构造解析几何模型巧解三角函数题

cos 4 sin4 + - 1. 2 co s sin 2 4 4 因 co s2 + sin 2 = 1, 故 A B = 0, 故 cos sin
x2 1 由 于 x 1, x 2 , … , x n 都是 正数 , 故 x 2 + x 2 ≥ x2 2 x2 n- 1 x2 n 2x 1 , x 3 + x 3 ≥ 2x 2 , …, x n + x n ≥ 2x n- 1, x 1 x2 1 x2 2 + x 1 ≥ 2x n, 各式相加, 可得 x 2 + x 3 + … + x n2- 1 x n2 + xn x 1 + ( x 1 + x 2 + … + x n ) ≥ 2( x 1 +
证明 因 aco s + b cos + b sin 故a cos cos sin a sin 设 + csin + b = 0,
+ cco s = 0,
可
cos + c = 0, co s sin + b + c = 0. sin co s cos 点 A , 与 cos co s
点
sin sin B sin , sin
2 sin( +
2 ] , 则原不等式可化为 - 3 - ( t2 - 1) + at ≥ 1 , 2
- cos
+
sin sin
2
2
- sin
7 ,或a ≤ 6. 2 以上两题若按常规的三角方法解, 计算 求得 a ≥ 量大, 过程繁杂. 对一些三角函数中的平方和 结构式 , 常可构造解析几何中的距离模型 , 打 破各章节的知识局限 , 使复杂的三角问题解
+ a cos ) 2 ≥ 1 . 8 ( 1996 年全国高中数学联赛试题)
解析 原 不等 式可看 作点 P ( - 3 2sin cos , - asin - acos ) 到直线 l: y = x 上任意一点的距离的平方大于 1 . 8 由点 P 到直线 l 的距离公式得 : - 3 - 2sin cos + asin + a cos 令 t = sin ∈ [ 1, + cos = ≥ 1 . 2 4 )
( cos y - cos z ) + sin z cos z <
4
.
2007 年第 9 期 中学数学月刊 ・41・ 设点 A ( cos x , sin x ) , B ( cos y , sin y ) , C ( co s z , sin z ) , 则 A , B , 2 2 C 为单位圆 x + y = 1 上 的三个点. 过点 A , B , C 分 别作 x 轴、 y 轴的垂线, 得 三个矩形, 如图 3 所示, 设 其面积分别为 S 1 , S 2 , S 3 , 所以 左端就是 S 1 , S 2 , S 之和. 显然 S + S +
图3
, 这就证得了结论 . 4 ( 2) 构造圆锥曲线模型 例 7 在 △A BC 中 , 已知 a = 10, c = 8 B C 1 + b . 求证 : t an co t = . 2 2 9 证明 以线段 BC 的 S3 < 中 点 为 坐 标 原 点, 线 段 BC 所在直线为 x 轴, 建立 平面直角 坐标系( 如图 4) , 则点 A ( x 1, y 1 ) 在双曲 x2 y2 线 = 1 的右支上 . 16 9 图4 由 双曲线 的 焦半 径公 式 5 5 得到 A B = x 1 + 4, A C = x 1 - 4, 所 4 4 B C sin B 1 + cos C 以 t an cot = = 2 2 1 + co s B sin C 5 - x1 1+ AC AC sin B 1 + cos C = = AB 5 + x1 sin C 1 + co s B 1+ AB 1 1 AC + 5- x x + 4 1 = = . AB + 5 + x1 9x 1 + 36 9 当三角函数问题中的条件或结论与圆锥 曲线的定义或二次曲线方程的参数形式有关 的时候 , 我们可构造二次曲线模型解题, 使解 题方法优化. 4 构造切线模型 ( 1) 构造直线与圆相切模型 3 - sin x 例 8 求函数 y = 的值域 . 2 + cos x x 1 = 2 + cos x , 解析 设 消去 x , 得圆 y 1 = 3 - sin x , 2 2 心为 C ( 2, 3) 的圆( x 1 - 2) + ( y 1 - 3) = 1.
是直线 ax + by + c = 0 上的
两点, 又经过点 A , B 的直线方程用两点式可 sin sin 表示为 cos sin cos sin 化简得 sin( - ) y sin sin = , co s sin cos sin x + sin( - ) y + x -
sin( - ) = 0. 由于过 平面上的两点有 且仅有一条 直 线 , 于是直线 sin( a 与 ax + by + c = 0 表示同一 ) = sin( c ). 条 直 线, 其对 应 项系 数 成比 例 , 所以 可 得 ) = sin( b
图 5 图 6
( 2) 构造直线与圆锥曲线相切的模型 3sin - 5 例 9 求函数 y = 的值域 . 5cos - 3 解 析 函 数 y 就 是点 ( 3, 5) 与 椭 圆 x = 5cos , 上一动点 ( 5co s , 3sin ) 的连 y = 3sin 线的斜率( 如图 6) , 知 y 值必在过点( 3, 5) 作 x2 y2 椭圆 + = 1 的两条切线的斜率之间 . 25 9 设切线的斜率为 k , 则切 线的方程为: y = kx ± = 3k ± 481 - 15 ± 16 ≤ 25k + 9, 点 ( 3, 5) 在切线上, 故 5 25k + 9, , 所以 y ≥
3 1 2
y1 , 得 y 1 = y x 1, 它表示以 y 为斜 x1 率且过原点的直线 ( 如图 5) . 在这些直线中, 与圆 C 相切的两条直线 OA , OB 的斜率符合 要求 , OA 的斜率最小, OB 的斜率最大, 故 y m ax 由y = = 2+ 2 3 3 , y min = 2 2 3 3 , 易得值域.
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x 2 + … + x n) , x1 x2 x n- 1 xn + + …+ + ≥x1 + x2 x3 xn x1 x 2 + … + x n. 所以 由上可见, 运用对称、 对偶原理解题 , 不 仅 给我们解决数学问题带来了方便, 更使我 们充分感受到了数学独特的美.
2 2 2 2
中学数学月刊 ・ 40・ 2007 年第 9 期 答过程简化. 2 构造直线模型 ( 1) 构造直线方程模型 例 3 已知 a , b , c ≠ 0, cos ≠ 0, sin ≠ 0, 若 a cos + b co s + cco s = 0, asin + b sin sin( a asin + csin ) = = 0, 求证 : b ) = sin( c ) . sin( 率 k 存在 , 且单调增加 ( 如图 1) , 故 k A Q ≤ k PQ ≤ k BQ . 1 1 因 k A Q = 3 , k BQ = 3, 故 3 ≤ k PQ ≤ 3, 所 1 以 f ( x ) 的值域为 [ , 3] . 3 ( 3) 构造直线截距模型 例 5 已知 sin + 2cos = 2, 则 2sin + cos 的取值范围为 . 解析 设 x = sin , y = cos , t = 2sin + co s , 则有 x + 2y = 2, 2x + y = t( x ≤ 1, y ≤ 1) , t 的取值 范围即为线 段 x + 2y = 2 与平行线 图2 段簇 2x + y = t( x ≤ 1, y ≤ 1) 相交时 , 2x + y = t 在 y 轴上 截距的取值范围 . 由图 2 知, 当 2x + y = t 过 1 5 点 B ( 1, ) 时 , tm ax = ; 过点 A ( 0, 1) 时, tm in 2 2 = 1. 所以 2sin + cos 的取值范围 是 [ 1, 5 ]. 2 当遇到三角函数中的线性关系式和分式 结 构的条件时, 我们常可构造解析几何中的 直线方程或者直线的斜率、 截距等模型, 这样 的解题方法较新颖. 3 构造二次曲线模型 ( 1) 构造单位圆模型 例 6 设 x , y , z 为实数, 且 0 < x < y < z < 2 2 . 试证明: sin 2x + sin 2y + sin 2z <
( 2) 构造直线斜率模型 例 4 求 f ( x ) = 解 析 f ( x ) sec2 - t an 2 的值域 . sec + t an 2 sec - tan = 2 = sec + tan
2 - sin 2 2 + sin 2 , 设点 P ( - sin 2 , sin 2 ) , Q( 2, 2) , 则点 P 的轨迹为线 段 A B : x + y = 0, x ≤ 1, 且 k PQ = 2 - sin 2 . 当 P 沿线 2 + sin 2 段 A B 从点 A 移 动到 点 B 时, 直线 PQ 的斜
2 2 4 4
A , B 两点重合 , 从而有 = sin , 所以 cos2
cos 2 sin 2 = co s , cos sin 2 2 = cos , sin = sin 2 .
sin4 co s4 所以 2 + = sin 2 + cos 2 = 1. sin cos 2 ( 2) 构造点到直线距离模型 例 2 求实数 a 的取值范围, 使得对于 任意 ∈ 0, + ( x + asin 2 , 恒有( x + 3+ 2sin cos ) 2
+ 2sin x co s y + 2sin y cos z . ( 1989 年 IMO 试题 ) 证明 原式可变为 sin x cos x + sin y cos y + sin z cos z <
4
图1
+ sin x cos y + sin y cos z . 即证明 sin x ( cos x - cos y ) + sin y
2007 年第 9 期 中学数学月刊 ・39・
构造解析几何模型巧解三角函数题
沈 芳 ( 浙江省德清县高级中学 313200) 三角 函数这部 分内容的 公式、 概念 较 多 , 知识的涉及面广 , 解题的技巧性较强 . 在 解 某些三角函数问题时 , 常规的思考方法是 由 条件到结论的定向思考 , 但有些问题按照 这样的思维方式来寻求解题途径比较困难 , 甚至无从下手 . 在这种情况下, 经常要求我们 改变思维方法 , 换一个角度思考 . 华罗庚先生 曾 经说过 : “ 数形结合千般好, 数形分离万事 休 . ”那么 , 我们在学习了解析几何以后 , 若 能 根据题中所给的条件和结构 , 联想并挖掘 出隐含的解析几何模型 , 把代数问题几何化 , 借助解析几何的有关知识解决三角函数中的 相 关问题, 则可事半功倍, 使解题过程新颖、 简洁、 优美. 现举几例加以说明. 1 构造距离模型 ( 1) 构造两点间的距离模型 cos sin k 例 1 已知: 2 + 2 = 1, ≠ 2 , cos sin sin 4 co s4 k ∈ Z, 求证 : + = 1. 2 sin cos 2 cos 2 sin2 证明 设点 A , , B ( cos , cos sin sin ) , 由两点间的距离公式可得 A B = cos co s =
2 2
整 理 得 k = - 15 + 16 481 ,y
- 15 481 , 易得值域. 16 对于三 角函数中的分 式结构求值 域问 题 , 我们常可构造直线与二次曲线相切的模 型求得极值 ( 最值 ) , 从而求得值域, 这样的解 法直观简洁 . 以上例题按常规三角函数的方法来求解 较 为困难 , 但通过把三角函数问题转化为相 应 的解析几何问题求解, 使原来狭小的思维 空间豁然开朗, 不仅使复杂问题简单化, 而且 还 能沟通数学知识间的联系, 从而更好地培 养和提高学生分析问题、 解决问题的能力 , 培 养学生的想象能力和创新意识.