5第五讲 不定方程 学生版

第五讲 不定方程

本讲概述

一次不定方程

(1)a,b 是非零整数，d=(a,b)，则对每个整数c,不定方程 ax+by=c 有整数解当且仅当d|c.

(2)设a,b 是非零整数，(a,b)=d, n 是整数。若(x,y)=是不定方程 的一组整数解，则次方程的全部整数解为.t 取所有整数。

注：当n=1时，（1）就是裴蜀定理。(1)和（2）都能推广到多元的形式。

（3）中国剩余定理 （孙子定理 ）

设是k 个两两互素的正整数，， 为任意整数，则同余式组

有唯一解。其中。

二次不定方程

（1）二次剩余

定义：p 是素数，(a,p)=1.若同余方程

则a 叫做模p 的二次剩余,否则叫做模p 的二次非剩余。

性质：若p 是奇素数，则p 的二次剩余共有个，它们是。 模p 的两个二次剩余相乘是二次剩余。模p 的二次剩余和二次非剩余相乘是二次非剩余，模p 的两个二次非剩余相乘是二次剩余。 欧拉判别法：则a 是模p 的二次剩余；

则a 是模p 的二次非剩余。

（2）沛尔)(pell 方程

形如12

2=-dy x （*d N ∈，d 不是完全平方数）的方程称为沛尔方程. 能够证明它一定有无穷多组正整数解；又设),(11y x 为该方程的正整数解),(y x 中使d y x +最小的解，则其的全部正整数解由

1111

1111

1

[()()]

2

)()]

n n

n

n n

n

x x x

y x x

⎧

=++

⎪⎪

⎨

⎪=+-

⎪⎩

（1,2,3,

n= ）给出.

①只要有解)

,

(

1

1

y

x，就可以由通解公式给出方程的无穷多组解.

②

n

n

y

x,

满足的关系：

1

(n

n

x y x y

+=+；112

112

2

2

n n n

n n n

x x x x

y x y y

--

--

=-

⎧

⎨

=-

⎩

，

（3）勾股方程2

2

2z

y

x=

+

这里只讨论勾股方程的正整数解，只需讨论满足1

)

,

(=

y

x的解，此时易知z

y

x,

,实际上两两互素. 这种z

y

x,

,两两互素的正整数解)

,

,

(z

y

x称为方程的本原解，也称为本原的勾股数。容易看出y

x,一奇一偶，无妨设y为偶数，下面的结果勾股方程的全部本原解通解公式。

定理三：方程2

2

2z

y

x=

+满足1

)

,

(=

y

x，2|y的全部正整数解)

,

,

(z

y

x可表为

2

2

2

2,

2

,b

a

z

ab

y

b

a

x+

=

=

-

=，其中，b

a,是满足b

a

b

a,

,0

>

>一奇一偶，且1

)

,

(=

b

a的任意整数.

多元高次不定方程

多元高次不定方程没有一般的解法，任何一种解法都只能解决一些特殊的不定方程，如利用二次剩余来讨论一些特殊的不定方程的整数解．其它常用的解法有

⑴代数恒等变形：如因式分解、配方、换元等；

⑵不等式估算法：利用不等式等方法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解；

⑶同余法：对等式两边取特殊的模（如奇偶分析），缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解；

⑷构造法：构造出符合要求的特解，或构造一个求解的递推式，证明方程有无穷多解；

⑸无穷递推法。

例题精讲

【例1】（1）求60x-14y=18的全部整数解。

（2）求18x+30y+45z=48的全部整数解。

【例2】设a,b,c都是正整数，(a,b)=1,则当c>ab-a-b时，ax+by=1有非负整数解。

【例3】解同余方程组

【例4】能否找到2000个自然数集合S,使得（1）S 中任意两数互素；（2）S 中任意k （>1）个数的和为合数。

【例5】证明：有无穷多个三角数为完全平方数.（所谓三角数，就是形如

(1)2n n +的数，其中n 为自然数.）

【例6】证明：方程442x y z +=无正整数解。

【例7】(1)若n 证明不定方程没有整数解(x,y,z). (2)证明方程的解中，没有形如的数。

【例8】 求所有正整数x>1,y>1,z>1,使得

【例9】（1）证明：方程2

(1)1x x y ++=没有正整数解.

（2）设k 是正整数，2k ≥，证明：方程(1)k x x y +=没有正整数解.