人教版高中数学(理科)选修正态分布(一)

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新人教版高中数学《正态分布》PPT优秀课件1

新人教版高中数学《正态分布》PPT优秀课件1

式中的实数m、s是参数
1.正态分布定义 y
如果对于任何实数 a<b,随机变量X满足:
P(aXb)abm,s(x0)dx a b
x
则称X 的分布为正态分布. 正态分布由参数m、s
唯一确定, m、s分别表示总体的平均数与标准差.
正态分布记作N( m,s2).其图象称为正态曲线.
如果随机变量X服从正态分布,则记作:
由σ决定.
o
x
3. 3个特殊结论 若 X~: N(m,s2) ,则
区间
ms,ms
m2s,m2s
m3 s,m3 s
取值概率
0.6826 0.9544 0.9974
4. 3σ原则
正态总体几乎总取值于区间 m3s,m3s
之内,而在此区间以外取值的概率只有0.26%,通 常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生.
感谢聆听,欢迎指导!
X~N(m,s2)
y
正态曲线的性质
0
x
m,s(x)
1 e
2s
(xm)2
2s2 x(,)
式中的实数m、s是参数
2.正态曲线的性质
(1)非负性:曲线 m ,s ( x ) 在轴的上方,与x轴
不相交(即x轴是曲线的渐近线).
(2)定值性:曲线 m ,s ( x ) 与x轴围成的面积为1.
(3)对称性:正态曲线关于直线 x=μ对称, 曲线成“钟形”. (4)单调性:在直线 x=μ的左边, 曲线是上升的; 在直线 x=μ的右边, 曲线是下降的.
正态分布
一个随机变量x,受到了众多互不相干的、不分主次 的偶然因素的影响.则x服从或近似服从正态的分布
正态分布
如何才能使拟合度更高.估计更准确

人教版高中数学选修2-3 第二章正态分布 同步教案

人教版高中数学选修2-3 第二章正态分布 同步教案

学生姓名 性别 年级 学科 数学 授课教师上课时间 年 月 日第( )次课 共( )次课课时:2课时教学课题 人教版 选修2-3第二章正态分布 同步教案教学目标知识目标:掌握正态分布的意义以及主要性质,能理解正态分布下的概率问题 能力目标:通过正态分布的图形特征,归纳正态曲线的性质情感态度价值观:在归纳正态曲线的特点及其表示的意义的过程中培养学生的观察能力、理解能力教学重点与难点 掌握正态分布曲线的性质、标准正态曲线N(0,1),能通过正态分布的图形特征,归纳正态曲线的性质.教学过程(一)正态分布知识梳理正态曲线的定义:总体密度曲线:样本容量越大,所分组数越多,各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率.设想样本容量无限增大,分组的组距无限缩小,那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线.总体密度曲线b单位O频率/组距a它反映了总体在各个范围内取值的概率.根据这条曲线,可求出总体在区间(a ,b )内取值的概率等于总体密度曲线,直线x =a ,x =b 及x 轴所围图形的面积.观察总体密度曲线的形状,它具有“两头低,中间高,左右对称”的特征,具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示:22()2,1(),(,)2x x e x μσμσϕπσ--=∈-∞+∞式中的实数μ、)0(>σσ是参数,分别表示总体的平均数与标准差,,()x μσϕ的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线.正态分布的定义:一般地,如果对于任何实数a b <,随机变量X 满足,()()baP a X B x dx μσϕ<≤=⎰,则称 X 的分布为正态分布(normal distribution ) .正态分布完全由参数μ和σ确定,因此正态分布常记作),(2σμN .如果随机变量 X 服从正态分布,则记为X ~),(2σμN .说明:1参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数,可以用样本均值去佑计;σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数,可以用样本标准差去估计.2.正态分布),(2σμN )是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布通过固定其中一个值,讨论均值与标准差对于正态曲线的影响3.通过对三组正态曲线分析,得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称 正态曲线的作图,书中没有做要求,教师也不必补上 讲课时教师可以应用几何画板,形象、美观地画出三条正态曲线的图形,结合前面均值与标准差对图形的影响,引导学生观察总结正态曲线的性质 4.正态曲线的性质:(1)曲线在x 轴的上方,与x 轴不相交 (2)曲线关于直线x=μ对称(3)当x=μ时,曲线位于最高点πσ21(4)曲线与x 轴之间的面积为1(5)当x <μ时,曲线上升(增函数);当x >μ时,曲线下降(减函数) 并且当曲线向左、右两边无限延伸时,以x 轴为渐近线,向它无限靠近(6)μ一定时,曲线的形状由σ确定σ越大,曲线越“矮胖”,总体分布越分散; σ越小.曲线越“瘦高”.总体分布越集中.若X~N (μ,2σ) ,则对于任何实数a>0,概率()()dx x a a P a a⎰+-=+≤-μμσμϕμμ,X <为如图中的阴影部分的面积,对于固定的μ 和 a 而言,该面积随着σ的减少而变大。

新人教版高中数学选择性必修一课件:7.5 正态分布

新人教版高中数学选择性必修一课件:7.5 正态分布
正态分布由参数μ、σ唯一确定.
如果随机变量X服从正态分布, 则记作: X~N( μ,σ2)
在新人教实A版际高中数遇学精到品教学的课件许多随机现象都服从或近似服从 正态分布: 在生产中:在正常生产条件下各种产品的质量指标; 在测量中:测量结果;
在生物学中:同一群体的某一特征;……; 在气象中:某地每年七月份的平均气温、平均湿度
A. f (x)
1
( x )2
e 2 2 , , ( 0)都是实数
2
B. f (x)
2
x2
e2
2
1
( x1)2
C. f (x) 2
e
2
4
1
x2
D. f (x)
e2
2
概率等 y 新人教A版高中数学精品教学课件 于该曲 边梯形 的面积
平均数
a bc d
x
若用X表示落下的小球第1次与高尔顿板底
以及降雨量等,水文中的水位; 总之,正态分布广泛存在于自然界、生产及科学 技术的许多领域中。
正态分布在概率和统计中占有重要地位。
3、正态曲线的性质 新人教A版高中数学精品教学课件
( x) 21 e ,
( x )2 2 2
, x (, )
y
y
y
μ= -1
σ=0.5
μ=0 σ=1
μ=1 σ=2
-3 -2 -1 0 1 2 x -3 -2 -1 0 1 2 3 x -3 -2 -1 0 1 2 3 4x
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2.设离散型随机变量X~N(0,1),则 P( X 0) = 0.5 .
3.若已知正态总体落在区间(0.3, ) 的概率为0.5,则相 应的正态曲线在x= 0.3 时达到最高点。

人教版高中数学(理科)选修正态分布教案

人教版高中数学(理科)选修正态分布教案

正态分布2目的要求1.利用标准正态分布表求得标准正态总体在某一区间内取值的概率。

2.掌握正态分布与标准正态分布的转换。

3.了解正态总体的分布情况,简化正态总体的研究问题。

内容分析1.标准正态分布是正态分布研究的重点,各式各样的正态分布可以通过)()(σμ-Φ=x x F 转换成标准正态曲线,转换后正态分布的各项性质保持不变,而标准正态分布的概率又可以通过查表求得,因而标准正态分布表的使用是本节课的重点之一。

2.介绍《标准正态分布表》的查法。

表中每一项有三个相关的量:x 、y 、P ,x 是正态曲线横轴的取值,y 是曲线的高度,P 是阴影部分的面积。

即)()(00x x P x <=Φ。

3.标准正态曲线关于y 轴对称。

因为当00>x 时,)()(00x x P x <=Φ;而当00<x 时,根据正态曲线的性质可得:)(1)(00x x -Φ-=Φ,并且可以求得在任一区间),(21x x 内取值的概率。

)()()(1221x x x x x P Φ-Φ=<<。

4.由例2、例3的讲授,对于任一正态总体),(2σμN 都可以通过)()(σμ-Φ=x x F ,求得其在某一区间内取值的概率。

5.从下列三组数据不难看出,正态总体在(μ-3σ,μ+3σ)以外的概率只有万分之二十六,这是一个很小的概率。

这样,就简化了正态总体中研究的问题。

F (μ-σ,μ+σ)≈0.683,F (μ-2σ,μ+2σ)≈0.954,F (μ-3σ,μ+3σ)≈0.997。

教学过程1.复习提问(1)借助于正态曲线图形,回忆正态曲线的性质。

(2)运用正态曲线的性质,解决实际问题。

2.标准正态总体的概率问题,只要有标准正态分布表即可解决,如何查表是必须解决的问题。

3.对于标准正态总体N (0,1),)(0x Φ是总体取值小于0x 的概率,即:)()(00x x P x <=Φ,其中00>x ,图中阴影部分的面积表示为概率。

高中数学人教版选修正态分布课件系列一

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2. 正态分布密度函数的性质
正态分布密度函数满足以下性质:
(1)函数图像关于 直线x=μ对称

(2) σ(σ>0)的大小 决定函数图像的“胖”“瘦”;
(3)如下图所示,
P(μ-σ<X<μ+σ)=68.3%, P(μ-2σ<X<μ+2σ)=95.4%, P(μ-3σ<X<μ+3σ)=99.7%.
(4)在分布密度函数图像下方和x轴上方范围内的区域面积为
的.
课前自主学习
1. 正态分布
如果一个连续型随机变量X的分布密度函数为
f(x)=σ 12πexp{-x-2σμ2 2},-∞<x<+∞

其中exp{g(x)}=eg(x),那么称X服从参数为μ和σ2的正态分 布,通常记作 X~N(μ,σ2) .
正态分布的两个重要参数:均值μ和方差σ2(σ>0).当μ和σ2 给定后,就是一个具体的正态分布.不同的μ和σ对应着不同的 分布密度曲线,如下图所示.
[思路分析] 由正态曲线的图像可知,该曲线的对称轴为x
=20,最大值为2
1
π,因此,μ=20,由2
1
= πσ
12π可求得σ的
值.
[完美作答] 从给出的正态曲线可知,该正态曲线关于直
线x=20对称,最大值是2 1 π,所以μ=20.
由 σ
1 =1 2π 2
π,解得σ=
2.
于是概率密度函数的解析式是P(x)=2 1 πexp{-
人教版 必修2-3
第二章 随机变量及其分布 2.4 正态分布
课标要求
学法指导
1.利用实际问题的直方图,了解正态分 1.正态分布的小概率事件是一个重要的概

课件人教A版高中数学选修正态分布PPT课件_优秀版

课件人教A版高中数学选修正态分布PPT课件_优秀版
小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集
中; 越大,曲线越“矮胖”,表示总体的
分布越分散.
若X~ N(μ, 2),则对于任何实数a>0,
μ+a
P(μ - a < X μ + a) = μ-a φμ,σ (x)dx
为右图中阴影部 y 分的面积,对于固定
的μ和a而言,该面积
随着 的减少而变大.
这说明 越小,X落在
导入新课
你见过高尔顿板吗?
在一块木板上钉着若干排相互平行但相互 错开的圆柱形小木块,小木块之间留有适当的 空隙作为通道,前面挡有一块玻璃.让一个小球 从高尔顿板上方的通道口落下,小球在下落的 过程中与层层小木块碰撞,最后掉入高尔顿板 下方的某一球槽内.
下图就是一块高尔顿板示意图 球
球槽
如果把球槽编号,就可以考察球到底是落 在第几号球槽中.重复进行高尔顿板试验,随着 试验次数的增加,掉入各个球槽内的小球的个 数就会越来越多,堆积的高度也会越来越高.各 个球槽内的堆积高度反映了小球3
√D. 0.003
3.解答题
(1)求标准正态总体在(-1,2)内取值 的概率.
解:利用等式p Φ(x 2 ) Φ(x 1)有
p = Φ(2) - Φ(-1) = Φ(2) -1- Φ-(-1)
= Φ(2) + Φ(1) -1 = 0.9772 + 0.8413 -1 = 0.8185.
又P(ξ>c+1)=P(ξ<c-1),
活量; ∴3 –c=c-1, ∴c=2.
(1)了解正态分布的意义;
(3)一定条件下生长的小麦的株高、穗长、 σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散;
(5) 当 一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x轴平移. μ1>μ2, 1< 2 D.

高二数学人选修课件正态分布

高二数学人选修课件正态分布

概率计算步骤
确定概率类型(单侧或双 侧),查找对应的z值, 利用标准正态分布表计算 概率。
一般正态分布概率计算
一般正态分布定义
均值布转化为标准正态分布进 行计算。z=(x-μ)/σ。
概率计算步骤
确定概率类型,进行z变换 ,查找对应的z值,利用标 准正态分布表计算概率。
THANKS
感谢观看
01
练习题一
已知某次考试的分数服从正态 分布,均分为70分,标准差为 10分。求分数在60分以下的概 率。
02 解题思路
首先根据正态分布的性质,确 定分数在60分以下对应的z值, 然后查找标准正态分布表或使 用相关软件计算对应的概率。
03
练习题二
04
某工厂生产的产品重量服从正态 分布,均重为500克,标准差为 10克。若要保证95%的产品重 量在480克至520克之间,问该 工厂应如何调整生产流程?
04
正态分布在生活中应用
质量控制与六西格玛管理法
质量控制
在制造业中,正态分布被广泛应用于质量控制。通过对生产过程中的数据进行正 态分布拟合,可以判断产品质量的稳定性和一致性,进而采取相应的措施进行改 进。
六西格玛管理法
六西格玛管理法是一种追求卓越的管理哲学,其核心思想是通过减少变异和提高 过程能力来达到更高的质量水平。正态分布在这里扮演着重要角色,它提供了一 种衡量过程变异和确定过程能力的方法。
社会科学领域数据分析与可视化
数据分析
在社会科学领域,正态分布被广泛应用于数据分析。例如,在心理学、教育学等研究中,通过对实验 数据进行正态分布检验,可以判断数据是否符合正态分布假设,进而选择合适的统计方法进行分析。
可视化
正态分布也为数据可视化提供了便利。通过将数据按照正态分布进行拟合和展示,可以更加直观地呈 现数据的分布规律和特点,有助于研究者更好地理解和解释数据。

人教版数学高二-《正态分布》精品课件 新课标

人教版数学高二-《正态分布》精品课件 新课标

• [题后感悟] 解答此类题目的关键在于将待求 的问题向(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ -3σ,μ+3σ)这三个区间进行转化,然后利用 上述区间的概率求出相应概率,在此过程中依 然会用到化归思想及数形结合思想.
高中数学
• 3.设在一次数学考试中,某班学生的分数服 从X~N(110,202),且知满分150分,这个班 的学生共54人.求这个班在这次数学考试 中及格(不小于90分)的人数和130分以上的 人数.
高中数学
• A.三科总体的标准差及平均数都相同 • B.甲、乙、丙三科的总体的平均数不相同 • C.丙科总体的平均数最小 • D.甲科总体的标准差最小 • 解析: 由题图可得,甲、乙、丙三科的平均
分一样,但它们的标准差大小不同,σ甲<σ乙 <σ丙. • 答案: D
高中数学
(2011湖北高考)已知随机变量ξ服从 正态分布N(2,σ2),且P(ξ<4)=0.8,则 P(0<ξ<2)=( )
(3)曲线在 x=μ
处达到峰值 1 ; σ 2π
高中数学
1
σ
μ
• (4)曲线与x轴之间的面积为 • (5)当 越一大定时,曲线随着
沿x轴平移,如图①;

越小
的变化而
• (6)当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ ,曲线越“瘦高”;σ , 曲 线 越
“.正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 • P(μ-σ<X≤μ+σ)= 0. ;682 6 • P(μ-2σ<X≤μ+2σ)= 0.954 4 ; • P(μ-3σ<X≤μ+3σ)= 0.997 4 .
越大,曲线越“矮胖”,表示总体越分散;σ 越小,曲线越“高瘦”,表示总体的分布越集 中,这个性质可直接判断.由正态曲线性质知 μ1<μ2,σ1<σ2. • 答案: A

人教版高中数学选择性必修3《正态分布》PPT课件

人教版高中数学选择性必修3《正态分布》PPT课件

P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,
P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
2.3σ原则
在实际应用中,通常认为服从于正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取[μ3σ,μ+3σ]中的值,这在统计学中称为3σ原则.
名师点析 对于正态分布N(μ,σ2)而言,随机变量X在[μ-3σ,μ+3σ]之外取值几
第七章
7.5 正态分布




01
课前篇 自主预习
02
课堂篇 探究学习
课标阐释
1.利用实际问题的直方图,了解正态分
布密度曲线的特点及曲线所表示的意
义.(直观想象)
2.了解变量落在区间[μ-σ,μ+σ],[μ2σ,μ+2σ],[μ-3σ,μ+3σ]的概率大小.(数学
运算)
3.会用正态分布去解决实际问题.(逻辑
变量X的分布比较集中;当σ较大时,峰值低,曲线“矮胖”,表示随机变量X的分
布比较分散,如图②.
微练习
(多选)已知三个正态密度函数φi(x)=
所示,则下列结论正确的是(
A.σ1=σ2 B.μ1>μ3
C.μ1=μ2 D.σ2<σ3
)
1

(- )2
2
e 2
(x∈R,i=1,2,3)的图象如图
乎不可能发生,它在产品检查、质量检验中起着重要的作用.
微练习
设X~N(1,22),试求:
(1)P(-1≤X≤3);
(2)P(3≤X≤5);
(3)P(X≥5).
解 ∵X~N(1,22),
∴μ=1,σ=2.
(1)P(-1≤X≤3)=P(1-2≤X≤1+2)≈0.682 7.

正态分布 课件(人教版)

正态分布 课件(人教版)
[点评] 解此类题首先由题意求出 μ 及 σ 的值,然后根据 三个特殊区间上的概率值及正态曲线的特点(如对称性,与 x 轴围成的面积是 1 等)进行求解.
正态分布的应用
某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分 布 N(70,102),如果规定低于 60 分为不及格,求:
(1)成绩不及格的人数占多少? (2)成绩在 80~90 间的学生占多少?
A.曲线 C2 仍然是正态曲线 B.曲线 C1 和曲线 C2 的最高点的纵坐标相等 C.以曲线 C2 为概率密度曲线的总体的期望比以曲线 C1 为 概率密度曲线的总体的期望大 2
D.以曲线 C2 为概率密度曲线的总体的方差比以曲线 C1 为 概率密度曲线的总体的方差大 2
[答案] D
[解析] 正态曲线沿着横轴方向水平移动只改变对称轴位 置,曲线的形状没有改变,所得的曲线依然是正态曲线.
设 X~N(5,1),求 P(6<X≤7). [分析] 由 X~N(5,1)知 μ=5,σ=1,故 P(4<X≤6)=0.6826, P(3<X≤7)=0.9544.由对称性知 P(3<X≤4)=P(6<X≤7),由此可 求 P(6<X≤7).
[ 解 析 ] 由 已 知 得 P(4<X≤6) = 0.6826 , P(3<X≤7) = 0.9544 , 所 以 P(3<X≤4) + P(6<X≤7) = 0.9544 - 0.6826 = 0.2718,由对称性得 P(3<X≤4)=P(6<X≤7),所以 P(6<X≤7) =0.22718=0.1359.
[ 解 析 ] (1) 设 学 生 的 得 分 情 况 为 随 机 变 量 X , X ~ N(70,102),则 μ=70,σ=10.

人教版高中数学《正态分布》公开课课件

人教版高中数学《正态分布》公开课课件
连续型随机变量:取值往往充满某个区间甚至整个实轴,但取一点 的概率为0。
不能一一列举
可以一一列举
连续型随机变量与离散型分组的组距不断缩小时, 思考:频率分布直方图的轮廓有何特点?
频率 组距
o
时间
y
正态曲线
x O
定义1
正态密度函数:
f(x)
C 解析:由红外线自动测温门测量体温误差服从正态分布 N(0.1,0.32),得 μ=0.1,σ=0.3. 所 以 测 量 体 温 误 差 在 区 间 (0.4,0.7] 内 的 概 率 为:P(0.4<ξ≤0.7)=P(μ+σ<ξ≤μ+2σ)= [P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)-P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)]=0.135 9.
信息技术演示
3σ原则
--------正态分布的实际应用
正态分布中变量X几乎总取值于区间(μ-3σ,μ+3σ]之内,而在此区间 以外取值的概率只有0.27%,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生。
故在实际应用中,通常认为正态分布的随机变量X只取[μ-3σ,μ+3σ]之 内的值,简称“3σ”原则.
1
3、曲线在 x=μ 处达到峰值 σ 2π .
y
0
ab
x
思考2:x轴与正态曲线所夹面积为多少? 1
思考3:对称区域面积有何特征?
S(-,-x)
正态曲线下的面积规律: 正态曲线下对称区域的面积相等
S(x,+)=S(-,-x) 对应的概率也相等
应用探究
例 已知随机变量ξ服从正态分布N(2, σ2), 且P(ξ<4)=0.8, 则P(0<ξ<2)=( )C
当堂达标
红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者的近距离接触,降低潜在的 病毒感染风险,为防控新冠肺炎,某厂生产的红外线自动测温门,其测量体温误 差服从正态分布 N(0.1,0.32),从已经生产出的测温门中随机取出一件,则其测 量体温误差在区间(0.4,0.7]内的概率为( ) ( 附 : 若 随 机 变 量 ξ 服 从 正 态 分 布 N(μ,σ). 则 P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)=0.682 7,P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)=0.954 5) A.0.317 4 B.0.271 8 C.0.135 9 D.0.045 6

人教版高中数学选修2-3-正态分布-1完整ppt课件

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10
σ一定
μ =-1
μ =0
O
正态曲线的特点
m,s (x)
1
( xm )2
e 2s 2
2 s
μ =1
μ一定
σ=0.5
σ=1
σ=2

O

(5)当 一定时,曲线随着 的变化而沿x轴平移;
(6)当μ一定时,曲线的形状由σ确定 .
σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散;
σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中.
唯一确定, m、s分别表示总体的平均数与标准差.
正态分布记作N( m,s2).其图象称为正态曲线.
如果随机变量X服从正态分布,则记作记为
X~N(m,s2)
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7
例题探究
例1.给出下列两个正态总体的函数表达式,请找出其
均值m和标准差s
(1)
(x)
1
x2
e2,x(,)
2
m0 , s 1
(2)
m m P ( ax≤ a )m a m a
m,s(x )d x
x=μ
m-a m+a
正态曲线.gsp
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14
特别地有
P(msXms)0.6826, P(m2sXm2s)0.9544, P(m3sXm3s)0.9974.
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15
例3.商场经营的某种包装的大米质量服从正态分布 N(10,0.12)(单位:kg)任选一袋这种大米质量 在9.8~10.2kg的概率是多少?
变式训练3:
若X~N(μ,σ2),问X位于区域(μ,μ+σ)
内的概率是多少?
解:由正态曲线的对称性可得,

课件正态分布省莱州市-中学_人教版高中数学选修PPT课件_优秀版

课件正态分布省莱州市-中学_人教版高中数学选修PPT课件_优秀版
解析:因为P(ξ≤1)=0.
∴考试成绩ξ位于区间(80,100]内的概率为0.
∴考试成绩ξ位于区间(70,110]内的概率为0.
∵P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.
8,则落在[90,100]内的概率为
()
例1:在某次数学考试中,考生的成绩X服从正态分布,即X~B(90,100)
占有重要的地位,你对它了解吗?
∴考试成绩ξ位于区间(80,100]内的概率为0.
五、正态(曲2线)μ在-特殊σ区间=上的8概0率,μ+σ=100, ∵P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6827, 例1:在某次数学考试中,考生的成绩X服从正态分布,即X~B(90,100)
(1)求考试成绩X位于区间(70,110]上的概率是多少?
[∵解P(析μ-] σ∴∵<Xξ≤~μ考+N(9σ0)=试,1000. )成,∴μ绩=90ξ,位σ=于10.区间(80,100]内的概率为0.6827.
若随机变量 X 服从正态分布,则记为 X~ N (, 2 ) .
【说明】 变量X不是离散型的,如测量误差,同龄人群的体重,身高等 都服从正态分布;
三、正态分布的几何意义
(a, b] P(a x b) ∴X考试落成在绩ξ位区于间区间(80,100]内的上概率的为0概. 率
例1:在某次数学考试中,考生的成绩X服从正态分布,即X~B(90,100)
分参布数类 μ表型示,总它体有平别均于数上,面σ三表种示分总,布体,标在准概差率;和统计中
2 所以P(ξ≤-1)=0.
( x )2 2 2
的图像
∴考试成绩ξ位于区间(80,100]内的概率为0.
∵P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.
解正叫析态: 分做因布为的正P概(ξ念≤态1及)=其0密几. 何度意义曲; 线,简称正态曲线。

正态分布-人教版高中数学

正态分布-人教版高中数学

知识图谱-正态分布正态分布的概念正态分布的性质与应用第04讲_正态分布错题回顾正态分布知识精讲一. 正态分布密度函数如果随机变量的概率密度函数,,我们称其图象为正态分布密度曲线. 其中是圆周率;是自然对数的底;是随机变量的取值;为正态分布的均值;是正态分布的标准差.正态分布一般记为.二. 正态分布如果随机变量落在区间上的概率为,则称随机变量满足正态分布.正态分布由参数唯一确定,如果随机变量,根据定义有:.三. 正态曲线的性质正态曲线具有以下性质:(1)曲线在轴的上方,与轴不相交.(2)曲线关于直线对称.(3)曲线在时位于最高点.(4)当时,曲线上升;当时,曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时,以轴为渐近线,向它无限靠近.(5)当一定时,曲线的形状由确定.越大,曲线越“矮胖”,表示总体越分散;越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中.四. 标准正态曲线当时,正态总体称为标准正态总体,其相应的函数表示式是,,其相应的曲线称为标准正态曲线,标准正态分布记做.记,指总体取值小于的概率,则.任何正态分布的概率问题均可利用公式转化为标准正态分布的概率问题.五. 正态分布在三个特殊区间的概率值1. 原则在实际应用中,通常认为服从正态分布的随机变量只取之间的值,并简称为原则. 在此区间以外取值的概率只有0.0026,此为小概率事件.2. 三个特殊区间的概率值三点剖析一. 注意事项1. 参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数,可以用样本均值去估计;是衡量随机变量总体波动大小的特征数,可以用样本标准差去估计.把的正态分布叫做标准正态分布;2. 正态分布是自然界中最常见的一种分布,许多现象都近似地服从正态分布,如长度测量误差,正常生产条件下各种产品的质量指标等;3. 一般的,一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和,它就服从或近似地服从正态分布.题模精讲题模一正态分布的概念例1.1、设随机变量,若,则=()A、B、pC、D、例1.2、设随机变量X~N(μ,62),Y~N(μ,82).记p1=p(X≤μ-6),p2=p (Y≥μ+8),则有()A、p1=p2B、p1>p2C、p1<p2D、p1,p2大小关系无法判断例1.3、设有一正态总体,它的概率密度曲线是函数的图象,且,则这个正态总体的均值与标准差分别是( )A、10与8B、10与2C、8与10D、2与10例1.4、证明若服从()则一定有:.题模二正态分布的性质与应用例2.1、正态总体为,时,概率密度函数是:,.(1)证明是偶函数;(2)求的最大值;(3)利用指数函数的性质说明的增减性.例2.2、若公共汽车门的高度是按照保证成年男子与车门顶部碰头的概率在以下设计的,如果某地成年男子的身高(单位:cm),则该地公共汽车门的高度应设计为多高?例2.3、在某校举行的数学竞赛中,全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布N(70,100).已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12名.(Ⅰ)试问此次参赛学生总数约为多少人?(Ⅱ)若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生,试问设奖的分数线约为多少分?可共查阅的(部分)标准正态分布表Φ(x0)=P(x<x0)例2.4、从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中数据用该组区间的中点值作代表);(Ⅱ)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2.(i)利用该正态分布,求P(187.8<Z<212.2);(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数,利用(i)的结果,求EX.附:≈12.2.若Z-N(μ,σ2)则P(μ-σ<Z<μ+σ)=0.6826,P(μ-2σ<Z<μ+2σ)=0.9544.随堂练习随练1.1、若正态曲线函数为,则( )A、有最大值,也有最小值B、有最大值,没有最小值C、无最大值,也无最小值D、没有最大值,但有最小值随练1.2、若随机变量,且,,则等于()A、B、C、D、随练1.3、已知,若,则()A、0.2B、0.3C、0.7D、0.8随练1.4、设服从,试求:(1)(2)(3)(4)随练1.5、某校在模块考试中约有1000人参加考试,其数学考试成绩ξ~N(90,a2),(a>0试卷满分150分),统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的,则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为()A、200B、300C、400D、600随练1.6、某县农民平均收入服从元,元的正态分布.求:(1)此县农民年均收入在500元~520元之间的人数的百分比.(2)若要使农民的年均收入在()内的概率不小于0.95,则的值应至少为多大?随练1.7、一投资者在两个投资方案中选择一个,这两个投资方案的利润(万元)分别服从正态分布和,投资者要求利润超过5万元的概率尽量地大,那么他应选择哪一个方案?自我总结课后作业作业1、设随机变量,则的值为()A、1B、2C、D、4作业2、已知随机变量服从正态分布N(2,1),且P(1≤x≤3)=0.6826,则P(x <1)=()A、0.1588B、0.1587C、0.1586D、0.1585作业3、设随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),且函数f(x)=x2+4x+ξ没有零点的概率为,则μ为()A、1B、4C、2D、不能确定作业4、以Φ(x)表示标准正态总体在区间(-∞,x)内取值的概率,若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则概率P(|ξ-μ|<σ)等于()A、Φ(μ+σ)-Φ(μ-σ)B、Φ(1)-Φ(-1)D、2Φ(μ+σ)C、Φ()作业5、在下列命题中,①“”是“”的充要条件;②的展开式中的常数项为2;③设随机变量,若,则.其中所有正确命题的序号是()A、②B、③C、②③D、①③作业6、在某校举行的数学竞赛中,全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布.已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12名.(1)试问此次参赛学生总数约为多少人?(2)若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生,试问设奖的分数线约为多少分?可共查阅的(部分)标准正态分布表作业7、某厂生产的零件外直径(mm),今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个,测得其外直径分别为7.9 mm和7.5 mm,则可认为()A、上、下午生产情况均为正常B、上、下午生产情况均为异常C、上午生产情况正常,下午生产情况异常D、上午生产情况异常,下午生产情况正常。

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正态分布(一)
教学目的:
1 掌握正态分布在实际生活中的意义和作用
2.结合正态曲线,加深对正态密度函数的理理
3.通过正态分布的图形特征,归纳正态曲线的性质
教学重点:正态分布曲线的性质、标准正态曲线
N(0,1) 教学难点:通过正态分布的图形特征,归纳正态曲线的性质
授课类型:新授课
课时安排:1课时
教具:多媒体、实物投影仪
内容分析:1.在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布在上一节课我们研究了当样本容量无限增
大时,频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线,总体密度曲线较科学地反映了总体分布但总体密度曲线的相关知识较为抽象,学生不易理解,因此在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布
2.正态分布是可以用函数形式来表述的其密度函数可写成:22()21
(),(,)2x f x e x ,(σ>0)
由此可见,正态分布是由它的平均数μ和标准差σ唯一决定的常把它记为)
,(2N 3.从形态上看,正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线,其对称轴为
x=μ,并在x=μ时取最大值从x=μ点开始,曲线向正负两个方向递减延伸,不断逼近
x 轴,但永不与x 轴相交,因此说曲线在正负
两个方向都是以x 轴为渐近线的4.通过三组正态分布的曲线,可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征
5.由于正态分布是由其平均数μ和标准差σ唯一决定的,因此从某种意义上说,正态分布就有好多好
多,这给我们深入研究带来一定的困难但我们也发现,许多正态分布中,重点研究
N (0,1),其他的正态分布都可以通过)()
(x x F 转化为N (0,1),我们把N (0,1)称为标准正态分布,其密度函数为
22121
)(x e x F ,x ∈(-∞,+∞),从而使正态分布的研究得以简化
6.结合正态曲线的图形特征,归纳正态曲线的性质正态曲线的作图较难,教科书没做要求,授课时
可以借助几何画板作图,学生只要了解大致的情形就行了,关键是能通过正态曲线,引导学生归纳其性质教学过程:
一、复习引入:
总体密度曲线:样本容量越大,所分组数越多,各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率.设想样本容量无限增大,分组的组距无限缩小,那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线
,这条曲
线叫做总体密度曲线.
总体密度曲线
b
单位
O 频率/组距a 它反映了总体在各个范围内取值的概率.根据这条曲线,可求出总体在区间
(a ,b )内取值的概率等于总体密度曲线,直线x =a ,x =b 及x 轴所围图形的面积.
观察总体密度曲线的形状,它具有“两头低,中间高,左右对称”的特征,具有这种特征
的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示:
22()21()
,(,)2x f x e x 式中的实数、)0(是参数,分别表示总体的平均数与标准差,函数)(x f 称为正态函数,)(x f 的图象称为正态曲线.
本节课,我们将学习一种在实际生产、生活中常见的总体密度曲线——正态曲线
二、讲解新课:
1.正态分布密度函数:
22()21
(),(,)2x f x e x ,(σ>0)
其中π是圆周率;e 是自然对数的底;
x 是随机变量的取值;μ为正态分布的均值;σ是正态分布的标准差.正态分布一般记为
),(2N 2.正态分布),(2N )是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布
通过固定其中一个值,讨论均值与标准差对于正态曲线的影响
3.通过对三组正态曲线分析,得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称正态曲线的作图,书中没有做要求,教师也不必补上讲课时教师可以应用几何画板,形象、美观地画出三条正态曲线的图形,结合前面均值与标准差对图形的影响,引导学生观察总结正态曲线的性质
4.正态曲线的性质:
(1)曲线在x 轴的上方,与
x 轴不相交
(2)曲线关于直线x=μ对称(3)当x=μ时,曲线位于最高点
(4)当x <μ时,曲线上升(增函数);当x >μ时,曲线下降(减函数)并且当曲线向左、右两边无限延伸时,以x 轴为渐近线,向它无限靠近
(5)μ一定时,曲线的形状由
σ确定σ越大,曲线越“矮胖”,总体分布越分散;
σ越小.曲线越“瘦高”.总体分布越集中:
五条性质中前三条学生较易掌握,后两条较难理解,因此在讲授时应运用数形结合的原则,采用对比教学
5.标准正态曲线:当μ=0、σ=l 时,正态总体称为标准正态总体,其相应的函数表示式是2221
)(x e x f ,(-∞<x <+∞)
其相应的曲线称为标准正态曲线
标准正态总体
N (0,1)在正态总体的研究中占有重要的地位任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题
三、讲解范例:例1.给出下列三个正态总体的函数表达式,请找出其均值μ和标准差σ。

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