数值分析资料报告综述资料报告材料

淮阴工学院

《数值分析》考试

──基于Matlab的方法综合应用报告

班级：金融1121 姓名：婷婷

学号： 1124104129

成绩：

数 理 学 院

2014年6月7日

《数值分析》课程综述报告

前言：

数值分析也称计算方法，它与计算工具的发展密切相关。数值分析是一门为科学计算提供必需的理论基础和有效、实用方法的数学课程，它的任务是研究求解各类数学问题的数值方法和有关的理论。 正文：

第一章 近似计算与误差分析

1、产生误差的原因：①模型误差；②观测误差；③截断误差；④舍入误差。

2、四则运算的误差： ①加减法运算

()()()

****x y x y δδδ±=+

②乘法运算

()()()

******

***

******xy x y xy xy xy x y x y y y x x x y x y y x δδδ-=-+-≤-+-⇒=+

③ 除法运算：

()()()

()

()

*****

*******

*

*

**

*

*

*

*

*

*2

**

x x xy x y y y yy xy x y x y x y

yy x x y

y y x yy x y

y x

x y y δδ

δ--=-+-=-+-=

+⎛⎫

⇒≈

⎪⎝⎭

3、科学表示法、有效数字、近似值的精度 任何一个实数都可以表示成如下的形式：

其中：是正整数，是整数，

如果是数的近似值

并且

则称该近似值具有位有效数字（significant digit ）。 此时，该近似值的相对误差为

另一方面，若已知

()()

*111

1021n

r x a δ-≤

+

那么，

()()***1112110.10

211

102

r m n n m n x x x x a a a a δ----≤⨯=+≤

即：*x 至少有n 位有效数字。 例： 3.141592653589793...π= 取其近似值如下： x*=3.14 x *

=3.14159 x*=3.1415 x*=3.141

**213

100.314

110.0016...0.005101022

x x π--=⨯-=<=⨯=⨯

**516

100.314159

110.0000026...0.000005101022

x x π--=⨯-=<=⨯=⨯

*

*314

100.31415

110.000092...0.0001101022

x x π--=⨯-=<<⨯=⨯

*

*213

100.3141

110.00059...0.00110102

2

x x π--=⨯-=<<⨯=⨯

第二章 线性方程组

在科学计算中，问题的本身就是求解线性方程组，许多问题的求解需要最后也归结为线性方程组的求解，所以线性方程组的求解是科学计算中最常见的问题。

对于线性方程组的求解一般有两种方法：（1) 直接法：高斯消去法；（2) 间接法：各种迭代法。 (1) 高斯消去法：

①求解思路：先消元，即按一定的规律逐步消去未知量，将方程组Ax B =化为等价的上（或下）三角形方程组；然后进行回代，即由上三角形方程组逐个求出；

②高斯（列、全）主元素消去法,及在消元的每一步选取（列）主元素——列中绝对值最大的元取做主元素，计算步骤：⑴消元过程：按列选主元、行交换、消元计算；⑵回代过程； ③高斯列主元素消去法的MATLAB 实现：。

第三章 解线性方程组的迭代法

通常逆矩阵不易求得，特别是对于大型的线性方程组，需要用迭代法求解。

用迭代法求解线性方程组，要把线性方程组写成等价的形式，右边写为迭代格式，如：

k

b

x k A k x b x k A b kx Ax kx b Mx b x E A b x Ax x b Mx x b Ax E E n n ++=

∴++=++=⇒+=++=++=⇒+=⇒-=)(1)()(

2、关于迭代法收敛性的两个重要结论： ①充分必要条件是：矩阵的谱半径

()1

M ρ<；

②充分条件是：矩阵M 的某个算子数

1

M <。

3、线性方程组的迭代法主要有Jacobian 迭代法，Gauss-Seidel 迭代法。 ①Jacobian 迭代法:

()()(

)

()()

()

11111

k k Ax b D L U x

b

A D L U

Dx L U x b x D L U x D b

M D L U f D b

+----=⎧

⇒--=⎨

=--⎩⇒=++⇒=++⎧=+⇒⎨=⎩

②Gauss-Seidel 迭代法:

()(

)

()(

)

()()()11

11

1

k k Ax b D L x Ux b A D L U x D L Ux D L b

M D L U f D L b

--+--=⎧

⇒-=+⎨

=--⎩=-+-=-⇒

=- (3.7)

③Jacobian 迭代法与G-S 迭代法比较：

()()()()

()()()()()1111112112211111121112100

00

00000000k k k k k k n nn n n k n k n n k n x x a x x D a a x x x a a x D D b

a x ++++-++----⎛⎫⎛⎫⎡⎤ ⎪ ⎪⎢⎥- ⎪ ⎪⎢⎥= ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪--⎣⎦⎝⎭⎝⎭

⎛⎫--⎡⎤ ⎪

⎢⎥ ⎪⎢⎥++ ⎪-⎢⎥ ⎪⎢⎥ ⎪⎣

⎦⎝⎭

（3.8） 式（3.7）和 (3.8) 表明：Gauss-Seidel 迭代法在计算第1k

+次迭代的第i 个分量()1k i

x +时，

及时地利用了在此步迭代中得到的新的迭代值：()1k j

x +，

1,2,

,1j i =-，由于第1k +步的迭

代值通常比第k 步的迭代值更接近方程组的精确解，所以，在Jacobian 迭代法和GS 迭代法都收敛的情况下，Gauss-Seidel 迭代法的收敛速度比Jacobian 迭代法的收敛速度高。

例题：用MATLAB 函数normrdn 生成5阶矩阵M 和向量b 分别构造线性方程组Ax b =的Jacobi 迭代格式和G-S 迭代格式，并判断收敛性。

Jacobian 迭代法和GS 迭代法程序如下：