河南省2019年中考数学总复习 核心母题一 全等在几何探究题中的应用深度练习

全等在几何探究题中的应用

深度练习

1．(2018·襄阳)如图①，已知点G 在正方形ABCD 的对角线AC 上，GE⊥BC，垂足为点E ，GF⊥CD，垂足为点F.

(1)证明与推断：

①求证：四边形CEGF 是正方形；

②推断：AG BE

的值为________； (2)探究与证明：

将正方形CEGF 绕点C 顺时针方向旋转α角(0°＜α＜45°)，如图②所示，试探究线段AG 与BE 之间的数量关系，并说明理由；

(3)拓展与运用：

正方形CEGF 在旋转过程中，当B ，E ，F 三点在一条直线上时，如图③所示，延长CG 交AD 于点H.若AG ＝6，GH ＝22，则BC ＝______．

2．(2018·益阳)如图①，在矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，以点E 为直角顶点的直角三角形EFG 的两边EF ，EG 分别过点B ，C ，∠F＝30°.

(1)求证：BE ＝CE ；

(2)将△EFG 绕点E 按顺时针方向旋转，当旋转到EF 与AD 重合时停止转动，若EF ，EG 分别与AB ，BC 相交于点M ，N(如图②)．

①求证：△BEM≌△CEN；

②若AB ＝2，求△BMN 面积的最大值；

③当旋转停止时，点B 恰好在FG 上(如图③)，求sin∠EBG 的值．

参考答案

∴∠BCD＝90°，∠BCA＝45°.

∵GE⊥BC，GF⊥CD，

∴∠CEG＝∠CFG＝∠ECF＝90°.

∴四边形CEGF是矩形，∠CGE＝∠ECG＝45°.∴EG＝EC.∴四边形CEGF是正方形．

②AG

BE

＝ 2.

(2)解：如解图①，连接CG，由旋转性质可知∠BCE＝∠ACG＝α.

在Rt△CEG和Rt△CBA中，CE

CG ＝cos 45°＝

2

2

，

CB

CA

＝cos 45°＝

2

2

.

∴CG

CE

＝

CA

CB

＝2.∴△ACG∽△BCE.∴

AG

BE

＝

CA

CB

＝ 2.

∴线段AG与BE之间的数量关系为AG＝2BE.

(3)解：如解图②，连接DF，由(2)知△BCE∽△ACG，

∴∠BEC＝∠AGC.

∵四边形CEGF是正方形，

∴∠CEF＝∠CFE＝∠CGF＝45°，CG⊥EF.

∵∠BEC＝180°－∠CEF＝135°，∴∠AGC＝135°.

∴∠AGC＋∠CGF＝135°＋45°＝180°.

∴A，G，F三点在一条直线上．

又∠BCD＝∠ECF＝90°，

∴∠BCE＝∠DCF.

而BC＝DC，EC＝FC，

第1题解图②∴△BEC≌△DFC(SAS)．

∴BE＝DF，∠BEC＝∠DF C.

∵AG

BE

＝2，AG＝6，

∴BE＝DF ＝3 2.

∵∠BEC＝135°，∠CFE＝45°，

∴∠BFD＝∠DFC－∠CFE＝135°－45°＝90°.

又CH⊥BF，∴CH∥DF.

∴△AGH∽△AFD.∴GH FD ＝AG AF ＝AH AD . ∴2232＝6

6＋GF ＝AH

AD . ∴GF＝3，AH AD ＝2

3.

设AH ＝2x ，则AD ＝3x ，DH ＝x.

又由正方形ABCD 和正方形CEGF ，知AD ＝CD ＝3x ，GC ＝2GF ＝32， ∴在Rt△CDH 中，由DH 2＋CD 2＝CH 2，得x 2＋(3x)2＝(22＋32)2， 解得x 1＝5，x 2＝－5(不合题意，舍去)．

∴AD＝35，即BC ＝3 5.

故答案为3 5.

2．解：(1)∵矩形ABCD ，∴AB＝DC ，∠A＝∠D＝90°，

∵AE＝DE ，∴△ABE≌△DCE，

∴BE＝CE ；

(2)①∵∠AEB＋∠ABE＝90°，∠AEB＋∠CED＝90°，

第2题解图

∴∠ABE＝∠CED，

∵∠CED＝∠ECB，

∴∠ABE＝∠ECB，

∵∠BEC＝∠MEN＝90°，

∴∠BEM＝∠CEN ，由(1)得BE ＝CE ，

∴△BEM≌△CEN；

②由(1)得△ABE≌△DCE，

∴∠BEA＝∠CED，

∵∠ABE＝∠CED，∴∠BEA＝∠ABE，

∴AB＝AE ＝DE ＝2，

设BM ＝x ，由①得△BEM≌△CEN，

∴BM＝CN ＝x ，∴BN＝4－x ，

∴△BMN 面积＝12x(4－x)＝－12(x －2)2＋2，又0≤x≤2，∴当x ＝2时，△BMN 面积最大，最大值为2.

③如解图，过点E 作EH⊥FG 于点H.在Rt△ABF 中，∠F＝30°，AB ＝2， ∴FA＝23，∴F E ＝FA ＋AE ＝23＋2， ∴EH＝3＋1，

在Rt△BEH 中，

∵BE＝22，

∴sin∠EBG＝EH BE ＝3＋122＝6＋2

4.