第3课高等数学建模案例

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高中数学B版必修1第三章3.4数学建模活动：数学建模论文示例 2个课时

3.4 数学建模活动：数建模论文示例教学课时：第1课时教学目标：1、经历从实际问题建立数学模型、运算求解、验证模型、改进模型的全过程，掌握建模方法，培养数学建模、数学抽象等核心素养；2、通过学习数学和应用数学，认识数学的科学价值、应用价值，体会数学在社会生活和生产实践中的应用，落实立德树人的根本任务，培养学生的社会责任感和使命感．教学重点：建立数学模型的过程．教学难点：如何把一个实际问题转化成数学问题．教学过程：一、提出问题、合作探究问题1：什么是数学建模活动：数学建模活动是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的过程。

主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题.数学建模活动的基本过程如下：下面我通过一个实际问题，来体会数学建模的过程.二、分析问题、建立模型问题2：陕西省目前已经是全球最大的连片种植苹果区域，苹果产量占全世界六分之一，种植面积高达1000多万亩.2019年11月，小明家所在的村镇苹果丰收，可是当地农民却发愁：是现在就把苹果出售还是储存起来，等冬季苹果数量少价格高了再出售.利用数学建模方法解决：决定苹果的最佳出售时间点.交流与讨论1：①一般情况下，影响商品价格的因素有哪些？影响商品价格的因素有很多，假定其它影响因素不变，只考察一个因素：苹果的数量影响价格.当市场上苹果的数量比较多时候，价格较低；当市场上苹果的数量较少时候，价格较高； ②如果用一定技术手段，把苹果储存起来，储存成本和时间的关系是什么？一般情况下，储存成本会随着时间增长而增大.③为了能够通过数学方法解决问题，不同的保鲜储存技术问题的成本问题不予考虑. 交流与讨论2：如何用数学符号语言来描述上述讨论的结果？设市场上苹果的数量为x 万吨，苹果的单价为y 元.则y 会随着x 的增大而减少；y 会随着x 的减少而增大.记：()y f x =.则()y f x =是减函数.设苹果保鲜储存的时间为t 天，单位数量苹果保鲜成本为()g t ，则()g t 是一个增函数. 市场上苹果的数量x 会随着时间为t 的变化而变化，设()x h t =.交流与讨论3：如何建立苹果收益的数学模型（函数）？设苹果在第t 天出售时，单位数量的苹果的收益用z （元）表示，则：()()(())()z f x g t f h t g t =-=-.下面只要根据实际情况确定()f x ，()x h t =，()g t 的表达式即可.为了简化，我们假设：()f x 和()g t 都是一次函数，()x h t =是二次函数，即：111(),(0)f x k x l k =+<，222(),(0)g t k t l k =+>.2(),(0)x h t at bt c a ==++≠.则：2112112()()(())()()z f x g t f h t g t k at k b k t k c l l =-=-=+-++-.【设计意图】数学建模的过程是锻炼学生对现实对象进行分析、提炼、归纳、抽象的结果，是以数学语言来精确地描述现实对象的内在特征，以便于通过数学上的演绎推理和分析，求解深化对所研究实际问题的认识.三、确定参数，计算求解交流与讨论4：如何确定函数模型111(),(0)f x k x l k =+<，222(),(0)g t k t l k =+>，2(),(0)x h t at bt c a ==++≠中的参数？通过调查，收集实际数据，来确定参数.例如，收集了如下数据：运用待定系数法，求得函数模型：()0.50.5f x x =-+，()0.010.1g t t =+，2()0.0020.149.6x h t t t ==-+.从而：20.0010.060.1z t t =-++求解：20.001(30)1z t =--+，所以在30t =时，单位商品所获得的利润最大，为1元.四、思考反思.上面建立的模型可能会与实际情况有所偏差，因为在建模的过程中，我们假设()f x 和()g t 都是一次函数等于就已经把问题做了简化，如果条件允许，可以在收集尽可能多的数据的基础上，通过分析数据来最终建立函数的模型，这样也能优化最终建立的模型.本次数学建模活动是针对一个地区的苹果的最佳出售时间，这个问题在很多偏远地区具有广泛的应用前景，特别是国家对于贫困地区进行大力扶持脱贫攻坚阶段，如果运用我们所学到的数学知识，帮助农民伯伯实现丰产又丰收，这样我们所学到的知识的意义将更加重大.如果同学们有条件的话，可以把自己的模型和当地种植苹果的农民伯伯来进行验证，从而让数学在生产实践中发挥更大的作用.五、布置作业.教材130页，3.(2)查阅数据或者自行设计试验收集数据，建立有关停车距离的数学模型. 【注意：如果自行设计试验，在保证自身或者他人安全的情况下收集数据】教学课时：第2课时教学目标：3、经历从实际问题到建立数学模型过程，掌握建模方法，培养数学建模、数学抽象等核心素养；4、理解数学建模论文写作的一般要求．教学重点：理解数学建模论文写作的一般要求．教学难点：如何规范进行数学建模论文写作．教学过程：一、提出问题.在实际的数学建模过程中，为了向别人介绍数学建模的成果和展示解决实际问题的过程，我们还需要将建模结果整理成论文的形式.一般情况下，数学建模的论文的结构可以按照建模的过程来确定，一般结构为：二、分工合作，完成论文.以“决定苹果的最佳出售时间点”或者“停车距离的数学模型”为例或者自行选择题目，完成数学建模论文写作.分工合作：一般情况下，对于一些综合性比较强的问题而言，数学建模的过程中需要做的事情比较多，比如数据收集与整理、模型试算、对比不同的模型将结果以可视化方式展示、资料整理与论文撰写等，因此数学建模的过程中，往往采用分工合作的方式进行.一般来说，一个数学建模小组由3-4人组成.理想的小组中，既要有数学基础扎实的同学，也要有能熟练使用计算机的同学，还要有写作表达能力强的同学.。

高三数学优秀教案范本数学建模与实际问题解决

高三数学优秀教案范本数学建模与实际问题解决高三数学优秀教案范本：数学建模与实际问题解决引言：在高三数学教学中，数学建模与实际问题解决是一个重要的内容。

通过数学建模，能够帮助学生将数学知识应用到实际生活中的问题中，并且培养学生的综合运用能力和创新思维。

本文将针对高三数学建模与实际问题解决进行探讨，并提供一份优秀教案范本，为教师及学生提供参考。

第一节：数学建模的概述1.1 数学建模的定义数学建模是将实际问题转化为数学问题，并通过数学方法解决问题的过程。

它能将抽象的数学理论与具体的实际问题相结合，从而提高学生对数学的认知。

1.2 数学建模的意义数学建模有助于培养学生的创新思维和问题解决能力，拓宽学生对数学的应用视野，并加深对数学知识的理解。

此外，数学建模还能帮助学生培养团队合作精神和实践能力。

第二节：数学建模的具体步骤2.1 问题的确定数学建模要从实际问题出发，首先明确问题的背景和要求，确立问题的数学模型构建目标。

2.2 建立数学模型根据问题的特点，结合相应的数学工具和方法，建立数学模型。

这一步骤涉及到数学的多个分支，如代数、几何、概率与统计等。

2.3 模型的求解通过对建立的数学模型进行求解，得到问题的解答。

这一步骤需要灵活运用各种数学方法和技巧，包括数值计算、解析解法等。

2.4 模型的验证与评估对数学模型进行验证和评估，检查模型的可行性和有效性。

如果模型存在问题，需要进行相应的修正和改进。

第三节：实际问题解决的案例（以下为某高三数学建模课的教案范本，供参考）课程名称：航班调度优化教学目标：1. 理解航班调度的基本概念和原理。

2. 了解航班调度中的数学建模方法和技巧。

3. 能够应用数学建模解决实际的航班调度问题。

教学步骤：第一步：导入通过呈现一段航班调度的实际案例，引发学生对航班调度问题的兴趣。

第二步：概念解释向学生解释航班调度相关的概念，如航班计划、转机时间、最大飞行时间等。

第三步：数学模型构建介绍如何将航班调度问题转化为数学模型，在此过程中，教师可引导学生进行讨论和思考。

高中数学建模的主要过程及教学案例

高中数学建模的主要过程及教学案例摘要：高中新课程标准中提出了数学建模核心素养，数学建模素养的培养是高中数学教学中的重要内容，提高数学建模素养是影响学生综合数学素养的重要因素。

数学建模共有四个步骤，通过对每一个步骤最核心内容的阐述，将有利于开展数学建模教学活动。

关键词：数学建模; 高中数学; 数学教学; 数学素养;最新颁布的《普通高中数学课程标准》(2017年版)(以下简称《课标》(2017年版))中明确了中学阶段数学学科核心素养，包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析[1]。

史宁中教授也曾多次表示数学学科核心素养可以更简单地概括为抽象、推理、模型。

此次新课标的公布进一步强调了数学建模的重要性，突出了建模在数学教学中的重要地位。

事实上，在2003年公布的《普通高中数学课程标准(实验)》中就开始强调数学建模的重要性。

强调在整个高中课程内容中渗透数学建模思想，并至少在高中阶段安排一次建模活动。

在最初这对数学一线数学教育工作者来说是一个不小的挑战，特别是在重视推理、运算能力，强调解题为主，以面对高考为最根本出发点的高中数学教学中，教师们将数学建模融入课堂教学确实具有一定的难度。

但是，随着不断的变化和认识，数学建模已经不再是陌生的事物。

由于数学建模可以简化数学问题，更容易地分析数学数据解决数学问题。

近年来，数学建模教学在我国中学教学中得到了广泛的应用。

许多从事数学教学的积极参与到数学建模教学领域的研究中，寻找答案来解决数学教学中存在的问题。

不过，随着社会的变化，人们对数学和人才培养质量也不断提出新的要求。

加之新的教育理念、教育方法、教育技术快速地涌进一线教学，数学建模的教学也处在不断地变化甚至是挑战之中。

一、数学建模的主要过程按照《课标》(2017年版)的要求，数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养。

主要过程包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题。

高等数学建模案例

高等数学建模案例
1. 水桶模型：用高等数学的积分和微分知识模拟水桶的溢出情况，以确定最大容量和最快的流出速度。

2. 热传导模型：通过热传导方程式和边界条件，建立热传导模型，研究热量在物体内的传递和分布。

3. 光学模型：运用高等数学的微积分和波动方程式，描述光线在介质中的传播和干涉现象，以及各种光学器件的工作原理。

4. 风电场建设模型：利用高等数学的多元函数、梯度和偏导数等知识，分析风电场建设的最佳布局、风能利用效率和风机数量等问题。

5. 市场建模：运用高等数学的统计学和概率论知识，对市场需求、供给、价格等因素进行建模，预测市场走向和未来的趋势。

6. 股票交易策略模型：通过高等数学的时间序列分析和随机过程模型，研究股票价格的波动规律和交易策略的制定。

7. 电力系统建模：利用高等数学的电路分析和微分方程式，建立电力系统的模型，预测电力系统的稳定性和故障情况。

8. 机器人运动模型：通过高等数学的向量和矩阵知识，描述机器人的运动轨迹和姿态变化，以及机器人的工作空间和运动范围。

9. 交通流模型：运用高等数学的微分方程式和概率论知识，建立交通流模型，分析交通拥堵的原因和解决方案。

10. 化学反应动力学模型：通过高等数学的微积分和差分方程式，建立化学反应动力学模型，研究反应速率、反应机理和反应过程中的状态变化。

数学建模案例

2021/10/10
13
建模示例五：轮廓模型
轮廓模型是以量纲模型为基础，利用量的比例关系而构造简单数学模型的一种方法。因为这种比例关系比较粗糙，因而成为轮廓模型。
（货物的包装成本）在超市中可以看到许多商品（如面粉、白糖、奶粉等）都以包装的形式出售，同一种商品的包装也经常有大小不同的规格，出售的价格也高低不同。下表是一些例子。
周期中南北方向亮红灯的比率是 t/T,需停车等待的车辆
数是 V t/T.这些车辆等待时间最短为 0(刚停下 ,红灯就转
换为绿灯 ),最长为 t(到达路口时 ,绿灯刚转换为红灯 ),由假
设 2"车流量均匀 "可知 ,它们的平均等待时间是 t/2.由此可
它也是货物量的减函数 .因而当包装比较大时单位重量货物的成本的减低将越来越慢.
我们来计算总的节省率，即购买单位包装的商品的
花费随着包装的增大而改变的速率 r ( ) (q / 3) 1/3 , 它
仍然是的减函数 .这说明总的节省率也是随着所包装的
1588)2 27
27(152 88
882 272
)1588
12
当t
88 30 30 24
48.8889时,ymin
587(秒).
由此可见,我们计算所得的结果和同学们实际观测
到的数据是比较接近的.这也说明此路口红灯与绿灯设
置的时间比较合理.
评注: 由上述结果可知,两个方向绿灯时间之比恰好等于

高中数学备课教案数学建模的实例与应用

高中数学备课教案数学建模的实例与应用高中数学备课教案：数学建模的实例与应用一、引言数学建模作为一种综合运用数学知识分析和解决实际问题的方法，已经成为高中数学教学的重要内容之一。

通过数学建模，可以培养学生的数学思维能力、创新意识和实际问题解决能力。

本教案将通过实例分析和应用，展示高中数学建模的具体步骤和实践价值。

二、理论介绍1. 数学建模的概念数学建模是利用数学模型对实际问题进行抽象和解决的过程。

它既涉及数学应用，又包含了数学创新和数学思维的培养。

2. 数学建模的步骤（1）问题的分析与提取：从实际问题中提取出数学问题，明确问题的背景和要求。

（2）建立数学模型：根据问题的特征和要求，选择合适的数学模型，并建立相应的方程或不等式。

（3）求解模型：运用数学知识和方法，对模型进行求解，得到问题的解答或结论。

（4）模型的验证与应用：对模型进行验证，检查模型的合理性和准确性，并将模型应用于实际问题的解决。

三、实例分析以水桶的装水问题为例，介绍数学建模的具体步骤和方法。

1. 问题描述有一个底面半径为r的圆柱形水桶，需要装满一定量的水。

问水桶的高度h与水的体积V之间的关系是怎样的？2. 建立数学模型（1）问题的分析与提取：分析水桶的几何特征，得到水桶的底面面积A和高度h与半径r的关系。

（2）建立方程：根据水桶的底面面积A和高度h与半径r的关系，建立方程A(r) = πr^2和V(h) = Ah。

（3）求解模型：由A(r) = πr^2和V(h) = Ah，求解得到h与V的函数关系。

（4）模型的验证与应用：验证得到的函数关系是否合理，并将该模型应用于实际问题的解决。

四、数学建模的实际应用1. 环境保护领域：通过数学建模，可以对环境污染进行分析和预测，为环境保护工作提供科学依据。

2. 经济管理领域：数学建模可以用于预测和优化经济发展，提高资源利用效率和经济效益。

3. 社会问题解决：数学建模可以应用于解决社会问题，如交通拥堵、疾病传播等，为政府决策提供参考。

人教版(B版)高中数学必修第2册数学建模活动(3)

提出问题建立模型参数求解模型检验
你能进一步改进这个模型吗？
可以以第9段为界分段描述或者更换函数模型.
若以第9段为界分段描述：将 H (9) 153.6, H (11) 180.79 代入 H (x) AeBx ，可解得：
H (x) 74.096e0.081x ,
所以
0.458e0.670x , H (x) 74.096e0.081x ,
年龄/岁身高/cm 年龄/岁身高/cm
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 49.7 66.8 75 81.5 87.2 92.1 96.3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 99.4 103.1 106.7 110.2 113.5 116.6 119.4
你能看出7岁以下女童身高的哪些生长规律？
0
-3.53 0
0
x 8, x 9.
4 7.73
6.68 -1.05
10 174.9
-8.34
69.56
5 16.55 13.05 -3.5
11 180.79
0
0
6 经计算， 32.55 在H(x)模型 25.51 下，误差的 -7.04 平方和约为
145.06.
因此，我们可以通过计算不同模型下误差的平方和来比较模型之间的优劣. 在玉米植株生长规律问题中，
对于女童身高生长规律问题，利用
提出问题
g(x) 26.7 x 49.7 计算对应函数值，可得下表：
年龄/岁 0 0.5
1
1.5
2
2.5
3 建立模型
身高/cm 49.7 66.8 75 81.5 87.2 92.1 96.3
g(x) 49.7 68.6 76.4 82.4 87.5 91.9 95.9 参数求解

高职《高等数学》教学中融入数学建模思想的几个案例

高职《高等数学》教学中融入数学建模思想的几个案例摘要：本文就高职高专高等数学课程在微分学的教学过程中，融入数学建模思想给出了若干个案例，旨在加强数学建模向高等数学渗透，增进学生对数学建模的了解，提高学生学习数学的兴趣，并使其感受数学应用的广泛性。

关键词：高职高等数学数学建模案例近年来，我国高等职业教育蓬勃发展，高等职业教育肩负着培养面向生产、建设、服务和管理第一线需要的高技能人才的使命。

高等职业教育的培养目标决定了高职培养的是高技能专门应用型人才，不要求学生的理论水平多高，但实践能力、动手能力要强。

数学建模在国民经济和社会活动的诸多方面都有非常具体的应用。

数学建模是用数学方法解决实际问题的第一步，许多模型的求解要借助计算机软件求解。

数学建模是把数学与计算机技术相结合解决各领域实际问题的一门学科。

现在的高职院校开设的数学课课时较少，而数学建模侧重数学应用，内容贴近实际，丰富多彩，是很好的培养应用能力的载体，很有必要把数学建模案例有机融入高等数学课程教学中，一方面培养学生的能力，提高素质，另一方面让学生体会到所学的数学是有用的，而且贴近实际的鲜活案例还能提高学生学习的兴趣，一举几得何乐不为。

下面就高等数学课中可融入数学建模的地方给出几个案例。

一、函数部分，可融入建立函数关系的几个案例案例1某单位要建造一个容积为v(m3)的长方形水池，它的底为正方形，如果池底的单位面积造价为a元,侧面单位面积造价b元，试建立总造价与底面边长之间的函数关系.案例2 某种品牌的电视机，销售价为1500元时，每月可销售2000台，每台销价为1000元时，每月可多销售400台．试求该电视机的线性需求函数．案例3某工厂生产某型号车床,年产量为a台,分若干批进行生产,每批生产准备费为b元,设产品均匀投入市场,且上一批用完后立即生产下一批,即平均库存量为批量的一半.设每年每台库存费为c元.显然,生产批量大则库存费高;生产批量少则批数增多,因而生产准备费高.为了选择最优批量,试求出一年中库存费和生产准备费之和与批量的函数关系.案例4有一块边长为l(cm)的正方形铁皮，它的四角剪去四块边长都是x的小正方形，形成一只没有盖的容器，求这容器的容积v 与高x的函数关系．5某单位有汽车一辆，一年中的税款、保险费及司机工资等支出共a（元），另外，行驶单位路程需油费b （元），试写出一年中该车总费用y与行驶路程x的函数关系式．案例6一物体由静止开始作直线运动，前10s内作匀加速运动，加速度为2m/s2，10s后作匀速运动，运动开始时路程为零，试建立路程s与时间t之间的函数关系．7某地区上年度电价为0.8元/kw.h.，年用电量为a/kw.h.，本年度将电价降到0.55元/kw.h至0.75元/kw.h.之间．而用户期望电价为0.4元/kw.h．.经测算，下调后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为k)，该地区电力的成本价为0.3元/kw.h,写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式（提示：收益＝实际用电量×（实际电价－成本价））．8 1982年底，我国人口为10.3亿，如果不实行计划生育政策，按照年均2%的自然增长率，那么到2000年底，我国人口将是多少？若人口基数为p0，人口自然增长率为r，试建立人口模型。

高级数学建模教案：应用微积分解决实际问题

高级数学建模教案：应用微积分解决实际问题引言在如今数字时代的背景下，数学建模已经成为高中数学教育中不可忽视的重要环节。

而在高级数学中，微积分是一门涉及变化与运动的重要学科，它具有广泛的应用领域，可以帮助解决实际问题并提升学生的分析和解决问题的能力。

本篇教案将以应用微积分解决实际问题为主题，介绍一套适用于高级数学建模课程的教学设计和教学方法。

课程目标本课程旨在通过学习微积分的概念和方法，帮助学生培养数学建模的能力，并将所学知识应用到实际问题中。

具体目标如下：1.掌握微积分的基本概念和方法；2.理解微积分在实际问题中的应用；3.培养学生的分析和解决问题的能力；4.培养学生的团队合作和沟通能力；5.培养学生的创新思维和实践能力。

教学内容第一节：导数的概念和计算方法1.1 导数的定义和解释•引入导数的概念：平均变化率和瞬时变化率；•解释导数的几何意义：切线斜率和曲线斜率。

1.2 导数的计算方法•基本导数公式：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等；•导数的四则运算：和、差、积、商；•高阶导数的概念和计算。

第二节：应用导数解决实际问题2.1 极值问题•极值的定义和判定条件；•极值相关的实际问题：最大面积问题、最短路径问题等。

2.2 函数图像的分析与优化•曲线的增减性和凹凸性分析；•函数的最值和拐点问题。

第三节：定积分的概念和计算方法3.1 定积分的定义和解释•引入定积分的概念：面积的近似求解；•解释定积分的几何意义：曲线下的面积。

3.2 定积分的计算方法•基本定积分的计算：常数函数、幂函数、三角函数等；•定积分的性质和应用：曲线长度、质量、重心等。

第四节：应用定积分解决实际问题4.1 几何应用•曲线长度的计算：弧长公式和参数形式的曲线长度；•平面图形的面积计算：平面图形的分割与定积分求解。

4.2 物理应用•静止物体的质量和重心计算；•运动物体的位移和速度计算。

教学方法以问题为导向在教学过程中，我们将以实际问题为导向，通过提出问题启发学生思考和探索解决问题的方法。

高中数学建模讲解教案范文

高中数学建模讲解教案范文
一、教学目标
1. 了解数学建模的基本概念和意义；
2. 掌握建立数学模型的基本方法和步骤；
3. 能够运用数学建模解决实际问题；
4. 培养学生动手实践、团队合作和创新思维能力。

二、知识要点
1. 数学建模的定义和分类；
2. 建模的基本步骤：问题理解、建立模型、求解模型、验证和讨论；
3. 常见的数学模型：线性模型、非线性模型、离散模型等；
4. 数学建模在实际生活中的应用：如物流规划、资源分配、市场分析等。

三、教学过程
1. 导入：介绍数学建模的定义和意义，引导学生了解数学建模的重要性和应用领域。

2. 概念讲解：讲解数学建模的基本步骤和技巧，例如如何理解和分析实际问题，如何选择合适的数学模型等。

3. 实例演练：选取一个具体的实际问题，引导学生按照建模步骤进行分析和解决，并讨论建模的过程和结果。

4. 小组讨论：组织学生分成小组，根据不同的实际问题进行数学建模练习，培养学生合作能力和创新思维。

5. 总结反思：总结本节课的数学建模内容，引导学生反思建模的过程和方法，并展示建模成果。

四、教学评价
1. 学生能够理解数学建模的基本概念和方法；
2. 学生能够独立完成数学建模的实际问题；
3. 学生能够运用数学建模解决实际生活中的问题；
4. 学生能够合作团队，展示和讨论自己的建模成果。

以上就是本节课的教学内容和教案范本，希朇能为你的教学工作提供一定的参考价值。

数学建模优化建模实例课件

6米钢管根数 0 1 0 2 1 3 0
8米钢管根数 0 0 1 0 1 0 2
余料(米) 3 1 3 3 1 1 3
为满足客户需要，按照哪些种合理模式，每种模式
切割多少根原料钢管，最为节省？
两种 1. 原料钢管剩余总余量最小标准 2. 所用原料钢管总根数最少
18
决策变量 xi ~按第i 种模式切割的原料钢管根数(i=1,2,…7) 目标1（总余量） Min Z1 3x1 x2 3x3 3x4 x5 x6 3x7
模型建立
xij--第i 种货物装入第j 个货舱的重量
目标函数 (利润)
Max Z 3100(x11 x12 x13) 3800(x21 x22 x23) 3500(x31 x32 x33) 2850(x41 x42 x43)
货舱 x11 x21 x31 x41 10 重量 x12 x22 x32 x42 16
3
货机装运
模型建立
xij--第i 种货物装入第j 个货舱的重量
约束
平衡要求
x11 x21 x31 x41 10
x12 x22 x32 x42 16
10； 6800
16； 8700
8； 5300
条件
x13 x23 x33 x43 8
货物供应
x11 x12 x13 18 x21 x22 x23 15
如何装运，使本次飞行获利最大？
1
货机装运
模型假设
每种货物可以分割到任意小；每种货物可以在一个或多个货舱中任意分布；多种货物可以混装，并保证不留空隙；
模型建立
决策 xij--第i 种货物装入第j 个货舱的重量(吨）变量 i=1,2,3,4, j=1,2,3 (分别代表前、中、后仓)

高中数学第四章数学建模活动三1数学建模实例课件(1)北师大版选择性必修第一册

系:an+1=an+5,a1=220;bn+1=bn+1,b1=34.由此得到an=215+5n和bn=33+n,于
是有bn=0.2an-10.
进一步,将脚长和对应的鞋号记作(a,b),在平面直角坐标系中描点,视察到
线性关系,然后建立关系式b=0.2a-10.
构建数据表,利用计算工具的电子表格作出散点图,选择几种函数模型进行
二档、第二档与第三档的两个电量临界值,即75%和95%这两个电量临界
值.
通过样本估计总体百分位数的要领是对样本数据进行排序,得到有序样本
(在统计学中称之为顺序统计量).
利用电子表格软件,对上面的样本数据进行排序,可以得到下面的结果:
8
18
22
31
42
48
49
50
51
56
57
57
60
61
61
61
62
社会上对这种制定阶梯电价的原则和方法存在不同意见,教师可以引导学
生讨论制定合理阶梯电价的原则和方法.
本课结束
知识解决数学问题的一类综合实践活动,也是高中
阶段数学课程的重要内容.
本专题在必修课程和选择性必修课程的基础上,通过具体实例,建立一些基
于数学表达的经济模型和社会模型,包括存款贷款模型、投入产出模型、
经济增长模型、凯恩斯பைடு நூலகம்型、生产函数模型、等级评价模型、人口增长
模型、信度评价模型等.在教学活动中,要让学生知道这些模型形成的背景、
(3)当a=282时,代入公式b=0.2a-10,得b=46.4.分两种情况:如果简单地进行
“四舍五入”,那么选46号鞋;如果想穿鞋不挤脚,可以选47号鞋.

第3课高等数学建模案例

现丙系有6名学生分别转到甲、乙系各3名。
系别人数所占比例
分配方案
甲 103 103/200=51.5% 51.5 %•20 =10.3
乙 63 63/200=31.5% 31.5%•20=6.3
丙 34 34/200=17.0% 17.0%•20=3.4
席位数 10 6 4
席位数 10 6 4
现象1 丙系虽少了6人，但席位仍为4个。（不公平！）
34 2
Q3
1 (1
1)
5 78
Q3
第3课高等数学建模案例
1 (1
1)
5 78
103 2
Q1
1 768 2(2 1)
.2
63 2
Q2
661 2(2 1)
.5
34 2 Q 3 1 (1 1 ) 5 78
103 2
Q1
888 3(3 1)
.4
63 2
Q2
661 2(2 1)
(*)
结论：当（*）成立时，增加的一个席位应分配给A 单位，反之，应分配给 B 单位。
第3课高等数学建模案例
若A、B两方已占有席位数为 n1, n2 ,
记
Qi
pi2 ni(ni 1)
i1,2
则增加的一个席位应分配给Q值较大的一方。
这样的分配席位的方法称为Q值方法。
推广
有m 方分配席位的情况
设A i 方人数为 p i ，已占有 n i个席位，i1,2,,m
证令 F (x ) f(x ) x ,则 F(x)在 [a,b]上连 , 续而 F (a )f(a ) a 0, F (b ) f(b ) b 0, 由零点定理,
(a,b),使 F () f() 0 ,

高等数学建模案例集.d

《高等数学》案例集第一章函数与极限（一）建立函数关系的的案例1、零件自动设计要求，需确定零件轮廓线与扫过的面积的函数关系。

已知零件轮廓下部分为长a 2，宽a 22的矩形ABCD ，上部分为CD 圆弧，其圆心在AB 中点O 。

如下图所示。

M 点在BC 、CD 、DA 上移动，设BM ＝x ，OM 所扫过的面积OBM （或OBCM 或OBCDM ）为y ，试求y=f(x)函数表达式，并画出它的图象。

解：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+≤≤++-+≤≤+≤≤==a x a ax a ax a axa a x ax x f y 2222242822222224122042)(22ππππ （二）极限1、一男孩和一女孩分别在离家2公理和1公理且方向相反的两所学校上学，每天同时放学后分别以4公理/小时和2公理/小时的速度步行回家,一小狗以6公理/小时的速度由男孩处奔向女孩,又从女孩奔向男孩,如此往返直至回家中,问小狗奔波了多少路程? 若男孩和女孩上学时小狗也往返奔波在他们之间,问当他们到达学校时小狗在何处?解：(1) 男孩和女孩到校所需时间是半小时，也即小狗奔波了半小时，故小狗共跑了3公里。

(2)设x(t)，y(t)，z(t)分别表示t 时刻男孩、女孩、小狗距家的距离，（二）连续函数性质B C AD M MM1、某甲早8时从山下旅店出发沿一条路径上山,下午5时到达山顶并留宿。

次日早8时沿同一路径下山,下午5时回到山下旅店。

某乙说,甲必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点.为什么? 第三章中值定理与导数应用 1、陈酒出售的最佳时机问题某个酒厂有一批新酿的好酒，如果现在就出售，可得总收入 R0＝50万元。

如果窖藏起来待来年（第n 年）按陈酒价格出售，第n 年末可得总收入为R ＝R 0832n e 万元，而银行利率为r ＝0.05，试在各种条件下讨论这批好酒的出售方案。

若银行利率开始为r ＝0.05，第5年后降为0.04，请给出最佳出售方案。

数学建模实例ppt课件

B
的化学物质Z已泻入湖中，初步估计Z的量在5~20m3之间。建立一个模型，通过它来估计湖水污染程度随时间的变化
并估计：
（1）湖水何时到达污染高峰；
（2）何时污染程度可降至安全水平(<0.05%)
28
湖泊污染问题分析
设湖水在t时的污染程度为C(t)， X
即每立方米受污染的水中含有Cm3 A
的化学物质和(1-C)m3的清洁水。用
23
几何关系
dy tg y at
dx
x
即 x dy y at dx
24
如何消去时间t?
1、求导：
2、速度与路程的关系： x 得：
（这里有负号是因为s随x的减小而增大） 4、将第2、3步代入第1步，可得模型
25
追线模型：
x
d2y dx2
k
1 dy 2 dx
由已知，T (0) 37 , T (t) 29 , T (t 1) 27 可得微分方程的特解：
T (t) 16 4 t 21 3
由T (t) 29，代入解得 t 2.4094
因此死者大约是在前一天的夜晚10:35被害的。
图1 尸体的温度
下降曲线
4
建立微分方程的常用方法
1、按变化规律直接列方程，如：利用人们熟悉的力学、数学、物理、化学等学科中的规律，
19
（1）问题分析与模型的建立
1、放射性衰变的这种性质还可描述为“放射性物质在任意时刻的衰变速度都与该物质现存的数量成比例”。而C14的比例数为每年八千分之一。
2、碳14年代测定可计算出生物体的死亡时间；所
以，我们问题实际上就是：“这人死去多久了？”
若设t为死后年数，y(t)为比例数，则y(t)=C14/C12

数学建模高中教案设计模板

数学建模高中教案设计模板一、教学内容本节课选自高中数学教材《数学建模》第二章第三节：“线性规划及其应用”。

具体内容包括线性规划的基本概念、线性规划模型的建立、求解线性规划问题的图解法和代数法，并通过实际问题引出线性规划的应用。

二、教学目标1. 理解线性规划的基本概念，掌握线性规划模型的建立方法。

2. 学会使用图解法和代数法求解线性规划问题，并能够解释求解结果。

3. 能够将线性规划应用于解决实际问题，培养解决实际问题的能力。

三、教学难点与重点重点：线性规划的基本概念、模型的建立及求解方法。

难点：线性规划模型的建立及求解过程中的数学推导。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔。

2. 学具：教材、练习本、直尺、圆规。

五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）利用多媒体展示一个实际问题的案例，如工厂生产两种产品的产量分配问题，引导学生思考如何解决这类问题。

2. 知识讲解（15分钟）（1）讲解线性规划的基本概念，如线性规划问题的标准形式、可行解等。

（2）介绍线性规划模型的建立方法，包括目标函数和约束条件的确定。

3. 例题讲解（15分钟）（1）通过一个具体的线性规划问题，讲解图解法的求解过程。

（2）通过另一个线性规划问题，讲解代数法的求解过程。

4. 随堂练习（10分钟）出示两道线性规划问题，让学生独立使用图解法和代数法求解，并讨论求解结果。

5. 应用拓展（5分钟）让学生分组讨论，探讨线性规划在生活中的应用，如家庭预算分配、物流配送等。

六、板书设计1. 线性规划的基本概念、模型的建立。

2. 图解法、代数法的求解步骤。

3. 具体例题的求解过程。

七、作业设计1. 作业题目：max z = 2x + 3ys.t. x + y ≤ 42x + y ≤ 6x, y ≥ 02. 答案：（1）图解法求解：作出约束条件的图形，找出目标函数的最大值点。

（2）代数法求解：利用单纯形法求解。

八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课的教学内容是否完整，学生是否能够理解线性规划的基本概念和求解方法。

基于数学建模素养的高中数学教学案例

基于数学建模素养的高中数学教学案例教学目标：1. 了解数学建模的意义和基本方法；2. 培养学生的数学建模素养，提高他们的问题解决能力和创新思维；3. 提高学生的数学分析、抽象和推理能力；4. 培养学生的团队合作和表达能力。

教学内容：数学建模是利用数学工具和技巧研究现实问题并给出解决方案的过程。

本节课将以一个实际问题为例，引导学生通过数学建模方法解决问题。

教学过程：引入问题：某餐厅每天供应的饭菜数量需要根据客流量进行调整。

餐厅经理希望利用数学建模的方法，根据历史数据预测未来一周的客流量，从而安排适当的食材采购和人力安排。

请你们以小组为单位，利用数学建模的方法进行研究和解决这个问题。

分组讨论：将学生分成若干小组，每个小组讨论问题分析和解决方法。

鼓励学生积极思考和交流，并指导他们合理使用数学工具和知识。

方法选择：鼓励学生根据问题的特点选择合适的建模方法，例如回归分析、时间序列分析等。

引导学生了解不同方法的优缺点，帮助他们选择最适合的方法。

数据收集和处理：引导学生根据历史数据（例如过去一段时间的客流量数据）进行数据收集和整理。

指导学生使用统计软件或编程语言进行数据处理和分析。

模型构建和预测：引导学生根据数据分析结果，建立数学模型，并进行未来一周客流量的预测。

鼓励学生在模型构建过程中注重问题的实际背景和假设的合理性。

模型验证和优化：引导学生对模型进行验证，分析预测结果的准确性和可靠性。

鼓励学生对模型进行优化和改进，提高预测精度。

结果呈现和总结：要求学生将研究过程和结果进行呈现和总结。

鼓励学生以口头报告、海报展示等形式展示他们的研究成果，并进行分析和讨论。

反思和评价：对学生的研究过程和成果进行反思和评价。

引导学生讨论数学建模的思维方式和方法，在团队合作和表达能力方面进行评价和反思。

教学延伸：1. 鼓励学生深入研究和应用数学建模方法，解决更复杂和实际的问题；2. 引导学生了解数学建模在科学研究和工程领域的应用，拓宽他们的视野；3. 组织学生参加数学建模比赛和科技创新活动，提高他们的竞争能力和创新素养。

《数学建模实例》示范公开课教案【高中数学北师大】

第四章数学建模活动1.4.1 数学建模实例1. 借助小组合作学习，在参与和实践中发现和提出问题、分析和解决问题．2．进一步体会数学建模的全过程，特别是体会因素分析和假设对于建模的重要性，在过程中提升将实际问题数学化的能力．3. 在对实际问题的再分析、对假设的再改进、对已得模型的再思考中进一步认识和体验数学建模．重点：对问题相关因素的分析及适当的假设．难点：将“漂洗多少次能使衣服干净”这一生活中的问题转化成不等式的问题．一、新课导入情境导入：日常洗衣服都要经历两个阶段，第一阶段是用去污剂搓洗衣服，第二阶段是漂洗衣服．一般来讲要漂洗多次，漂洗的次数越多，衣服越干净．问题：在前面的必修课程中，我们已经学习并实践了数学建模活动，这里我们再研究一个实际问题——漂洗衣服的问题．在给定漂洗所用的清水量的前提下，漂洗多少次能使衣服干净？请大家特别注意的是，在用数学解决这个问题的过程中，我们需要做哪些工作？学生思考，师组织学生回顾数学建模的主要步骤，理解所提出的实际问题．引出本节课题：《数学建模实例》．设计意图：引入情境，提出问题，复习数学建模的知识，明确本节要研究的问题漂洗衣服的问题．二、新知探究探究一：影响因素的分析及假设．思考：影响衣服漂洗洁净度，涉及哪些因素？这些因素中哪些是主要因素？哪些因素可能会使建模的困难增大，从而可先暂时忽略？分析：影响漂洗衣服干净程度的因素有：漂洗前衣服上残留的污物量，用于漂洗衣服的清水量，漂洗的次数，每次漂洗用的清水量，每次漂洗后，衣服上残留的污物量．如下列出因素：1．漂洗前衣服上残留的污物量； 2．用于漂洗衣服的清水量； 3．漂洗的次数； 4．每次漂洗用的清水量；5．每次漂洗后，衣服上残留的污物量；◆教学目标◆教学重难点 ◆◆教学过程 ◆6．用什么洗涤剂（忽略）； 7．洗衣的程序（忽略）； 8．水温（忽略）；为了便于表达和分析，我们把出现的重要的量用数学符号来表达，从而逐步形成一些解决问题所需要的“假设”：假设：1．漂洗所用的清水总量是定值，记为A kg ；2．共漂洗了n(n ∈N)次，每次漂洗所用的清水量相等，记为a kg ;3．初次漂洗之前衣服上的污物量记为m 0 kg ，第i(1≤i ≤n ，且 i ∈N+)次漂洗后，将衣服拧干，衣服上的残留污物量记为m i kg ；4．每次漂洗拧干后，衣服上留有的清水量相等，记为b kg ； 5．每次漂洗，衣服上残留的污物可均匀地溶解在水中；6．为了使衣服上的污物能均匀地溶解在水里，每次漂洗时存在用水最小量，记为c kg ； 7．衣服上的残留污物量小于ℇ kg ，则称，衣服被漂洗干净了；探究二：建立漂洗后残留污物模型．分析：第1次漂洗前，衣服上有污物m 0 kg ，衣服上留有的清水量是b kg ．第1次漂洗时加入清水a kg ，此时，m 0 kg 污物均匀地溶解在(a +b) kg 的清水里．问：漂洗拧干后与漂洗前比较，衣服上残留的污物有什么关系？漂洗拧干后，衣服上残留的污物量为m 1 kg ，满足m 1b=m 0a+b，即m 1＝m 01+ab，进而可得到：m 2＝m 11+a b＝m 0(1+a b)2，同理，m n ＝m 0(1+a b)n ＝m 0(1+A nb)n .由假设可知，a ≥c ，即n ≤Ac ．于是，问题转化为只需要求同时满足m 0(1+A nb)n <ϵ和n ≤Ac的n 值即可．通过对n 赋值，得到符合条件的n 值，即得结果．事实上，为了保证有解，应当满足条件m 0(1+c b)[A c ]<ϵ，其中[A c ]表示不超过Ac 的最大整数．想一想：如何检验计算结果，与实际值是否一致呢？答案：将通过实验得出的实际值与通过计算得出的计算值相比较．若结果相近，可以认为该模型基本准确．以上过程是一个完整的数学建模活动过程．在这之后，我们还可以做进一步的工作，比如：1．改进已有模型，可通过改进假设，建立新的模型，使新的模型更接近实际． 2．讨论模型的特征，扩大模型的适用范围，以解决更多的问题． 3．深入分析实际情境，提出新的问题，进行新问题解决的数学建模活动．小结：数学建模的基本步骤：影响因素的分析和假设、建立模型、检验结果与改进．通过漂洗衣服问题的实例，对数学建模进行分析和建构．设计意图：让学生在具体建模之前，关注影响的因素和变量,抓住有价值的讨论点．教学中，给学生留出一些时间提出假设，通过让学生自己找、自己设定,不求全，只求做．经过思考，自然得出数学模残留污物量的递推关系式，建立关于残留污物量的模型之后，这只是问题局部的表示，还要完整地表达问题，即得到不等式．最后通过检验，思考问题的解决．三、应用举例问题延伸1：在上面的数学建模活动中，做了模型的假设：每次漂洗所用的清水量相等．请思考如果每次漂洗所用的清水量不相等，结果又怎样呢？分析：为了简单起见，只讨论漂洗2次的情况．解析：设2次所用的清水量分别为a 1 kg ，a 2 kg ，且a 1+a 2＝A ，A 是定值，比较a 1＝a 2和a 1≠a 2的漂洗效果．在漂洗所用的清水量不相等（a 1≠a 2）时，m 2＝m 0(1+a 1b )(1+a 2b).我们希望m 2尽可能地小，即(1+a 1b)(1+a 2b)尽可能地大．由基本不等式，得(1+a 1b)(1+a 2b)≥2√(1+a 1b)(1+a 2b)，即(1+a 1b)(1+a 2b)≤14[(1+a 1b)(1+a 2b)]2＝14(2+a 1+a 2b)2＝(2+A b )2.因为这里的14(2+A b )2是定值，所以当且仅当1+a 1b＝1+a 2b，即a 1＝a 2时，(1+a 1b)(1+a 2b)取得最大值．这说明，在只漂洗2次的情况下，所用的清水量相等的漂洗效果最佳．结论：一般地，在用水总量和漂洗次数都相同的情况下，等量用水漂洗比不等量用水漂洗下的最后残留污物量要少．问题延伸2：“漂洗次数越多，衣服越干净”的结论正确吗？分析：为了简单起见，通过只比较平均用水共漂洗２次比漂洗１次要好进行分析．解析：设第1次漂洗前，衣服上有污物m 0 kg ，衣服上留有的清水量是b kg ．第1次漂洗时加入清水A kg ．漂洗1次，m 1＝m 01+Ab.漂洗2次，m 2＝m 0(1+A2b )2.于是，考察m 1−m 2=m 01+Ab−m 0(1+A2b )2的符号，即考察(1+A b )−(1+A2b )2的符号．因为(1+Ab )−(1+A 2b )2=−A 24b 2<0，所以m 1−m 2=m 01+A b−m 0(1+A 2b)2>0．这说明只漂洗1次时残留的污物量比漂洗2次的多．结论：通过比较平均用水共漂洗２次比漂洗１次效果好，可以推导出一般结果，漂洗次数越多，效果越好．设计意图：作为数学建模的教学，在这里主要是学习数学建模的过程，而问题延伸1的推演运算比较复杂，教学时间又比较有限，不建议把精力放在这样纯粹的数学计算上，问题的延伸，仅作为了解即可；问题延伸2关注学生的建模过程，鼓励学生独立思考，其计算推导比较简单，学生可以独立完成．四、课堂练习1.跑道问题．400 m标准跑道的内圈如图所示，其中左右两边均是半径为36 m的半圆弧．（注:400m标准跑道最内圈约为400m）（1）求每条直道的长度（圆周率取3.14，结果精确到1 m）；（2）建立平面直角坐标系xOy，写出跑道上半部分对应的函数解析式．参考答案：1. （1）87m；（2）y={√72x−x2，0≤x<36，36，36≤x<123，√246x−x2−13 833，123≤x≤159．分析：在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系．解析：（1）因为跑道两端的弧形合起来是一个完整的圆周,所以弧形部分跑道的长度为2×3.14 ×36=226.08(m)，两条直道长度为400−226.08=173.92(m)．所以每条直道长约为173.92 −2=87(m)．（2）建立如图所示的平面直角坐标系：当0≤x<36时，圆的方程为(x−36)2+y2=362，函数解析式为y=√72x−x2；当36≤x<123时，函数解析式为y=36；当123≤x≤159时，函数解析式为y=√246x−x2−13 833．所以函数解析式为y={√72x−x2，0≤x<36，36，36≤x<123，√246x−x2−13 833，123≤x≤159．五、课堂小结1.数学建模步骤（1）提出一个实际情境和一个实际问题；（2）把问题用自然语言陈述得更清楚、准确；（3）相关因素分析和假设，尽量将遇到的关键变量分析清楚，如果需要，可以做多次分析和假设，做多个模型；（4）建立数学模型并求解；（5）对于数学模型得到的结果，用自然语言描述出来，并通过实际检验，如果不符合实际，就需要修改假设，修改数学模型，重复第2，3，4，5步的过程．2.数学建模活动后思考（1）改进已有模型，从而建立新的模型，使新的模型更接近于实际．（2）讨论模型的特征，推广、扩大模型的适用范围，以解决更多的问题．（3）深入分析实际情境，提出新的问题，进行新的数学建模活动．六、布置作业教材第150页习题4-1第1、3题．。

数学建模案例在高等数学教学中的应用探讨

数学建模案例在高等数学教学中的应用探讨高等数学是大学本科数学的一门基础课程，它主要涵盖微积分、线性代数和概率论等内容。

数学建模是将实际问题抽象为数学模型，并运用数学方法进行求解和分析的过程。

在高等数学教学中，数学建模可以帮助学生理解和应用数学知识，提高解决实际问题的能力。

下面将列举十个数学建模在高等数学教学中的应用案例。

1. 空气动力学模型：通过建立空气动力学模型，可以分析飞机的升力、阻力等特性，帮助学生理解微积分中的导数和积分概念，并应用这些概念解决实际问题。

2. 生物动力学模型：生物动力学模型可以描述生物体内的物质转化和能量转移过程，帮助学生理解微积分中的微分方程概念，并应用微分方程求解生物动力学问题。

3. 优化模型：通过建立优化模型，可以求解最大值、最小值等优化问题，帮助学生理解微积分中的极值问题，并应用优化方法解决实际问题，如最佳生产方案、最优投资策略等。

4. 随机模型：随机模型可以描述随机事件的发生规律，帮助学生理解概率论中的随机变量、概率分布等概念，并应用概率论方法分析和预测实际问题，如风险评估、统计调查等。

5. 线性回归模型：线性回归模型可以描述变量之间的线性关系，帮助学生理解线性代数中的矩阵和向量运算，并应用线性回归方法进行数据拟合和预测，如经济增长预测、市场需求分析等。

6. 系统动力学模型：系统动力学模型可以描述复杂系统的动态演化过程，帮助学生理解微分方程和线性代数的综合应用，并应用系统动力学方法分析系统稳定性和优化控制，如交通流量控制、环境污染管理等。

7. 物理建模：物理建模可以将物理现象转化为数学模型，帮助学生理解微积分中的物理应用，并应用物理建模方法解决实际问题，如物体运动轨迹预测、力学系统分析等。

8. 金融建模：金融建模可以描述金融市场的波动和风险特征，帮助学生理解概率论和统计学在金融领域的应用，并应用金融建模方法进行风险评估和投资决策，如股票价格预测、期权定价等。

9. 网络建模：网络建模可以描述网络中节点和连接的关系，帮助学生理解图论和线性代数在网络分析中的应用，并应用网络建模方法解决实际问题，如社交网络分析、电力系统优化等。

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