大学物理 电通量 高斯定理

++ + +E
s2
+
+
qi q E2 4r 2 q 0 + R O
r
q
E2 4 0r 2
相当于电荷集中在球心的点电荷
+ +
q
+ +
+++ +
E
1
q
4 0 R2
O
r2
R
r
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扩展：
两个同心带电球壳，半径为R1和R２， 电量分别为Q1和Q2, 填空：
r R1 ,
E
R1 r R2 , E
SE
e ES cos E S
S
E
3、非均匀电场、任意曲面
ndS
de
E dS
e
E dS
S
单位：Vm
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e SE dS＝ E cosds
其中：cos 是E与面元ds法向之间的夹角的余弦。
是
e
标量，且有正负之分，其正负决定于
曲面法线方向的选取。
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4)闭合曲面的法向：规定外法线（指向曲面外部空间的法线） 为正向。
q 等。
4 0r 2 S dS 0
s
2）. 点电荷q 位于任意闭
合曲面S´内
rq
eS
eS
q
0
S
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3） 场源电荷为点电荷，但在闭合曲面外。
+q
因为有几条电力线进面内必然有同样数目的电力线 从面内出来。
es 0 E • dS 0
s
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4. 闭合曲面内包围多个点电荷
e E d S
场的源头
e
E dS 0
S
通量不为0的矢量场称为有源场
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c. qi 0 e 0
表明电场线从正电荷发出，穿出闭合曲面, 所以正电荷是静电场的源头。
qi 0 e 0
表明有电场线穿入闭合曲面而终止于负电荷， 所以负电荷是静电场的尾。
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高斯定理为求电场强度提供了一条途径. 高斯定理比库仑定律更广泛，适用于任何电场， 是电磁场理论的基本方程之一。
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二、 高斯定理的解题步骤：
❖ 定性分析带电体系激发的电场分布情况 ❖ 选取合适的高斯面：
✓ 场点必须在高斯面上。 ✓ 高斯面上各个部份场强要么大小相等，要么与面上场强平
行或垂直。
❖ 根据对称性，选择适当的坐标系，应用高斯定理求解 ❖ 对某些对称分布带电体的简单组合，可以对各带电体
分别使用高斯定理，再用场强的叠加原理求解合场强
度为 =kx （0 ≤ x ≤ b）。求：（1）空间的电
场分布；（2）板内何处电场为零。
解:利用无穷大带电
平板问题叠加，取厚
度为 dx 的薄平面,则 P1
d
dx’
xP
P2 x
面电荷密度为
Ox b
d dx kxdx
对点的 P 电场强
d kxdx
dE
2 0 2 0
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1)板内任意点：
E1
r R E2rl l
0
r
E 2 0 R2 r R
2 0r r R
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结论：
无限长均匀带电圆柱面面外、无限长均匀带电圆柱 体体外一点的电场强度相当于把所有电荷集中在轴 线上的一个无限长带电直线所产生的电场
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+ ++ ++ ++ ++ +
3、平面对称分布
❖ 例如：均匀带电无限大平面或平板、 若干个无限大均匀带电平行平面
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求：电荷面密度为 的无限大均匀带电平面的场强分布。
解：a. 对称性分析：回顾带电圆盘例题的结论或者面由线组成分析。
b. 选择高斯面—— 与平面正交对称的柱面
底面 E dS 且 大小相等；
E
+
侧面 E dS
+ +
++ ++ ++
dS E
dS
e
E
d
S
S
S
0
+
2SE
E 2 0
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扩展 当场源是几个具有对称性的带电体时，可用高 斯定理分别求各带电体单独存在时的场强，再 作矢量叠加。
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例题 求：电荷面密度分别为1、2两个平行放置的 无限大均匀带电平面的场强分布。
x
E1
E2
A
1+ ++ ++ ++ ++ ++ +
E1
E2
B
2+ ++ ++ ++ ++ ++ +
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判断正误
如果高斯面内无电荷，则高斯面上场强处处为０ 如果高斯面上场强处处不为０，则高斯面内必有
电荷 如果高斯面内有电荷，则高斯面上场强处处不为０
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课堂讨论
●q ●q
1．立方体边长 a，求
位于中 心
q
过每一面的通量e
q
6 0
位于一顶点
e
0 q
240
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[例] 如图所示，一厚度 b 无穷大带电平板，体电荷密
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三、高斯定理的应用举例
1、电荷分布球对称 如：均匀带电球面或者球体 例题1 求电量为Q 、半径为R的均匀带电球面的场强分布。
ａ：对称性分析：
由于电荷分布球对称，所以电场分布
P
也球对称，
可以设想，凡是距离O点为ｒ的各点
场强的大小都相等。
OR
球对称分布：在任何与均匀带 电球壳同心的球面上各点的场 强大小都相等，方向沿着半径 方向呈辐射状。
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解: 对称性分析 E具有球对称作高斯面——球面
1） r R
电通量
e E1 dS
E1 dS E1 4r 2
s1
电量 qi 0
用高斯定理求解
+
+ +
R
+
+
r
E
+ +q
+
+
+
+
+
+++ +
E14r2 0 E1 0
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2） r R e E2 dS E2 dS E2 4r 2
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思考
如果线粗细不可忽略，空间场强分布如何？
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例 均匀带电无限长圆柱面的电场。 沿轴线方向单位长度带电量为
高
解：场具有轴对称 高斯面：同轴圆柱面
斯
(1) r <R
e E dS E dS E dS E dS
s
上底
下底
侧面
0 0 E2rl E2rl
l
面
➢高斯面若选取不当，我们就不能处理高斯积分， 即不可能计算出场强，但是高斯定理仍然成立。
➢均匀带电球面的面外、球体的球外一点的场强 相当于把所有电荷集中在球心的一个点电荷所产 生的电场； ➢均匀带电球面的面内任意点场强处处为零；
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二、 轴对称分布：
无线长均匀带电细直线 无线长圆柱体 无线长柱面及其同轴组合 例7-3-4 ：求：电荷线密度为 的无限长带电直线的场强分布。 无线长的物理含义：指ｒ与带电直线的线度L相比非常小， 看不到线段的边。
x kx dx k x2
0 2 0
4 0
向右
E2
b kx dx
k
(b2 x2 )
x 2 0
4 0
向左
P1
E
p
E1
E2
k
4 0
(2x2
b2 )
O
EP 0,
xP
b 2
2)板外：x 0 ,
x b,
kb2
E P1
4 0
kb2
E P2 4 0
dx dx’
P
P2 x
xb
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[例] 如图所示，体电荷密度为 ，半径为 R1 的均匀带电球体， 内部挖去一个半径为 R2 的球体空腔，求腔内的电场强度。
电场中假想的曲线
a) 电场线为假想的线,电场中并不存在；
说明:
b) 电荷在电场中的轨迹不是电场线。
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几种常见电场的电场线
点电荷的电力线
负电荷
正电荷
+
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一对等量异号电荷的电场线
+
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一对等量正点电荷的电场线
+
+
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一对异号不等量点电荷的电力线
2+q
q
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带电平行板电容器的电场
R2 r,
E
R1， Q1
R２， Q2
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结论
❖ 距离球心r处任意点的场强，只由半径小于r处的 球壳所带电量决定
❖ 其场强相当于将这些球壳上的电量、置于球心处 所产生的场强，而与半径大于r处的球壳所带电量 无关
❖ 分析高斯面内的静电荷时，要注意有时要分区间 讨论
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例2. 均匀带电球体的电场。已知q,R
对于均匀、对称 的电场，可用之求电场强度。
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4. 高斯定理的应用
❖ 一、求场强的思路
高斯定理反映的是电通量与电荷的关系，而不是场强 与电荷的直接联系。要通过电通量计算场强，就需要 在高斯定理表达式中，将场强从积分号中提出来，这 就导致要求电场的分布具有某种特殊的对称性。
几类对称性：
❖ 电场分布轴对称 ❖ 电场分布球对称 ❖ 电场分布面对称
e E dS qi 0
S
S： 闭合曲面，称为高斯面
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2. 静电场高斯定理的验证
1）. 点电荷q 位于球面S 的球心 r q
ee
E
• ddSs
EEccooss000ddSs
S
Ss
S
S
SS
qq
44 00rr22
q
ddSS
与球面半径无关，即以点电荷q为中心的任一球 面，不论半径大小如何，通过球面的电通量都相
S
( E E1 E 2 ...... E n ) d S
S
E d S E1 d S E 2 d S E n d S
S
S
S
S
0 q1 q2 qn
0 0
0
q1
1
q
0
i
q2 qn S
q
对连续带电体，高斯定理为
1
E dS 0 dq 大学物理
结论：静电场是有源场，正电荷所在处就是静电
E2
E1
解：
E1
1 2 0
E2
2 2 0
EA
1 2 2 0
i
EB
1 2 2 0
i
C
EC
1
2
i
2 0
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当1 = - 2
EA EC 0
EB
0
此即带电平板电容器间 的场强
结论
一对等量异号电荷的无限大平面，他们的电场只集 中在两个平板之间，在平板外侧无电场。
此即以后的平行板电容器模型。
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上册
§7. 3 电通量 高斯定理
§7. 3 电通量 高斯定理
7-3-1 电场线及其性质
❖ 标量场： 在空间各点存在着一个标量，它的数值是 空间位置的函数，如温度场、气压场
❖ 矢量场：在空间各点存在着一个矢量，它的值是空 间位置的函数，如流速场、电场、磁场 ▪ 场线：就是一些有方向的曲线，其上每一点的切 线方向都和该点的场矢量方向一致，场线的疏密 反映矢量的大小。
++ ++ + + + + +
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7-3-2 电通量
通过电场中某一面的电力线数称为通过该面的电通量。
用e表示。
（1）均匀电场
（a）S与电场强度方向垂直
S
E
（b）S 法线方向与电场强度
方向成角
Sn
E
e ES
e ES cos
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S
nE
1、均匀电场 E n
e ES
n
2、均匀电场 E n =
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电场线
1.规定： a) 切线方向表示电场方向; b) 疏密表示场强大小。
方向：切线；
E
大小：E
N S
电力线密度
E
方向
dS E
大小 大学物理
2. 性质:
(1) 起于正电荷(或无穷远)，终止于负电荷(或无穷远)，在无 电荷处不间断也不相交，称为有源场。 (2) 电场线不闭合，称为无旋场。故静电场 是有源无旋场。
解： r<R
e E
qi 4
dS
选择高斯面——过待求场点的同心球面
E4r 2
q 4 R3
q 4 r 3
3 E
R3 3
3
q
E4r 2
1
0
qr 3 R3
R r
场强
E
qr
4 0R3
高斯面
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r>R
电通量
e E dS E4r 2
电量
qi q
高斯定理
E4r 2 q 0
场强
q
E 4 0r 2
dS
r
E
l
dS
上下底面
E dS
侧面 E //，d且S同一柱面
e
E
上E dS
大小相等。
l
S
0
E
侧E？ dS E底0E 2drSl
dS
dS
E
2 0r
方向：如图所示。
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无限长均匀带电直线的场强
E
2 0r
当 0, E 方向垂直带电导体向外
当 0, E 方向垂直带电导体向里
e
E cosdS
S
E dS
S
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❖注意：
▪ 1．电通量是对面或面元而言的，对某点谈电通量无 意义。
▪ 2．电通量是代数量，可正、可负、可以为零。 ▪ 3．电通量的叠加原理：多个点电荷对某一曲面的电
通量等于它们单独存在时通量的代数和。
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7-3-3 静电场的高斯定理
1. 定理 真空中的静电场内，通过任意封闭曲面的电通量等 于曲面内所包围的电荷电量的代数和除以真空介电 常数。与闭合面外的电荷无关。
E
R r
高斯面
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均匀带电球体电场强度分布曲线
E
q 4 0 R2
O
R
E
R
εO
r
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典型结论
均匀带电球面：
E
0 q
4 0r 2
rR rR
均匀带电球体：
E
4 4
qr
0 R3
r
q
0r 2
r
R R
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讨论
➢虽然高斯积分为曲面积分，但是由于电场分布 的特点我们并没有真正计算这个高斯积分，而是 通过数学分析直接得到结果。
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1. 分析对称性：
dl1
dE1
P O
dl２
dE2
dE 凡是和P点一样，距离为ｒ的各点和P
点相比，没有任何特殊性，故场强相同 的各点在空间构成一个圆柱面。
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轴对称的含义：
凡是与轴线距离相等的各 点上场强的大小都相等， 方向沿着轴的矢径成辐射 状。
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2. 选择高斯面——同轴柱面
r E
qi 0
E0
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(2) r >R
e E dS E dS E dS E dS
s
上底
下底
侧面
高
E2rl
斯
面
E
2 0r
若题目告诉的是面密度：
qi 2Rl
E
R
E
r 0
r
l
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课堂练习： 求均匀带电无限长圆柱体的场强分布，
已知R，
rR
E 2rl
0R2
r 2l