结构力学—结构稳定计算与案例

2klP kl
1.618
k(k l lP ) P (2 l kp ) 0
P 23klP k2l20
P3 2
5kl02..3681kk28ll
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Pcr0.38k2l ---临界荷载
y2 1.618 ---失稳形式
y1
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14-3-2 能量法
弹簧应变能为：
荷载势能为：
FP看作重量
其中λ为B点的竖向位移，则
即 体系的势能为：
应用势能驻值条件 ，得
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势能是正定的 稳定平衡状态
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势能是负定的 不稳定平衡状态
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例 求图示结构的临界荷载.
解: 应变能
荷载势能 U12ky12 12ky22
U P
体系势能
P i iP [y 22 l2(y2 2ly1)2]
临界状态的平衡形式具有二重性。
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其他结构也可能 出现分支点失稳 现象。
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14-1-2 极值点失稳
非完善体系的简支压杆：杆件轴 线是具有初曲率的压杆和承受偏 心荷载的压杆。
一般说来， 非完善体系的 失稳形式是极 值失稳。其特 征是平衡形式 不出现分支现 象， 而 FP 曲 线具有极值点。
结构力学
—结构的稳定计算和案例
目录 (contents)
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§ 14-1 两类稳定问题的概述
§ 14-2 两类稳定问题计算简例
§ 14-3 有限自由度体系的稳定—静力法和能量法
§ 14-4 无限自由度体系的稳定—静力法
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2. 按小挠度理论分析
设 1, 1则
FPklcos()[1sins(in )]
上式可简化为：
FP
kl
极值荷载：
FPcr kl
按小挠度理论 分析的结果
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具有弹性支座压杆的稳定
P
P
EI
EI
l
P
EI
EI
EI
l
l
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k
3EI l
k
k
1
3 EI
结构稳定计算与强度计算的最大不同是计算要 在结构变形后的几何形状和位置上进行，其方法已 属于几何非线性范畴，叠加原理已不再适用、故本 章的讨论首先从变形状态开始。计算方法则静力法 （大挠度理论或小挠度理论）和能量法（小挠度理 论）并重，互为补充。
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§ 14-1 两类稳定问题的概述
三种不同的平衡状态：稳定平衡状态、不稳定平衡状 态和中性平衡状态。
结构失稳的两种基本形式：分支点失稳和极值点失稳
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14-1-1 分支点失稳
完善体系或理想体系的简支压杆：杆件轴线是理想的
直线(没有初曲率，荷载FP是理想的中心受压荷载(没
有偏心)。
结构变形产生了
性质上的突变，
带有突然性。
可见 FPcr kl
按大挠度理论 分析的结果
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2. 按小挠度理论分析
设 1则
FPlFRl 0 又 FR kl
(FPkl)l0
第二解：
FP kl
按小挠度理论 分析的结果
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14-2-2 单自由度非完善体系的极值点失稳
1. 按大挠度理论分析
如图所示单自由度非 完善体系杆AB有初倾 角ε，其余同前面。
虽不出现新的变形形 式，但结构原来的变 形将增大或材料的应 力超过其许可值，结 构不能正常工作。
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扁拱式结构失稳时可能伴随有“跳跃”现象。
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§ 14-2 两类稳定问题计算简例
一个体系产生弹性变形时．确定其变形状态所需 的独立几何参数的数目，称为稳定自由度。
平衡方程：
F P ls in ( ) F R lc o s ( ) 0
弹簧反力：
F Rkl[sin ( ) sin]
解得：
FPklcos()[1sins(in )]
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令dFP 0, 得
d
FPklcos()[1sins(in )]
1
sin()sin3
相应极值荷载：
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FPcr kl(1sin3)2
k l3
P P
P k
EA
k
6 EI l
EI
EI l EI
k
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结论
1. 结构的失稳存在两种基本形式。一般来说，完善 体系是分支点失稳，非完善体系是极值点失稳；
2. 分支点失稳形式的特征是存在不同平衡路径的交 叉，在交叉点处出现平衡形式的二重性。极值点 失稳形式的特征是虽然只存在一个平衡路径，但 平衡路径上出现极值点；
§ 14-5 无限自由度体系的稳定—能量法
§ 14-6 组合杆的稳定
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在结构设计中，应当对结构进行强度验算和稳 定验算。其中强度验算是最基本的和必不可少的,而 稳定验算则在某些情况下显得很重要。例如，薄壁 结构与厚壁结构相比，高强度材料的结构(如钢结构) 与低强度材料的结构(如砖石结构、混凝土结构)相比， 主要受压的结构与主要受拉的结构相比，前者比较 容易丧失稳定，因而稳定验算显得更为重要。
3. 结构稳定问题只有根据大挠度理论才能得出精确 的结论，但从实用的观点看，小挠度理论也有其 优点，特别是在分支点失稳问题中通常也能得出 临界荷载的正确值。
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§ 14-3 有限自由度体系的稳定—静力法和能量法
确定临界荷载的基本方法有两类： ① 一类是根据临界状态的静力特征而提出的方 法，称为静力法； ② 另一类是根据临界状态的能量特征而提出的 方法，称为能量法。
P
P
P
EI
EI
1个自由度
2个自由度
无限自由度
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14-2-1 单自由度完善体系的分支点失稳
1. 按大挠度理论分析
平衡条件：
F P (lsin) F R (lc o s) 0
又弹簧反力：
FR klsin
即 (F Pklco s)lsin0
第一解： 0
第二解：FP klcos
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14-3-1 静力法
以2自由度体系为例
MB 0 k1y lP (y2y1)0 MA0 k2y l k1y 2 l P 1 y 0
(k lP )y1P2y 0
Pk
y1
ky 1
l EI kB
ky 2
l
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y2
P1
(2 lk P )y1k2 l y0
k l P
P 0
----稳定方程