概率论与数理统计习题及答案-第二章

P( X 15) 1 0.000069
k0 k !
(2) P(保险公司获利不少于 10000)
P(30000 2000X 10000) P(X 10)
10 e5 5k
0.986305
k0 k !
即保险公司获利不少于 10000 元的概率在 98%以上
5
分别为随机变量 X，Y 的概率分布，如果已知 P{X≥1}= ，试求 P{Y≥1}.
9
5
4
【解】因为 P( X 1) ，故 P( X 1) .
9
9
而
P( X 1) P(X 0) (1 p)2
故得
(1 p)2 4 ,
9
1
即
p .
3
从而
P(Y 1) 1 P(Y 0) 1 (1 p)4 65 0.80247
3 0.512
4.（1） 设随机变量 X 的分布律为
2
k P{X=k}= a ，
k!
其中 k=0，1，2，…，λ＞0 为常数，试确定常数 a. （2） 设随机变量 X 的分布律为
P{X=k}=a/N， k=1，2，…，N， 试确定常数 a. 【解】（1） 由分布律的性质知
1

P( X
习题二
1.一袋中有 5 只乒乓球，编号为 1，2，3，4，5，在其中同时取 3 只，以 X 表示取出的 3 只
球中的最大号码，写出随机变量 X 的分布律.
【解】
X 3, 4, 5
故所求分布律为
1 P( X 3) 0.1
C35 3 P( X 4) 0.3 C35 P( X 5) C24 0.6 C35
2
2
当 x≥0 时， F (x)
x 1 e|x|dx
0
1 e
xdx

x 1 exdx
2
2
02
1 1 ex 2
6
故
F(x)
1 ex, 2
x0
1 1 ex x 0
2
16.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命 X 的密度函数为

100 ,
x 100,
f(x)= x2
0, x 100.
求：（1） 在开始 150 小时内没有电子管损坏的概率；
（2） 在这段时间内有一只电子管损坏的概率；
（3） F（x）.
【解】
150 100 1
（1） P( X 150)
dx .
x 100 2
3
p1
[P(X
2
2
2
【解】
X 0,1, 2.
P( X

0)
C133

22 .
C135 35
P( X
1)

C12C123

12 .
C135 35
P( X 2) C113 1 . C135 35
故 X 的分布律为
பைடு நூலகம்
X
0
1
2
P
22
12
1
35
35
35
（2） 当 x<0 时，F（x）=P（X≤x）=0
（1） 进行了 5 次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；
（2） 进行了 7 次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.
【解】（1） 设 X 表示 5 次独立试验中 A 发生的次数，则 X~6（5，0.3）
5
P( X 3) C5k (0.3)k (0.7)5k 0.16308
k 3
(2) 令 Y 表示 7 次独立试验中 A 发生的次数，则 Y~b（7，0.3）
7
P(Y 3) C7k (0.3)k (0.7)7k 0.35293
k 3
10.某公安局在长度为 t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数 X 服从参数为（1/2）t 的泊松分
4
布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）.
（1） 求某一天中午 12 时至下午 3 时没收到呼救的概率；
150)]3

( 2)3 3

8 27
(2) p2 C13 1 ( 2)2 4 33 9
（2） 求某一天中午 12 时至下午 5 时至少收到 1 次呼救的概率.
3
【解】（1） P( X 0) e 2
5
(2) P( X 1) 1 P( X 0) 1 e 2
11.设 P{X=k}= Ck2 pk (1 p)2k , k=0,1,2
P{Y=m}= Cm4 pm (1 p)4m , m=0,1,2,3,4
故 X 的分布律为
X
0
P
0.008
分布函数
1 0.096
2 0.384
0, 0.008, F (x) 0.104, 0.488, 1,
x0 0 x 1 1 x 2
2 x3 x3
P( X 2) P( X 2) P( X 3) 0.896
P（保险公司获利不少于 20000） P(30000 2000 X 20000) P( X 5)
5 e5 5k
0.615961
k0 k !
即保险公司获利不少于 20000 元的概率约为 62%
15.已知随机变量 X 的密度函数为 f(x)=Ae|x|,
∞<x<+∞,

k) a
k
ae
k0
k0 k !
故
a e
(2) 由分布律的性质知
N
Na
1 P(X k) a
k 1
k 1 N
即
a 1.
5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为 0.6,0.7,今各投 3 次，求：
（1） 两人投中次数相等的概率;
（2） 甲比乙投中次数多的概率.
=0.243 6.设某机场每天有 200 架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为 0.02，且设各
3
飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降 落而没有空闲跑道的概率小于 0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？ 【解】设 X 为某一时刻需立即降落的飞机数，则 X~b(200,0.02)，设机场需配备 N 条跑道，
81
12.某教科书出版了 2000 册，因装订等原因造成错误的概率为 0.001，试求在这 2000 册书中
恰有 5 册错误的概率.
【解】令 X 为 2000 册书中错误的册数，则 X~b(2000,0.001).利用泊松近似计算,
np 2000 0.001 2
e2 25
得
P( X 5)
8.已知在五重伯努利试验中成功的次数 X 满足 P{X=1}=P{X=2}，求概率 P{X=4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为 p，则
C15 p(1 p)4 C52 p2 (1 p)3
1
故
p
3
所以
P( X 4) C54 (1)4 2 10 .
3 3 243
9.设事件 A 在每一次试验中发生的概率为 0.3，当 A 发生不少于 3 次时，指示灯发出信号，
则有
P( X N ) 0.01
即 利用泊松近似
200
Ck 200
(0.02)k
(0.98)200k
0.01
k N 1
np 200 0.02 4.
e4 4k
P(X N)
0.01
k N 1 k !
查表得 N≥9.故机场至少应配备 9 条跑道. 7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为
0.32076 (2) P( X Y ) P( X 1,Y 0) P(X 2,Y 0) P( X 3,Y 0)
P( X 2,Y 1) P(X 3,Y 1) P( X 3,Y 2)
C13 0.6(0.4)2 (0.3)3 C32 (0.6)2 0.4(0.3)3 (0.6)3(0.3)3 C32 (0.6)2 0.4C130.7(0.3)2 (0.6)3C130.7(0.3)2 (0.6)3C32 (0.7)2 0.3
22
当 0≤x<1 时，F（x）=P（X≤x）=P(X=0)=
35
1
34
当 1≤x<2 时，F（x）=P（X≤x）=P(X=0)+P(X=1)=
35
当 x≥2 时，F（x）=P（X≤x）=1
故 X 的分布函数
0, x 0

22
,
0 x 1
35
F(x)
34 , 1 x 2
X
3
4
5
P
0.1
0.3
0.6
2.设在 15 只同类型零件中有 2 只为次品，在其中取 3 次，每次任取 1 只，作不放回抽样，
以 X 表示取出的次品个数，求：
（1） X 的分布律；
（2） X 的分布函数并作图；
(3)
1
3
3
P{X }, P{1 X }, P{1 X }, P{1 X 2} .
0.0001,在某天的该时段内有 1000 辆汽车通过，问出事故的次数不小于 2 的概率是多少（利 用泊松定理）？ 【解】设 X 表示出事故的次数，则 X~b（1000，0.0001）
P( X 2) 1 P( X 0) P( X 1)
1 e0.1 0.1 e0.1
【解】以“年”为单位来考虑. （1） 在 1 月 1 日，保险公司总收入为 2500×12=30000 元. 设 1 年中死亡人数为 X，则 X~b(2500,0.002)，则所求概率为
P(2000 X 30000) P( X 15) 1 P( X 14)
由于 n 很大，p 很小，λ=np=5，故用泊松近似，有 14 e5 5k
0.0018
5!
3
1
13.进行某种试验，成功的概率为 ，失败的概率为 .以 X 表示试验首次成功所需试验的次
4
4
数，试写出 X 的分布律，并计算 X 取偶数的概率.
【解】 X 1, 2,, k,
P( X k) ( 1)k1 3 44
P( X 2) P(X 4) P(X 2k)
求：（1）A 值；（2）P{0<X<1}; (3) F(x).

【解】（1） 由 f (x)dx 1得


1 Ae|x|dx 2 Aexdx 2A

0
1
故
A .
2
(2)
1 p(0 X 1)
1
e x dx

1
(1 e1)
20
2
(3) 当 x<0 时， F (x) x 1 exdx 1 ex

1
3

( 1 )3
3


( 1 )2k 1
3

44 4 4
44
1
3
4
1
4 1 (1)2 5
4
5
14.有 2500 名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡 的概率为 0.002，每个参加保险的人在 1 月 1 日须交 12 元保险费，而在死亡时家属可从 保险公司领取 2000 元赔偿金.求： （1） 保险公司亏本的概率; （2） 保险公司获利分别不少于 10000 元、20000 元的概率.
35

1,
x2
(3)
1 1 22 P(X ) F( ) ,
2 2 35
33
34 34
P(1 X ) F ( ) F (1) 0
22
35 35
3
3 12
P(1 X ) P(X 1) P(1 X )
2
2 35
34 1 P(1 X 2) F (2) F (1) P( X 2) 1 0.
35 35
3.射手向目标独立地进行了 3 次射击，每次击中率为 0.8，求 3 次射击中击中目标的次数的 分布律及分布函数，并求 3 次射击中至少击中 2 次的概率.
【解】 设 X 表示击中目标的次数.则 X=0，1，2，3.
P( X 0) (0.2)3 0.008 P( X 1) C130.8(0.2)2 0.096 P( X 2) C32 (0.8)2 0.2 0.384 P( X 3) (0.8)3 0.512
【解】分别令 X、Y 表示甲、乙投中次数，则 X~b（3，0.6）,Y~b(3,0.7)
(1) P( X Y ) P( X 0,Y 0) P( X 1,Y 1) P( X 2,Y 2)
P( X 3,Y 3)
(0.4)3(0.3)3 C130.6(0.4)2 C130.7(0.3)2 + C32 (0.6)2 0.4C32 (0.7)2 0.3 (0.6)3(0.7)3