数模(差分方程模型)
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Fibonacci数列的一些实例. 1. 蜜蜂的家谱 2. 钢琴音阶的排列 3. 树的分枝 4. 杨辉三角形
数学建模
日常的经济问题中的差分方程模型
1. 银行存款与利率
假如你在银行开设了一个1000元的存款账户，银行的年利 率为7%. 用an表示n年后你账户上的存款额，那么下面的数列 就是你每年的存款额：
• 差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中 的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系， 建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分 方程。通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程 解的 特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、 周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规 律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。
Fibonacci 数列
数学建模
问题
13世纪意大利著名数学家Fibonacci在他的著作《算盘书》 中记载着这样一个有趣的问题：
一对刚出生的幼兔经过一个月可长成成兔，成兔再经过一
个月后可以繁殖出一对幼兔. 若不计兔子的死亡数，问一年之 后共有多少对兔子？
月份 0 1 2 3 4 5 6 7 …
幼兔 1 0 1 1 2 3 5 8 … 成兔 0 1 1 2 3 5 8 13 … 总数 1 1 2 3 5 8 13 21 …
数学建模
第七章 差分方程模型
7.1 差分方程基本知识 7.2 市场经济中的蛛网模型 7.3 减肥计划——节食与运动 7.4 差分形式的阻滞增长模型 7.5 按年龄分组的种群增长
数学建模
7.1 差分方程基本知识
• 1、差分方程： 差分方程反映的是关于离散变量的取值 与变化规律。通过建立一个或几个离散变量取值所满 足的平衡关系，从而建立差分方程。
2an= an+1- an=(an+2-an+1)-(an+1-an)=an+2-2an+1+an 一般地，可以定义n阶差分.
差分方程 an+1= an+b的解
数学建模
定理1 一阶线性差分方程 an+1= an+b 的通解是：
nb c,
1,
an
cn
b
1
,
1.
定理2 对一阶线性差分方程 an+1= an+b, 若 | |<1, 则 an无限趋近于平衡解 b/(1- ) (收敛型不动点); 若 | |>1, 则 an逐渐远离平衡解 b/(1- ) (发散型不动点).
...
Cnnn
(C1,…,Cn为任意常数)
情况2 若λ 是特征方程（7.3）的k重根，通解中对应
于λ的项为 (C1 L Ck nk1 ) n
C i为任意常数，i=1,…,k。
情况3 若特征方程（7.3）有单重复根 a i
通解中对应它们的项为 C1 n cosn C2 n sinn
数学建模
方程（7.1）可用如下的代数方法求其通解：
（步一）先求解对应的特征方程
a0n a1n1 ... an 0
（7.3）
（步二）根据特征根的不同情况，求齐次方 程(7.2）的通解 情况1 若特征方程（7.3）有n个互不相同的实根
,…1 , ，n则齐次方程（7.2）的通解为
C ， n 11
设贷款额为a0，每月还贷额为x，月利率为r，第n个月后的欠 款额为an，则
a0=200000, a1=(1+r)a0-x, a2=(1+r)a1-x, ……
an=(1+r)an-1-x, n=1,2,3,…
一阶线性差分方程
数学建模
在上述模型中，给出了an+1与an之间的递推公式. 将它们写成
统一的形式：
（7.1）
a0 xnt a1xnt1 ... an xt 0
（7.2）
容易证明，若序列
x (1) t
与
x(2) t
均为方程（7.2）的解，则
xt c1xt(1) c2 xt(2)
也是方程（7.2）的解，其 中c1、c2为任意常数，这说明， 齐次方程的解构成一个 线性空间（解空间）。
此规律对于（7.1）也成立。
数学建模 将兔群总数记为 fn, n=0,1,2,…，经过观察可以发现，数列{fn} 满足下列递推关系：
f0 = f1 =1, fn+2 = fn+1 + fn , n=0,1,2,…
这个数列称为Fibonacci数列. Fibonacci数列是一个十分有趣 的数列，在自然科学和数学领域中都有着广泛的应用.
a0=c, an+1=an+b, n=0,1,2,3,… 称此类递推关系为一阶线性差分方程. 当b=0时称为齐次差分方
程，否则称为非齐次差分方程.
定义1 对任意数列A={a1,a2,…,an,…}，其差分算子定义如下： a1=a2-a1, a2=a3-a2,… an=an+1-an, …
定义2 对数列A={a1,a2,…,an,…}，其一阶差分的差分称为二 阶差分, 记为2A=(A). 即：
设n年后教育基金总额为an，每年向银行存入x元，依据复利 率计算公式，得到家庭教育基金的数学模型为：
a0=x, an+1=(1+r)an+x, n=0,1,2,3,…
3 . 抵押贷款
数学建模
小李夫妇要购买二居室住房一套，共需30万元. 他们已经筹 集10万元，另外20万元申请抵押贷款. 若贷款月利率为0.6%， 还贷期限为20年，问小李夫妇每月要还多少钱？
a0, a1, a2, a3, …, an,… 设r为年利率，由于an+1=Hale Waihona Puke Baidun+r an, 因此存款问题的数学模型 是：
a0=1000, an+1=(1+r)an, n=1,2,3,…
2. 家庭教育基金
数学建模
从1994年开始，我国逐步实行了大学收费制度. 为了保障子女 将来的教育费用，小张夫妇从他们的儿子出生时开始，每年向 银行存入x元作为家庭教育基金. 若银行的年利率为r，试写出第 n年后教育基金总额的表达式. 预计当子女18岁入大学时所需的 费用为100000元，按年利率3%计算，小张夫妇每年应向银行存 入多少元?
数学建模
a0 (t)xtn a1(t)xtn1 .... an (t)xt 0
则被称为方程对应的 齐次线性差分方程 。
若所有的 ai(t)均为与t无关的常数，则称其为 常系数差分 方程，即n阶常系数线性差分方程可分成
a0 xnt a1xnt1 ... an xt b(t)
的形式，其对应的齐次方程为
数学建模
日常的经济问题中的差分方程模型
1. 银行存款与利率
假如你在银行开设了一个1000元的存款账户，银行的年利 率为7%. 用an表示n年后你账户上的存款额，那么下面的数列 就是你每年的存款额：
• 差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中 的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系， 建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分 方程。通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程 解的 特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、 周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规 律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。
Fibonacci 数列
数学建模
问题
13世纪意大利著名数学家Fibonacci在他的著作《算盘书》 中记载着这样一个有趣的问题：
一对刚出生的幼兔经过一个月可长成成兔，成兔再经过一
个月后可以繁殖出一对幼兔. 若不计兔子的死亡数，问一年之 后共有多少对兔子？
月份 0 1 2 3 4 5 6 7 …
幼兔 1 0 1 1 2 3 5 8 … 成兔 0 1 1 2 3 5 8 13 … 总数 1 1 2 3 5 8 13 21 …
数学建模
第七章 差分方程模型
7.1 差分方程基本知识 7.2 市场经济中的蛛网模型 7.3 减肥计划——节食与运动 7.4 差分形式的阻滞增长模型 7.5 按年龄分组的种群增长
数学建模
7.1 差分方程基本知识
• 1、差分方程： 差分方程反映的是关于离散变量的取值 与变化规律。通过建立一个或几个离散变量取值所满 足的平衡关系，从而建立差分方程。
2an= an+1- an=(an+2-an+1)-(an+1-an)=an+2-2an+1+an 一般地，可以定义n阶差分.
差分方程 an+1= an+b的解
数学建模
定理1 一阶线性差分方程 an+1= an+b 的通解是：
nb c,
1,
an
cn
b
1
,
1.
定理2 对一阶线性差分方程 an+1= an+b, 若 | |<1, 则 an无限趋近于平衡解 b/(1- ) (收敛型不动点); 若 | |>1, 则 an逐渐远离平衡解 b/(1- ) (发散型不动点).
...
Cnnn
(C1,…,Cn为任意常数)
情况2 若λ 是特征方程（7.3）的k重根，通解中对应
于λ的项为 (C1 L Ck nk1 ) n
C i为任意常数，i=1,…,k。
情况3 若特征方程（7.3）有单重复根 a i
通解中对应它们的项为 C1 n cosn C2 n sinn
数学建模
方程（7.1）可用如下的代数方法求其通解：
（步一）先求解对应的特征方程
a0n a1n1 ... an 0
（7.3）
（步二）根据特征根的不同情况，求齐次方 程(7.2）的通解 情况1 若特征方程（7.3）有n个互不相同的实根
,…1 , ，n则齐次方程（7.2）的通解为
C ， n 11
设贷款额为a0，每月还贷额为x，月利率为r，第n个月后的欠 款额为an，则
a0=200000, a1=(1+r)a0-x, a2=(1+r)a1-x, ……
an=(1+r)an-1-x, n=1,2,3,…
一阶线性差分方程
数学建模
在上述模型中，给出了an+1与an之间的递推公式. 将它们写成
统一的形式：
（7.1）
a0 xnt a1xnt1 ... an xt 0
（7.2）
容易证明，若序列
x (1) t
与
x(2) t
均为方程（7.2）的解，则
xt c1xt(1) c2 xt(2)
也是方程（7.2）的解，其 中c1、c2为任意常数，这说明， 齐次方程的解构成一个 线性空间（解空间）。
此规律对于（7.1）也成立。
数学建模 将兔群总数记为 fn, n=0,1,2,…，经过观察可以发现，数列{fn} 满足下列递推关系：
f0 = f1 =1, fn+2 = fn+1 + fn , n=0,1,2,…
这个数列称为Fibonacci数列. Fibonacci数列是一个十分有趣 的数列，在自然科学和数学领域中都有着广泛的应用.
a0=c, an+1=an+b, n=0,1,2,3,… 称此类递推关系为一阶线性差分方程. 当b=0时称为齐次差分方
程，否则称为非齐次差分方程.
定义1 对任意数列A={a1,a2,…,an,…}，其差分算子定义如下： a1=a2-a1, a2=a3-a2,… an=an+1-an, …
定义2 对数列A={a1,a2,…,an,…}，其一阶差分的差分称为二 阶差分, 记为2A=(A). 即：
设n年后教育基金总额为an，每年向银行存入x元，依据复利 率计算公式，得到家庭教育基金的数学模型为：
a0=x, an+1=(1+r)an+x, n=0,1,2,3,…
3 . 抵押贷款
数学建模
小李夫妇要购买二居室住房一套，共需30万元. 他们已经筹 集10万元，另外20万元申请抵押贷款. 若贷款月利率为0.6%， 还贷期限为20年，问小李夫妇每月要还多少钱？
a0, a1, a2, a3, …, an,… 设r为年利率，由于an+1=Hale Waihona Puke Baidun+r an, 因此存款问题的数学模型 是：
a0=1000, an+1=(1+r)an, n=1,2,3,…
2. 家庭教育基金
数学建模
从1994年开始，我国逐步实行了大学收费制度. 为了保障子女 将来的教育费用，小张夫妇从他们的儿子出生时开始，每年向 银行存入x元作为家庭教育基金. 若银行的年利率为r，试写出第 n年后教育基金总额的表达式. 预计当子女18岁入大学时所需的 费用为100000元，按年利率3%计算，小张夫妇每年应向银行存 入多少元?
数学建模
a0 (t)xtn a1(t)xtn1 .... an (t)xt 0
则被称为方程对应的 齐次线性差分方程 。
若所有的 ai(t)均为与t无关的常数，则称其为 常系数差分 方程，即n阶常系数线性差分方程可分成
a0 xnt a1xnt1 ... an xt b(t)
的形式，其对应的齐次方程为