2012_2013学年第一学期末数值分析考试试题A参考答案与评分标准

中北大学

试题答案及评分标准

数值分析课程

（课程名称须与教学任务书相同）

2012/2013 学年第1 学期

试题类别 A

拟题日期2012.12.25 拟题教师

课程编号教师编号1120048

使用班级2012级研究生

备注：试题答案要求按指定规格计算机打印，并将电子稿上传至考务管理系统。

2012/2013 学年第 1 学期期末考试试题答案及评分标准

（A 卷）

数值分析

使用班级： 2012级研究生班 一、填空题(每空2分，共30分)

1. 设44.754923,44.732534a b ==作为x 与y 的近似值都有5位有效数字，则a 的绝对

误差限可取为 0.0005 ，用2a b u -= 作为2

x y

u -=的近似值具有 2 位有效数字，用1v

a b =+ 作为1

v x y

=+的近似值有 5 位有效数字； 2. 设52312

,02

6103

7A ⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪==-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝

⎭⎝

⎭

x ，则∞

=x 5 ，1A = 14 ，A 的谱半径()ρA

= 4 ；

3. 设20()35,,0,0,1,2,,k f x x x x kh h k =+=+>= ，则12[,,]k k k f x x x ++= 3 ，

123[,,,]k k k k f x x x x +++= 0 ；

4. 设函数()f x 在区间[0,3]上具有连续的4阶导数，若次数不超过3的多项式()3H x 满

足()()3,0,1,2H k f k k ==和()()311H f ''=，则用()3H x 近似计算()()()0,3f x x ∈的截断误差可表示为

()()()33R x f x H x =-=(

)

()()()()42

12,0,34!

f x

x x ξξ--∈；

5. 为使两点数值求积公式

()()()()1

1

1

d f x x f x f x λ-=+⎰具有最高的代数精度。则求积

节点0x

=，1x

=

，求积系数λ=

5

9

；(0x 、1x 的值可以互换) 6. 用Newton 迭代法求解方程3

10x =的迭代公式为312

210

,0,1,2,3k k k

x x k x ++== ；该公式具有 2阶的收敛速度；若取初始值03x =，则迭代一次后的近似解1x = 2.370

。

二、(每小题12分，共24分)

1. 用LU 分解法求解线性方程组123432

3

389

512102234141695181832x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪

⎪

⎪ ⎪

= ⎪ ⎪ ⎪

- ⎪ ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭⎝⎭；

解：()3

2338323383

13129

512102212234|34141631312

9

5181832

1

112

LU A b ⎛⎫⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪

⎪ ⎪-=−−→ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝

⎭

100032

3381

3100013121,,,12100023413

131

001

22L U y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪ ⎪--

⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

............................................................................ L U 矩阵(或对应元素每算对两个给1分)

2. 用Romberg 方法计算积分1

401

d 1I x x =

+⎰的近似值，要求计算到第一个Romberg 值

(3)0T ，说明共计算了多少个求积节点处的函数值，并将计算结果与准确

值

ln πI ⎫=

+⎪⎪⎝⎭

进行比较，说明计算的精度； 解：取()4

1

0,1,1a b f x x ===+进行计算()()01,10.5f f ==，

(0)01

((0)(1))0.752

T f f =+= ............................................................................................... 1分

()0.5,0.50.9411765h f ==；(0)(0)101

(0.5)0.84558822

T T hf =+=，

....................... 2分 (0)(0)(1)

10040.87745103

T T T -== .......................................................................................... 3分

()()0.25,0.250.9961089, 0.750.7596439h f f ===

()()(0)(0)211

(0.25)0.750.86173232

T T h f f =++=， .................................................... 4分

(0)(0)(1)

21140.86711373

T T T -== .......................................................................................... 5分

(1)(1)(2)

100160.866424515

T T T -==......................................................................................... 6分

()()0.125,0.1250.9997559, 0.3750.9806081h f f ===()0.6250.8676128f =

()0.8750.6304448f =，()3(0)(0)3

2010.1250.250.86566892k T

T h f k =⎛⎫

=++= ⎪⎝⎭

∑ ..... 7分 (0)(0)

(1)322

4=0.86698103

T T T -=， ....................................................................................... 8分

(1)(1)(2)

21116=0.866972215

T T T -=， ...................................................................................... 9分

(2)(2)(3)

10064=0.866980963

T T T -= ....................................................................................... 10分

计算到(3)0T ，共计算了9个求积节点处的函数值； ...........................................................11分

与准确值π 0.8669729887...I ⎫=

+=⎪⎪⎝⎭

进行比较，以(3)

00.8669809T =作为I 的近似值，至少有4位有效数字。 ......................................................................... 12分