第7章 相平面法

其中
A
sin(d t )
（7-17）
2
x0
2
x0 x0n d
x0 x0 n arctg x0 d
12
• 相轨迹如图7－25所示。 从图中可以看出，欠阻 尼系统不管初始状态如 何，它经过衰减振荡， 最后趋向于平衡状态。 坐标原点是一个奇点， 它附近的相轨迹是收敛 于它的对数螺旋线，这 种奇点称为
1 1 1 2 KT 2 kKT
假定
55
（1）阶跃输入 r(t)=R
• 系统方程变为
e Ke 0 Te
e kKe 0 Te
图7-51 阶跃输入下得相轨迹
56
（2）输入信号r(t)=Vt+R • 系统方程为
• 相轨迹ABCD和A1B1C1D1 对应的周期运动， 他们的周期分别为T和T1 秒（角度：弧 度） • 则有 T 2(2 ) 4 ,
2 T1 2(1 2.21) 6.43
31
7-3B 非线性系统相轨迹分析
① 根据系统结构形式选取相坐标，列写微分方程
② 画相轨迹图
（7-12）
系统（7-12）的特征方程为
s 2 n 0
2 2 n
特征方程的根为
n n 1
2
式（7-12）所表示的自由运动，其性质 由特征方程根的分布特点所决定。
8
取相坐标
x 、 x
，式（7-12）可化为：
dx 2 (2 x n n x) dt dx x dt
③ 根据相轨迹图分析系统的运动情况
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32
一、继电型系统
• 系统中有一个或几个元件具有继电型非线性特 性的系统称为继电型系统。
图7-38
继电型非线性特性
33
若继电系统的方框图如图7-39所示
图7-39
• 研究图中继电特性为图7-38（b)的情况
34
e c时
KM c h (t ) c (t ) 0 Tc | c | h KM c h
7-3A 相平面法基础
,
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1
r(t)
e(t)

K s2
y(t)
1 s
c(t)
相平面法是分析非线性系统的另一种常用的方 法，主要用于分析非线性系统的响应性能
相平面的“相”是指相变量。相变量是一组特 定的“状态变量” 状态变量是指“足以完全表征系统运动状态的 最小个数的一组变量”
2
• 例如图所示的二阶线性控制系统y(t)和 c(t)是 一组状态变量，e(t)和 y(t)也是一组状态变量。 可见，状态变量是不唯一的 • 其中y(t)与c(t)两个状态变量之间满足导函数 关系 • • •
PA sin PA sin
A
d A B
（7-33）
AB
28
• 图7-36 用小圆弧逼近相轨迹计算时间
29
例7-2
• 图示相平面上有两 条封闭的相轨迹， 已知AB和A1B1均是 圆弧的一部分，试 计算这两条封闭相 轨迹所对应的周期 运动的周期。
图7-37
30
d y (t ) c(t ) dt
将相变量定义为满足导函数关系的一组状态 变量。显然，相变量也不唯一 • 相平面法仅适用于研究二阶或一阶系统
3
c
c(t)
o
a)
c
c(t)
o
b)
t
o
t
c)
4
•
图c是响应的时域曲线，图b是它的导函数曲 线，图a是以t为参变量,将输出响应特性及其导 函数特性绘在相平面上的曲线--输出响应特性 的“相轨迹”曲线 输出特性上既包含输出量大小的信息，也包 含它的导函数信息，特性上点的切线斜率就是 该点的导数 • 结论：控制系统的输出响应性能可由它的相 轨迹来获得，由响应特性曲线c(t)可读得响应 的最大超调量、延迟时间、上升时间、峰值时 间、调节时间等时域指标
36
所以
c(t ) (c0 KM )e
当
( 1/ T ) t
KM
0 KM c
(t ) KM c
37
2、 在|c|<h区域
• 系统方程为
c 0 Tc
dc 1 dc T
1 c 0 c (c c0 ) T
（7-42）
38
3、 在c<-h区域
图7-32
22
极限环
x (1 x ) x x 0
2
1
在图7-33中，出现 了一种孤立的简单 的封闭相轨迹。这 种相轨迹称为稳定 的极限环。
图7-33
23
图7-34 各种类型的极限环 a稳 定，b不稳定，c、d半稳定
24
三、由相平面图求时间解 • 相轨迹上坐标 x1 点移动到 的时间，可按下式计算
稳定的焦点。
图7-25 系统欠阻尼运动时的相轨迹
13
（3）过阻尼运动
方程（7－12）的解为
1
x(t ) Ae 1
A1 x0 x0 2
q1t
A2e
A2
q2t
x0 x0 1
1 2
1 2
q2t
x(t ) A1q1e
q1t
系统当 m=+1 时的相轨迹
40
当m=-1时，系统微分方程为
KM (t ) c (t ) Tc KM ch c h 0 c h, c 0 c h, c
• 对这个系统而言，不论初始条件如何，系统最 终都是处于自振状态，并且振荡的周期与振幅 仅取决于系统的参数，而和初始条件的大小无 关。
（7-11）
6
相平面:
把具有直角坐标（x,x) 的平面叫做相平面。
相轨迹:
Hale Waihona Puke Baidu描绘相平面上的点随时间变化的曲线叫 相轨迹。
方程（7－9）称为相轨迹微分方程式，简称相 轨迹方程。 （7－11）式的积分结果称为相轨迹表达式。
7
一、线性系统的相轨迹
• 设系统的微分方程为
2 x 2 n x n x 0
h c c | h | c c h c c
• 将此相轨迹图与图7-40 比较可看出两者 主要是开关线不同。 • 可以通过改变开关线的位置来改善系统 的性能。
46
图7—45 速度反馈对系统运动过程的影响
47
三、含有间隙非线性的系统
• 图7-46
间隙非线性和非线性控制系统
或
x x0 x x x dx
dx x
等倾线是直线，它的方程为
1 x x 1 a
21
取不同值时，可在 a 相平面上画出若干不 同的等倾线，在每条 等倾线上画出表示该 等倾线斜率值的小线 段，这些小线段表示 相轨迹通过等倾线时 的方向，从相轨迹的 起点按顺序将各小线 段连接起来，就得到 了所求的相轨迹 。
5
相平面法
一种求解二阶常微分方程的图解方法 设一个二阶系统可以用下列常微分方程描述 • 令
f ( x, x ) x
x x1 , x x2
.
（7-9）
dx1 dx2 x2 ; f ( x1 , x 2 ) (7 10) dt dt
则
dx2 f ( x1 , x2 ) dx1 x2
相轨迹方程 1
2 1 2 K 1 Mx c 2 x b （7-55） x 2 1 2 1 2 c x K Mx 式中 1 x0 K1Mx 0 0 1 0 c2 2 2
50
2 K 1 Mx c1 x
xb
（7-54）
图7-47 式（7-54）和式（7-55）的相轨迹
x2
点所需
t 2 t1
x2
x1
dx x
（7-32）
这个积分可用通常近似计算积分的方法求出， 因此求时间解的过程是近似计算的过程。
25
1、用
1/ x
曲线计算时间
利用式（7－32）计 算时间，在某些情 况下可直接进行积 分运算 。
图7-35
26
2、用小圆弧逼近相轨迹计算时间
• 在小圆弧逼近的方法中，相轨迹是用圆 心位于实轴上的一系列圆弧来近似的。
19
二、相轨迹作图法
1 等倾线法
设系统微分方程如 x
化为
令
, x) f (x a x
) f ( x, x f (x , x) dx dx x
其中
a 为某个常数
表示相平面上的一条曲线，相轨迹通过曲线 上的点时所取的斜率都是 a 这条曲线就称为 等倾线。
20
例子
• 微分方程
图7-28
16
1
• 系统的相轨迹图如 图7-29所示，奇点 称为
不稳定的节点。
图7-29
17
2 n x x 0 x
2 n
• 此时相轨迹如图 7-30所示。奇点称 为
鞍点
该奇点是不稳定的 。
图7-30 斥力系统的相轨迹
18
图7-31 特征根和奇点的对应关系
• 很明显，相平面以直线 c h 为界被分 成三个不同的区域，在每个区域里，系统 的相轨迹完全由一个线性微分方程所确定
35
1、 在 c>h的区域
系统方程为
(t ) c (t ) KM Tc
c(t ) k1 k2e
其中
( 1/ T ) t
KMt
0 KM )T k1 c0 (c 0 KM )T k2 (c
48
方程式：
K1u x
M u M
e K2 y
e0 e0
x b y x b
0 y
0 y 0 y
49
yx b
K1 M y 0 x K1 M y 0 K1 M x b x K 1 M x b
41
图7-41 系统当m=-1时的相轨迹
42
图7-42
m≠+1 振荡趋势加大示意图
43
图7-43 m逐渐减少时的相平面
44
二、速度反馈对继电系统自由运动的影响
图7-44
有速度反馈的继电器系统
45
系统的微分方程为
KM (t ) c (t ) 0 Tc KM
51
图7-48 图7-46系统的相平面
52
图7-49 判断开关线 所用的对应关系
53
四、具有阶跃或斜坡输入时非线性系 统的相平面
• 图7-50 具有非线性放大器的系统
54
图7-52（a）表示的系统方程为
得到
c Ku Tc ke e e0 u e e e 0 e r c e Ku T r Te r
10
相轨迹的方向如 图7-24中箭头所示。 相轨迹垂直穿过 横轴。 坐标原点处相轨 迹的斜率不能由该 点的坐标唯一地确 定，这种点叫做奇 点。
图7-24 系统无阻尼运动时的相轨迹
图7-24的奇点(0,0)通 常称为 中心
11
（2）欠阻尼运动
0 1
nt
方程（7-12）的解为
x(t ) Ae
或
2n x n x dx dx x
2
（7-14）
9
（1）无阻尼运动 ( 0)
由方程（7-14），相轨迹方程为
x (t )
2
x (t )
2

2 0
2 n
A
x
2
（7-16）
其中
A
x

2 0 2 n
相轨迹如图7－24所示，在相平面上是为一族同心的 椭圆。 每个椭圆相当于一个简谐振动
如图7-36AD段，可用
x
轴上的P、Q、R点为圆心，以
PA
、
QB
、
RC 为半径的小圆弧来逼近，
这样就有
t AD t AB tBC tCD t AB tBC tCD
27
• 令
PA sin x
x OP PA cos
• 代入（7-32）式得
t AB
B
• 相轨迹方程为
(t ) c (t ) KM Tc
( 1/ T ) t
c(t ) c0 (c0 KM )T (c0 KM )Te KMt
c(t ) (c0 KM )e
0 KM 当c
时
( 1/ T ) t
KM
(t ) KM c
39
图7-40
A2q2e
相轨迹如图7－26所示
14
图7-27 过阻尼运动的时间响应
坐标原点是一个奇点，
图7-26 过阻尼时的相轨迹 A2=0，曲线1；A1=0，曲线2
这种奇点称为
稳定的节点。
15
（4）负阻尼运动
1 0
• 相轨迹图如图7－28所 示，此时相轨迹仍是对 数螺旋线，但相轨迹的 运动方向与图7－25不 同，随着 t 的增长， 运动过程是振荡发散的。 这种奇点称为 不稳定的焦点 。