实验设计与数据处理 第二版 第1章 误差分析

i 1
n
n
试验次数为有限次时，样本标准差：
s

d
i 1
n
2 i
n 1

( xi x)
i 1
n
2
n 1

2 x ( x ) i /n i 1 2 i i 1
n
n
n 1
表示试验值的精密度，标准差↓，试验数据精密度↑
1.3 试验数据误差的来源及分类
1.3.1 随机误差 （random error ）
（3）精密度判断
①极差（range）
R xmax xmin
②标准差（standard error）
n n
R↓，精密度↑

( xi x)
i 1
2
n

2 x ( x ) i /n i 1 2 i i 1
n
n
2 x ( x ) i /n i 1 2 i i 1 n n
1.3.3 过失误差 （mistake ）
（1）又称粗大误差，定义： 一种显然与事实不符的误差
（2）产生的原因：
实验人员粗心大意造成 （3）特点：

可以完全避免 没有一定的规律
误差的定义及表示法
表示形式
误差
性质特点
绝对 误差
相对 误差
系统 误差
随机 误差
粗大 误差
1.4 试验数据的精准度
1.4.1 精密度（precision）
(b)
(c)
弹着点集中靶心。相 当于系统误差与随机 误差均小，即正确度、 精密度都高，从而准 确度亦高。
弹着点集中，但偏向 一方，命中率不高。 相当于系统误差大而 随机误差小，即精密 度高，正确度低。
§
测量精度
定性概念
测 量 精 度 举 例
不精密（随机误差大） 准确（系统误差小）
精密（随机误差小） 不准确（系统误差大）
i 1
n
i
x
d
i 1
n
i
n
n
d i —— 试验值 xi 与算术平均值 x 之间的偏差

可以反映一组试验数据的误差大小
1.2.4 标准误差 (standard error)

当试验次数n无穷大时，总体标准差：


( x x)
i 1 i
n
2
n

x
i 1
n
2 i
( xi ) 2 / n
（1）定义：以不可预知的规律变化着的误差，绝对误差时 正时负，时大时小 （2）产生的原因： 偶然因素 （3）特点：具有统计规律

小误差比大误差出现机会多
正、负误差出现的次数近似相等
当试验次数足够多时，误差的平均值趋向于零 可以通过增加试验次数减小随机误差

随机误差不可完全避免的
1.3.2 系统误差（systematic error）
右侧（尾）检验 若
2 2 (df )
则判断该方差与原总体方差无显著增大，否则有显著增大 （3）Excel在 检验中的应用
2
1.5.1.2 F检验(F-test) （1）目的：
对两组具有正态分布的试验数据之间的精密度进行比较 （2）检验步骤 ①计算统计量 设有两组试验数据： x1(1) , x2(1) ,
wi—权重

w x
i 1 n
n
i i
w
i 1
i
适合不同试验值的精度或可靠性不一致时
（3）对数平均值（logarithmic mean）
设两个数：x1＞0，x2 ＞0 ，则
x1 x2 x1 x2 x2 x1 xL x1 x2 ln x1 ln x2 ln ln x2 x1
有系统误差的试验
精密度 ：A＇ ＞ B＇ ＞ C＇
准确度： A ＇＞ B ＇＞ C ＇ ，A ＇ ＞B，C
1.5 试验数据误差的统计假设检验
1.5.1 随机误差的检验 2 2 1.5.1.1 检验（ -test）
（1）目的： 在试验数据的总体方差 2 已知的情况下， 对试验数据的随机误差或精密度进行检验。 （2）检验步骤：
1 n
当一组试验值取对数后所得数据的分布曲线更加对称 时，宜采用几何平均值。 几何平均值≤算术平均值

（5）调和平均值（harmonic mean） 设有n个正试验值：x1，x2，…，xn，则：
1 1 1 ... x1 x2 xn 1 H n

1 i 1 xi n
n
常用在涉及到与一些量的倒数有关的场合 调和平均值≤几何平均值≤算术平均值
s
( xi x)
i 1
n
2
n 1

n 1
标准差↓，精密度↑。灵敏。
推导过程？？

2
( x x)
i 1 i
n
2
n

2
x
i 1
n
2 i
( xi ) 2 / n
i 1
n
n
( x x) ( x
i 1 i i 1
n 2 i 1
n
2
n
i
2 xi x x )
（1）含义：多次实验值彼此的符合程度或一致性。

反映了随机误差大小的程度 在一定的试验条件下，多次试验值的彼此符合程度 例：甲：11.45，11.46，11.45，11.44 乙：11.39，11.45，11.48，11.50
（2）说明：

可以通过增加试验次数而达到提高数据精密度的目的 试验数据的精密度是建立在数据用途基础之上的 试验过程足够精密，则只需少量几次试验就能满足要求
王大珩等
参考教材
试验设计与数据处理（第二版），李云雁 、胡传荣编著；化学工业出版社，2009.12 实验设计与数据处理，邱轶兵主编，中国 科学技术出版社，2008.12 化工实验设计与数据处理，曹贵平、朱中 南、戴迎春主编，华东理工大学出版社， 2009.2

引
言
0.1 试验设计与数据处理的发展概况

20世纪20年代，英国生物统计学家及数学家费歇 （R．A．Fisher）提出了方差分析
20世纪50年代，日本统计学家田口玄一将试验设计中应用 最广的正交设计表格化 数学家华罗庚教授也在国内积极倡导和普及的“优选法” 我国数学家王元和方开泰于1978年首先提出了均匀设计


0.2 试验设计与数据处理的意义
n n 2 i 1 i 1
xi 2 xi x x
xi n x
2 i 1
n
2
xi ( xi) 2 / n
2 i 1 i 1
n
n
③方差（variance）
标准差的平方：

样本方差（ s2 ） 总体方差（σ2 ） 方差↓，精密度↑
1.1.1 真值（true value）


真值：在某一时刻和某一状态下，某量的客观值或实际值
真值一般是未知的 相对的意义上来说，真值又是已知的 平面三角形三内角之和恒为180° 国家标准样品的标称值


国际上公认的计量值
高精度仪器所测之值 多次试验值的平均值
1.1.2 平均值（mean）

绝对误差估算方法：
最小刻度的一半为绝对误差； 最小刻度为最大绝对误差； 根据仪表精度等级计算： 绝对误差=量程×精度等级%
1.2.2 相对误差（relative error）
（1）定义：
绝对误差 相对误差 真值
或 （2）说明：

x xt x ER xt xt
或
真值未知，常将Δx与试验值或平均值之比作为相对误差：
说明：

若数据的分布具有对数特性，则宜使用对数平均值 对数平均值≤算术平均值 如果1/2≤x1/x2≤2 时，可用算术平均值代替
（4）几何平均值（geometric mean） 设有n个正试验值：x1，x2，…，xn，则
xG

n
x1 x2 ...xn ( x1 x2 ...xn )


第1章 试验数据的误差分析

误差分析（error analysis） ：对原始数据的可靠性进 行客观的评定 误差（error） ：试验中获得的试验值与它的客观真实 值在数值上的不一致 试验结果都具有误差，误差自始至终存在于一切科学 实验过程中 客观真实值——真值



1.1 真值与平均值
为了纪念他在科学上的功绩，国际 计量大会把热力学温标（即绝对温 标）称为开尔文（开氏）温标，热 力学温度以开尔文为单位，是现在 国际单位制中七个基本单位之一。
钱学森(1911- )
信息技术包括测量 技术、计算机技术 和通信技术，测量 技术是信息技术的 关键和基础。
钱学森
王大珩(1915- )
仪器仪表是工业生产 的“倍增器”，是高 新技术和科研的“催 化剂”，在军事上体 现的是“战斗力”。
x ER x
或
x ER x

可以估计出相对误差的大小范围：
ER
x x xt xt
相对误差限或相对误差上界
max
∴

xt x(1 ER )
相对误差常常表示为百分数（%）或千分数（‰）
1.2.3 算术平均误差 (average discrepancy)

定义式：

x
试验设计与数据处理
Experiment Design and Data Processing
门捷列夫 (1834-1907)