离散数学第三章 谓词演算基础-永真性和可满足性
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
I={2,3} I={2,4} T F
F(x): x为偶数 F(x): x为奇数
F F
F(x): x<5
F(x):x是质数
T
T
T
F
考察
xF(x) xF(x)
I={2,3} I={2,4} TT=T FT=T
F(x): x为偶数
F(x): x为奇数
F(x): x<5 F(x):x是质数
FT=T
所以，新公式
=(T T T T) (F T T T) (F F T T) (F F F T) = T T T T=T
例(补充) 四个公式的比较
原公式 = xy(xyxy)
=(T T T T) (F T T T) (F F T T) (F F F T) = T F F F = F
解：原式= (F(2) G(2,a)) (F(3) G(3,a) ) = (0 0) (1 0 ) =00 =0
例 在给定解释下，求x(F(f(x)) G(x,f(x)))
给定解释 ① I ＝{2,3}; ② I中特定元素a=2； ③ 函数为 f(2)=3, f(3)=2; ④ 谓词F(x)为F(2)=0,F(3)=1 G(x,y)为G(2,2)=G(2,3)=G(3,2)=0,G(3,3)=1 L(x,y)为L(2,2)=L(3,3)=1,L(2,3)=L(3,2)=0
解：原式 = (F(f(2)) G(2,f(2))) (F(f(3)) G(3,f(3))) = (F(3) G(2,3)) (F(2) G(3,2)) = (1 0) (0 0) =00 =0
例 在给定解释下， 求 x yL(x,y)
给定解释 ① I ＝{2,3}; ② I中特定元素a=2； ③ 函数为 f(2)=3, f(3)=2; ④ 谓词F(x)为F(2)=0,F(3)=1 G(x,y)为G(2,2)=G(2,3)=G(3,2)=0,G(3,3)=1 L(x,y)为L(2,2)=L(3,3)=1,L(2,3)=L(3,2)=0
解：将解释代入公式得： 原式 = xy((xy 2为偶数)xy) = xy(xyxy)
解(续) 原式 = xy(xyxy)
(1)当x=1时 原式的作用域=y(1y1y) ①当y=1时，(11)(11)=TT=T ②当y2 时，(1y)(1y)=FT=T (2)当x=2时 原式的作用域=y(2y2y) ①当y=1时，(21)(21)= TF=F ②当y=2时，(22)(22)= TT=T ③当y3时， (2y)(2y)= FT=T 所以，得到： 原式 =(T T T T) (F T T T) (…) (…) = T F * * =F
解：原式= ( yL(2,y)) ( yL(3,y)) = (L(2,2) L(2,3)) (L(3,2) L(3,3)) = (10) (0 1) =11 =1
例 在给定解释下， 求 y x L(x,y)
给定解释 ① I ＝{2,3}; 量词指导变元 ② I中特定元素a=2； 次序不能随意 ③ 函数为 f(2)=3, f(3)=2; ④ 谓词F(x)为F(2)=0,F(3)=1 G(x,y)为G(2,2)=G(2,3)=G(3,2)=0,G(3,3)=1 L(x,y)为L(2,2)=L(3,3)=1,L(2,3)=L(3,2)=0
例 在给定解释下，求x(F(x) G(x,a))
给定解释 ① I ＝{2,3}; ② I中特定元素a=2； ③ 函数为 f(2)=3, f(3)=2; ④ 谓词F(x)为F(2)=0,F(3)=1 G(x,y)为G(2,2)=G(2,3)=G(3,2)=0,G(3,3)=1 L(x,y)为L(2,2)=L(3,3)=1,L(2,3)=L(3,2)=0
解：
x((x)) =x( ∨ (x) = ∨ x (x) = x (x) 所以两公式等价。
例 (p33) 试用等价公式判断两公式是否等价
x(x) 和 x((x))
解： x(x) = (x(x)) = (x(x)) = x((x) ) = x((x) ) x((x)) 所以两公式不等价。
真假性：四个因素
(4)命题变元 个体域I={2，4，6，8}，A(e)表示e为偶数. 考察 xA(x)P • 当P=T 时，公式的值为真；
•
当P=F 时，公式的值为假。
谓词演算公式
设为任何一个谓词演算公式， 其中自由变元为x1，x2，…，xn； 谓词变元为X1，X2，…，Xm； 命题变元为P1，P2，…，Pk。 此时可表示为：
(x1，…，xn；X1，…，Xm；P1，…，Pk)
谓词演算公式的解释
◇ 设个体域I解释为常个体域I0； ◇ 自由变元x1，…，xn解释为： I0中的个体a1，…，an； ◇ 谓词变元X1，…，Xm解释为： I0上的谓词A1，…，Am； ◇ 命题变元P1，…，Pk解释为： P10，…，Pk0， 其中Pi0=T或F(i=1，2，…，k)。
证明 设E为任意一个解释，其个体域为I，
若对于任意的x∊I,F(x)均为真,
则xF(x)与xF(x)都为真，
从而该公式也为真。
若存在x0∊I, 使得F(x0)为假，
则xF(x)为假，从而该公式为真。 故在解释E下该公式为真。 由于E的任意性，所以该公式是永真式。
可满足、非永真
定义：给定一个谓词演算公式，其个体域为I, (1)如果在个体域I上存在一个成真解释, 则称公式在I上为可满足公式； (2)如果在个体域I上存在一个成假解释， 则称公式在I上为非永真公式。
解：原式= ( x L(x,2)) ( x L(x,3)) = (L(2,2) L(3,2)) (L(2,3) L(3,3)) = (1 0) (0 1) =00 =0
例(p31)已知xy((X(x，y)Y(z))Z(x，y))
试求公式在解释 (I；z；X(e1，e2)，Y(e)，Z(e1，e2)) =({1，2，3，4}；2；e1e2；e为偶数；e1e2) 之下的值。
例 讨论类型x yF(x,y) x yF(x,y)
证明 取解释E如下：
个体域为自然数集N，谓词解释F(x,y)：x y。 在解释E下，该公式的前、后件均为真，所以该公 式为真，这说明该公式不是矛盾式； 再取解释E：个体域仍然为N，谓词F(x,y)：x=y。
在解释E下，该公式的前件为真，后件为假，故该 公式为假，这又说明该公式不是永真式。
含有量词的谓词演算公式
设个体域I中所有实体变元为a1，a2，…，an，则有： x(x)=(a1)(a2)…(an)
x(x)=(a1)(a2)…(an)
含有量词的谓词演算公式的真假性
x(x)为真
个体域I中的每一个个体均使得取为真
x(x)为真
个体域I中有一个个体使得取为真
同真假性
定义：设有两公式和,
如果对于个体域 I 上任何解释，公式 和均取 得相同的真假值， 则称和在 I 上同真假。 如果和在每Hale Waihona Puke Baidu个非空个体域上均同真假，则 称和同真假。
关于否定的等价公式
• • x(x)= x(x) x(x)= x(x)
设个体域I中所有实体变元为a1，a2，…，an，则有： x(x)=((a1)(a2)…(an)) =(a1)(a2)…(an)) =x(x) x(x)=((a1)(a2)…(an)) =(a1)(a2)…(an)) =x(x)
第三章 谓词演算基础
3.1 谓词与个体 3.2 函数与量词 3.3 自由变元和约束变元 3.4 永真性和可满足性 3.4.1 真假性 3.4.2 同真假性、永真性和可满足性 3.4.3 范式 3.5 唯一性量词与摹状词
真假性：四个因素
(1)个体域
设A(e)表示e为偶数，考察
xA(x) • 当个体域I为{1，2，3}时，公式的值为假； • 当个体域I为{2，4，6}时，公式的值为真。
成真解释、成假解释
给定公式一个解释： (I0；a1，…，an；A1，…，Am；P10，…，Pk0) 公式在该解释下的值记为： (a，A，P0)= (a1，…，an；A1，…，Am；P10，…，Pk0)
• 若(a，A，P0)=T，则称(I0；a；A；P0)为成真解释； • 若(a，A，P0)=F，则称(I0；a；A；P0)为成假解释。
考察新公式 x y(xyxy)
=(T T T T) (F T T T) (F F T T) (F F F T) = T T T T =T
考察新公式 x y(xyxy)
=(T T T T) (F T T T) (F F T T) (F F F T) = T F F F= T
例(补充) 考察新公式 x y(xyxy)
在上例中考察了x=1,2的情况，现在还需要继续考虑x=3,4的 情况。 (3)当x=3时 新公式的作用域= y(3y3y) ①当y=1,2时，(3y)(3y)= TF=F ②当y=3时， (33)(33)= TT=T ③当y=4时， (34)(34)= FT=T (4)当x=4时 新公式的作用域= y(4y4y) ①当y<4时， ，(4y)(4y) = TF=F ②当y=4时， ，(14)(14) = TT=T
TT=T TT=T
FF=T
TT=T FT=T
永真、永假
定义：给定一个谓词演算公式，其个体域为I， 对于I中的任意一个解释, (1)若均取为真，
则称公式在I上为永真的；
(2)若均取为假，
则称公式在I上为永假的，
也称为公式在I上不可满足的。
例 讨论公式类型 xF(x) xF(x)
真假性：四个因素
(2)自由变元
设A(e)表示e为偶数，考察
A(x)
• 当x取2时，其值为T； • 当x取为3时，其值为F。
真假性：四个因素
(3)谓词变元 个体域I={2，4，6，8}. 考察 xA(x) • • 当A(e)表示e为偶数时，xA(x)=T； 当A(e)表示e为奇数时，xA(x)=F；
量词作用域的收缩与扩张(续)
设公式中不含有自由的x，则下面的公式成立:
x((x) → )= ( x(x) → )
x( →(x)) = (→x(x))
x((x)→ )= (x(x) →)
x(→(x))= (→x(x))
考察
xF(x)
量词作用域的收缩与扩张
设公式中不含有自由的x，则:
x((x) )= x(x)
x((x) )= x(x) x((x) )= x(x)
x((x) )= x(x)
例 试用等价公式判断两公式是否等价
x((x)) 和 x (x)
考察新公式 x y(xyxy)
=(T T T T) (F T T T) (F F T T) (F F F T) =TTTT=T
第三章 谓词演算基础
3.1 谓词与个体 3.2 函数与量词 3.3 自由变元和约束变元 3.4 永真性和可满足性 3.4.1 真假性 3.4.2 同真假性、永真性和可满足性 3.4.3 范式 3.5 唯一性量词与摹状词
F(x): x为偶数 F(x): x为奇数
F F
F(x): x<5
F(x):x是质数
T
T
T
F
考察
xF(x) xF(x)
I={2,3} I={2,4} TT=T FT=T
F(x): x为偶数
F(x): x为奇数
F(x): x<5 F(x):x是质数
FT=T
所以，新公式
=(T T T T) (F T T T) (F F T T) (F F F T) = T T T T=T
例(补充) 四个公式的比较
原公式 = xy(xyxy)
=(T T T T) (F T T T) (F F T T) (F F F T) = T F F F = F
解：原式= (F(2) G(2,a)) (F(3) G(3,a) ) = (0 0) (1 0 ) =00 =0
例 在给定解释下，求x(F(f(x)) G(x,f(x)))
给定解释 ① I ＝{2,3}; ② I中特定元素a=2； ③ 函数为 f(2)=3, f(3)=2; ④ 谓词F(x)为F(2)=0,F(3)=1 G(x,y)为G(2,2)=G(2,3)=G(3,2)=0,G(3,3)=1 L(x,y)为L(2,2)=L(3,3)=1,L(2,3)=L(3,2)=0
解：原式 = (F(f(2)) G(2,f(2))) (F(f(3)) G(3,f(3))) = (F(3) G(2,3)) (F(2) G(3,2)) = (1 0) (0 0) =00 =0
例 在给定解释下， 求 x yL(x,y)
给定解释 ① I ＝{2,3}; ② I中特定元素a=2； ③ 函数为 f(2)=3, f(3)=2; ④ 谓词F(x)为F(2)=0,F(3)=1 G(x,y)为G(2,2)=G(2,3)=G(3,2)=0,G(3,3)=1 L(x,y)为L(2,2)=L(3,3)=1,L(2,3)=L(3,2)=0
解：将解释代入公式得： 原式 = xy((xy 2为偶数)xy) = xy(xyxy)
解(续) 原式 = xy(xyxy)
(1)当x=1时 原式的作用域=y(1y1y) ①当y=1时，(11)(11)=TT=T ②当y2 时，(1y)(1y)=FT=T (2)当x=2时 原式的作用域=y(2y2y) ①当y=1时，(21)(21)= TF=F ②当y=2时，(22)(22)= TT=T ③当y3时， (2y)(2y)= FT=T 所以，得到： 原式 =(T T T T) (F T T T) (…) (…) = T F * * =F
解：原式= ( yL(2,y)) ( yL(3,y)) = (L(2,2) L(2,3)) (L(3,2) L(3,3)) = (10) (0 1) =11 =1
例 在给定解释下， 求 y x L(x,y)
给定解释 ① I ＝{2,3}; 量词指导变元 ② I中特定元素a=2； 次序不能随意 ③ 函数为 f(2)=3, f(3)=2; ④ 谓词F(x)为F(2)=0,F(3)=1 G(x,y)为G(2,2)=G(2,3)=G(3,2)=0,G(3,3)=1 L(x,y)为L(2,2)=L(3,3)=1,L(2,3)=L(3,2)=0
例 在给定解释下，求x(F(x) G(x,a))
给定解释 ① I ＝{2,3}; ② I中特定元素a=2； ③ 函数为 f(2)=3, f(3)=2; ④ 谓词F(x)为F(2)=0,F(3)=1 G(x,y)为G(2,2)=G(2,3)=G(3,2)=0,G(3,3)=1 L(x,y)为L(2,2)=L(3,3)=1,L(2,3)=L(3,2)=0
解：
x((x)) =x( ∨ (x) = ∨ x (x) = x (x) 所以两公式等价。
例 (p33) 试用等价公式判断两公式是否等价
x(x) 和 x((x))
解： x(x) = (x(x)) = (x(x)) = x((x) ) = x((x) ) x((x)) 所以两公式不等价。
真假性：四个因素
(4)命题变元 个体域I={2，4，6，8}，A(e)表示e为偶数. 考察 xA(x)P • 当P=T 时，公式的值为真；
•
当P=F 时，公式的值为假。
谓词演算公式
设为任何一个谓词演算公式， 其中自由变元为x1，x2，…，xn； 谓词变元为X1，X2，…，Xm； 命题变元为P1，P2，…，Pk。 此时可表示为：
(x1，…，xn；X1，…，Xm；P1，…，Pk)
谓词演算公式的解释
◇ 设个体域I解释为常个体域I0； ◇ 自由变元x1，…，xn解释为： I0中的个体a1，…，an； ◇ 谓词变元X1，…，Xm解释为： I0上的谓词A1，…，Am； ◇ 命题变元P1，…，Pk解释为： P10，…，Pk0， 其中Pi0=T或F(i=1，2，…，k)。
证明 设E为任意一个解释，其个体域为I，
若对于任意的x∊I,F(x)均为真,
则xF(x)与xF(x)都为真，
从而该公式也为真。
若存在x0∊I, 使得F(x0)为假，
则xF(x)为假，从而该公式为真。 故在解释E下该公式为真。 由于E的任意性，所以该公式是永真式。
可满足、非永真
定义：给定一个谓词演算公式，其个体域为I, (1)如果在个体域I上存在一个成真解释, 则称公式在I上为可满足公式； (2)如果在个体域I上存在一个成假解释， 则称公式在I上为非永真公式。
解：原式= ( x L(x,2)) ( x L(x,3)) = (L(2,2) L(3,2)) (L(2,3) L(3,3)) = (1 0) (0 1) =00 =0
例(p31)已知xy((X(x，y)Y(z))Z(x，y))
试求公式在解释 (I；z；X(e1，e2)，Y(e)，Z(e1，e2)) =({1，2，3，4}；2；e1e2；e为偶数；e1e2) 之下的值。
例 讨论类型x yF(x,y) x yF(x,y)
证明 取解释E如下：
个体域为自然数集N，谓词解释F(x,y)：x y。 在解释E下，该公式的前、后件均为真，所以该公 式为真，这说明该公式不是矛盾式； 再取解释E：个体域仍然为N，谓词F(x,y)：x=y。
在解释E下，该公式的前件为真，后件为假，故该 公式为假，这又说明该公式不是永真式。
含有量词的谓词演算公式
设个体域I中所有实体变元为a1，a2，…，an，则有： x(x)=(a1)(a2)…(an)
x(x)=(a1)(a2)…(an)
含有量词的谓词演算公式的真假性
x(x)为真
个体域I中的每一个个体均使得取为真
x(x)为真
个体域I中有一个个体使得取为真
同真假性
定义：设有两公式和,
如果对于个体域 I 上任何解释，公式 和均取 得相同的真假值， 则称和在 I 上同真假。 如果和在每Hale Waihona Puke Baidu个非空个体域上均同真假，则 称和同真假。
关于否定的等价公式
• • x(x)= x(x) x(x)= x(x)
设个体域I中所有实体变元为a1，a2，…，an，则有： x(x)=((a1)(a2)…(an)) =(a1)(a2)…(an)) =x(x) x(x)=((a1)(a2)…(an)) =(a1)(a2)…(an)) =x(x)
第三章 谓词演算基础
3.1 谓词与个体 3.2 函数与量词 3.3 自由变元和约束变元 3.4 永真性和可满足性 3.4.1 真假性 3.4.2 同真假性、永真性和可满足性 3.4.3 范式 3.5 唯一性量词与摹状词
真假性：四个因素
(1)个体域
设A(e)表示e为偶数，考察
xA(x) • 当个体域I为{1，2，3}时，公式的值为假； • 当个体域I为{2，4，6}时，公式的值为真。
成真解释、成假解释
给定公式一个解释： (I0；a1，…，an；A1，…，Am；P10，…，Pk0) 公式在该解释下的值记为： (a，A，P0)= (a1，…，an；A1，…，Am；P10，…，Pk0)
• 若(a，A，P0)=T，则称(I0；a；A；P0)为成真解释； • 若(a，A，P0)=F，则称(I0；a；A；P0)为成假解释。
考察新公式 x y(xyxy)
=(T T T T) (F T T T) (F F T T) (F F F T) = T T T T =T
考察新公式 x y(xyxy)
=(T T T T) (F T T T) (F F T T) (F F F T) = T F F F= T
例(补充) 考察新公式 x y(xyxy)
在上例中考察了x=1,2的情况，现在还需要继续考虑x=3,4的 情况。 (3)当x=3时 新公式的作用域= y(3y3y) ①当y=1,2时，(3y)(3y)= TF=F ②当y=3时， (33)(33)= TT=T ③当y=4时， (34)(34)= FT=T (4)当x=4时 新公式的作用域= y(4y4y) ①当y<4时， ，(4y)(4y) = TF=F ②当y=4时， ，(14)(14) = TT=T
TT=T TT=T
FF=T
TT=T FT=T
永真、永假
定义：给定一个谓词演算公式，其个体域为I， 对于I中的任意一个解释, (1)若均取为真，
则称公式在I上为永真的；
(2)若均取为假，
则称公式在I上为永假的，
也称为公式在I上不可满足的。
例 讨论公式类型 xF(x) xF(x)
真假性：四个因素
(2)自由变元
设A(e)表示e为偶数，考察
A(x)
• 当x取2时，其值为T； • 当x取为3时，其值为F。
真假性：四个因素
(3)谓词变元 个体域I={2，4，6，8}. 考察 xA(x) • • 当A(e)表示e为偶数时，xA(x)=T； 当A(e)表示e为奇数时，xA(x)=F；
量词作用域的收缩与扩张(续)
设公式中不含有自由的x，则下面的公式成立:
x((x) → )= ( x(x) → )
x( →(x)) = (→x(x))
x((x)→ )= (x(x) →)
x(→(x))= (→x(x))
考察
xF(x)
量词作用域的收缩与扩张
设公式中不含有自由的x，则:
x((x) )= x(x)
x((x) )= x(x) x((x) )= x(x)
x((x) )= x(x)
例 试用等价公式判断两公式是否等价
x((x)) 和 x (x)
考察新公式 x y(xyxy)
=(T T T T) (F T T T) (F F T T) (F F F T) =TTTT=T
第三章 谓词演算基础
3.1 谓词与个体 3.2 函数与量词 3.3 自由变元和约束变元 3.4 永真性和可满足性 3.4.1 真假性 3.4.2 同真假性、永真性和可满足性 3.4.3 范式 3.5 唯一性量词与摹状词