人教版九年级数学下2611二次函数的概念

二次项系数: 8π
二次项系数: -2 一次项系数: 0 常数项: 3
一次项系数: 0 常数项: 0
例：用20米的篱笆围一个矩形的花圃（如图）， 设连墙的一边为x米,矩形的面积为y平方米, 求：(1)写出y关于x的函数关系式。
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(2)当x=8时,矩形的面积为多少?
解： ∵和墙垂直的一边长为x米，
则和墙平行的边长为(20 2x)米
y x (20 2x)
y 2x2 20x （0<x<10） 当 x = 8时 ，y = 32 当x = 8时，矩形面积为32平方米。
例：若函数y (m2 9)x2 (m 2)x 4是二次函数， 求m的取值范围。
解： 由题意得： m2 9 0
∴m≠±3
练习：
若函数y (m2 3m 4)x2 x 4是二次函数， 求m的取值范围。
解： 由题意得： y=x(40-2x) 即：y=40x-2x2 (0<x<20) 当x＝12时，菜园的面积为：
x 米
y m2
x 米
40-2x (米)
一次函数 反比例函数
y=kx+b (k≠0)
正比例函数
y=kx (k≠0)
y=k/x (k≠0)
二次函数
问题1：圆的半径为R，面积为S，请写出S与R之间的 函数关系式。
解： S R2 (R>0)
问题2：一个圆的半径为R，在中间剪去一个半径为2 的小圆，剩余部分的面积为S. 请写出S与R之间的函 数关系式。
解：S R2 22 S R2 4 (R>2)
问题3：用总长为60米的篱笆围成矩形场地，求矩形 的面积y与其中的一边长x之间的关系式。
解：∵其中的一边长为x米， ∴另一边长为 （30 – x）米
y x (30 x)
y x2 30x (0<x<30)
问题4：某缝纫机厂第一个月的产量是4000台，第三个月的 产量是y台，月平均增长率x，写出y关于x的函数关系式。 解：第一个月产量： 4000台
第二个月产量： 4000（1 + x）台 第三个月产量： 4000（1 + x）2台 y 4000x2 8000x 4000 （x>0）
S R2
y x2 30x
S R2 4
y 4000x2 8000x 4000
一般地，函数y ax2 bx c(其中a,b,c是常数，
a 0)叫做关于x的二次函数。
=3(x2-2x+1)+1
=3x2-6x+3+1 即 y=6x+9
即 y=3x2-6x+4
不是二次函数.
是二次函数.
二次项系数: 3 一次项系数: -6
(5)y= _1_ -x x²
常数项: 4
(2) y=x+
_1_ x
不是二次函数.
不是二次函数. (6) v=8π r² 是二次函数.
(3) s=3-2t²是二次函数.
例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是, 分别指出二次项系数,一次项系数,常数项。
(1) y=3(x－1)²+1
(2)
y=x+
_1_ x
(3) s=3－2t²
(4) y=(x+3)²－x²
(5)y= _x1_²－x
(6) v=8π r²
解: (1)y=3(x-1)²+1
(4) y=(x+3)²-x²=x2+6x+9-x2
圆柱的体积V是用公式V r 2h来计算的，这里
r是圆柱底面的半径，h是圆柱的高。 （1）当r是常量时，V是h的什么函数。 （2）当h是常量时，V是r的什么函数。
V r2h
V r 2h
解：（1）当r是常量时，V是h的一次函数。
解：（2）当h是常量时，V是r的二次函数。
一农民用40米长的篱笆围成一个一边靠墙的长 方形菜园，和墙垂直的一边长为x米，菜园的 面积为y平方米，求y与x之间的函数关系式。 当x=12时，计算菜园的面积。
m 3或m 1 m 0且m 1
m的取值范围是m 3
已知函数 y (k2 k)x2 kx 2 k
(1) k为何值时，y是x的一次函数？
(2) k为何值时，y是x的二次函数？
解（1）根据题意得
k2 k 0
k 0
∴k=1时,y是x的一次函数。
(2) 当k2 - k ≠ 0,即k ≠ 0且k ≠1时
解：由题意得： m2 3m 4 0
∴m≠－1且m≠4
例：若函数y (m2 1)xm2m是二次函数，
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求m的取值范围。
解：由题意得：
m2 m2
m2 1 0
mm
2或m 1
1
m的取值范围是m 2
若函数y (m2 m)xm22m1 4是二次函数， 求m的取值范围。
m2 2m 1 2 解：由题意得： m2 m 0
y是x的二次函数
y=（m+3）x m2-7
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？
（2） m取什么值时，此函数是反比例函数？
（3） m取什么值时，此函数是二次函数？
解：（１）当m2－7=1且m+3≠0即m=± 2 2 时是正
比例函数。
（２）当m2－7=-1且m+3≠0即m=± 6 时是反比例函
数。 （３）当m2－7=2且m+3≠0即m=3时是二次函数。
温故知新 什么叫函数?
在某变化过程中的两个变量x、y，当变量x 在某个范围内取一个确定的值，另一个变量y 总有唯一的值与它对应。
这样的两个变量之间的关系我们把它叫 做函数关系。
对于上述变量x 、y，我们把y叫x的函数。 x叫自变量， y叫应变量。
目前，我们已经学习了那几种类型的函数？
变 量 之 间函 的数 关 系
二次函数的特殊形式：
– 当b＝0时， y＝ax2＋c – 当c＝0时， y＝ax2＋bx – 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
1、 说出下列二次函数的二次项系数、一次项系 数、常数项 （1） y=-x2+58x-112
（2）y=πx2 2、指出下列函数y=ax²+bx+c中的a、b、c
（1） y=-3x2-x-1 （2） y=5x2-6 （3） y=x(1+x)
二次函数的x的范围为： 一切实数。
1. 自变量的最高次数是2。
2. 二次项的系数a≠0，可以没有一次项和常 数项，但不能没有二次项。 3. 二次函数解析式必须是整式。
二次函数的一般形式: y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0)
其中x是自变量，a为二次项系数，ax2叫做二次项 b为一次项系数，bx叫做一次项，c为常数项。