线性代数B期末试卷及答案

2008 – 2009学年第二学期《线性代数 B 》试卷

00 ，则 A 308

2. A 为n 阶方阵, AA T

=E 且 A 0,则A E .

1 2 2

3．设方阵 A 4 t 3 , B 为三阶非零矩阵，且 AB=O ，则 t .

3 1 1

量组 1, 2 , , m , 的秩为 .

5．设 A 为实对称阵，且 |A |≠0，则二次型 f =x T

A x 化为 f =y T A -1

y 的线 性变换是 x = ．

3

T

６．设 R 的两组基为a 1 1,1,1 ， a 2

1,0, 1 ， a 3 1,0,1 ；

1

(1,2,1, ) T

， 2 2,3,4 , 3 3,4,3 ，则由基 a 1,a 2,a 3到基 1,

2

, 3

的过渡矩阵为

一

二

三

四

五

六 总分

2009年6月 22日 、填空题（共 6 小题， 每小题 3 分， 满

分 18 分）

4. 设向量组 1, 2 , , m 线性无关，向量 不能由它们线性表示，则向

1

1. 设 A 0

0 0

1. 设 D n 为 n 阶行列式，则 D n ＝0 的必要条件是 [ ]. (A) D n 中有两行元素对应成比例； (B) D n 中各行元素之和为零； (C) D n 中有一行元素全为零； (D) 以 D n 为系数行列式的齐次线性方程组有非零解． 2．若向量组 ， ， 线性无关， ， ， 线性相关，则 [ ]. (A) 必可由 ， ， 线性表示； (B) 必可由 ， ， 线性表示； (C) 必可由 ， ， 线性表示； (D) 必可由 ， ， 线性表示 .

３．设 3 阶方阵 A 有特征值 0，－ 1， 1，其对应的特征向量为 P 1，P 2，

P 3，令 P ＝(P 1， P 2，P 3)，则 P －

1

AP ＝ [ ].

５．若矩阵 A 3×4有一个 3 阶子式不为 0，则 A 的秩Ｒ( A ) =[ ].

(A) 1； (B) 2； (C) 3； (D) 4．

６．实二次型 f ＝x T

Ax 为正定的充分必要条件是 [ ].

6 小题，每小题 3 分，满分 18 分)

100 (A) 0 1 0 000 000 (B) 0 1 0

001 0 0 0

(C) 0 1 0 0

0 －1 1 0 0

(D) 0 0 0 0

0 －1

４． 设 α1，α2，

α3 线性无关，则下列向量组线性相关的是 ]. (A) α1，α2， α3 - α1； (B) α1，α1+α2，α1+α3； (C) α1+α2，α2+α3，α3+α1； (D) α1-α2， α2-α3， α3-α1. 单项选择题

(A) A 的特征值全大于零；(B)A 的负惯性指数为零；

(C) |A| > 0 ；(D) R(A) = n .

三、解答题(共 5 小题，每道题 8 分，满分 40 分)

0 0 1 1 b 3

２. 求向量组 1 (1,1,1,4), 2 (2,1,3,5), 3 (1, 1,3, 2) , 4 (3,1,5,6)的一个 极大无关组，并把其余的向量用该极大无关组线性表出 .

1 b 1 0 1 1 b 1 b

2 01 1 b 2 1. 求 D

的值 .

b 3

1 ３.设 A 、P 均为 3阶矩阵，且 P T

AP= 0

Q =(α1+α2, α2,α3),求 Q T

AQ ．

4．设 A 是n 阶实对称矩阵， A 2 2A O ，若 R(A ) k (0 k n)，求 A 3E

a 相似于对角矩阵 ，求 a.

6

00 1 0 , 若 P =(α1,α2,α3), 00

22 5. 设矩阵 A= 8 2 00

23

x1 a1x2 a1 x3 a1 ，23

x 1a

2

x

2

a

2

x

3

a

2

，

23

x1 a3x2 a3x3 a3，x1

a4x2 a42x3 a43.

（1）若a1, a2, a3 , a4两两不等，问方程组是否有解，为什么？

(2) 若a1 a3 b , a2 a4 b (b 0) ，且已知方程的两个解

1 (1,1, 1)T,

2 ( 1,1,1)T ，试给出方程组的通解．

四、（本题满分10 分）对线性方程组

x

经正交变换 y Q ，化成 2 2

2 2

1，求 a 、b 的值及正交矩 z

得分

六、（本题满分 6 分）设 A 为 n 阶实矩阵， α为 A

的对应于实 特征值 λ的特征向量， β为 A T

的对应于实特征值 μ的特征向量，且 λ≠μ， 证明 α与 β正交．

五、（本题满分 8 分）设二次曲面方程 axy 2xz 2byz 1（ a 0 ）

00 ，则 A 308

2. A 为n 阶方阵, AA T

=E 且 A 0,则A E 0 .

1 2 2

3．设方阵 A 4 t 3 , B 为三阶非零矩阵，且 AB=O ，则 t

3 1 1

-3 .

4. 设向量组 1, 2, , m 线性无关，向量 不能由它们线性表示，

则向

量组 1, 2 , , m , 的秩为 m+1 .

5．设A 为实对称阵，且 |A |≠0，则二次型 f =x T

A x 化为 f =y T

A -1

y 的线性 变换是 x = A 1y __ ．

T

６． 设 R 3

的两组基为 a 1 1,1,1 T

，a 2 1,0, 1 ，a 3 1,0,1 ；

1

(1,2,1,)T

,

2 2,3,4 ,

3 3,4,3 ，则由基 a 1,a 2,a 3 到基 1, 2, 的过渡

2 3 4 矩阵 P = 0 1 0．

一

二 三

四 五 六 总分

2008 – 2009学年第二学期《线性代数 B 》试卷

日 、填空题（共 6 小题， 每小题 3 分， 满

分 18 分）

1

1. 设 A 0

0 0