的电场，可用之求电场强度。
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4. 高斯定理的应用
❖ 一、求场强的思路
高斯定理反映的是电通量与电荷的关系，而不是场强 与电荷的直接联系。要通过电通量计算场强，就需要 在高斯定理表达式中，将场强从积分号中提出来，这 就导致要求电场的分布具有某种特殊的对称性。
几类对称性：
❖ 电场分布轴对称 ❖ 电场分布球对称 ❖ 电场分布面对称
e E dS qi 0
S
S： 闭合曲面，称为高斯面
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2. 静电场高斯定理的验证
1）. 点电荷q 位于球面S 的球心 r q
ee
E
• ddSs
EEccooss000ddSs
S
Ss
S
S
SS
qq
44 00rr22
q
ddSS
与球面半径无关，即以点电荷q为中心的任一球 面，不论半径大小如何，通过球面的电通量都相
SE
e ES cos E S
S
E
3、非均匀电场、任意曲面
ndS
de
E dS
e
E dS
S
单位：Vm
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e SE dS＝ E cosds
其中：cos 是E与面元ds法向之间的夹角的余弦。
是
e
标量，且有正负之分，其正负决定于
曲面法线方向的选取。
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4)闭合曲面的法向：规定外法线（指向曲面外部空间的法线） 为正向。
dS
r
E
l
dS
上下底面
E dS
侧面 E //，d且S同一柱面
e
E
上E dS
大小相等。
l
S
0
E
侧E？ dS E底0E 2drSl
dS
dS
E
2 0r
方向：如图所示。
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无限长均匀带电直线的场强
E
2 0r
当 0, E 方向垂直带电导体向外
当 0, E 方向垂直带电导体向里
S
( E E1 E 2 ...... E n ) d S
S
E d S E1 d S E 2 d S E n d S
S
S
S
S
0 q1 q2 qn
0 0
0
q1
1
q
0
i
q2 qn S
q
对连续带电体，高斯定理为
1
E dS 0 dq 大学物理
结论：静电场是有源场，正电荷所在处就是静电
++ + +E
s2
+
+
qi q E2 4r 2 q 0 + R O
r
q
E2 4 0r 2
相当于电荷集中在球心的点电荷
+ +
q
+ +
+++ +
E
1
q
4 0 R2
O
r2
R
r
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扩展：
两个同心带电球壳，半径为R1和R２， 电量分别为Q1和Q2, 填空：
r R1 ,
E
R1 r R2 , E
E2
E1
解：
E1
1 2 0
E2
2 2 0
EA
1 2 2 0
i
EB
1 2 2 0
i
C
EC
1
2
i
2 0
大学物理当1 = - 2源自EA EC 0EB
0
此即带电平板电容器间 的场强
结论
一对等量异号电荷的无限大平面，他们的电场只集 中在两个平板之间，在平板外侧无电场。
此即以后的平行板电容器模型。
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1. 分析对称性：
dl1
dE1
P O
dl２
dE2
dE 凡是和P点一样，距离为ｒ的各点和P
点相比，没有任何特殊性，故场强相同 的各点在空间构成一个圆柱面。
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轴对称的含义：
凡是与轴线距离相等的各 点上场强的大小都相等， 方向沿着轴的矢径成辐射 状。
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2. 选择高斯面——同轴柱面
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判断正误
如果高斯面内无电荷，则高斯面上场强处处为０ 如果高斯面上场强处处不为０，则高斯面内必有
电荷 如果高斯面内有电荷，则高斯面上场强处处不为０
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课堂讨论
●q ●q
1．立方体边长 a，求
位于中 心
q
过每一面的通量e
q
6 0
位于一顶点
e
0 q
240
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[例] 如图所示，一厚度 b 无穷大带电平板，体电荷密
度为 =kx （0 ≤ x ≤ b）。求：（1）空间的电
场分布；（2）板内何处电场为零。
解:利用无穷大带电
平板问题叠加，取厚
度为 dx 的薄平面,则 P1
d
dx’
xP
P2 x
面电荷密度为
Ox b
d dx kxdx
对点的 P 电场强
d kxdx
dE
2 0 2 0
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1)板内任意点：
E1
r R E2rl l
0
r
E 2 0 R2 r R
2 0r r R
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结论：
无限长均匀带电圆柱面面外、无限长均匀带电圆柱 体体外一点的电场强度相当于把所有电荷集中在轴 线上的一个无限长带电直线所产生的电场
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+ ++ ++ ++ ++ +
3、平面对称分布
❖ 例如：均匀带电无限大平面或平板、 若干个无限大均匀带电平行平面
++ ++ + + + + +
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7-3-2 电通量
通过电场中某一面的电力线数称为通过该面的电通量。
用e表示。
（1）均匀电场
（a）S与电场强度方向垂直
S
E
（b）S 法线方向与电场强度
方向成角
Sn
E
e ES
e ES cos
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S
nE
1、均匀电场 E n
e ES
n
2、均匀电场 E n =
x kx dx k x2
0 2 0
4 0
向右
E2
b kx dx
k
(b2 x2 )
x 2 0
4 0
向左
P1
E
p
E1
E2
k
4 0
(2x2
b2 )
O
EP 0,
xP
b 2
2)板外：x 0 ,
x b,
kb2
E P1
4 0
kb2
E P2 4 0
dx dx’
P
P2 x
xb
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[例] 如图所示，体电荷密度为 ，半径为 R1 的均匀带电球体， 内部挖去一个半径为 R2 的球体空腔，求腔内的电场强度。