3-2二元变量数学期望与方差

X Y 设 Z , 1)求EZ及DZ； 3 2
1 N(0,16)，且X与Y的相关系数为 2 ,
2)求X与Z的相关系数 XZ .
则 DX ( x i EX ) 2 pij
DY ( y i EY ) 2 pij
i j
i
j
② 若(X,Y)的联合密度函数为 f ( x , y ), 则 DX ( x EX ) 2 f ( x, y )dxdy
DY



Z g( X , Y ) 是二维随机向量（X,Y）的函数， 1)若(X,Y)的联合概率分布律为： P ( X x i , Y y j ) pij , i , j 1,2. 则 E[ g( X , Y )] g( x i , y j ) pij
2）若（X,Y）的联合密度函数为 f ( x , y ),
P1 P1 1 / 4 1 / 4 1 / 16 P11 X与Y不独立.
例6 设随机向量(X,Y)的联合密度函数为：
e f ( x, y) 0
相关？
( x y )
x 0, y 0 其它
试判断：X与Y是否相互独立？X与Y是否线性
协方差的大小在一定程度上反映了X和Y 相互间的关系，但它还受X与Y本身度量单位 的影响. 例如：
Cov(kX , kY ) k Cov( X , Y )
2
为了克服这一缺点，对协方差进行标准化， 这就引入了相关系数 .
(二) 相关系数 定义4 设(X,Y)是二维随机向量,它们的方差D(X), D(Y)存在,且D(X)>0, D(Y)>0,称
XY
Cov( X , Y ) D( X ) D(Y )
i 1 i 1
n
n
例5 设随机向量(X,Y)等可能地取(-2,0),(0,-2), (2,0),(0,2)四个点，试判断X与Y是否相互 独立？X与Y是否线性相关？
X Y 2 0 2 P j
Pi 0 2 2 0 1/ 4 0 1/ 4 1/ 4 0 1/ 4 1/ 2 1/ 4 0 1/ 4 0 1/ 4 1/ 2 1/ 4
为随机变量X和Y的相关系数 .
在不致引起混淆时，记 XY为
.
定理3 设X与Y是任意两个随机变量,且 则 XY 1.
XY 存在，
证明: 由方差的性质和协方差的定义知, 对任意实数k,有 D(Y-kX)= k2DX+DY-2k Cov (X,Y )≥0, 这是一个关于k的一个二次多项式,则必有 (2Cov( X , Y )) 2 4 DXDY 0. 即 4(Cov( X , Y )) 4 DXDY .

( y EY ) 2 f ( x, y )dxdy
例1 设(X,Y)是二维随机向量，其联合密度函数为
1 ( x, y) G f ( x, y) 其他 0
y 其中G （x , y ) x 1, x 0, y 0} { 2 求EX，EY，DY，DX，E(X+Y)，E(XY)。
k=1,2, …,n
则
( n 1)! 1 由于 E(Xk)=1×P(Xk =1) n! n n 1 故 E( X ) E( X k ) n 1 n k 1
X Xk
k 1
n
例3 设随机向量(X,Y)的联合概率分布律为
X -1 1 Y -1
0
1
0.3 0 0.3 0.1 0.2 0.1
但由 0 并不一定能推出X和Y 独立.
定理4 如果随机变量Y是随机变量X的线性函数， 即 Y aX b, 则当a 0时， XY 1；
则当a 0时， XY 1.
从上述定理可以知道：相关系数刻划了X和Y 间“线性相关”的程度. XY 0时， 当 X与Y不相关， 当 XY 1时， X与Y之间具有完全的线性相关.且 XY 是描述随机变量X与Y之间线性相关程度,当 XY 0时， 与Y 之间存在正相关关系，当 称X XY 0时， 与Y 之间存在负相关关系，当 称X XY 越接近1,认为X 与Y 的线性相关程度越强， 反之当 XY 越接近0，则认为X与Y的线性相关
(1) 判定X与Y是否相互独立? (2) E(XY)与EXEY相等吗?
例4 设随机变量X服从[0,1]上的均匀分布，随机 变量Y服从[1,3]上的均匀分布，且X与Y相互独
立,求E(XY)及D(XY)。
例3、4说明： 若EXY=EXEY，并不能得到X与 Y相互独立的结果。且若X与Y相互独立，未 必有D(XY)=DXDY.
即 COV ( X ,Y ) E( X EX )(Y EY )
2.简单性质
(1) Cov( X , Y ) Cov(Y , X ) ( 2) Cov( aX , bY ) abCov(Y , X ) a , b是常数 (3) Cov( X 1 X 2 , Y ) Cov( X 1 , Y ) Cov( X 2 , Y ) 3. 计算协方差的一个简单公式 由协方差的定义及期望的性质，可得 Cov( X , Y ) E[( X EX )(Y EY )] E[( XY YEX XEY EXEY )] EXY EYEX EXEY EXEY EXY EYEX 即 Cov( X , Y ) EXY EXEY
前面我们介绍了随机变量的数学期望 和方差，对于多维随机向量，反映分量之 间关系的数字特征中，最重要的，就是下 面要讨论的 三、二维随机向量的协方差与相关系数 （一）协方差 1.基本概念 定义2 设X与Y是两个随机变量，且EX，EY均
存在，则称 E ( X EX )(Y EY ) 为X与Y 的协方差，记作 COV ( X , Y ).
§3.2 随机向量的数字特征
一、二维随机向量的数学期望及方差 1. 二维随机向量的数学期望 定义1 设二维随机向量(X，Y)，如果EX及EY 存在，则称二维向量(EX，EY)为二维随 机向量的(X，Y)的数学期望，记作 E(X，Y) =（EX，EY).
[注] 1) 若(X,Y)的联合概率分布律为：



yf ( x, y )dxdy
，
2.二维随机向量函数的数学期望 设（X,Y）是二维随机向量，z g( x , y ) 是 一个二元函数，则称 g( X , Y ) 为二维随机向量 （X,Y）的函数。（注意： g( X , Y ) 是一维 Z 随机变量），有： 定理1 设（X,Y）是二维随机向量，则随机变量
y
x y/2 1
G
o
x
二、二维随机向量和、积的数学期望及方差的性质 1. E(X1±X2) = E(X1)±E(X2); 注意:由E(XY)=E(X)E(Y)
推广 : E[ X i ] E ( X i )
i 1 i 1 n n
n
n
不一定能推出X,Y独立
2. 设X、Y 独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);
i 1 i 1
n
n
D[ Ci X i ] C D( X i )
i 1 i 1 2 i
n
n
例2 把数字1,2,…,n任意地排成一列，如果数 字k恰好出现在第k个位置上，则称为一个巧 合，求巧合个数的数学期望. 解: 设巧合个数为X, 引入
k 1, 数字k恰好出现在第 个位置上 Xk 否则 0，
P ( X x i , Y y j ) pij , i , j 1,2.
则 EX x i pij
i j
EY y i pij
i j
2) 若（X,Y）的联合密度函数为 f ( x , y ),
则 EX
EY


xf ( x, y )dxdy，
推广 : E[ X i ] E ( X i ) （诸Xi独立时）
i 1 i 1
3. 若X1与X2 独立，则 D(X1±X2)= D(X1)+D(X2);
X1 与X2不一定独立时， D(X1 +X2 )=？ 请思考
可推广为：若X1, X2, …, Xn相互独立,则
D[ X i ] D( X i )
程度较弱。
注意: 相关系数是随机变量之间线性关系强弱 的一个度量(参见如下的示意图).
Y
Y
1
1
X
X
Y
01
1 0
X
例7 已知随机变量Z服从[0，2 ]上的均匀分布， 且X=sinZ，Y=sin(Z+k),k为常数,求X与Y的相
关系数
.
例8 设随机变量X、Y分别服从正态分布N(1,9)，
则 E[ g( X , Y )]

i
j

g( x, y ) f ( x, y )dxdy
3.二维随机向量的方差 设（X,Y）是二维随机向量，则 ① 若(X,Y)的联合概率分布律为：
P ( X x i , Y y j ) pij , i , j 1,2.
可见，若X与Y独立，则 Cov( X , Y ) 0.
定理2 若随机变量X与Y相互独立，则
Cov( X , Y ) 0 定义3 若 Cov( X , Y ) 0 ，则称随机变量X与Y
是不相关的。否则称X与Y有(线性)相关关系. 注意：若随机变量X与Y相互独立，则X与Y是 不相关的；反之若随机变量X与Y是不相 关的，未必有X与Y相互独立。
4. 随机变量和的方差与协方差的关系
D( X Y ) DX DY 2Cov( X , Y )
D( X i ) D( X i ) 2 Cov( X i , X j )
i 1 i 1 i j n n
若 X 1 , X 2 ,, X n两两独立,，上式化为
D( X i ) D( X i )
2
Cov( X , Y ) DX DY
1
2
故 XY
Cov( X , Y ) DX DY
1
[注] X和Y独立时， =0，但其逆不真.
Cov 由于当X和Y独立时， ( X , Y ) 0
故ຫໍສະໝຸດ Baidu

Cov( X , Y ) D( X ) D(Y )
=0