离散数学第三章 谓词演算基础-永真性和可满足性
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离散数学第三章 谓词演算基础函数与量词.ppt
例3 If a program can not be told a fact，then it can not learn that fact.
解：设 P(e)表示e为program; F(e)表示e为fact; T(e1，e2)表示e1 can be told e2; L(e1，e2)表示e1 can learn e2;
则原句译为： x(A(x) y(B(y) C(x，y)) )
例2 金子闪光，但闪光的并非全是金子。
解：设 G(e)表示e为金子； S(e)表示e闪光。
则原句译为：
x(G(x) S(x)) x(S(x) G(x))
或 x(G(x) S(x)) x(S(x) G(x))
试译：计算机学院的有些老师是青年教师。
解： 设 C(e)表示e为计算机学院的人； T(e)表示e为教师; Y(e)表示e为青年.
则原句译为：
x(C(x)T(x) Y(x))
此例中：x就取值于全总个体域U， 谓词C(e)限定x取值范围。
例1 某些人对某些食物过敏。
解：设 A(e)表示e为人； B(e)表示e为食物； C(e1，e2)表示e1对e2过敏。
例5 任何人均会犯错误。
解：设 P(e)表示e为人； M(e)表示e为错误； D(e1，e2)表示e1犯e2。
则原句译为：
x( P(x) y(M(y)D(x，y)) )
例6 己所不欲勿施于人。
解：设 P(e)表示e为人； T(e)表示e为东西； W(e1，e2)表示e1要e2； S(e1，e2，e3)表示e1施e2给e3。
x(N(xN)(x):x是y自(然N数(。y)
∧G(y,x))
则命题可以表示为：
也可以理解为x“(B(下x)∧句N(x)话) 是不对的‘存在一
谓词逻辑永真公式
T
所以
T
xA(x)∨xB(x) x(A(x)∨B(x))
F
F
xA(x)∨xB(x) → x(A(x)∨B(x))
此处取T亦可
例(续前)：试判断xA(x)∨xB(x) → x(A(x)∨B(x))是否是永真式，并说明理由。
总的思路：试图在D={1,2}上找到一个使所给公式为假的解释。 注意：以前进行运算都是根据形成过程由里往外逐次进行的，但这里的过程正好相反：自顶向下逐步推演。 在推演过程中，首先考虑以下事实： 若是上述五种情况之外的情况，则利用D中元素的对称性避免讨论。
例
取解释I如下：
D={1,2}, 定义D上的二元谓词P真值为 P(1,1): T； P(1,2): F； P(2,1):F； P(2,2): T 则xyP(x,y)和yxP(x,y) 在解释I下的真值分别为?
T
F
T
T
关于x的一元函数
xyP(x,y)
P(x,y)
T
yP(x,y)
T
xyP(x,y)
F
T
F
F
F
F
F
T
2
1
2
2
1
1
yx P(x,y)
xP(x,y)
P(x,y)
x
y
关于y的一元函数
yxP(x,y)
取解释I如下： D={1,2}, 令 a:1, f(1)=2, f(2)=1 定义D上的谓词P和Q为 P(1): F； P(2): T； Q(1,1):T； Q(1,2):T； Q(2,1):F； Q(2,2): F 求谓词公式x(P(x)→Q(f(x),a))在解释I下的真值
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量词对及→的处理 x(A(x)→B(x))xA(x)→xB(x) xA(x)→xB(x)x(A(x)→B(x)) 证明1. xA(x)→xB(x) xA(x)∨xB(x) xA(x)∨xB(x) x(A(x)∨B(x)) x(A(x)→B(x)) 证明2. xA(x)→xB(x) xA(x)∨xB(x) xA(x)∨xB(x) x(A(x)∨B(x)) x(A(x)→B(x))
所以
T
xA(x)∨xB(x) x(A(x)∨B(x))
F
F
xA(x)∨xB(x) → x(A(x)∨B(x))
此处取T亦可
例(续前)：试判断xA(x)∨xB(x) → x(A(x)∨B(x))是否是永真式，并说明理由。
总的思路：试图在D={1,2}上找到一个使所给公式为假的解释。 注意：以前进行运算都是根据形成过程由里往外逐次进行的，但这里的过程正好相反：自顶向下逐步推演。 在推演过程中，首先考虑以下事实： 若是上述五种情况之外的情况，则利用D中元素的对称性避免讨论。
例
取解释I如下：
D={1,2}, 定义D上的二元谓词P真值为 P(1,1): T； P(1,2): F； P(2,1):F； P(2,2): T 则xyP(x,y)和yxP(x,y) 在解释I下的真值分别为?
T
F
T
T
关于x的一元函数
xyP(x,y)
P(x,y)
T
yP(x,y)
T
xyP(x,y)
F
T
F
F
F
F
F
T
2
1
2
2
1
1
yx P(x,y)
xP(x,y)
P(x,y)
x
y
关于y的一元函数
yxP(x,y)
取解释I如下： D={1,2}, 令 a:1, f(1)=2, f(2)=1 定义D上的谓词P和Q为 P(1): F； P(2): T； Q(1,1):T； Q(1,2):T； Q(2,1):F； Q(2,2): F 求谓词公式x(P(x)→Q(f(x),a))在解释I下的真值
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单击此处添加大标题内容
量词对及→的处理 x(A(x)→B(x))xA(x)→xB(x) xA(x)→xB(x)x(A(x)→B(x)) 证明1. xA(x)→xB(x) xA(x)∨xB(x) xA(x)∨xB(x) x(A(x)∨B(x)) x(A(x)→B(x)) 证明2. xA(x)→xB(x) xA(x)∨xB(x) xA(x)∨xB(x) x(A(x)∨B(x)) x(A(x)→B(x))
《离散数学》谓词逻辑
§3.5 前束范式
§3.6 谓词逻辑的推理
4
谓词与量词
个体词（individual）是一个命题里表示思维
对象的词，表示独立存在的具体或抽象的客体
具体的、确定的个体词称为个体常项，一般用
a, b, c 表示
抽象的、不确定的个体词称为个体变项，一般
用 x, y, z 表示
个体变项的取值范围称作个体域或论域
那么在解释2下该命题是真命题。
24
谓词公式及分类
类似于命题逻辑，也可以对谓词逻辑
公式进行分类：
设 A 为一个谓词公式，若 A 在任何解
释下真值均为真，则称 A 为普遍有效
的公式或逻辑有效式（logically valid
formula）
例
(x)
(P(x)∨P(x))
(x) P(x) P(y)
第三章 谓词逻辑
《离散数学及应用》
第三章 谓词逻辑
苏格拉底三段论：
凡是人都是要死的。
苏格拉底是人。
所以苏格拉底是要死的。
p∧q r
重言式？正确的推理？
2
第三章 谓词逻辑
为了克服命题逻辑的局限性，引入了
3
谓词和量词对原子命题和命题间的相
互关系做进一步的剖析，从而产生了
为谓词。这是一元（目）谓词，以
P(x), Q(x), …表示。
例
Human
(Socrates)
Mortal (Socrates)
7
谓词与量词
如果在命题里的个体词多于一个，那
么表示这几个个体词间的关系的词称
作谓词。这是多元（目）谓词，有 n
个个体的谓词 P(x1, …, xn) 称 n 元（目）
[工学]离散数学ch4[1]谓词逻辑基本概念
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P称为谓词 小陈、x是客体
P(x)是命题函数
P(小陈) ;P(小林)
P(x): x是大学生
谓词和量词:谓词
客体：
在句子中，可以独立存在的客观实体(一般 为句子的主语或宾语)。客体常用带有或不 带有下标的小写字母表示，如:x， y， z， a1, a2, a3……
谓词:
刻划客体的性质或几个客体间关系的模式 叫谓词，常用大写字母A， B， …… ，P， Q ,……表示。
谓词和量词:量词
考虑下列命题
所有的人都是要死的
有的人可以活百岁以上 命题当中，除了有客体和谓词外，还有表 示数量的词，称为量词 量词的种类: 全称量词 存在量词
谓词和量词:量词
1.全称量词
对应于日常语言中的: “一切的”, “所 有的”, “任意的”等 用符号“ ”表示 x表示:对客体域里面的所有客体 x读作‘对任意x’ xF(x)表示客体域里面的所有客体x都 有性质F
离散数学
第一部分 数理逻辑 谓词逻辑基本概念
简单回顾
命题和联结词
命题公式分类
永真式 永假式 可满足式
判定问题
真值表方法 命题演算 范式
等价关系 永真蕴含 对偶 代入 主析取范式 (极小项之和) 主合取范式(极大项之积)
推理理论
命题和联接词 判定问题 推理
推理的形式结构 推理的方法
命题逻辑的局限性
17世纪:莱布尼兹 ,“普遍的符号语言”、推理演算和 思维机械化的思想 1879年:G.弗雷格《概念语言》一阶逻辑体系
19世纪70年代: G.康托尔创立了集合论
谓词演算
谓词 谓词演算中的量词 谓词公式 自由变元与约束变元
离散数学的谓词逻辑详解
两种量词: 全称量词和存在量词.
全称量词:
1.全称量词 ： （任意，所有） x: “对一切x”，“对所有的x”， “对任一x”
如： x P(x) ┐ x P(x) x ┐ P(x)
“对一切x，P(x)是真” “并非对一切x，P(x)是真” “对一切x， ┐ P(x) 是真”
如: “ 所有人都是要死的”
于是令 M（x）：x是人。 （1） x（M(x)→D(x)) （2） x (M（x）∧ ┐G（x））
命题符号化(翻译)：
将汉语(或其他自然语言)语句翻译成逻辑表 达式，这在数学、逻辑编程、人工智能、软 件工程以及许多其他学科中都是一项重要的 任务。翻译的目的是生成简单而有用的逻辑 表达式。
命题符号化：
1.谓词与个体词
将简单命题分解成个体与谓词这样两个组成部分。谓词，通 常是用来描述个体的性质或特征，或者个体之间的关系。谓 词逻辑，是命题逻辑的扩充与发展 。
例1：下面两个命题 1. 张华是学生 2. 李明是学生
a: 张华 b:李明 H：是学生 ，则 H（x）:x是学生
1，2可分别表示成 H(a) ，H(b). 这样表示就揭示了两命题间有相同的谓语这一特征。
变元的约束
例1 ： 令 P（x， y）：“ x<y ”， Q（x）：x是有理数； F（x）：x可以表示为分数。
判断下列式子那些是命题函数，那些是命题？
P(x， y)
P(x， y)∧Q(x)
Q(x) → F(x) x（Q(x)→ F(x)) x Q(x)→ F(x)
自由变元与约束变元
[定义] 紧接于量词之后最小的子公式称为量词的辖 域．(量词的辖域是紧接其后的公式，除非辖域是个 原子公式，否则应在公式的两侧插入圆括号。)
全称量词:
1.全称量词 ： （任意，所有） x: “对一切x”，“对所有的x”， “对任一x”
如： x P(x) ┐ x P(x) x ┐ P(x)
“对一切x，P(x)是真” “并非对一切x，P(x)是真” “对一切x， ┐ P(x) 是真”
如: “ 所有人都是要死的”
于是令 M（x）：x是人。 （1） x（M(x)→D(x)) （2） x (M（x）∧ ┐G（x））
命题符号化(翻译)：
将汉语(或其他自然语言)语句翻译成逻辑表 达式，这在数学、逻辑编程、人工智能、软 件工程以及许多其他学科中都是一项重要的 任务。翻译的目的是生成简单而有用的逻辑 表达式。
命题符号化：
1.谓词与个体词
将简单命题分解成个体与谓词这样两个组成部分。谓词，通 常是用来描述个体的性质或特征，或者个体之间的关系。谓 词逻辑，是命题逻辑的扩充与发展 。
例1：下面两个命题 1. 张华是学生 2. 李明是学生
a: 张华 b:李明 H：是学生 ，则 H（x）:x是学生
1，2可分别表示成 H(a) ，H(b). 这样表示就揭示了两命题间有相同的谓语这一特征。
变元的约束
例1 ： 令 P（x， y）：“ x<y ”， Q（x）：x是有理数； F（x）：x可以表示为分数。
判断下列式子那些是命题函数，那些是命题？
P(x， y)
P(x， y)∧Q(x)
Q(x) → F(x) x（Q(x)→ F(x)) x Q(x)→ F(x)
自由变元与约束变元
[定义] 紧接于量词之后最小的子公式称为量词的辖 域．(量词的辖域是紧接其后的公式，除非辖域是个 原子公式，否则应在公式的两侧插入圆括号。)
1.7谓词演算的永真公式
（15） （16） （17）
例如：设个体域D为联欢会上所有的人组成的集合， A(x)：x唱歌。 B(x)：x跳舞。
1 x(A(x)∧B(x))： 联欢会上所有的人既唱歌又跳舞。 与 xA(x)∧xB(x)： 联欢会上所有的人唱歌且所有的人
跳舞。（含义相同） 2 x(A(x)∨B(x))： 联欢会上有人唱歌或跳舞。 与 xA(x)∨xB(x)： 联欢会上有人唱歌，或联欢会上有
人跳舞。（含义相同）
14
NUIST
证明：设D为任意一个个体域，I为任意一个指派。 x(A(x)∧B(x))：对于D中所有的ｘ，A(x)和B(x)都是真的。 xA(x)∧xB(x)：对于D中所有的ｘ，A(x)是真的；同时对
于D中所有的ｘ，B(x)也是真的。---两个命题是等价的。
x(A(x)∨B(x))：D中存在ｘ，能使Ａ(ｘ)或者Ｂ(ｘ)为真。 xA(x)∨xB(x)：D中存在ｘ能使Ａ(ｘ)为真，或者D中存在
指定：1.个体域D为全总个体域
2.Ｐ(x)：x是人；Ｑ(x)：x是黄种人。
则x(P(x)→Q(x))：所有的人都是黄种人。 F
思考：若 个体域D为实数集
Ｐ(x)：x是自然数；Ｑ(x)：x是有理数。
2
NUIST
例1-7-1 给定一个解释I： D={2，3}； D中的特定元素 a=2 D上的特定谓词 F(x)为：F(2)=0，F(3)=1 L(x,y)为：L(2,2)= L(3,3)=1; L(2,3)=L(3,2)=0.
等价（永真蕴含） 1 若A和B在任意个体域上都是等价的，则称谓词公式A和B
等价，记作：AB。 2 若A和B在任意个体域上都有A永真蕴含B，则称谓词公式A
永真蕴含B，记作：AB。
8
第三章一阶谓词逻辑
在谓词公式中，变元的名字是无关紧要的，可以把一个变元
的名字换成另一个变元的名字。但是，必须注意，当对量
词辖域内的约束变元更名时，必须把同名的约束变元都统
一改成相同的名字，且不能与辖域内的自由变元同名。同 样，对辖域内的自由变元改名时，也不能改成与约束变元 相同的名字。例如，对于公式（x）R(x,y)，可以改名为 （t）R(t,u),这里将约束变元x改成了t,把自由变元y改成 了 u。
函数符号：是从若干个研究对象到某个研究对象的映射的
符号。
• n元函数 f(x1,x2,…,xn) 规定为一个映射： f: Dn →D 谓词与函数的区别：
1.谓词的真值是真和假，而函数无真值可言，其值是个体域中的 某个个体。 2.谓词描述的是个体域中的个体之间的关系或性质。而函数实现的 是一个个体的出现依赖于个体中中的其他个体，他是一个个体 在个体域中的映射。 3.在谓词逻辑中，函数本身不能单独使用，它必须嵌入到谓词中。
5、谓词公式的解释
在谓词逻辑中，对谓词公式中各个个体变元的一次真值
指派称为谓词公式的一个解释。也即蜕化成命题逻辑，
一旦解释确定，根据各联接词的定义就可求出谓词公 式中真值（T或F）。 定义：谓词公式G的论域为D，根据D和G中的常量符号， 函数符号和谓词符号按下列规则作的一组指派成为 G的 一个解释I（或赋值） 解释I：三个赋值规定： （1）对公式G，为每个常量指派D中的一个元素；
命题逻辑的局限性：
例如：命题:焦作是一个漂亮的城市
郑州是一个漂亮的城市 晋城是一个漂亮的城市 新乡是一个漂亮的城市 安阳是一个漂亮的城市
P
Q R S T
要表达这样一个类别的知识时，命题逻辑表达起来，不方便。 用谓词结构的形式最方便
离散数学第三章 谓词演算基础-唯一性量词与摹状词
谓词P(x)是指个体x所具有的性质， 摹状词是指具有性质P的那个个体x。摹状词 (指导 Nhomakorabea元、作用域)
x(x)——使得(x)成立的那个惟一的个体， 其中称为摹状词， x称为摹状词的指导变元， (x)称为摹状词的作用域。 注意 摹状词的作用域与唯一性量词的作用域 均为谓词演算公式，但摹状词的值为个 体，而唯一性量词的值为真或假，且要 使用摹状词必须满足存在唯一性。
摹状词 xy(x)
对于不满足存在性和唯一性的语句，如“地球的创造”其不 满足存在性、“计算机的发明者”其不满足唯一性等，我们 引入下面的表示方法： x 当！x(x)成立时是指使得(x) 成立的那个惟一的个体x y 否则
xy(x)=
由摹状词的定义可知，下列等式成立。
(xy(x)) =(！x(x)t((t)(t)))(！x(x)(y))
例1 (p57) 他是唯一没有去过北京的人。
解：设 A(e)表示“e为人”；
B(e1，e2)表示e1去过e2；
a表示“他”；
b表示“北京”。
则语句可译为：
！x(A(x) B(x，b) x=a)
例2 (p57) 地球是唯一有人的星球
解： 设 A(e)表示“e为星球”； B(e)表示“e为人”； C(e1，e2)表示e1上有e2； a表示“地球”； 则原句译为： ！xy(A(x) B(y) C(x，y)x=a)
第三章 谓词演算基础
3.1 谓词与个体 3.2 函数与量词 3.3 自由变元和约束变元 3.4 永真性和可满足性 3.5 唯一性量词与摹状词 3.5.1 唯一性量词 3.5.2 摹状词
唯一性量词 ！
！X 表示“只有一个X”、“恰好有一个X” 。 ！x(x)表示恰好有一个x使得(x)为真。 等价公式： ！x(x)=x((x)y(xy(y)))
1.7谓词演算永真公式
(1) xF(x,y,z) yG(x,y,z) uF(u,y,z) yG(x,y,z)
换名规则
uF(u,y,z) vG(x,v,z)
换名规则
或者 xF(x,u,z) yG(x,y,z) xF(x,u,z) yG(v,y,z)
代替规则 代替规则
(2) x(F(x,y) yG(x,y,z)) x(F(x,y) tG(x,t,z))
注1. 直观解释 P(x):x今天来校上课. xP(x): 不是所有的人今天都来校上课. xP(x): 有人今天没有来校上课. 注2. 可以在有限个体域上证明——思考题
10
基本永真式(续)
（4）量词辖域收缩与扩张等值式
设A(x)是含x自由出现的公式，B中自由变元x的谓词
关于全称量词的：
关于存在量词的:
(3) xyF(x,y)
x(F(x,a)F(x,b)F(x,c)) (F(a,a)F(a,b)F(a,c))(F(b,a)F(b,b)F(b,c))
(F(c,a)F(c,b)F(c,c))
实例
例3 证明下列各等值式:
x(M(x)F(x)) x(M(x)F(x)) 证 左边 x (M(x)F(x)) 量词否定等值式
3
• 定义1.7-2 如果两个谓词公式A和B 在任意 论述域上都等价，则称A和B等价，记为 AB
4
谓词公式的类型
• 定义1.7-3 给定任一谓词公式A，如果在论 述域E上，对公式A中的谓词和个体变元进 行定义1.7-1中两种指派，所得命题
（1）都真，则称A在E上有效，或在E上永 真
（2）至少一个是真，称A在E上可满足 （3）都假，则称A在E上永假，或在E上不
判定谓词公式P(x) x P(x) 是否永真。
离散数学讲义第三章谓词逻辑.ppt
题函数。 例如 H（x），L（x,y,z）均是简单命题函数。
（P(x,y)∨L(x,y,z)） P（y, x）是一复合命题函数
在命题函数中，个体变元的取值范围称为个体域。
例4 P（x,y）表示“2 x+y=1”，若x,y的个体域为正整数集，
则总是假；
若x,y的个体域为有理数集，则y=1―2x，对任意的有理数k ， 在x= k，y =1―2k时，P（ k，1―2k）为真。
6
三、量词和全总个体域
1.量词
使用前面介绍的概念，还不足以表达日常生活中 的各种命题。
例如：对于命题 “ 所有的正整数都是素数 ”
和 “ 有些正整数是素数 ” 仅用个体词和谓词是很难表达的。 量词 在命题里表示数量的词。
（1） 全称量词
“ x” x D（x），
7
如“所有人都是要死的。”可表示为 x的个体域为全体人的集合。
15
3.4 变元的约束
例1 令 P（x, y）：“ x<y ”，Q（x）：x是有理数；F（x）：
x可以表示为分数。判断下列式子那些是命题函数，那些 是命题？ P（x, y） P（x, y）∧ Q（x） Q（x） → F（x）
x(Q( x) F ( x))
例2 令H(x)：x是人;M(y):y是药;S(x，y)：x对y过敏。判断：
3.1、 3.2 谓词的概念与表示; 命题函数和量词 3.3 ~ 3.5 谓词演算的合适公式; 变元的约束 ; 谓词公式的解释 3.6 谓词演算的永真式 3.7 谓词演算的推理理论
1
3.1、3.2 谓词、命题函数和量词 例 判断下述论断的正确性
“苏格拉底三段论” ： 凡人都是要死的， 苏格拉底是人， 所以苏格拉底是要死的。 类似的例子 还有许多。 例如：
离散数学第三章 谓词演算基础-自由变元和约束变元
第三章 谓词演算基础
3.1 谓词与个体 3.2 函数与量词 3.3 自由变元和约束变元 3.3.1 自由出现和约束出现 3.3.2 改名和代入 3.4 永真性和可满足性 3.5 唯一性量词与摹状词
改名的规则
(1) 改名是对约束变元而言，自由变元不能改名 ，改名时应对量词的指导变元及其作用域中 所出现的约束变元处处进行； (2) 改名前后不能改变变元的约束关系； (3) 改名用的新名应是该作用域中没有使用过的 变元名称。
例： x(A(x，y)y(B(x，y))) 解： 可把公式改名为： x(A(x，y)z(B(x，z)))
(AB)，(AB)，(AB)，(AB)为公式；
(5) 若A是合式公式，x是A中出现的任何个体变元，则 xA(x)，xA(x)为合式公式。 (6)只有有限次使用(1)、(2)、(3)、(4)、(5)所得到的式 子才是合式公式。
自由出现和约束出现
定义2：设为任何一个谓词演算公式，并设
xA(x)，xA(x)为公式的子公式，
例 xF(x)G(x,y)
指出公式的指导变元，辖域、约束变元和自由变元。
解：x的辖域仅F(x),x是指导变元，变元x第 一次出现是约束出现，第二次出现是自由 出现，y的出现是自由出现。 所以第一个x是约束变元，第二个x是自由 变元，本质上这两个x的含义是不同的；而 y仅是自由变元。
例 x(x=yx2+x<5x<z)x=5y2
代入规则
(1) 代入必须处处进行，即代入时必须对公 式中出现的所有同名的自由变元进行。 (2) 代入后不能改变原式和代入式的约束关 系。 (3) 代入也可以对谓词填式而言，但也要遵 循上面两条规则； (4) 命题变元也可以实施代入。
例 x(A(x，y)y(B(x，y)C(z)))
离散数学第三章 谓词演算基础-谓词与个体
WRITE(x，y)
其中x,y为变量符号项。
此式表示x和y的关系是WRITE，即作者x写了书y。 此时x可在个体域I (表示作者的集合)上变化； y可在个体域J (表示书名的集合)上变化。
谓词变元
一般地，考察
A(x，y)
其中x,y为变量符号项、A为谓词变元。 此式表示x和y具有关系A。 注意：x，y，A分别在三个域上变化。
可用变元来代替空位。因此，上述谓词可以表 示为： M(x)，D(x)，B(x,y)，ADD(x, y, z)
谓词填式
——谓词的空位上填入个体后所产生的语句。 例如： M（苏格拉底）表示“苏格拉底是人”。 D（苏格拉底）表示“苏格拉底是要死的”。 B（张三，北京）表示“张三生于北京”。 ADD（3，2，5）表示“3+2=5”。
单个体的二元谓词有2个。
个体域{a，b}上的二元谓词
两个个体的二元谓词A(e1，e2)如下图所示:
e1 e2 A0 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14 A15
a a b b
a b a b
T T T T
F T T T
T F T T
T T F T
当谓词填式中所填个体都是常元时，它是一 个命题，因而有确定的真值。 例如： M（苏格拉底）为真， M（孔子）为真， M（孙悟空）为假， M（北京）为假。
一元谓词的数目与个体域的大小有关。
谓词：从个体域到真值集的映射
例如： D（苏格拉底）为真，
D（孙悟空）为假，
B（苏格拉底，希腊）为真 B（苏格拉底，中国）为假， ADD（1，1，2）为真， ADD（3，2，5）为真， ADD（3，2，6）为假。
1.7 谓词演算的永真公式
谓词演算的永真公式
谓词演算的永真公式
谓词演算的永真公式
谓词演算的永真公式
谓词演算的永真公式
谓词演算的永真公式
谓词演算的永真公式
谓词演算的永真公式
谓词演算的永真公式
谓词演算的永真公式
谓词演算的永真公式
谓词演算的永真公式
谓词演算的永真公式
谓词演算的永真公式
谓词演算的永真公式
谓词演算的永真公式
谓词演算的永真公式
谓词演算的永真公式
谓词演算的永真公式
谓词演算的永真公式
谓词演算的永真公式。
《离散数学》谓词逻辑
内容导航
CONTENTS
第 3章 谓词逻辑
7
1 历史人物 学习要求
3.1 自然语言的谓词符号化 3.2 谓词公式与解释 3.3 谓词公式的标准型——前束范式 3.4 谓词逻辑的推理理论 3.5 谓词逻辑的应用 3.6 作业
3.1 自然语言的谓词符号化
第 3章 谓词逻辑
8
命题是具有真假意义的陈述句，从语法上分析，一个陈述句由主语和谓语两部分组成。
学习要求
重点
1 自然语言的谓词符号化 2 谓词公式的解释 3 特性谓词识别与翻译 4 基本等价规律 5 量词去掉/添加规则 6 谓词逻辑的推理
第 3章 谓词逻辑
6
难点
1 自然语言的谓词符号化 2 谓词逻辑与命题逻辑的联系与区别 3 谓词翻译的两条原则 4 合式公式的解释 5 量词去掉/添加规则的正确使用
历史人物
第 3章 谓词逻辑
4
1848-1923，德国数学家、 逻辑学家和哲学家
1906-1978，美籍奥地利数学家、逻 辑学家和哲学家，二十世纪最伟大的 逻辑学家之一
内容导航
CONTENTS
第 3章 谓词逻辑
5
1 历史人物 学习要求
3.1 自然语言的谓词符号化 3.2 谓词公式与解释 3.3 谓词公式的标准型——前束范式 3.4 谓词逻辑的推理理论 3.5 谓词逻辑的应用 3.6 作业
(x)(P(x)∧C(x))
谓词符号
变量符号
提出问题
第 3章 谓词逻辑
22
符号化“李兰的母亲是高级工程师”
设M(x,y)：x是y的母亲，
设g(x)：x的母亲；
P(x)：x是高级工程师；
P(x)：x是高级工程师；
离散数学答案 第三章 谓词逻辑
第三章 谓词逻辑习题3.11．解 ⑪个体：离散数学；谓词：…是一门计算机基础课程。
⑫个体：田亮；谓词：…是一名优秀的跳水运动员。
⑬个体：大学生；谓词：…要好好学习计算机课程；量词：所有。
⑭个体：推理；谓词：…是能够由计算机来完成的；量词：一切。
2． 解 ⑪设)(x F ：x 是舞蹈演员；a ：小芳。
命题符号化：)(a F 。
⑫设)(x F ：x 是一位有名的哲学家；a ：苏格拉底。
命题符号化：)(a F 。
⑬设)(x F ：x 作完了他的作业家；a ：张三。
命题符号化：)(a F 。
⑭设)(x F ：x 身体很好；a ：我。
命题符号化：)(a F 。
3．解 ⑪选取个体域为整数集合。
设)(x F ：x 的平方是奇数；)(x G ：x 是奇数。
命题符号化：)()(x G x F →。
⑫选取个体域为所有国家的集合。
设)(x F ：x 在南半球；)(x G ：x 在北半球。
命题符号化：)()(x xG x xF ∃∧∃。
⑬选取个体域为所有人的集合。
设)(x F ：x 在中国居住；)(x G ：x 是中国人。
命题符号化：))()((x G x F x ⌝→⌝⌝∀⑭选取个体域为所有人的集合。
设)(x M ：x 是艺术家；)(x F ：x 是导演；)(x G ：x 是演员。
命题符号化：∃x (M (x )∧F (x )∧G (x ))。
⑮选取个体域为所有猫的集合。
设M (x )：x 是好猫；F (x )：x 捉耗子。
命题符号化：∃x ⌝M (x )∧∀x (F (x )→M (x ))。
4．解 ⑪①设)(x F ：x 喜欢开汽车；)(x G ：x 喜欢骑自行车。
命题符号化：)()(x xG x xF ∃∧∃。
②设)(x F ：x 喜欢开汽车；)(x G ：x 喜欢骑自行车；)(x M ：x 是人。
命题符号化：))()(())()((x G x M x x F x M x ∧∃∧∧∃。
⑫①设)(x F ：x 必须学好数学。
离散数学之谓词逻辑讲义.ppt
2.1 谓词的概念与表示
▪ 谓词 在反映判断的句子中，用以刻划客体
的性质或关系的即是谓词。 例：(1)3是有理数。 (2)x是无理数。
(3)阿杜与阿寺同岁。 (4)x与yL。 其中，“是有理数”、“是无理数”、 “与…同岁”、“…与…有关系L”均为谓词。 前两个是指明客体性质的谓词，后两个是指 明两个客体之间关系的谓词。
▪ 原子公式 元谓词，t1,
t2若, …A,(xtn1是, xF2,的…任, x意n)是n个F 项的，任则意称n
A(t1, t2, …, tn)为谓词演算的原子公式。
2.3 谓词公式与翻译
▪ 谓词演算的合式公式/谓词公式
(1)原子公式是合式公式。 (2)若A 是合式公式，则 (A) 也是合式公式。 (3)若A和B是合式公式，则(A∧B)，(A∨B)，
▪ 但客体变元在哪些范围内取特定的值，对是 否成为命题及命题的真值极有影响。
例：R(x)表示“x是大学生”，如果x的讨论范 围是某大学里班级中的学生，则R(x)是永真式。 如果x的讨论范围是某中学里班级中的学生， 则R(x)是永假式。如果x的讨论范围为一剧场 中的观众，那么对某些观众，R(x)为真，对另 一些观众，R(x)为假。
2.2 命题函数与量词
▪ 简单命题函数 由一个谓词，一些客体变
元组成的表达式称为简单命题函数。 n元谓词就是有n个客体变元的命题函数。 不带任何客体变元的谓词称为0元谓词。
▪ 复合命题函数 由一个或n个简单命题函数
以及逻辑联结词组合而成的表达式称复合命 题函数。
2.2 命题函数与量词
▪ 命题函数不是一个命题，只有客体变元取特 定名称时，才能成为一个命题。
比y 跑得快。则 xy(T(x)∧S(y) F(x,y))
▪ 谓词 在反映判断的句子中，用以刻划客体
的性质或关系的即是谓词。 例：(1)3是有理数。 (2)x是无理数。
(3)阿杜与阿寺同岁。 (4)x与yL。 其中，“是有理数”、“是无理数”、 “与…同岁”、“…与…有关系L”均为谓词。 前两个是指明客体性质的谓词，后两个是指 明两个客体之间关系的谓词。
▪ 原子公式 元谓词，t1,
t2若, …A,(xtn1是, xF2,的…任, x意n)是n个F 项的，任则意称n
A(t1, t2, …, tn)为谓词演算的原子公式。
2.3 谓词公式与翻译
▪ 谓词演算的合式公式/谓词公式
(1)原子公式是合式公式。 (2)若A 是合式公式，则 (A) 也是合式公式。 (3)若A和B是合式公式，则(A∧B)，(A∨B)，
▪ 但客体变元在哪些范围内取特定的值，对是 否成为命题及命题的真值极有影响。
例：R(x)表示“x是大学生”，如果x的讨论范 围是某大学里班级中的学生，则R(x)是永真式。 如果x的讨论范围是某中学里班级中的学生， 则R(x)是永假式。如果x的讨论范围为一剧场 中的观众，那么对某些观众，R(x)为真，对另 一些观众，R(x)为假。
2.2 命题函数与量词
▪ 简单命题函数 由一个谓词，一些客体变
元组成的表达式称为简单命题函数。 n元谓词就是有n个客体变元的命题函数。 不带任何客体变元的谓词称为0元谓词。
▪ 复合命题函数 由一个或n个简单命题函数
以及逻辑联结词组合而成的表达式称复合命 题函数。
2.2 命题函数与量词
▪ 命题函数不是一个命题，只有客体变元取特 定名称时，才能成为一个命题。
比y 跑得快。则 xy(T(x)∧S(y) F(x,y))
数学离散数学PPT课件
(b) 对公式 A: F(x, y)∧M→F(u, x)中的 F, 欲代以 B: G(x1)∨H(x2, s)→H(t, x2), 则只需x , y , u不是B内的约 束变元, 而且s , t不是A内的约束变元。 代入结果为 (G(x)∨H(y, s)→H(t, y))∧M→(G(u)∨H(x, s)→H(t, x))
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表 1.7 -1 含有量词的永真公式概要表
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谓词演算规则
1、代入规则 2、替换规则 3、对偶原理
第24页/共41页
1. 代入规则
(i)自由个体变元的代入：在一公式中, 任一自由个体变元 可代以另一个体变元, 只需该个体变元出现的各处都同样代入, 且代入的变元不允许在原来公式中以约束变元出现。 例: 在公式xP(x, y)∨Q(w, y)中, 将y代以z, 则得xP(x, z)∨Q(w, z)， 将y代以w, 则得xP(x, w)∨Q(w, w)。 所得公式称为原公式的代入实例。
1.后边的r个自由变元 不允许在原公式中以约束变元出现; 2. F(x1,x2, …, xn)中的变元也不允许在代入的公式中以约束变元 出现。
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例: (a) 对公式(P→Q) (P∨Q)中的P代以xP(x), Q代以S(x), 得
(xP(x)→S(x)) (xP(x)∨S(x))
Q4
xP(x) xQ(x)
E14
第31页/共41页
(b) 证明
x(P(x) Q(x)) x(R(x) Q(x)) (R(x) P(x))
证： 根据CP规则, 上式等价于
x(P(x) Q(x)) x(R(x) Q(x)) (R(x) P(x))
而 x(P(x) Q(x)) x(R(x) Q(x))
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表 1.7 -1 含有量词的永真公式概要表
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谓词演算规则
1、代入规则 2、替换规则 3、对偶原理
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1. 代入规则
(i)自由个体变元的代入：在一公式中, 任一自由个体变元 可代以另一个体变元, 只需该个体变元出现的各处都同样代入, 且代入的变元不允许在原来公式中以约束变元出现。 例: 在公式xP(x, y)∨Q(w, y)中, 将y代以z, 则得xP(x, z)∨Q(w, z)， 将y代以w, 则得xP(x, w)∨Q(w, w)。 所得公式称为原公式的代入实例。
1.后边的r个自由变元 不允许在原公式中以约束变元出现; 2. F(x1,x2, …, xn)中的变元也不允许在代入的公式中以约束变元 出现。
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例: (a) 对公式(P→Q) (P∨Q)中的P代以xP(x), Q代以S(x), 得
(xP(x)→S(x)) (xP(x)∨S(x))
Q4
xP(x) xQ(x)
E14
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(b) 证明
x(P(x) Q(x)) x(R(x) Q(x)) (R(x) P(x))
证： 根据CP规则, 上式等价于
x(P(x) Q(x)) x(R(x) Q(x)) (R(x) P(x))
而 x(P(x) Q(x)) x(R(x) Q(x))
离散数学考试大纲
离散数学考试大纲1 命题演算基础1．1 命题与联结词①命题②联结词③合式公式④命题的符号化1.2 真假性①解释②等价公式③联结词的完备集④对偶式和内否式。
1.3 范式及其应用①范式②主范式2 命题演算的推理理论2.1 命题演算的公理系统①公理系统的组成部分②公理系统的推理过程2.2 命题演算的假设推理系统①假设推理系统的组成②假设推理系统的推理过程2.3 命题演算的归结推理法①归结证明过程②归结证明方法3 谓词演算基础3.1 谓词和个体①个体②谓词③语句的符号化3.2 函数和量词①函数项②量词3.4 永真性和可满足性①真假性②同真假性③永真性和可满足性④范式4 谓词演算的推理理论4.1 谓词演算的永真公理系统①公理系统的组成部分②公理系统的推理过程4.2 谓词演算的假设推理系统①假设推理系统的组成及证明方法②定理的推导过程4.3 谓词演算的归结系统①置换②归结反演系统③霍恩子句逻辑程序5递归函数论5.1 数论函数和数论谓词5.2 函数的构造6 集合6．1 集合的基本概念①集合；②子集合；③空集合；④集合的相等。
6．2 集合的基本运算①集合的运算；②集合的交；③集合的并；④集合的差；⑤集合的对称差；⑥集合的广义交；⑦集合的广义并；⑧幂集合。
6．3 全集和集合的补①全集；②集合的补；③德·摩根定律。
6．4 自然数与自然数集①自然数；②自然数集；③数学归纳法；④集合的归纳定义。
6．5 包含与排斥原理①有限集；②包含与排斥原理。
7 关系7．1 集合的笛卡尔积集①有序对；②集合的笛卡尔积集；③有序n(n≥2)元组；④n重(n≥2)笛卡尔积集。
7．2 二元关系的基本概念①二元关系；②二元关系的表示；③二元关系的图形表示；④二元关系的矩表示；⑤二元关系的运算；⑥二元关系的复合运算；⑦二元关系的逆关系。
7．3 二元关系的性质①二元关系的性质；②自反的二元关系；③反自反的二元关系；④对称的二元关系；⑤反对称的二元关系；⑥传递的二元关系。
离散数学--第三章 谓词逻辑基本概念
Dr Chen Guangxi
3.2 谓词公式的分类与解释
∀ 在公式 ∀x( F ( x, y ) → ∃y (G ( y ) ∧ L( x, y, z )))中， x 的 ( 辖域为： 辖域为：F ( x, y ) → ∃y (G ( y ) ∧ L( x, y, z ))) ∃y 的辖域为：G ( y ) ∧ L( x, y, z )) ( 的辖域为： ∀x 中的 x 和 ∃y 的都是指导变量。 中 y 的都是指导变量。x 的出 F 现都是约束的， 是自由出现的， 现都是约束的，( x, y)中的 y 是自由出现的， 是约束出现的， 与G ( y)中的 y 是约束出现的，z 的出现是自 由的。它们都不是闭式。 由的。它们都不是闭式。而 ∀x ( P ( x ) ∨ Q ( x ) ↔ R ( x )) 为闭式。 为闭式。
Dr Chen Guangxi
3.1 谓词、个体词与量词 谓词、
【定义3.1.3】量词 定义 】 量词是表示数量的词。 常用的量词有两种，一种是全称量词， 表示“每一个”，“所有的”，“任意 ∀ 的”，“一切的”等。用 表示全称量 词。 ∃ 另一种是存在量词，表示“存在着”， “至少有一个”，“有的”等，用 符 号表示存在量词。
Chen Guangxi
School of Mathematics and Computing Science
第三章 谓词逻辑基本概念
目标:
掌握谓词、特性谓词、量词等基本概念 掌握符号化基本方法 熟练运用谓词等值命题演算方法计算前束范 式 了解谓词消去方法
学习建议:
对照命题逻辑知识熟悉谓词公式逻辑意义 勤做练习
∀x∀y∃z ( x + y = z )
这也是真命题。 这也是真命题。
3.2 谓词公式的分类与解释
∀ 在公式 ∀x( F ( x, y ) → ∃y (G ( y ) ∧ L( x, y, z )))中， x 的 ( 辖域为： 辖域为：F ( x, y ) → ∃y (G ( y ) ∧ L( x, y, z ))) ∃y 的辖域为：G ( y ) ∧ L( x, y, z )) ( 的辖域为： ∀x 中的 x 和 ∃y 的都是指导变量。 中 y 的都是指导变量。x 的出 F 现都是约束的， 是自由出现的， 现都是约束的，( x, y)中的 y 是自由出现的， 是约束出现的， 与G ( y)中的 y 是约束出现的，z 的出现是自 由的。它们都不是闭式。 由的。它们都不是闭式。而 ∀x ( P ( x ) ∨ Q ( x ) ↔ R ( x )) 为闭式。 为闭式。
Dr Chen Guangxi
3.1 谓词、个体词与量词 谓词、
【定义3.1.3】量词 定义 】 量词是表示数量的词。 常用的量词有两种，一种是全称量词， 表示“每一个”，“所有的”，“任意 ∀ 的”，“一切的”等。用 表示全称量 词。 ∃ 另一种是存在量词，表示“存在着”， “至少有一个”，“有的”等，用 符 号表示存在量词。
Chen Guangxi
School of Mathematics and Computing Science
第三章 谓词逻辑基本概念
目标:
掌握谓词、特性谓词、量词等基本概念 掌握符号化基本方法 熟练运用谓词等值命题演算方法计算前束范 式 了解谓词消去方法
学习建议:
对照命题逻辑知识熟悉谓词公式逻辑意义 勤做练习
∀x∀y∃z ( x + y = z )
这也是真命题。 这也是真命题。
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解：
x((x)) =x( ∨ (x) = ∨ x (x) = x (x) 所以两公式等价。
例 (p33) 试用等价公式判断两公式是否等价
x(x) 和 x((x))
解： x(x) = (x(x)) = (x(x)) = x((x) ) = x((x) ) x((x)) 所以两公式不等价。
含有量词的谓词演算公式
设个体域I中所有实体变元为a1，a2，…，an，则有： x(x)=(a1)(a2)…(an)
x(x)=(a1)(a2)…(an)
含有量词的谓词演算公式的真假性
x(x)为真
个体域I中的每一个个体均使得取为真
x(x)为真
个体域I中有一个个体使得取为真
I={2,3} I={2,4} T F
F(x): x为偶数 F(x): x为奇数
F F
F(x): x<5
F(x):x是质数
T
T
T
F
考察
xF(x) xF(x)
I={2,3} I={2,4} TT=T FT=T
F(x): x为偶数
F(x): x为奇数
F(x): x<5 F(x):x是质数
FT=T
解：原式= ( x L(x,2)) ( x L(x,3)) = (L(2,2) L(3,2)) (L(2,3) L(3,3)) = (1 0) (0 1) =00 =0
例(p31)已知xy((X(x，y)Y(z))Z(x，y))
试求公式在解释 (I；z；X(e1，e2)，Y(e)，Z(e1，e2)) =({1，2，3，4}；2；e1e2；e为偶数；e1e2) 之下的值。
考察新公式 x y(xyxy)
=(T T T T) (F T T T) (F F T T) (F F F T) =TTTT=T
第三章 谓词演算基础
3.1 谓词与个体 3.2 函数与量词 3.3 自由变元和约束变元 3.4 永真性和可满足性 3.4.1 真假性 3.4.2 同真假性、永真性和可满足性 3.4.3 范式 3.5 唯一性量词与摹状词
真假性：四个因素
(2)自由变元
设A(e)表示e为偶数，考察
A(x)
• 当x取2时，其值为T； • 当x取为3时，其值为F。
真假性：四个因素
(3)谓词变元 个体域I={2，4，6，8}. 考察 xA(x) • • 当A(e)表示e为偶数时，xA(x)=T； 当A(e)表示e为奇数时，xA(x)=F；
同真假性
定义：设有两公式和,
如果对于个体域 I 上任何解释，公式 和均取 得相同的真假值， 则称和在 I 上同真假。 如果和在每一个非空个体域上均同真假，则 称和同真假。
关于否定的等价公式
• • x(x)= x(x) x(x)= x(x)
设个体域I中所有实体变元为a1，a2，…，an，则有： x(x)=((a1)(a2)…(an)) =(a1)(a2)…(an)) =x(x) x(x)=((a1)(a2)…(an)) =(a1)(a2)…(an)) =x(x)
例(补充) 考察新公式 x y(xyxy)
在上例中考察了x=1,2的情况，现在还需要继续考虑x=3,4的 情况。 (3)当x=3时 新公式的作用域= y(3y3y) ①当y=1,2时，(3y)(3y)= TF=F ②当y=3时， (33)(33)= TT=T ③当y=4时， (34)(34)= FT=T (4)当x=4时 新公式的作用域= y(4y4y) ①当y<4时， ，(4y)(4y) = TF=F ②当y=4时， ，(14)(14) = TT=T
第三章 谓词演算基础
3.1 谓词与个体 3.2 函数与量词 3.3 自由变元和约束变元 3.4 永真性和可满足性 3.4.1 真假性 3.4.2 同真假性、永真性和可满足性 3.4.3 范式 3.5 唯一性量词与摹状词
真假性：四个因素
(1)个体域
设A(e)表示e为偶数，考察
xA(x) • 当个体域I为{1，2，3}时，公式的值为假； • 当个体域I为{2，4，6}时，公式的值为真。
解：原式= (F(2) G(2,a)) (F(3) G(3,a) ) = (0 0) (1 0 ) =00 =0
例 在给定解释下，求x(F(f(x)) G(x,f(x)))
给定解释 ① I ＝{2,3}; ② I中特定元素a=2； ③ 函数为 f(2)=3, f(3)=2; ④ 谓词F(x)为F(2)=0,F(3)=1 G(x,y)为G(2,2)=G(2,3)=G(3,2)=0,G(3,3)=1 L(x,y)为L(2,2)=L(3,3)=1,L(2,3)=L(3,2)=0
量词作用域的收缩与扩张
设公式中不含有自由的x，则:
x((x) )= x(x)
x((x) )= x(x) x((x) )= x(x)
x((x) )= x(x)
例 试用等价公式判断两公式是否等价
x((x)) 和 x (x)
TT=T TT=T
FF=T
TT=T FT=T
永真、永假
定义：给定一个谓词演算公式，其个体域为I， 对于I中的任意一个解释, (1)若均取为真，
则称公式在I上为永真的；
(2)若均取为假，
则称公式在I上为永假的，
也称为公式在I上不可满足的。
例 讨论公式类型 xF(x) xF(x)
量词作用域的收缩与扩张(续)
设公式中不含有自由的x，则下面的公式成立:
x((x) → )= ( x(x) → )
x( →(x)) = (→x(x))
x((x)→ )= (x(x) →)
x(→(x))= (→x(x))
考察
xF(x)
考察新公式 x y(xyxy)
=( F T T) (F F F T) = T T T T =T
考察新公式 x y(xyxy)
=(T T T T) (F T T T) (F F T T) (F F F T) = T F F F= T
解：将解释代入公式得： 原式 = xy((xy 2为偶数)xy) = xy(xyxy)
解(续) 原式 = xy(xyxy)
(1)当x=1时 原式的作用域=y(1y1y) ①当y=1时，(11)(11)=TT=T ②当y2 时，(1y)(1y)=FT=T (2)当x=2时 原式的作用域=y(2y2y) ①当y=1时，(21)(21)= TF=F ②当y=2时，(22)(22)= TT=T ③当y3时， (2y)(2y)= FT=T 所以，得到： 原式 =(T T T T) (F T T T) (…) (…) = T F * * =F
解：原式= ( yL(2,y)) ( yL(3,y)) = (L(2,2) L(2,3)) (L(3,2) L(3,3)) = (10) (0 1) =11 =1
例 在给定解释下， 求 y x L(x,y)
给定解释 ① I ＝{2,3}; 量词指导变元 ② I中特定元素a=2； 次序不能随意 ③ 函数为 f(2)=3, f(3)=2; ④ 谓词F(x)为F(2)=0,F(3)=1 G(x,y)为G(2,2)=G(2,3)=G(3,2)=0,G(3,3)=1 L(x,y)为L(2,2)=L(3,3)=1,L(2,3)=L(3,2)=0
例 在给定解释下，求x(F(x) G(x,a))
给定解释 ① I ＝{2,3}; ② I中特定元素a=2； ③ 函数为 f(2)=3, f(3)=2; ④ 谓词F(x)为F(2)=0,F(3)=1 G(x,y)为G(2,2)=G(2,3)=G(3,2)=0,G(3,3)=1 L(x,y)为L(2,2)=L(3,3)=1,L(2,3)=L(3,2)=0
所以，新公式
=(T T T T) (F T T T) (F F T T) (F F F T) = T T T T=T
例(补充) 四个公式的比较
原公式 = xy(xyxy)
=(T T T T) (F T T T) (F F T T) (F F F T) = T F F F = F
真假性：四个因素
(4)命题变元 个体域I={2，4，6，8}，A(e)表示e为偶数. 考察 xA(x)P • 当P=T 时，公式的值为真；
•
当P=F 时，公式的值为假。
谓词演算公式
设为任何一个谓词演算公式， 其中自由变元为x1，x2，…，xn； 谓词变元为X1，X2，…，Xm； 命题变元为P1，P2，…，Pk。 此时可表示为：
(x1，…，xn；X1，…，Xm；P1，…，Pk)
谓词演算公式的解释
◇ 设个体域I解释为常个体域I0； ◇ 自由变元x1，…，xn解释为： I0中的个体a1，…，an； ◇ 谓词变元X1，…，Xm解释为： I0上的谓词A1，…，Am； ◇ 命题变元P1，…，Pk解释为： P10，…，Pk0， 其中Pi0=T或F(i=1，2，…，k)。
成真解释、成假解释
给定公式一个解释： (I0；a1，…，an；A1，…，Am；P10，…，Pk0) 公式在该解释下的值记为： (a，A，P0)= (a1，…，an；A1，…，Am；P10，…，Pk0)
• 若(a，A，P0)=T，则称(I0；a；A；P0)为成真解释； • 若(a，A，P0)=F，则称(I0；a；A；P0)为成假解释。
解：原式 = (F(f(2)) G(2,f(2))) (F(f(3)) G(3,f(3))) = (F(3) G(2,3)) (F(2) G(3,2)) = (1 0) (0 0) =00 =0
例 在给定解释下， 求 x yL(x,y)
x((x)) =x( ∨ (x) = ∨ x (x) = x (x) 所以两公式等价。
例 (p33) 试用等价公式判断两公式是否等价
x(x) 和 x((x))
解： x(x) = (x(x)) = (x(x)) = x((x) ) = x((x) ) x((x)) 所以两公式不等价。
含有量词的谓词演算公式
设个体域I中所有实体变元为a1，a2，…，an，则有： x(x)=(a1)(a2)…(an)
x(x)=(a1)(a2)…(an)
含有量词的谓词演算公式的真假性
x(x)为真
个体域I中的每一个个体均使得取为真
x(x)为真
个体域I中有一个个体使得取为真
I={2,3} I={2,4} T F
F(x): x为偶数 F(x): x为奇数
F F
F(x): x<5
F(x):x是质数
T
T
T
F
考察
xF(x) xF(x)
I={2,3} I={2,4} TT=T FT=T
F(x): x为偶数
F(x): x为奇数
F(x): x<5 F(x):x是质数
FT=T
解：原式= ( x L(x,2)) ( x L(x,3)) = (L(2,2) L(3,2)) (L(2,3) L(3,3)) = (1 0) (0 1) =00 =0
例(p31)已知xy((X(x，y)Y(z))Z(x，y))
试求公式在解释 (I；z；X(e1，e2)，Y(e)，Z(e1，e2)) =({1，2，3，4}；2；e1e2；e为偶数；e1e2) 之下的值。
考察新公式 x y(xyxy)
=(T T T T) (F T T T) (F F T T) (F F F T) =TTTT=T
第三章 谓词演算基础
3.1 谓词与个体 3.2 函数与量词 3.3 自由变元和约束变元 3.4 永真性和可满足性 3.4.1 真假性 3.4.2 同真假性、永真性和可满足性 3.4.3 范式 3.5 唯一性量词与摹状词
真假性：四个因素
(2)自由变元
设A(e)表示e为偶数，考察
A(x)
• 当x取2时，其值为T； • 当x取为3时，其值为F。
真假性：四个因素
(3)谓词变元 个体域I={2，4，6，8}. 考察 xA(x) • • 当A(e)表示e为偶数时，xA(x)=T； 当A(e)表示e为奇数时，xA(x)=F；
同真假性
定义：设有两公式和,
如果对于个体域 I 上任何解释，公式 和均取 得相同的真假值， 则称和在 I 上同真假。 如果和在每一个非空个体域上均同真假，则 称和同真假。
关于否定的等价公式
• • x(x)= x(x) x(x)= x(x)
设个体域I中所有实体变元为a1，a2，…，an，则有： x(x)=((a1)(a2)…(an)) =(a1)(a2)…(an)) =x(x) x(x)=((a1)(a2)…(an)) =(a1)(a2)…(an)) =x(x)
例(补充) 考察新公式 x y(xyxy)
在上例中考察了x=1,2的情况，现在还需要继续考虑x=3,4的 情况。 (3)当x=3时 新公式的作用域= y(3y3y) ①当y=1,2时，(3y)(3y)= TF=F ②当y=3时， (33)(33)= TT=T ③当y=4时， (34)(34)= FT=T (4)当x=4时 新公式的作用域= y(4y4y) ①当y<4时， ，(4y)(4y) = TF=F ②当y=4时， ，(14)(14) = TT=T
第三章 谓词演算基础
3.1 谓词与个体 3.2 函数与量词 3.3 自由变元和约束变元 3.4 永真性和可满足性 3.4.1 真假性 3.4.2 同真假性、永真性和可满足性 3.4.3 范式 3.5 唯一性量词与摹状词
真假性：四个因素
(1)个体域
设A(e)表示e为偶数，考察
xA(x) • 当个体域I为{1，2，3}时，公式的值为假； • 当个体域I为{2，4，6}时，公式的值为真。
解：原式= (F(2) G(2,a)) (F(3) G(3,a) ) = (0 0) (1 0 ) =00 =0
例 在给定解释下，求x(F(f(x)) G(x,f(x)))
给定解释 ① I ＝{2,3}; ② I中特定元素a=2； ③ 函数为 f(2)=3, f(3)=2; ④ 谓词F(x)为F(2)=0,F(3)=1 G(x,y)为G(2,2)=G(2,3)=G(3,2)=0,G(3,3)=1 L(x,y)为L(2,2)=L(3,3)=1,L(2,3)=L(3,2)=0
量词作用域的收缩与扩张
设公式中不含有自由的x，则:
x((x) )= x(x)
x((x) )= x(x) x((x) )= x(x)
x((x) )= x(x)
例 试用等价公式判断两公式是否等价
x((x)) 和 x (x)
TT=T TT=T
FF=T
TT=T FT=T
永真、永假
定义：给定一个谓词演算公式，其个体域为I， 对于I中的任意一个解释, (1)若均取为真，
则称公式在I上为永真的；
(2)若均取为假，
则称公式在I上为永假的，
也称为公式在I上不可满足的。
例 讨论公式类型 xF(x) xF(x)
量词作用域的收缩与扩张(续)
设公式中不含有自由的x，则下面的公式成立:
x((x) → )= ( x(x) → )
x( →(x)) = (→x(x))
x((x)→ )= (x(x) →)
x(→(x))= (→x(x))
考察
xF(x)
考察新公式 x y(xyxy)
=( F T T) (F F F T) = T T T T =T
考察新公式 x y(xyxy)
=(T T T T) (F T T T) (F F T T) (F F F T) = T F F F= T
解：将解释代入公式得： 原式 = xy((xy 2为偶数)xy) = xy(xyxy)
解(续) 原式 = xy(xyxy)
(1)当x=1时 原式的作用域=y(1y1y) ①当y=1时，(11)(11)=TT=T ②当y2 时，(1y)(1y)=FT=T (2)当x=2时 原式的作用域=y(2y2y) ①当y=1时，(21)(21)= TF=F ②当y=2时，(22)(22)= TT=T ③当y3时， (2y)(2y)= FT=T 所以，得到： 原式 =(T T T T) (F T T T) (…) (…) = T F * * =F
解：原式= ( yL(2,y)) ( yL(3,y)) = (L(2,2) L(2,3)) (L(3,2) L(3,3)) = (10) (0 1) =11 =1
例 在给定解释下， 求 y x L(x,y)
给定解释 ① I ＝{2,3}; 量词指导变元 ② I中特定元素a=2； 次序不能随意 ③ 函数为 f(2)=3, f(3)=2; ④ 谓词F(x)为F(2)=0,F(3)=1 G(x,y)为G(2,2)=G(2,3)=G(3,2)=0,G(3,3)=1 L(x,y)为L(2,2)=L(3,3)=1,L(2,3)=L(3,2)=0
例 在给定解释下，求x(F(x) G(x,a))
给定解释 ① I ＝{2,3}; ② I中特定元素a=2； ③ 函数为 f(2)=3, f(3)=2; ④ 谓词F(x)为F(2)=0,F(3)=1 G(x,y)为G(2,2)=G(2,3)=G(3,2)=0,G(3,3)=1 L(x,y)为L(2,2)=L(3,3)=1,L(2,3)=L(3,2)=0
所以，新公式
=(T T T T) (F T T T) (F F T T) (F F F T) = T T T T=T
例(补充) 四个公式的比较
原公式 = xy(xyxy)
=(T T T T) (F T T T) (F F T T) (F F F T) = T F F F = F
真假性：四个因素
(4)命题变元 个体域I={2，4，6，8}，A(e)表示e为偶数. 考察 xA(x)P • 当P=T 时，公式的值为真；
•
当P=F 时，公式的值为假。
谓词演算公式
设为任何一个谓词演算公式， 其中自由变元为x1，x2，…，xn； 谓词变元为X1，X2，…，Xm； 命题变元为P1，P2，…，Pk。 此时可表示为：
(x1，…，xn；X1，…，Xm；P1，…，Pk)
谓词演算公式的解释
◇ 设个体域I解释为常个体域I0； ◇ 自由变元x1，…，xn解释为： I0中的个体a1，…，an； ◇ 谓词变元X1，…，Xm解释为： I0上的谓词A1，…，Am； ◇ 命题变元P1，…，Pk解释为： P10，…，Pk0， 其中Pi0=T或F(i=1，2，…，k)。
成真解释、成假解释
给定公式一个解释： (I0；a1，…，an；A1，…，Am；P10，…，Pk0) 公式在该解释下的值记为： (a，A，P0)= (a1，…，an；A1，…，Am；P10，…，Pk0)
• 若(a，A，P0)=T，则称(I0；a；A；P0)为成真解释； • 若(a，A，P0)=F，则称(I0；a；A；P0)为成假解释。
解：原式 = (F(f(2)) G(2,f(2))) (F(f(3)) G(3,f(3))) = (F(3) G(2,3)) (F(2) G(3,2)) = (1 0) (0 0) =00 =0
例 在给定解释下， 求 x yL(x,y)