2018-2019年上海市格致中学高二上10月月考数学试卷(有答案)

格致中学 2018学年度第一学期第一次测验

高二年级 数学试卷

一、填空题

1. 已知三个实数2,8,m 成等比数列，则m=____________

2. 线性方程组21

32x y x y +=⎧⎨-=-⎩

的增广矩阵是____________

3. 计算：2221

lim 3n n n n n

→∞++=+____________ 4. 等比数列

{}n a 中，452,5a a ==，则数列{}lg n a 的前8项和等于____________

5. 已知3a =，4b =，()()

333a b a b +⋅+=，则a 与b 的夹角为____________ 6. 若()()2,1,2,3a b =-=--，则a 在b 上的投影为____________ 7. 用数学归纳法证明()()()12321121n n n +++++=++时，从“n=k 到n=k+1”时，左边需增加的代

数式是____________ 8. 若两点()()3,4,12,7P

Q ，点R 在直线PQ 上，且1

3

PR PQ =，则点R 的坐标为____________ 9. 无穷等比数列{}n a 中，()1

23

lim 2

n n a

a a →∞

++

+=

，则首项1a 的取值范围是____________ 10. 在等差数列

{}n a 中，17a =，公差为d 前n 项和为n S ，当且仅当n=8时n S 取得最大值，则d 的取值范

围为____________

11. O,A,B 是平面上不共线的三点，向量,OA a OB b ==，设P 为线段AB 垂直平分线上任意一点，向量

O P p =，若5a

=，3b =，则()

p a b ⋅-的值为____________

12. 有一列向量{}

n a ：()()()1

11222,,,,,,n n n a x y a x y a x y ===，如果从第二起，每一项与前一项的差

都等于同一个向量，那么这列向量称为等差向量列。已知等差向量列{}

n a ，满足()120,13a =-，

()318,15a =-，那么这列向量{}n a 中模最小的向量的序号n=____________

二、选择题

13. 在下列各式中，正确的是（ ） A. a b a b ⋅=⋅ B. 若()

a b c ⊥-，则a b a c ⋅=⋅ C.

()

2

22

a b a b

⋅=⋅

D. 若a b a c ⋅=⋅，且0a ≠，则b c =

14. 有下列四个命题：

①若22lim n n a A →∞

=，则lim n n a A →∞

=

②若0n a >，lim n n a A →∞

=，则A>0

③若()lim 0n n n a b →∞

-=，则lim lim n n n n a b →∞→∞

=

④若lim n n a A →∞

=，则22lim n n a A →∞

=，

其中正确命题的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

15. 已知函数

()f x 是定义在

R 上的单调增函数且为奇函数，数列

{}n a 是等差数列，且10090a >，则

()()()()()12320162017f a f a f a f a f a +++

++的值（ ）

A. 恒为负数

B. 恒为正数

C. 恒为0

D. 可正可负

16. 如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边

33B C 上有

10个不同的点

12310,,,,P P P P ，记()21,2,

,10i i m AB AP i =⋅=，则1210m m m +++的值为（ ）

A. 180

B.

C. 45

D.

三、解答题

17. 已知四边形ABCD 中()6,1AB =，(),BC x y =，()2,3CD =--. （1）若BC //DA ，试探究x 与

y 间的关系式；

（2）满足（1）问的同时又有AC BD ⊥，试求,x y 的值.

18. 已知等差数列

{}n a 不是常数列，其前四项和为10，且237,,a a a 成等比数列.

（1）求通项公式n a ； （2）设2n a n b =，求数列n b 的前n 项和n S .

19. 已知点()())

1,1,1,1,A B C θθ-，O 是坐标原点.

（1）若2BC BA -=

sin 2θ的值；

（2）若实数,m n 满足,0,2mOA nOB OC πθ⎛⎫+=∈ ⎪

⎝⎭

，求()2

23m n ++的最大值.

20. 设数列

{}n a 的前n 项和为n S ，已知()()*1

1,31n n a

S na n n n N ==--∈.

（1）求证：数列{}n a 为等差数列，并求出其通项公式；

（2）设1

2

n

n n b a a +=

，又123n b b b m +++<对一切*n N ∈恒成立，求实数m 的取值范围；

（3）已知k 为正整数且2k ≥，数列

{}n c 共有2k 项，设121

n

n

a c

k =

-，又

122121111

822

22

k k c c c c --

+-++-

+-<，求k 的所有可取值.