函数的基本性质

讨论一般性
y
y
o
x
o
x
y=kx+b (k>0)
问题：
y=kx+b (k<0)
1、当k变化时函数的单调性有何变化？ 2、当b变化时函数的单调性有何变化？
例3．借助计算机作出函数y =－x2 +2 | x | + 3的图象 并指出它的的单调区间．
fx = -x2+2 x +3 - 10
-5
8 6 4 2
画出下列函数的图象，观察其变化规律：
f(x) = x2
1、在区间 (_-_∞_,_0]上，f(x)的值随着x的增大而 _减__小___． 2、 在区间 (_0_,+__∞_)上，f(x)的值随着x的增大而 _增__大__．
x
… -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
f(x)=x2 … 16 9 4 1 0 1 4 9 16 …
证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域 取值
(0，+∞)上的任意两个实数，且V1<V2，则
p(V1 ) 由V1，V2∈
(0p，(V+2∞) )且Vk1V1<VkV2 2，k得VV2V1V1V2V12>0,
V2-
作差 变形
V1 >0பைடு நூலகம்
又k>0,于是 p(V1) p(V2 ) 0
即 p(V2 ) p(V1) 也就所是以说，，函当数体p积VVk减,少V 时 ，(0,压强)p是将减增函大数. .
取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论
五、作业
1． 书面作业：课本P45 习题1．3（A组） 第3、 4题．
讨论
1、法二：作商的方法
由x1<x2时，ff xx12

大于或小
于1来比较f(x1)与f(x2) 的
大小，最后得出结论。
y
f x 1
o
x
x
2、由图象知：函数在 ,上 不具有单调性。
解：函数y=f(x)的单调区间有 [-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5]
其中y=f(x)在区间[-5,-2), [1,3)是减函数， 在区间[-2,1), [3,5] 上是增函数。
我例们2、，物对理于学一中定的量玻的意气耳体定，律当其p 体Vk积(kV为减正小常时数，) 告压诉 强p将增大。试用函数的单调性证明之。
-2 -4 -6 -8
5
10
定号 结论
三．判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单 调性的一般步骤：
1 任取x1，x2∈D，且x1<x2； 2 作差f(x1)－f(x2)； 3 变形（通常是因式分解和配方）；
4 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； 5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的 单调性）．
在区间0， 上任取两个 x1, x2，得到f (x1) x12 ,
f (x2 ) x22，当x1 x2时，有f (x1) f (x2 )，这时我
们就说函数 f (x) x2在区间0， 上是增函数.
一、函数单调性定义 1．增函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对 于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1， x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x) 在区间D上是增函数．
观察下列各个函数的图象，并说说它们 分别反映了相应函数的哪些变化规律：
1、观察这三个图象，你能说出图象的特征吗？ 2、随x的增大，y的值有什么变化？
画出下列函数的图象，观察其变化规律：
f(x) = x
1、从左至右图象上升还是下降 _上_升__? 2、在区间 (_-_∞__,+__∞_)_上，随着x的增大，f(x)的值随 着 _增__大___ ．
作差 变形
由于x1,x2 0, 得x1x2>0,又由x1<x2
得x2-x1>0
所以f(x1)- f(x2)>0, 即f(x1)> f(x2)
定号
因此 f(x)=1/x 在(0，+∞)上是减函数。
判断
四、归纳小结
函数的单调性一般是先根据图象判断，再利 用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函 数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调 性的证明一般分五步：
o x 是增函数
y
在

-
，-
b 2a

增函数
o
x
在


b 2a
,

减函数
y
在 b ,
2a
增函数
o
x 在- ，- b
2a
减函数
例1、下图是定义在区间[-5，5]上的函数y=f(x)， 根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间 上，它是增函数还是减函数？
思考？
思考：画出反比例函数的图象． 1 这个函数的定义域是什么？
2 它在定义域I上的单调性怎样？证明你
的结论．
证明：函数f(x)=1/x 在(0，+∞)上是减函数。
证明：设x1,x2是(0，+∞)上任意两个实数， 取值 且x1<x2，则
f(x1)- f(x2)=
1 x1

1 x2

x2 x1 x1 x2
二．函数的单调性定义
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函 数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这 一区间具有（严格的）单调性，区间D叫 做y=f(x)的单调区间.
y
y
在(-∞,+∞)
在(-
o x 是减函数
o x ∞,+∞)是
y
y
增函数
在(-∞,0) o x 和(0,+∞)
是减函数
在(-∞,0) 和(0,+∞)
2．减函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对 于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1， x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在 区间D上是减函数 ．
注意：
1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上 的性质，是函数的局部性质；
2 、必须是对于区间D内的任意两个自变量x1， x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2) 或f(x1)>f(x2) 分别是增函数和减函数.