快速多极边界元方法在大规模声学问题中的应用

1 声学边界元方法
在声场分析中通常研究时间简谐声波的声场。 在无限或有限声域 E 内，简谐声波在均匀各向同性 介质中的传播可用如下 Helmholtz 方程来描述
∇2φ(x) + k 2φ(x) = 0
x∈ E
(1)
对于外部声波(无限域)问题，辐射或散射声波 自动满足 Sommerfeld 辐射条件
维问题有
exp(ik x − y )
Gk (x, y) = 4π x − y
(4)
式(3)是传统边界元方法求解声学问题的通常 表达式。如果边界 S 的法向导数 q( y) 已知，则通过
式(3)可以求解出声域 E 内任意点的声压值。然而， 传统边界元方法有一个缺陷，即对于外部声波问题，
在某些相应于内部问题的特征频率，方程式(3)无法 求得唯一解，这些频率称为伪频率。已有众多的方
业务费(2010MS080)资助项目。20100630 收到初稿，20101220 收到修 改稿
阵是非对称满阵。对该矩阵的求解需要大量的计算 机资源，如采用传统直接法进行求解，计算量和存 储量的量级分别为 O(N3)和 O(N2)，其中 N 为问题的 自由度数。虽然近年来发展了一些迭代算法，如广 义极小残差法(Generalized minimum residual method, GMRES) 、 共 轭 梯 度 法 (Biconjugate gradient stabilized, Bi-CGSTAB)等，可以将计算量降低到 O(N2)的量级，但计算量仍然很大，在个人计算机上 仍然难以求解自由度数超过 10 000 的工程问题。因
Application of Fast Multipole Boundary Element Method for Large-scale Acoustic Problems
LI Shande1 HUANG Qibai1 ZHANG Qian2
(1. State Key Laboratory of Digital Manufacturing Equipment and Technology, Huazhong University of Science and Technology, Wuhan 430074;
法用于克服传统边界元方法非唯一解的缺陷，其中 Burton-Miller 方法[16]是被公认最为有效及鲁棒性的 方法。因此，本文运用 Burton-Miller 方法来克服传 统边界元方法非唯一解问题。
将方程式(3)对配置点 x 处的边界外法线方向 nx 求导，可以得到如下边界积分方程式
∫ C(x) ∂φ(x) = ∂nx
本文应用快速多极边界元方法实现了三维无 限域声学问题的大规模数值仿真。由于在快速多极 边界元方法中引入基本解的多极扩展和局部扩展， 并应用预处理后的广义极小残差法求解器和块对角 化预处理技术迭代求解线性方程系统，使得新算法 的计算量和存储量减少到 O(N) 量级。对于传统边 界元方法求解外部声学问题时的非唯一解现象，本 文建立的快速多极边界元方法采用改进的 Burton-Miller 方法获得全频段的唯一解。数值算例 验证了快速多极边界元方法的准确性，表明快速多 极边界元方法的计算效率与传统边界元方法相比有 数量级的提高，能够有效求解超过 10 万自由度的大 规模复杂模型声学问题。
lim
r→∞
r
⎛ ⎜⎝
∂φ ∂r
−Baidu Nhomakorabea
ikφ
⎞ ⎟⎠
=
0
(2)
式中 φ —— 声压
k —— 波数，k= ω / c ω —— 角频率 c —— 介质中的声波波速 r —— 配置点到场点的距离
i —— 虚数单位，为 −1 Helmholtz 方程解的积分表示式为
C(x)φ(x) =
∫S
⎡ ⎢− ⎢⎣
∂Gk (x, ∂ny
1985 年 ROKHLIN[5]最早提出快速多极算法， 将 N 个粒子相互作用的势场问题的计算量减少到 O(N)的量级。快速多极算法的实质是用结点集群的 多极展开式来近似表示核函数与远场边界变量乘积 的边界积分，将计算量和存储量的量级从原来的 O(N2)减少到 O(N)。因此，快速多极算法非常适合 处理大规模计算问题。近年来，相关研究[7-10]将快 速多极算法用于加速传统边界元方法求解，即建立 快 速 多 极 边 界 元 方 法 (Fast multipole boundary element method, FMBEM)，在个人计算机上成功实 现求解自由度数达到百万的大规模复杂工程问题， 如力学[7,9-10]、电磁学[8]问题。目前，在国际上快速 多极边界元方法已初步应用到声学领域[11-15]，并在 计算大规模声学问题方面表现出广阔的工程应用前 景，而在国内，这一研究领域尚未取得进展。
月 2011 年 4 月
李善德等：快速多极边界元方法在大规模声学问题中的应用
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此，传统边界元方法不适合求解大规模复杂声学工 程问题。而如今声学仿真的趋势是模型更复杂，计 算频率更高，这需要将计算模型划分成几十万甚至 上百万个单元，显然传统边界元方法对这种大规模 声学仿真是无能为力的，计算能力成为制约边界元 方法在大规模声学领域发展和应用的瓶颈。然而， 快速多极算法(Fast multipole method, FMM) [5-6]的 出现帮助传统边界元方法走出这一困境。
∫ ∫ α
S
∂
2Gk (x, y ∂ny ∂nx
)
φ
(
y)
dS
y
+
S
∂Gk (x, ∂ny
y) φ( y) dSy
=
∫ ∫ S Gk (x, y)q( y) dSy
+α
S
∂Gk (x, ∂nx
y)
q(
y) dS
y
−
1 2
φ(x)
−
1α 2
∂φ ( x) ∂nx
+
φin
(x)
+
α
∂φin (x) ∂ nx
(1. 华中科技大学数字制造装备与技术国家重点实验室 武汉 2. 中船重工 701 研究所 武汉 430064)
430074；
摘要：为克服传统边界元方法不适合进行大规模声学问题仿真的困难，将快速多极算法应用到传统边界元方法中，对大规模 声学问题进行数值计算。由于在快速多极边界元方法中引入基本解的多极扩展，并应用预处理后的广义极小残差法迭代求解 器求解线性方程系统，使得快速多极边界元方法的计算效率与传统边界元方法相比显著提高，计算量和存储量减少到 O(N) 量级(N 为问题的自由度数)。对于传统边界元方法求解外部声学问题时的非唯一解现象，在快速多极边界元方法中采用改进 的 Burton-Miller 方法获得全频段的唯一解。数值算例验证了快速多极边界元方法的准确性，表明快速多极边界元方法的计算 效率与传统边界元方法相比有数量级的提高，能够有效求解大规模声学问题。 关键词：边界元方法 快速多极算法 Helmholtz 方程 声学 大规模 中图分类号：TB52
S
⎡ ⎢− ⎢⎣
∂
2Gk ∂ny
(x, y ∂nx
)
φ
(
y)
+
∂Gk (x, ∂nx
y)
⎤ q( y)⎥ dSy
⎦
+
∂φin (x) ∂nx
(5)
方程式(5)与方程式(3)一样，对于求解外部声波 问题，这两组边界积分方程具有不同的伪频率，这
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机械工程学报
第 47 卷第 7 期期
些频率下无法求得唯一解。BURTON 等提出将方 程式(3)、(5)线性组合以求得任意频率下的唯一解 方法
第 47 卷第 7 期 2011 年 4 月
机械工程学报
JOURNAL OF MECHANICAL ENGINEERING
Vo l . 4 7 N o . 7
Apr.
2011
DOI：10.3901/JME.2011.07.082
快速多极边界元方法在大规模声学问题中的应用*
李善德 1 黄其柏 1 张 潜 2
y)
φ ( y)
+
Gk
(x,
⎤ y)q( y)⎥dSy
⎥⎦
+ φin (x)
(3)
式中 x ——配置点 y ——场点
q( y) ——声压在点 y 处的法向导数 Sy ——结构边界 S 的子边界
φin (x) ——入射波(仅用于声散射问题) C(x) ——和配置点处边界的几何特征有关的系
数，对于边界光滑点 C(x) =1/2 ny —— y 点处的边界外法线方向 Gk ——自由空间 Green 函数基本解，对于三
0 前言*
边界元方法(Boundary element method, BEM)具 有只在边界离散和求解精度高的特点，并且特别适 合处理无限域问题，它被广泛应用于声学领域研究 中[1-4]。但传统边界元方法形成的求解方程的系数矩
* 高等学校博士学科点专项科研基金(20070487403)和中央高校基本科研
2. No.701 Research and Development Institute, China Ship Industry Corporation, Wuhan 430064)
Abstract：In order to overcome the difficulty of the conventional boundary element method (BEM) is unsuitable for solving large-scale acoustic simulations, the fast multipole method (FMM) is used with the conventional BEM for solving large-scale acoustic problems. The computational efficiency of the fast multipole BEM (FMBEM) is improved significantly compared to the conventional BEM due to the multipole expansion of the fundamental solution and using the preconditioned generalized minimum residual method (GMRES) as an iterative solver to solve system of linear equation. Thus, both the computational complexity and memory requirement of the present FMBEM are drastically reduced to O(N), where N is the number of degrees of freedom. In order to remove the non-unique problems of the conventional BEM, the FMBEM employs the improved Burton-Miller method to solve the exterior acoustic problems for all frequencies. Numerical examples validate the accuracy of the FMBEM, and show that the present algorithm provides an order of magnitude increase in computational efficiency compared to the conventional BEM. These examples clearly demonstrate that the present FMBEM is effective to solve large-scale acoustic problems. Key words：Boundary element method Fast multipole method Helmholtz equation Acoustic problems Large-scale
(6)
式中，α 为 非零耦合常数，通常虚部非零，一般可
取为 α = i / k 。 文献[16]已证明方程式(6)可以在任意频率下求
得唯 一解 。 然而 ，方 程 式(6) 存在 一 个难 题， 即 Helmholtz 积分方程的法向导数引入一个超奇异积 分，直接计算超奇异积分十分困难，必须将它规划