全等三角形中的常用辅助线(经典)
《全等三角形》中常见辅助线
全等三角形⑴----常见辅助线一.已知中点1.线段倍长（或作平行线）模型：如图，已知OA=OC,再倍长DO,使OB=OD,则△AOB≌△COD(SAS)⑴.如图，在△ABC中，D是BC边的中点.①.求证：AB+AC>2AD;②.若AB=5,AC=7,AD的取值范围为 .⑵如图，CE是△ACD中线，点B在AD的延长线上，BD=AC,∠ACD=∠ADC，求证：CE=12BC.⑶.如图，AB=AE,AB⊥AE,AD=AC,AD⊥AC,点M为BC的中点，求证：DE=2AM.⑷.如图，四边形BEFC中，D为BC中点，∠EDF=90 ，求证：BE+FC>EF.CBDBBA C2.作垂线(知中点作垂线；证中点作垂线)模型：如图，OA=OB,BC ⊥CD,AD⊥CD,则△AOD ≌△BOC(AAS) ⑴.如图，△ABC 中，D 为BC 的中点.①在图中作出CM ⊥AD,BN⊥AD,垂足分别为点M,N; ②⑵求证：DM=DN; ③若AD=3，求AM+AN 的值.⑵.如图，CD 为△ABC 的角平分线，E,F 分别在CD,BD 上，且DA=DF,EF=AC.求证：EF ∥BC.⑶.如图，BC ⊥CE,BC=CE,AC ⊥CD,AC=CD,DE 交AC 的延长线于点M,M 是DE 的中点. ①求证：AB ⊥AC;②若AB=8，求CM 的长.⑷.如图，已知A(-2,1),C(0,2),且C 为线段AB 的中点，求点B 的坐标.DABCABA3.证中点【方法技巧】证线段的中点，常过线段的端点构造一组平行线，或过线段的两端点向过中点的线段作垂线，根据AAS 或ASA 构造全等三角形，证题关键往往是证明一组对应边相等.【作平行证中点】⑴.如图，在△ABC 中，∠ABC=∠ACB，D,E 分别是AC 和AC 的延长线上的点，连接BD,BE,若AB=CE ，∠DBC=∠EBC.求证：D 是AC 的中点.⑵.如图，AB⊥AE,AB=AE,AC⊥AD,AC=AD,AH⊥DE 于点H,延长AH 交BC 于点M.求证：M 是BC 的中点.【作垂线证中点】⑶.如图，AB⊥AC,AB=AC,D 是AB 上一点，CE⊥CD,CE=CD,连接BE 交AC 于点F ，求证：F 是BE 的中点.⑷如图，A,B,C 三点共线，D,C,E 三点共线，∠A=∠DBC,EF⊥AC 于点F ，AE=BD. ①求证：C 是DE 的中点；②求证：AB=2CF.EBEB二、线段的和差处理 1.等线段代换法⑴如图，CD 为△ABC 的中线，M,N 分别为直线CD 上的点，且BM ∥AN. ①求证：AN=BM;②求证：CM+CN=2CD⑵如图，△ABC 中，∠BAC=90︒，AB=AC,AN 是过点A 的一条直线，且BM ⊥AN 于点M ，CN ⊥AN 于点N. ①求证：AM=CN ；②求证：MN=BM-CN.⑶如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，且AD 平分∠BAC,CE ⊥AB 于点E ，交AD 于点F. ①求证：BD=CD;②若AF=BC,求证：AC-CE=EF.⑷.如图，△ABC 中，AC=BC,∠ACB=90︒，D 为BC 延长线上一点，BF ⊥AD 于点F ，交AC 于点E.①求证：BE=AD ；②过C 点作CM ∥AB 交AD 于点M ，连接EM ，求证：BE=AM+EM.ABACBA B2.截长补短法（直接和间接）如图，△ABC中，∠CAB=∠CBA=45 ，CA=CB,点E为BC的中点，CN⊥AE交AB于点N.①求证：∠1=∠2；②求证：AE=CN+EN. （用多种方法）方法1：直接截长方法2：间接载长方法3：直接补短方法4：间接补短EBCA EBCA EBCA EBC A三、角平分线模型1.作垂线模型：如图，∠1=∠2，PA⊥OA,PB⊥OB,则PA=PB.⑴如图，△ABC中，CD是角平分线，AC=3,BC=5,求S△ACD∶S△BCD的值.⑵.如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，且∠B+∠D=180︒，求证：AE=AD+BE.⑶.如图，△ABC中，AC>AB,F为BC的中点，FD⊥BC,交∠BAC的平分线于点D，DE⊥AC于点E.①求证：BD=CD;②求证：AB+AC=2AE;③直接写出-AC ABCE的值是 .⑷如图，△ABC中，AB=AC，D为△ABC外一点，且∠1=∠2，AB⊥BD于点M.①求证：AD平分△BDC的外角；②求-BD CDDM的值.21BAOPA BB CD2.截长补短模型：如图，若∠AOP=∠BOP,OA=OB，则△OAP≌△OBP⑴.如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠B+∠D=180 ，求证：CD=CB.⑵.△ABC中，AB>AC,AD平分∠BAC，AE=AC，连DE.①求证：∠C>∠B;②若AB-AC=2,BC=3，求△BED的周长.⑶.如图，AD∥BC，E是CD上一点,且∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AB=AD+BC⑷.如图，BC>AB,AD=CD，∠1=∠2，探究∠BAD与∠C之间的数量关系.(多种方法)C BBBBA3.角平分线+垂线：延长法模型：如图，若∠1=∠2，AC⊥OC，延长AC 交OB 于点B ，则△OCA≌△OCB. ⑴.如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，CE⊥AD 于点E ，探究∠ACE，∠B，∠ECD 之间的数量关系.⑵.如图，在△ABC 中，AB<BC ，BP 平分∠ABC，AP⊥BP 于P 点，连接PC ，若△ABC 的面积为4，求△BPC 的面积.⑶.如图，在△AOB 中，AO=OB ，∠AOB=90 ，BD 平分∠ABO 交AO 于点D ，AE ⊥BD 交BD 的延长线于点E ，求证：BD=2AE.⑷.如图，四边形ABCD 中，AD∥BC，AE,BE 分别平分∠DAB,∠CBA.①求证：AE⊥BE；②求证：DE=CE ；③若AE=4,BE=6,求四边形ABCD 的面积.BBA B四、半角与倍角模型⑴如图，已知AB=AC,∠BAC=90°,∠MAN=45°,过点C作NC⊥AC交AN于点N,过点B作BM⊥AB交AM 于点M，连接MN.①当∠MAN在∠BAC内部时，求证：BM+CN=MN.②如图，在①的条件下，当AM和AN在AB⑵如图，在△ABC中，CA=CB,∠ACB=120°,E为AB上一点，∠DCE=60°,∠DAE=120°,求证：DE-AD=BE.⑶如图，在△ABC中，CA=CB,∠ACB=120°,点E为AB上一点，∠DCE=∠DAE=60°,求证：AD+DE=BE.⑷.①如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F分别是BC,CD上的点，且∠EAF=1 2∠BAD,求证：EF=BE+DF;②如图2，在①条件下，若将△AEF绕点A逆时针旋转，当点E,F分别运动到BC,CD延长线上时，则EF,BE,DF之间的数量关系是 .BN MDB A BC。
全等三角形经典辅助线做法汇总
全等三角形问题中常见的辅助线的作法（有答案）总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
三角形中两中点，连接则成中位线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中有中线，延长中线等中线。
1. 等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3. 角平分线在三种添辅助线4. 垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法” ：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6. 图形补全法：有一个角为60 度或120 度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30 、60 度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30 度或60 度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90 的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。
从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
8. 计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90 的特殊直角三角形，或40-60-80 的特殊直角三角形, 常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。
1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形2）遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．3）遇到角平分线在三种添辅助线的方法4）（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折” ，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2 ）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。
全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案)
全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。
从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。
1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂D C BAED F CB A线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。
（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。
中考数学-全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法
全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。
从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。
1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变D C BAED F CB A换中的“对折”法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。
三角形全等证明常用辅助线作法(倍长中线、截长补短)
倍长中线专题初中阶段三角形有三条重要的、也是最基本的线段：三角形的高线、中线、角平分线。
三种线段各有其重要信息反馈，就中线而言，它具有的功能：①必有相等的线段②必有相等的面积③必有倍长中线构成全等。
本专题只讨论倍长中线的问题。
【基本原理】：如图所示，AD是△ABC的中线，延长AD至E点，使DE＝AD，得到△ADC≌△EDB。
口诀：图形有中线，倍长延中线，连接另一端，全等尽呈现。
【模型实例】：如图，在△ABC 中，AD 是BC 边的中线，E 是AD 上一点，连接BE 并延长交AC 于F 点，AF=EF ，求证：AC=BE证明： 如图所示。
延长AD 至G 点，使DG=AD ，连接BG 。
在△ADC 与△GDB 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CD BD GDB ADC GD AD∴△ADC ≌△GDB∴BG =AC ，∠1=∠G又因为AF=EF∴∠1=∠2=∠3∴∠3=∠G∴BG=BE （等角对等边）∴AC=BE②证全等①作倍长中线 ③列出需要用的结果④转化替代 ⑤得出结果【练习1】：如图，在在△ABC中，D为BC的中点，求证：AD+>AB2AC【练习2】：如图，在△ABC中，D为B C的中点,且AD是角平分线。
求证：AB=AC【练习3】：AD是△ABC的中线，分别以AB边、AC边为直角边向外作等腰直角三角形，求证：EF=2AD【练习4】：在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于F点。
试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论。
截长补短专题要证明两条线段之和等于第三条线段，可以采用“截长补短”法。
①截长法：把较长的线段截取一段等于两较短线中的一条；②补短法：把两条较短的线段补成一条，再证与长线段相等。
【模型实例】：如图，△ABC中，∠1=∠2，∠B=2∠C。
求证：AC=AB+BD 方法一：截长(利用角平分线构建全等三角形)分析：如图，在AC上截AE=AB，连接DE。
完整版)全等三角形常用辅助线做法
完整版)全等三角形常用辅助线做法证明三角形全等时，有时需要添加辅助线，对于初学几何证明的学生来说，这往往是一个难点。
下面介绍证明全等时常见的五种辅助线，供同学们研究时参考。
一、截长补短当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同一直线上时，通常可以考虑用截长补短的办法。
具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。
这种作法适用于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。
例如，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB。
要证明AC=AE+CD，因为AE、CD不在同一直线上，所以在AC上截取AF=AE，只要证明CF=CD即可。
具体证明过程为：在AC上截取AF=AE，连接OF。
由于AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，∠ABC=60°，因此∠1+∠2=60°，∠4=∠6=∠1+∠2=60°。
显然，△AEO≌△AFO，因此∠5=∠4=60°，∠7=180°－（∠4+∠5）=60°。
在△DOC与△FOC中，∠6=∠7=60°，∠2=∠3，OC=OC，因此△DOC≌△FOC，CF=CD，所以XXX。
另一个例子是在图甲中，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB。
要证明CD=AD+BC。
因为结论是CD=AD+BC，可以考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CB，只要再证明DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的。
具体证明过程为：在CD上截取CF=BC，如图乙，因此△XXX≌△BCE（SAS），∴∠2=∠1.又因为AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD=180°，∴∠DCE+∠XXX°，∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4.在△FDE与△ADE中，∴△XXX≌△ADE（ASA），∴DF=DA，因此CD=DF+CF，∴XXX。
(完整版)全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案解析)
全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。
从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。
1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。
全等三角形中常见的辅助线的作法
全等三角形中常见的辅助线的作法全等三角形问题中最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等，本节来介绍下在全等三角形中常见的几种辅助线的作法：图中有角平分线，可向两边作垂线。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
线段计算和与差，巧用截长补短法。
三角形里有中线，延长中线至两倍。
在作辅助线的时候要注意以下两点：①在原图形中作辅助线要用“虚线”；②在证明过程中要描述添加方法。
一、用角平分线的性质构造全等例1、如图,在四边形ABCD 中, ∠A= ∠D =90°, BE、CE 分别是∠B 和∠C 的角平分线。
求证：BC= AB + CD。
证明：过点E 作EF⊥BC ，垂足为点F∵BE 是∠B 的角平分线，∠EFB = ∠A = 90°∴EF = AE在△EFB 和△EAB 中∵∠EFB = ∠A = 90°，EF = AE ，EB = EB∴△EFB ≌△EAB （HL）∴BF = BA同理可证：CF = CD∴BC = CF + BF = AB + CD二、连接法例题2、如图,在五边形ABCDE中，点M 是CD 的中点，AB = AE , BC = ED ，AM⊥CD 。
求证：∠B = ∠E 。
连接AC ，AD∵点M 是CD 的中点，AM⊥CD∴AC = AD在△ABC 和△AED 中∵AB = AE , BC = ED，AC = AD∴△ABC ≌△AED （SSS）∴∠B = ∠E三、用“截长法”或“补短法”构造全等三角形例题3、如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，∠C = 2∠B 。
求证：AB = AC + CD 。
证明：方法一、截长法在线段AB 上取点E ，使得AE = AC , 连接ED∵AD是∠BAC的角平分线∴∠EAD = ∠CAD在△EAD 和△CAD 中∵AE = AC , ∠EAD = ∠CAD ，AD = AD∴△EAD ≌△CAD∴ED = CD , ∠AED = ∠ACD又∵∠AED = ∠B + ∠EDB （三角形外角和定理），∠ACD = 2∠B∴∠B + ∠EDB = 2∠B （等量代换）∴∠B = ∠EDB∴BE = ED （等角对等边）又∵AB = AE + EB∴AB = AC + CD （等量代换）方法二、补短法延长线段AC 至点 F ，使CF = CD ，连接DF略证：由∠ACB = 2∠B = ∠CDF + ∠F ，∠CDF = ∠F可得∠B = ∠F在证△ABD ≌△AFD （AAS）可得AB = AF而AF = AC + CF = AC + CD即证AB = AC + CD注：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，常用此方法。
全等三角形几何证明常用辅助线
全等三角形几何证明常用辅助线
辅助线证明三角形全等
一、辅助线定义
辅助线，又称辅助规则，是专门用来证明几何结论的辅助线，它可以
指向几何结论的前提或结果，以更清晰地证明几何结论。
二、辅助线用法
1.在证明三角形全等的情况下，用辅助线来证明角的相等性：用一条
辅助线平分角A，然后将辅助线平移到角B上，如果辅助线可以在角B上
的两点重合，则说明角A和角B是相等的。
2.在证明三角形全等的情况下，用辅助线来证明边的相等性：用一条
辅助线平分边AB，然后将辅助线平移到边CD上，如果辅助线可以在边CD
上的两点重合，则说明边AB和边CD是相等的。
3.在证明三角形全等的情况下，用辅助线来证明两个三角形的相等性：在三角形ABC中画出一条辅助线，然后将该辅助线平移到三角形CDE中，
如果辅助线可以在三角形CDE中的三个点重合，则说明两个三角形ABC和CDE是相等的。
三、辅助线证明三角形全等的步骤
1.识别出待证明的相关图形，并将其准确地表示在平面上。
2.根据定义，确定三角形全等的前提条件，并假设三角形全等。
3.画出两个三角形之间的辅助线，如果相交点都在两个三角形相交的
边上，证明该辅助线可以同时在两个三角形中存在。
全等三角形六种常用辅助线的添加方法和技巧
全等三角形六种常用辅助线的添加方法和技巧下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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全等三角形六种辅助线方法
全等三角形六种辅助线方法全等三角形是指具有相同形状和大小的三角形。
在解决与全等三角形相关的问题时，辅助线是一种常用的方法，可以帮助我们更好地理解和解决问题。
下面将介绍全等三角形的六种辅助线方法。
一、垂直辅助线法垂直辅助线法是指通过某个顶点引一条垂直线与对边相交，从而将三角形分割成两个直角三角形。
利用直角三角形的性质，我们可以更方便地求解各种问题。
二、角平分线法角平分线法是指通过某个顶点引一条角平分线与对边相交，将三角形分割成两个等角的三角形。
利用等角三角形的性质，我们可以更容易地求解各种问题。
三、高线法高线法是指通过某个顶点引一条垂直于底边的线段，将三角形分割成一个直角三角形和一个等腰三角形。
利用这两个三角形的性质，我们可以更快速地解决问题。
四、中线法中线法是指连接三角形的两个顶点和底边中点，将三角形分割成三个相似的三角形。
利用相似三角形的性质，我们可以更高效地解决问题。
五、中垂线法中垂线法是指通过三角形的每条边的中点引一条垂直于对边的线段，将三角形分割成三个直角三角形。
利用直角三角形的性质，我们可以更轻松地解决问题。
六、对称线法对称线法是指通过三角形的某个顶点引一条对称线，将三角形分割成两个全等的三角形。
利用全等三角形的性质，我们可以更直接地解决问题。
通过以上六种辅助线方法，我们可以更灵活地分析和解决与全等三角形相关的问题。
这些方法使得计算更加简便，推理更加直观，提高了问题解决的效率。
同时，这些方法也加深了我们对全等三角形的理解，拓宽了我们的数学思维。
在实际应用中，我们可以根据具体问题的要求选择合适的辅助线方法，以便更好地解决问题。
全等三角形的六种辅助线方法是垂直辅助线法、角平分线法、高线法、中线法、中垂线法和对称线法。
这些方法在解决与全等三角形相关的问题时起到了重要的作用，使我们能够更快速、准确地解决问题。
希望通过这篇文章的介绍，能够帮助大家更好地理解和应用这些方法。
全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案解析)
全等三角形问题中罕见的辅助线的作法(有谜底)之南宫帮珍创作总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形, 构造二条边之间的相等, 构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线, 可向两边作垂线. 也可将图半数看, 对称以后关系现.角平分线平行线, 等腰三角形来添. 角平分线加垂线, 三线合一试试看.线段垂直平分线, 常向两端把线连. 要证线段倍与半, 延长缩短可试验.三角形中两中点, 连接则成中位线. 三角形中有中线, 延长中线等中线.1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形, 可作底边上的高, 利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线, 使延长线段与原中线长相等, 构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和即是第三条线段的长,6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度, 可以从角一边上一点向角的另一边作垂线, 目的是构成30-60-90的特殊直角三角形, 然后计算边的长度与角的度数, 这样可以获得在数值上相等的二条边或二个角.从而为证明全等三角形缔造边、角之间的相等条件.8.计算数值法：遇到等腰直角三角形, 正方形时, 或30-60-90的特殊直角三角形, 或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数, 这样可以获得在数值上相等的二条边或二个角, 从而为证明全等三角形缔造边、角之间的相等条件.罕见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形, 构造二条边之间的相等, 二个角之间的相等.1)遇到等腰三角形, 可作底边上的高, 利用“三线合一”的性质解题, 思维模式是全等变换中的“半数”法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线, 倍长中线, 使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形, 利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法, （1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线, 利用的思维模式是三角形全DCBAEA等变换中的“半数”, 所考知识点经常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交, 形成一对全等三角形.（3）可以在该角的两边上, 距离角的极点相等长度的位置上截取二点, 然后从这两点再向角平分线上的某点作边线, 构造一对全等三角形.4)过图形上某一点作特定的平分线, 构造全等三角形, 利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5)截长法与补短法, 具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等, 或是将某条线段延长, 是之与特定线段相等, 再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法, 适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．6)已知某线段的垂直平分线, 那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线, 出一对全等三角形.特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时, 常把某点到原三角形各极点的线段连接起来, 利用三角形面积的知识解答．一、倍长中线（线段）造全等例1、（“希望杯”试题）已知, 如图△ABC 中, AB=5, AC=3, 则中线AD 的取值范围是_________.例2、如图, △ABC 中, E 、F 分别在AB 、AC 上, DE ⊥DF, D 是中点, 试比力BE+CF 与EF 的年夜小.CA例3、如图, △ABC 中, BD=DC=AC, E 是DC 的中点, 求证：AD 平分∠BAE. 应用：1、（09崇文二模）以ABC ∆的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆, 90,BAD CAE ∠=∠=︒连接DE, M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系．（1）如图①当ABC ∆为直角三角形时, AM 与DE 的位置关系是, 线段AM 与DE 的数量关系是； （2）将图①中的等腰RtABD∆绕点A 沿逆时针方向旋转︒θ(0<θ<90)后, 如图②所示, （1）问中获得的两个结论是否发生改变？并说明理由． 二、截长补短1、如图, ABC ∆中, AB=2AC, AD 平分BAC ∠, 且AD=BD, 求证：CD ⊥AC2、如图, AD ∥BC, EA,EB 分别平分∠DAB,∠CBA,CD 过点E, 求证;AB ＝AD+BC.3、如图, 已知在ABC 内, 060BAC ∠=040C ∠=, P, Q 分别在BC, CA 上, 而且BQ 分别是BAC ∠, ABC ∠的角平分线.BQ+AQ=AB+BP4、如图, 在四边形ABCD 中, BC ＞BA,AD ＝ABC ∠,O ECB求证：0180=∠+∠C A5、如图在△ABC 中, AB ＞AC, ∠1＝∠2, P 为AD 上任意一点, 求证;AB-AC ＞PB-PC 应用：三、平移变换例1AD 为△ABC 的角平分线, 直线MN ⊥AD 于A.E 为MN 上一点, △ABC 周长记为A P , △EBC 周长记为B P .求证B P ＞A P .例2如图, 在△ABC 的边上取两点D 、E, 且BD=CE, 求证：AB+AC>AD+AE. 四、借助角平分线造全等1、如图, 已知在△ABC 中, ∠B=60°, △ABC 的角平分线AD,CE 相交于点O, 求证：OE=OD2、如图, △ABC 中, AD 平分∠BAC, DG ⊥BC 且平分BC, DE ⊥AB 于E, DF ⊥AC 于F.（1）说明BE=CF 的理由；（2）如果AB=a , AC=b , 求AE 、BE 的长. 应用：1、如图①, OP 是∠MON 的平分线, 请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形.请你参考这个作全等三角形的方法, 解答下列问题：（1）如图②, 在△ABC 中, ∠ACB 是直角, ∠B =60°, AD 、AFED CBACE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线, AD 、CE 相交于点F .请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系；（2）如图③, 在△ABC 中, 如果∠ACB 不是直角, 而(1)中的其它条件不变, 请问, 你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立, 请证明；若不成立, 请说明理由. 五、旋转例1正方形ABCD 中, E 为BC 上的一点, F 为CD 上的一点,BE+DF=EF, 求∠EAF 的度数.例2D 为等腰Rt ABC ∆斜边AB 的中点, DM ⊥DN,DM,DN 分别交BC,CA 于点E,F.（1）当MDN ∠绕点D 转动时, 求证DE=DF.（2）若AB=2, 求四边形DECF 例3如图, ABC ∆是边长为3的等边三角形BDC ∆是等腰三角形, 且0120BDC ∠=, 以060角, 使其两边分别交AB 于点M, 交AC 于点N, 连接MN, 则AMN ∆的周长为；应用：1、已知四边形ABCD 中, AB AD ⊥, BC CD ⊥, AB BC =,120ABC =∠, 60MBN =∠, MBN ∠绕B 点旋转, 它的两边分别交AD DC ，（或它们的延长线）于E F ，．当MBN ∠绕B 点旋转到AE CF =时（如图1）, 易证(第23题图)OP AM NEB CD F ACEFBD图①图②图③AE CF EF +=．当MBN ∠绕B 点旋转到AE CF ≠时, 在图2和图3这两种情况下, 上述结论是否成立？若成立, 请给予证明；若不成立, 线段AE CF ，, EF 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想, 不需证明．2、（西城09年一模）已知,PB=4,以AB 为一边作正方形ABCD,使P 、D 两点落在直线.(1)如图,当∠APB=45°时,求AB 及PD 的长;(2)当∠APB 变动,且其它条件不变时,求PD 的最年夜值,及相应∠APB 的年夜小.3、在等边ABC ∆的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N, D 为ABC 外一点, 且︒=∠60MDN ,︒=∠120BDC ,BD=DC. 探究：当M 、N分别在直线AB 、AC 上移动时, BM 、NC 、MN 之间的数量关系及AMN ∆的周长Q 与等边ABC ∆的周长L 的关系．图1 图 2图3（I ）如图1, 当点M 、N 边AB 、AC 上, 且DM=DN 时, BM 、NC 、MN 之间的数量关系是； 此时=LQ； （II ）如图2, 点M 、N 边AB 、AC 上, 且当DM ≠DN 时, 猜想（I ）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（III ） 如图3, 当M 、N 分别在边AB 、CA 的延长线上时,（图1）A B C D EF MN （图2）C （图3）ABC DEF MND C BAED F CB A若AN=x, 则Q=（用x、L暗示）．参考谜底与提示一、倍长中线（线段）造全等例1、（“希望杯”试题）已知, 如图△ABC中, AB=5, AC=3, 则中线AD的取值范围是_________.解：延长AD至E使AE＝2AD, 连BE, 由三角形性质知AB-BE <2AD<AB+BE 故AD的取值范围是1<AD<4例2、如图, △ABC中, E、F分别在AB、AC上, DE⊥DF, D是中点, 试比力BE+CF与EF的年夜小.解：(倍长中线,等腰三角形“三线合一”法)延长FD至G使FG＝2EF, 连BG, EG,显然BG＝FC,在△EFG中, 注意到DE⊥DF, 由等腰三角形的三线合一知EG＝EF在△BEG中, 由三角形性质知EG<BG+BE故：EF<BE+FC例3、如图, △ABC中, BD=DC=AC, E是DC的中点, 求证：AD平分∠BAE.解：延长AE至G使AG＝2AE, 连BG, DG,显然DG＝AC, ∠GDC=∠ACD由于DC=AC, 故∠ADC=∠DAC在△ADB 与△ADG 中, BD ＝AC=DG, AD ＝AD,∠ADB=∠ADC+∠ACD=∠ADC+∠GDC ＝∠ADG故△ADB ≌△ADG, 故有∠BAD=∠DAG, 即AD 平分∠BAE 应用：1、（09崇文二模）以的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆, 90,BAD CAE ∠=∠=︒连接DE, M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系． （1）如图①当ABC ∆为直角三角形时, AM 与DE 的位置关系是, 线段AM 与DE 的数量关系是； （2）将图①中的等腰RtABD∆绕点A 沿逆时针方向旋转︒θ(0<θ<90)后, 如图②所示, （1）问中获得的两个结论是否发生改变？并说明理由．ABC ∆∴DE AM ⊥, DE AM 21=二、截长补短1、如图, ABC ∆中, AB=2AC, AD 平分BAC ∠, 且AD=BD, 求证：CD ⊥AC解：（截长法）在AB 上取中点F, 连FD△ADB 是等腰三角形, F 是底AB 中点, 由三线合一知 DF ⊥AB, 故∠AFD ＝90°CACBA△ADF ≌△ADC （SAS ）∠ACD ＝∠AFD ＝90°即：CD ⊥AC2、如图, AD ∥BC, EA,EB 分别平分∠DAB,∠CBA,CD 过点E, 求证;AB ＝AD+BC解：（截长法）在AB 上取点F, 使AF ＝FE△ADE ≌△AFE （SAS ） ∠ADE ＝∠AFE, ∠ADE+∠BCE ＝180° ∠AFE+∠BFE ＝180° 故∠ECB ＝∠EFB △FBE ≌△CBE （AAS ） 故有BF ＝BC 从而;AB ＝AD+BC3、如图, 已知在△ABC 内, 060BAC ∠=, 040C ∠=, P, Q 分别在BC, CA 上, 而且AP, BQ 分别是BAC ∠, ABC ∠求证：BQ+AQ=AB+BP解：（补短法, 计算数值法）延长AB 至D, 使＝BP, 连DP在等腰△BPD 中, 可得∠BDP ＝40° 从而∠BDP ＝40°＝∠ACP △ADP ≌△ACP （ASA ）故AD ＝AC又∠QBC ＝40°＝∠QCB 故 BQ ＝QC BD ＝BP从而BQ+AQ=AB+BP4、如图, 在四边形ABCD 中, BC ＞BA,AD ＝CD, BD 平分ABC ∠,求证： 0180=∠+∠C A解：（补短法）延长BA 至F, 使BF ＝FD△BDF ≌△BDC （SAS ） 故∠DFB ＝∠DCB , FD ＝DC 又AD ＝CD故在等腰△BFD 中 ∠DFB ＝∠DAF故有∠BAD+∠BCD ＝180°5、如图在△ABC 中, AB ＞AC, ∠1＝∠2, P 为AD 上任意一点, 求证;AB-AC ＞PB-PC解：（补短法）延长AC 至F, 使AF ＝AB, 连PD △ABP ≌△AFP （SAS ） 故BP ＝PF 由三角形性质知PB －PC ＝PF －PC < CF ＝AF －AC ＝AB －AC 应用：分析：此题连接AC , 把梯形的问题转化成等边三角形的问题, 然后利用已知条件和等边三角形的性质通过证明三角形全等解决它们的问题.解：有AE AD BC +=连接AC , 过E 作BC EF //并AC 于F 点 则可证AEF ∆为等边三角形 即EF AE =, ︒=∠=∠60AFE AEF ∴︒=∠120CFE又∵BC AD //, ︒=∠60B ∴︒=∠120BAD 又∵︒=∠60DEC ∴FEC AED ∠=∠ 在ADE ∆与FCE ∆中CFE EAD ∠=∠, EF AE =, FEC AED ∠=∠∴FCE ADE ∆≅∆ ∴FC AD = ∴AE AD BC +=点评：此题的解法比力新颖, 把梯形的问题转化成等边三角形的问题, 然后利用全等三角形的性质解决. 三、平移变换例1 AD 为△ABC 的角平分线, 直线MN ⊥AD 于A.E 为MN 上一点, △ABC 周长记为A P , △EBC 周长记为B P .DE ACBDE ACBF求证P＞A P.B解：（镜面反射法）延长BA至F, 使AF＝AC, 连FEAD为△ABC的角平分线, MN⊥AD知∠FAE＝∠CAE故有△FAE≌△CAE（SAS）故EF＝CE在△BEF中有： BE+EF>BF=BA+AF=BA+AC从而P B=BE+CE+BC>BF+BC=BA+AC+BC=P A例 2 如图, 在△ABC的边上取两点D、E, 且BD=CE, 求证：AB+AC>AD+AE.证明：取BC中点M,连AM并延长至N,使MN=AM,连BN,DN.∵BD=CE,∴DM=EM,∴△DMN≌△EMA(SAS),∴DN=AE,O ED CB A同理BN=CA.延长ND交AB于P,则BN+BP>PN,DP+PA>AD,相加得BN+BP+DP+PA>PN+AD,各减去DP,得BN+AB>DN+AD,∴AB+AC>AD+AE.四、借助角平分线造全等1、如图, 已知在△ABC中, ∠B=60°, △ABC的角平分线AD,CE相交于点O, 求证：OE=OD, DC+AE =AC证明(角平分线在三种添辅助线,计算数值法)∠B=60度,则∠BAC+∠BCA=120度;AD,CE均为角平分线,则∠OAC+∠OCA=60度=∠AOE=∠COD;∠AOC=120度.在AC上截取线段AF=AE,连接OF.又AO=AO;∠OAE=∠OAF.则⊿OAE≌ΔOAF(SAS),OE=OF;AE=AF;∠AOF=∠AOE=60度.则∠COF=∠AOC-∠AOF=60度=∠COD;又CO=CO;∠OCD=∠OCF.故⊿OCD≌ΔOCF(SAS),OD=OF;CD=CF. OE=ODDC+AE=CF+AF=AC.2、如图, △ABC 中, AD 平分∠BAC, DG ⊥BC 且平分BC, DE ⊥AB 于E, DF ⊥AC 于F.（1）说明BE=CF 的理由；（2）如果AB=a , AC=b , 求AE 、BE 的长.解：(垂直平分线联结线段两端)连接BD,DCDG 垂直平分BC, 故BD ＝DC由于AD 平分∠BAC, DE ⊥AB 于E, DF ⊥AC 于F, 故有 ED ＝DF故RT △DBE ≌RT △DFC （HL ） 故有BE ＝CF. AB+AC ＝2AE AE ＝（a+b ）/2 BE=(a-b)/2 应用：1、如图①, OP 是∠MON 的平分线, 请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形.请你参考这个作全等三角形的方法, 解答下列问题：E DGFC BA（1）如图②, 在△ABC 中, ∠ACB 是直角, ∠B =60°, AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线, AD 、CE 相交于点F .请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系；（2）如图③, 在△ABC 中, 如果∠ACB 不是直角, 而(1)中的其它条件不变, 请问, 你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立, 请证明；若不成立, 请说明理由. 解：（1）FE 与FD 之间的数量关系为FD FE = （2）答：（1）中的结论FD FE =仍然成立.证法一：如图1, 在AC 上截取AE AG =, 连结FG ∵21∠=∠, AF 为公共边, ∴AGF AEF ∆≅∆∴AFG AFE ∠=∠, FG FE =∵︒=∠60B , AD 、CE 分别是BAC ∠、BCA ∠∴︒=∠+∠6032∴︒=∠=∠=∠60AFG CFD AFE ∴︒=∠60CFG∵43∠=∠及FC 为公共边 ∴CFD CFG ∆≅∆ ∴FD FG = ∴FD FE =证法二：如图2, 过点F 分别作AB FG ⊥于点G , BC FH ⊥于点H ∵︒=∠60B , AD 、CE 分别是BAC ∠、BCA ∠(第23题图) OP A M N E B C D F AEF BD图①图②图③图 1FED CBA∴可得︒=∠+∠6032, F 是ABC ∆的内心 ∴160∠+︒=∠GEF , FG FH = 又∵1∠+∠=∠B HDF ∴HDF GEF ∠=∠ ∴可证DHF EGF ∆≅∆ ∴FD FE = 五、旋转例1 正方形ABCD 中, E 为BC 上的一点, F 为CD 上的一点, BE+DF=EF, 求∠EAF 的度数.证明：将三角形ADF 绕点A 顺时针旋转90度, 至三角形ABG则GE=GB+BE=DF+BE=EF 又AE=AE, AF=AG,所以三角形AEF 全即是AEG所以∠EAF=∠GAE=∠BAE+∠GAB=∠BAE+∠DAF 又∠EAF+∠BAE+∠DAF=90 所以∠EAF=45度例2 D 为等腰Rt ABC ∆斜边AB 的中点, DM ⊥DN,DM,DN 分别交BC,CA 于点E,F.(1)当MDN ∠绕点D 转动时, 求证DE=DF. (2)若AB=2, 求四边形DECF 的面积.解：(计算数值法)（1）连接DC,D为等腰Rt ABC∆斜边AB的中点, 故有CD⊥AB, CD＝DA CD平分∠BCA＝90°, ∠ECD＝∠DCA＝45°由于DM⊥DN, 有∠EDN＝90°由于 CD⊥AB, 有∠CDA＝90°从而∠CDE＝∠FDA＝故有△CDE≌△ADF（ASA）故有DE=DF（2）S△ABC=2, S四DECF= S△ACD=1例3 如图, ABC∆是等腰三角形, ∆是边长为3的等边三角形, BDC且060角, 使其两边分别交AB于120∠=, 以D为极点做一个0BDC点M, 交AC于点N, 连接MN, 则AMN∆的周长为；解：(图形补全法, “截长法”或“补短法”, 计算数值法) AC 的延长线与BD的延长线交于点F, 在线段CF上取点E, 使CE＝BM∵△ABC为等边三角形, △BCD为等腰三角形, 且∠BDC=120°,∴∠MBD=∠MBC+∠DBC=60°+30°=90°,∠DCE=180°-∠ACD=180°-∠ABD=90°,又∵BM=CE, BD=CD,∴△CDE ≌△BDM, ∴∠CDE=∠BDM, DE=DM,∠NDE=∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDM=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°, ∵在△DMN 和△DEN 中, DM=DE∠MDN=∠EDN=60° DN=DN ∴△DMN ≌△DEN, ∴MN=NE∵在△DMA 和△DEF 中, DM=DE∠MDA=60°- ∠MDB=60°- ∠CDE=∠EDF (∠CDE=∠BDM)∠DAM=∠DFE=30° ∴△DMN ≌△DEN (AAS), ∴MA=FEAMN ∆的周长为AN+MN+AM=AN+NE+EF=AF=6应用：1、已知四边形ABCD 中, AB AD ⊥, BC CD ⊥, AB BC =,120ABC =∠, 60MBN =∠, MBN ∠绕B 点旋转, 它的两边分别交AD DC ，（或它们的延长线）于E F ，．当MBN ∠绕B 点旋转到AE CF =时（如图1）, 易证AE CF EF +=．当MBN ∠绕B 点旋转到AE CF ≠时, 在图2和图3这两种情况下, 上述结论是否成立？若成立, 请给予证明；若不成立, 线段AE CF ，, EF 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想, 不需证明．解：（1）∵AD AB ⊥, CD BC ⊥, BC AB =, CF AE =∴CBF ABE ∆≅∆（SAS ）； ∴CBF ABE ∠=∠, BF BE =∵︒=∠120ABC , ︒=∠60MBN∴︒=∠=∠30CBF ABE , BEF ∆为等边三角形 ∴BF EF BE ==, BE AE CF 21==∴EF BE CF AE ==+（2）图2成立, 图3不成立.证明图2, 延长DC 至点K , 使AE CK =, 连接BK 则BCK BAE ∆≅∆∴BK BE =, KBC ABE ∠=∠ ∵︒=∠60FBE , ︒=∠120ABC ∴︒=∠+∠60ABE FBC ∴︒=∠+∠60KBC FBC ∴︒=∠=∠60FBE KBF ∴EBF KBF ∆≅∆ ∴EF KF =（图1） A B C D EF MN （图2）AB C DE F MN（图3）ABC DE F MNK ABCDE FMN图 2∴EF CF KC =+ 即EF CF AE =+图3不成立, AE 、CF 、EF 的关系是EF CF AE =- 2、（西城09年一模）已知以AB 为一边作正方形ABCD,使P 、D 两点落在直线AB 的两侧.(1)如图,当∠APB=45°时,求AB 及PD 的长;(2)当∠APB 变动,且其它条件不变时,求PD 的最年夜值,及相应∠APB 的年夜小.分析：（1）作辅助线, 过点A 作PB AE ⊥于点E , 在PAE Rt ∆中, 已知APE ∠, AP 的值, 根据三角函数可将AE , PE 的值求出, 由PB 的值, 可求BE 的值, 在ABE Rt ∆中, 根据勾股定理可将AB 的值求出；求PD 的值有两种解法, 解法一：可将PAD ∆绕点A 顺时针旋转︒90获得AB P '∆, 可得AB P PAD '∆≅∆, 求PD 长即为求B P '的长, 在P AP Rt '∆中, 可将P P '的值求出, 在B P P Rt '∆中, 根据勾股定理可将BP '的值求出；解法二：过点P 作AB 的平行线, 与DA 的延长线交于F , 交PB 于G , 在AEG Rt ∆中, 可求出AG , EG 的长, 进而可知PG 的值, 在PFG Rt ∆中, 可求出PF , 在PDF Rt ∆中, 根据勾股定理可将PD 的值求出；（2）将PAD ∆绕点A 顺时针旋转︒90, 获得AB P '∆, PD 的最年夜值即为B P '的最年夜值, 故当P '、P 、B 三点共线时, B P '取得最年夜值, 根据PBP P B P +'='可求BP '的最年夜值, 此时︒='∠-︒=∠135180P AP APB ．解：（1）①如图, 作PB AE ⊥于点E ∵PAE Rt ∆中, ︒=∠45APB , 2=PA∴()1222===PE AE∵4=PB∴3=-=PE PB BE在ABE Rt ∆中, ︒=∠90AEB ∴1022=+=BE AE AB②解法一：如图, 因为四边形ABCD 为正方形, 可将将PAD ∆绕点A 顺时针旋转︒90获得AB P '∆, , 可得AB P PAD '∆≅∆, B P PD '=, A P PA '=∴︒='∠90P PA , ︒='∠45P AP , ︒='∠90PB P ∴2='P P , 2=PA∴52422222=+=+'='=PB P P B P PD ；解法二：如图, 过点P 作AB 的平行线, 与DA 的延长线交于F , 设DA 的延长线交PB 于G ．在AEGRt ∆中, 可得310cos cos =∠=∠=ABE AE EAG AE AG ,31=EG ,32=-=EG PE PG 在PFG Rt ∆中, 可得510cos cos =∠=∠=ABE PG FPG PG PF , 1510=FG在PDF Rt ∆中, 可得（2）如图所示, 将PAD ∆绕点A 顺时针旋转︒90,获得AB P '∆, PD 的最年夜值, 即为B P '的最年夜值∵B P P '∆中, PB P P B P +'' , 22=='PA P P , 4=PB 且P 、D 两点落EPA DCBP ′PA CBD EG F P A CBDEP ′PACBDP ′PACBD在直线AB 的两侧∴当P '、P 、B 三点共线时, B P '取得最年夜值（如图）此时6=+'='PB P P B P , 即B P '的最年夜值为6此时︒='∠-︒=∠135180P AP APB3、在等边ABC ∆的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N, D 为ABC 外一点, 且︒=∠60MDN ,︒=∠120BDC ,BD=DC. 探究：当M 、N分别在直线AB 、AC 上移动时, BM 、NC 、MN 之间的数量关系及AMN ∆的周长Q与等边ABC ∆的周长L 的关系．图1 图 2图3（I ）如图1, 当点M 、N 边AB 、AC 上, 且DM=DN 时, BM 、NC 、MN 之间的数量关系是； 此时=LQ； （II ）如图2, 点M 、N 边AB 、AC 上, 且当DM ≠DN 时, 猜想（I ）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（III ） 如图3, 当M 、N 分别在边AB 、CA 的延长线上时, 若AN=x , 则Q=（用x 、L 暗示）．分析：（1）如果DN DM =, DNM DMN ∠=∠, 因为DC BD =, 那么︒=∠=∠30DCB DBC , 也就有︒=︒+︒=∠=∠903060NCD MBD , 直角三角形MBD 、NCD 中, 因为DC BD =, DN DM =, 根据HL 定理, 两三角形全等.那么NC BM =, ︒=∠=∠60DNC BMD , 三角形NCD 中, ︒=∠30NDC ,NC DN 2=, 在三角形DNM 中, DN DM =, ︒=∠60MDN , 因此三角形DMN 是个等边三角形, 因此BM NC NC DN MN +===2, 三角形AMN 的周长=++=MN AN AM QAB AC AB NC MB AN AM 2=+=+++, 三角形ABC 的周长AB L 3=, 因此3:2:=L Q ．（2）如果DN DM ≠, 我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换.延长AC 至E , 使BM CE =, 连接DE ．（1）中我们已经得出,︒=∠=∠90NCD MBD , 那么三角形MBD 和ECD 中, 有了一组直角,CEMB =,DCBD =, 因此两三角形全等, 那么DEDM =,CDE BDM ∠=∠, ︒=∠-∠=∠60MDN BDC EDN ．三角形MDN 和EDN 中, 有DE DM =, ︒=∠=∠60MDN EDN , 有一条公共边, 因此两三角形全等, NE MN =, 至此我们把BM 转换成了CE , 把MN 转换成了NE , 因为CE CN NE +=, 因此CN BM MN +=．Q与L 的关系的求法同（1）, 得出的结果是一样的.（3）我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换, 思路同（2）过D 作MDB CDH ∠=∠, 三角形BDM 和CDH 中, 由（1）中已经得出的︒=∠=∠90MB DCH , 我们做的角CDH BDM ∠=∠, CD BD =, 因此两三角形全等（ASA ）．那么CH BM =, DH DM =, 三角形MDN 和NDH 中, 已知的条件有DH MD =, 一条公共边ND , 要想证得两三角图 1N MAD CB形全等就需要知道HDNMDN ∠=∠, 因为MDBCDH ∠=∠, 因此︒=∠=∠120BDC MDH , 因为︒=∠60MDN , 那么︒-︒=∠60120NDH︒=60, 因此NDH MDN ∠=∠, 这样就构成了两三角形全等的条件．三角形MDN 和DNH 就全等了．那么BM AC AN NH NM -+==, 三角形AMN 的周长+++=++=BM AB AN MN AM AN QAB AN BM AC AN 22+=-+．因为x AN =, L AB 31=, 因此三角形AMN 的周长L x Q 322+=．解：（1）如图1, BM 、NC 、MN 之间的数量关系：MN NC BM =+；此时32=L Q ． （2）猜想：结论仍然成立．证明：如图2, 延长AC 至E , 使BM CE =, 连接DE∵CD BD =, 且︒=∠120BDC ∴︒=∠=∠30DCB DBC 又ABC ∆是等边三角形 ∴︒=∠=∠90NCD MBD 在MBD ∆与ECD ∆中 ∴ECD MBD ∆≅∆（SAS ） ∴DE DM =, CDE BDM ∠=∠ ∴︒=∠-∠=∠60MDN BDC EDN 在MDN ∆与EDN ∆中 ∴EDN MDN ∆≅∆（SAS ） ∴BM NC NE MN +==E图 2 NMAD C B H 图 3NMAD CB故AMN∆的周长=++=MN AN AM Q ()()AB AC AB NC AN BM AM 2=+=+++而等边ABC ∆的周长AB L 3= ∴3232==ABAB LQ（3）如图3, 当M 、N 分别在AB 、CA 的延长线上时, 若x AN =, 则L x Q 322+=（用x 、L 暗示）．点评：本题考查了三角形全等的判定及性质；题目中线段的转换都是根据全等三角形来实现的, 当题中没有明显的全等三角形时, 我们要根据条件通过作辅助线来构建于已知和所求条件相关的全等三角形.。
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三角形中的常用辅助线课程解读一、学习目标：归纳、掌握三角形中的常见辅助线二、重点、难点：1、全等三角形的常见辅助线的添加方法。
2、掌握全等三角形的辅助线的添加方法并提高解决实际问题的能力。
三、考点分析：全等三角形是初中数学中的重要内容之一，是今后学习其他知识的基础。
判断三角形全等的公理有SAS、ASA、AAS、SSS和HL，如果所给条件充足，则可直接根据相应的公理证明，但是如果给出的条件不全，就需要根据已知的条件结合相应的公理进行分析，先推导出所缺的条件然后再证明。
一些较难的证明题要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了。
典型例题人说几何很困难，难点就在辅助线。
辅助线，如何添？把握定理和概念。
还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。
全等三角形辅助线找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；（3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。
三角形中常见辅助线的作法：①延长中线构造全等三角形；②利用翻折，构造全等三角形；③引平行线构造全等三角形；④作连线构造等腰三角形。
常见辅助线的作法有以下几种：（1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。
例1：如图，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。
求证：BD=2CE。
思路分析：1）题意分析：本题考查等腰三角形的三线合一定理的应用2）解题思路：要求证BD=2CE，可用加倍法，延长短边，又因为有BD平分∠ABC的条件，可以和等腰三角形的三线合一定理结合起来。
解答过程：证明：延长BA，CE交于点F，在ΔBEF和ΔBEC中，∵∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°，∴ΔBEF≌ΔBEC，∴EF=EC，从而CF=2CE。
又∠1+∠F=∠3+∠F=90°，故∠1=∠3。
在ΔABD和ΔACF中，∵∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，∴ΔABD≌ΔACF，∴BD=CF，∴BD=2CE。
解题后的思考：等腰三角形“三线合一”性质的逆命题在添加辅助线中的应用不但可以提高解题的能力，而且还加强了相关知识点和不同知识领域的联系，为同学们开拓了一个广阔的探索空间；并且在添加辅助线的过程中也蕴含着化归的数学思想，它是解决问题的关键。
（2）若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。
例2：如图，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。
求证：ΔABC是等腰三角形。
思路分析：1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识。
2）解题思路：在证明三角形的问题中特别要注意题目中出现的中点、中线、中位线等条件，一般这些条件都是解题的突破口，本题给出了AD又是BC边上的中线这一条件，而且要求证AB=AC，可倍长AD得全等三角形，从而问题得证。
解答过程：证明：延长AD到E，使DE=AD，连接BE。
又因为AD是BC边上的中线，∴BD=DC又∠BDE=∠CDAΔBED≌ΔCAD，故EB=AC，∠E=∠2，∵AD是∠BAC的平分线∴∠1=∠2，∴∠1=∠E，∴AB=EB，从而AB=AC，即ΔABC是等腰三角形。
解题后的思考：题目中如果出现了三角形的中线，常加倍延长此线段，再将端点连结，便可得到全等三角形。
（3）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。
例3：已知，如图，AC平分∠BAD，CD=CB，AB>AD。
求证：∠B+∠ADC=180°。
思路分析：1）题意分析：本题考查角平分线定理的应用。
2）解题思路：因为AC是∠BAD的平分线，所以可过点C作∠BAD的两边的垂线，构造直角三角形，通过证明三角形全等解决问题。
解答过程：证明：作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F。
∵AC平分∠BAD，∴CE=CF。
在Rt△CBE和Rt△CDF中，∵CE=CF，CB=CD，∴Rt△CBE≌Rt△CDF，∴∠B=∠CDF，∵∠CDF+∠ADC=180°，∴∠B+∠ADC=180°。
解题后的思考：①关于角平行线的问题，常用两种辅助线；②见中点即联想到中位线。
（4）过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”例4：如图，ΔABC中，AB=AC，E是AB上一点，F是AC延长线上一点，连EF 交BC于D，若EB=CF。
求证：DE=DF。
思路分析：1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：作平行线。
2）解题思路：因为DE、DF所在的两个三角形ΔDEB与ΔDFC不可能全等，又知EB=CF，所以需通过添加辅助线进行相等线段的等量代换：过E作EG//CF，构造中心对称型全等三角形，再利用等腰三角形的性质，使问题得以解决。
解答过程：证明：过E作EG//AC交BC于G，则∠EGB=∠ACB，又AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠EGB，∴∠EGD=∠DCF，∴EB=EG=CF，∵∠EDB=∠CDF，∴ΔDGE≌ΔDCF，∴DE=DF。
解题后的思考：此题的辅助线还可以有以下几种作法：例5：△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。
思路分析：1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：作平行线。
2）解题思路：本题要证明的是AB+BP=BQ+AQ。
形势较为复杂，我们可以通过转化的思想把左式和右式分别转化为几条相等线段的和即可得证。
可过O作BC的平行线。
得△ADO≌△AQO。
得到OD=OQ，AD=AQ，只要再证出BD=OD就可以了。
解答过程：证明：如图（1），过O作OD∥BC交AB于D，∴∠ADO=∠ABC=180°－60°－40°=80°，又∵∠AQO=∠C+∠QBC=80°，∴∠ADO=∠AQO，又∵∠DAO=∠QAO，OA=AO，∴△ADO≌△AQO，∴OD=OQ，AD=AQ，又∵OD∥BP，∴∠PBO=∠DOB，又∵∠PBO=∠DBO，∴∠DBO=∠DOB，∴BD=OD，又∵∠BPA=∠C+∠PAC=70°，∠BOP=∠OBA+∠BAO=70°，∴∠BOP=∠BPO，∴BP=OB，∴AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。
解题后的思考：（1）本题也可以在AB上截取AD=AQ，连OD，构造全等三角形，即“截长法”。
（2）本题利用“平行法”的解法也较多，举例如下：①如图（2），过O作OD∥BC交AC于D，则△ADO≌△ABO从而得以解决。
④如图（5），过P作PD∥BQ交AC于D，则△ABP≌△ADP从而得以解决。
小结：通过一题的多种辅助线添加方法，体会添加辅助线的目的在于构造全等三角形。
而不同的添加方法实际是从不同途径来实现线段的转移的，体会构造的全等三角形在转移线段中的作用。
从变换的观点可以看到，不论是作平行线还是倍长中线，实质都是对三角形作了一个以中点为旋转中心的旋转变换构造了全等三角形。
（5）截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。
这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。
例6：如图甲，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB。
求证：CD=AD+BC。
思路分析：1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：截长法或补短法。
2）解题思路：结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CB，只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的。
解答过程：证明：在CD上截取CF=BC，如图乙∴△FCE≌△BCE（SAS），∴∠2=∠1。
又∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD=180°，∴∠DCE+∠CDE=90°，∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4。
在△FDE与△ADE中，∴△FDE≌△ADE（ASA），∴DF=DA，∵CD=DF+CF，∴CD=AD+BC。
解题后的思考：遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长法或补短法：截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。
1）对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法将其放在一个三角形中证明。
2）在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证明不出来，可连接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明。
小结：三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
线段和差及倍半，延长缩短可试验。
线段和差不等式，移到同一三角形。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
预习导学下一讲我们就要进入八下的学习了，八下的第一章是分式。
请同学们预习课本，并思考以下问题。
1、分式的概念是什么？2、分式的乘除法的运算法则是什么？同步练习（答题时间：90分钟）这几道题一定要认真思考啊，都是要添加辅助线的，开动脑筋好好想一想吧！加油！你一定行！1、已知，如图1，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC。
求证：∠BAD+∠BCD=180°。
2、已知，如图2，∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，AB+BC=2BD。
求证：∠BAP+∠BCP=180°。
3、已知，如图3，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2。
求证：AB=AC+CD。
试题答案1、分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的角通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长法或补短法”来实现。