数值分析资料报告综述资料报告材料
数值分析报告报告材料(计算方法)地的总结
第一章 绪论误差来源：模型误差、观测误差、截断误差（方法误差）、舍入误差ε(x )=|x −x ∗|是x ∗的绝对误差，e =x ∗−x 是x ∗的误差，ε(x )=|x −x ∗|≤ε，ε为x ∗的绝对误差限（或误差限） e r =ex =x ∗−x x为x ∗ 的相对误差，当|e r |较小时，令 e r =ex ∗=x ∗−x x ∗相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为：εr 即：|e r |=|x ∗−x||x ∗|≤ε|x ∗|=εr绝对误差有量纲，而相对误差无量纲若近似值x ∗的绝对误差限为某一位上的半个单位，且该位直到x ∗的第一位非零数字共有n 位，则称近似值 x ∗有n 位有效数字，或说 x ∗精确到该位。
例：设x=π=3.1415926…那么x ∗=3,ε1(x )=0.1415926…≤0.5×100,则x ∗有效数字为1位，即个位上的3，或说 x ∗精确到个位。
科学计数法：记x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m (其中a 1≠0),若|x −x ∗|≤0.5×10m−n ，则x ∗有n 位有效数字，精确到10m−n 。
由有效数字求相对误差限：设近似值x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m （a 1≠0）有n 位有效数字，则其相对误差限为12a 1×101−n由相对误差限求有效数字：设近似值x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m （a 1≠0）的相对误差限为为12（a 1+1）×101−n 则它有n 位有效数字令x ∗、y ∗是x 、y 的近似值，且|x ∗−x|≤η(x )、|y ∗−y|≤η(y)1. x+y 近似值为x ∗+y ∗,且η(x +y )=η(x )+η（y ）和的误差（限）等于误差（限）的和 2. x-y 近似值为x ∗−y ∗,且η(x +y )=η(x )+η（y ） 3. xy 近似值为x ∗y ∗,η(xy )≈|x ∗|∗η(y )+|y ∗|∗η(x) 4. η(xy )≈|x ∗|∗η(y )+|y ∗|∗η(x)|y ∗|21．避免两相近数相减2．避免用绝对值很小的数作除数 3．避免大数吃小数 4．尽量减少计算工作量 第二章 非线性方程求根1.逐步搜索法设f (a ) <0, f (b )> 0，有根区间为 (a , b )，从x 0=a 出发， 按某个预定步长(例如h =(b -a )/N )一步一步向右跨，每跨一步进行一次根的搜索，即判别f (x k )=f (a +kh )的符号，若f (x k )>0(而f (x k -1)<0),则有根区间缩小为[x k -1,x k ] (若f (x k )=0，x k 即为所求根), 然后从x k -1出发，把搜索步长再缩小，重复上面步骤，直到满足精度：|x k -x k -1|< 为止，此时取x *≈(x k +x k -1)/2作为近似根。
数值分析综述报告
淮阴工学院《数值分析》考试──基于Matlab的方法综合应用报告班级：金融1121姓名：姚婷婷学号：1124104129成绩：数理学院2014年6月7日《数值分析》课程综述报告前言：数值分析也称计算方法，它与计算工具的发展密切相关。
数值分析是一门为科学计算提供必需的理论基础和有效、实用方法的数学课程，它的任务是研究求解各类数学问题的数值方法和有关的理论。
正文：第一章 近似计算与误差分析1、产生误差的原因：①模型误差；②观测误差；③截断误差；④舍入误差。
2、四则运算的误差： ①加减法运算()()()****x y x y δδδ±=+②乘法运算()()()***************xy x y xy xy xy x y x y y y x x x y x y y x δδδ-=-+-≤-+-⇒=+③ 除法运算：()()()()()**********************2**x x xy x y y y yy xy x y x y x yyy x x yy y x yy x y y x x y y δδδ--=-+-=-+-=+⎛⎫⇒≈⎪⎝⎭3、科学表示法、有效数字、近似值的精度 任何一个实数都可以表示成如下的形式：其中：是正整数，是整数，如果是数的近似值并且则称该近似值具有位有效数字（significant digit ）。
此时，该近似值的相对误差为另一方面，若已知()()*1111021nr x a δ-≤+那么，()()***1112110.10211102r m n n m n x x x x a a a a δ----≤⨯=+≤即：*x 至少有n 位有效数字。
例： 3.141592653589793...π= 取其近似值如下： x*=3.14 x * =3.14159 x*=3.1415 x*=3.141**213100.314110.0016...0.005101022x x π--=⨯-=<=⨯=⨯**516100.314159110.0000026...0.000005101022x x π--=⨯-=<=⨯=⨯**314100.31415110.000092...0.0001101022x x π--=⨯-=<<⨯=⨯**213100.3141110.00059...0.001101022x x π--=⨯-=<<⨯=⨯第二章 线性方程组在科学计算中，问题的本身就是求解线性方程组，许多问题的求解需要最后也归结为线性方程组的求解，所以线性方程组的求解是科学计算中最常见的问题。
数值分析报告
实验报告一、对列表函数的计算【开发语言及实现平台或实验环境】C++/C#1.实验目的（1）掌握拉格郎日插值多项式的用法，适用范围及精确度。
（2）掌握牛顿插值多项式的用法，适用范围及精确度。
（3）掌握埃特金插值多项式的用法，适用范围及精确度。
2.算法思想(1)拉格朗日插值算法已知函数y=f(x)在n+1个不同的点x0 ,x1,…,x2上的函数值分别为y0 ,y1,…,y n ,求一个次数不超过n的多项式P n (x),使其满足:P n (x i )=y i, (i=0,1,…,n),即n+1个不同的点可以唯一决定一个n次多项式。
①插值基函数过n+1个不同的点分别决定n+1个n次插值基函数l0 (x),l1(x),…,l n (X)每个插值基本多项式l i (x)满足：a. l i (x)是n次多项式;b. l i (x i )=1,而在其它n个l i (x k)=0 ,(k≠i)。
由于l i (x k)=0 ,(k≠i), 故有因子:(x-x0)…(x-x i-1 )(x-x i+1)…(x-x n )因其已经是n次多项式，故而仅相差一个常数因子。
令:l i (x)=a(x-x0)…(x-x i-1 )(x-x i+1)…(x-x n )由l i (x i )=1,可以定出a, 进而得到：②n次拉格朗日型插值多项式P n (x)P n (x)是n+1个n次插值基本多项式l0 (x),l1(x),…,l n (X)的线性组合,相应的组合系数是y0 ,y1,…,y n。
即:P n (x)=y0 l0 (x)+y1 l1(x)+…+y n l n (x),从而P n (x)是一个次数不超过n的多项式,且满足P n (x i )=y i, (i=0,1,2,…,n).(2)牛顿插值算法牛顿插值是基于下面这些的公式：f[x0,x1,...xk]=(f[x1,...xk]-f[x0,...xk-1])/(xk-x0)f[x]=f(x)f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0)...(x-xn-1)+Rn( x)前两个是均差的递推关系式，而后一个就是牛顿插值公式，其中N(x)=f(x)-Rn(x)，即目标多项式，Rn(x)是n阶插值余项，我们就是用N(x)去近似f(x)。
关于《数学分析》教学内容改革的研究综述
3、实践教学的加强
实践教学是《数值分析》课程教学改革的一个重要环节。通过实践教学，可 以让学生更好地理解和掌握数值分析的知识和技能，同时也可以培养学生的实践 能力和创新精神。因此，教师应该适当增加实践教学的比重，开展一些与实际生 活相关的实践活动，让学生积极参与其中，从而提高他们的实践能力和综合素质。
参考内容
一、引言
《数值分析》是数学学科中的一门重要课程，它主要研究的是如何利用数值 方法解决实际问题中遇到的数学问题。随着科技的发展和社会的进步，数值分析 在工程、科学、经济等领域的应用越来越广泛，因此，《数值分析》课程的教学 也变得越来越重要。然而，传统的《数值分析》课程教学方式往往偏重于理论教 学，缺乏实际操作和实践教学，导致学生难以理解和掌握该门课程。因此，对 《数值分析》课程进行教学改革势在必行。
一些学者对《数学分析》教学内容改革进行了实验研究或实证分析，以检验 其有效性和可行性。这些研究结果表明，经过教学内容的改革，学生的数学应用 能力、创新能力和综合素质均得到了显著提高。然而，这些研究也存在不足之处， 如研究样本较小，缺乏长期追踪调查等，因此需要进一步加以验证和完善。
总体而言，《数学分析》教学内容改革已经取得了一定的成果，但仍存在诸 多不足之处需要进一步探讨和研究。例如，如何将数学建模和数学实验等内容更 加有效地融入到《数学分析》教学中，如何针对不同层次的学生制定更加科学合 理的教学内容等，都是值得深入研究的问题。
2、教学内容改革现状
教学内容的改革是《数学分析》教学改革的核心。目前，许多学者从不同角 度对《数学分析》教学内容进行了改革。例如，有些学者提出将微积分、线性代 数和概率学生的综合数学素 养；还有些学者尝试将数学史和数学文化等内容引入《数学分析》课堂，以激发 学生的学习兴趣和创新精神。
数值分析实验报告5篇
误差分析实验1.1（问题）实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”与“坏”之别。
对数值方法的研究而言，所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者，反之属于好问题。
通过本实验可获得一个初步体会。
数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。
病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。
问题提出：考虑一个高次的代数多项式)1.1()()20()2)(1()(201∏=-=---=k k x x x x x p显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个，且每个根都是单重的。
现考虑该多项式的一个扰动)2.1(0)(19=+x x p ε其中ε是一个非常小的数。
这相当于是对（1.1）中19x 的系数作一个小的扰动。
我们希望比较（1.1）和（1.2）根的差别，从而分析方程（1.1）的解对扰动的敏感性。
实验内容：为了实现方便，我们先介绍两个Matlab 函数：“roots ”和“poly ”。
roots(a)u =其中若变量a 存储n+1维的向量，则该函数的输出u 为一个n 维的向量。
设a 的元素依次为121,,,+n a a a ，则输出u 的各分量是多项式方程01121=+++++-n n n n a x a x a x a的全部根；而函数poly(v)b =的输出b 是一个n+1维变量，它是以n 维变量v 的各分量为根的多项式的系数。
可见“roots ”和“poly ”是两个互逆的运算函数。
;000000001.0=ess );21,1(zeros ve = ;)2(ess ve =))20:1((ve poly roots +上述简单的Matlab 程序便得到（1.2）的全部根，程序中的“ess ”即是（1.2）中的ε。
实验要求：（1）选择充分小的ess ，反复进行上述实验，记录结果的变化并分析它们。
《数值分析》实验研究报告
《数值分析》实验报告册
姓名:
学号:
专业:
年级:
武汉科技大学理学院
信息与计算科学系
学年第学期
说明：
1、实验目的要写清楚为什么要做这个实验，其目的是什么，做完这个实验要达到什么
结果，实验的注意事项是什么等；
2、实验题目一栏要填写清楚具体的实验题目；
3、实验原理要将实验所涉及的基础理论、算法原理详尽列出；
4、实验内容列出实验的实施方案、步骤、数据准备、算法流程图以及可能用到的实验
设备（硬件和软件）；
5、实验结果应包括实验的原始数据、中间结果及最终结果，复杂的结果可用表格或图
形形式实现，较为简单的结果可以与实验结果分析合并出现；
6、实验结果分析要对实验的结果进行认真的分析，进一步明确实验所涉及的算法的优
缺点和使用范围，要求实验结果应能在计算机上实现或演示，由实验者独立编程实现，程序清单以附录的形式给出；
7、报告填写用“宋体”（小四）格式字体。
实验一
实验二
实验三
实验四
1111
4
5335 111⎥⎥⎥
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⎥
⎥
实验五 14114⎥⎥--⎥⎥-⎦ 55⎥⎥⎥⎥⎦。
数值分析报告
数值分析报告介绍数值分析是一种通过使用数学方法和计算机算法来解决实际问题的方法。
它在各种领域中都有应用，例如物理学、金融、工程学等。
本报告将介绍数值分析的一些基本原理和常见算法，并讨论其在实际问题中的应用。
数值分析的基本原理数值分析的基本原理是利用数学方法和计算机算法来近似解决实际问题。
它通过将实际问题转化为数学模型，并使用数值算法来求解模型，从而得到问题的近似解。
其中，数值算法是指一系列数值计算的步骤，通过从初始估计开始，反复迭代求解，最终得到问题的近似解。
数值分析的基本原理包括以下几个方面：•数学模型的建立：通过将实际问题转化为数学模型，将问题的各个要素表示为数学公式或方程式。
•迭代求解方法：使用迭代方法来逐步求解数学模型，通过逐步逼近问题的近似解。
•误差控制和收敛性：通过控制迭代过程的误差，并验证结果是否收敛到问题的解。
•稳定性分析：分析算法的稳定性，即算法对输入数据的变化是否敏感。
常见的数值算法1. 牛顿迭代法牛顿迭代法是一种用于求解方程的方法，它通过迭代逼近方程的解。
具体步骤如下：1.选择一个初始估计值。
2.使用初始估计值计算函数的导数。
3.使用导数和函数值计算新的估计值。
4.使用新的估计值重复步骤2和3，直到达到指定的精度要求。
牛顿迭代法通常收敛速度很快，但需要选择一个合适的初始估计值。
2. 高斯消元法高斯消元法是一种用于求解线性方程组的方法，它通过将方程组转化为矩阵形式，并使用消元和回代的方式求解。
具体步骤如下：1.将线性方程组写成矩阵形式。
2.使用行变换将矩阵转化为上三角矩阵。
3.使用回代法求解上三角矩阵得到方程组的解。
高斯消元法可以求解任意大小的线性方程组，但计算复杂度较高。
3. 插值算法插值算法是一种用于构造函数的方法，它通过已知的数据点来估计未知数据点的值。
常用的插值算法有线性插值、拉格朗日插值和样条插值等。
其中，线性插值是一种简单的插值方法，它基于已知的两个数据点，通过线性函数来估计未知数据点的值。
数值分析总结汇报
数值分析总结汇报数值分析总结汇报数值分析是一门研究使用数值方法处理数学问题的学科，它在现代科学和工程领域中具有广泛的应用。
在这份汇报中，我将对我在数值分析课程中学到的知识和技能进行总结和归纳，同时分享我对该领域的理解和见解。
首先，在数值分析的学习过程中，我明白了数值方法是为了解决实际问题而发展起来的一套数学方法。
它利用数学模型和算法来近似求解复杂的数学问题，如线性方程组的求解、非线性方程的求根、数值积分和微分方程的数值解等。
我学会了根据实际问题的特点选择合适的数值方法，并利用计算机编程实现求解过程。
其次，我学会了如何对数值方法的误差进行分析和估计。
在数值计算中，存在着舍入误差和截断误差。
舍入误差是由于计算机只能表示有限位数的数字而导致的误差，而截断误差是由于应用了一些近似方法而产生的误差。
我学会了如何通过误差分析来评估数值方法的准确性和可靠性，并了解了误差的传播规律和控制方法。
另外，我在数值分析课程中还学习了数值线性代数的基本理论和方法。
线性代数在数值分析中起着重要的作用，它不仅可以用于描述和分析线性方程组的解空间，还可以应用于矩阵分解、特征值和特征向量的计算等问题。
我学会了使用高斯消元法、LU分解、QR分解等方法来求解线性方程组，并理解了这些方法的原理和应用条件。
此外，数值积分和数值微分也是数值分析的重要内容之一。
在数值积分方面，我学会了使用梯形公式、辛普森公式和龙贝格公式等方法进行复杂函数的数值积分，并了解了数值积分的收敛性和误差估计。
在数值微分方面，我掌握了前向差分、中心差分和后向差分等方法来计算函数的导数，并了解了数值微分的稳定性和收敛性。
最后，数值分析在实际问题中有着广泛的应用。
它可以用于求解工程问题、经济问题、物理问题等领域中的数学模型。
例如，利用有限元法可以求解结构力学中的应力、应变分布；利用数值模拟可以研究流体力学中的流动和传热问题。
我认识到数值分析是一种强有力的工具，可以帮助科学家和工程师解决很多实际问题。
数值模拟报告(DOC)
数值模拟报告(DOC)第一部分：数值模拟技术研究文献综述浅析数值模拟技术1．引言近年来，随着我国大规模地进行“西部大开发”和“南水北调”等巨型工程，越来越多的岩土工程难题摆在我们面前，单纯依靠经验、解析法显然已不能有效指导工程问题的解决，迫切需要更强有力的分析手段来进行这些问题的研究和分析。
自R.W. Clough 上世纪60年代末首次将有限元引入某土石坝的稳定性分析以来，数值模拟技术在岩土工程领域取得了巨大的进步，并成功解决了许多重大工程问题。
特别是个人电脑的普及及计算性能的不断提高，使得分析人员在室内进行岩土工程数值模拟成为可能。
在这样的背景下，数值模拟特别是三维数值模拟技术逐渐成为当前中国岩土工程研究和设计的主流方法之一，也使得岩土工程数值模拟技术成为当今高校和科研院所岩土工程专业学生学习的一个热点。
采用大型通用软件对岩土工程进行数值模拟计算，在目前已成为项目科研、工程设计、风险评估等岩土类项目的必须，学习和掌握Ansys、FLAC3D、UDEC 等数值计算软件已成为学校、科研院所对工程从业人员的基本要求。
数值模拟方法主要有限元法、边界元法、加权余量法、半解析元法、刚体元法、非连续变形分析法、离散元法、无界元法和流形元法等，各种方法都有其对应的软件。
2.数值模拟的发展趋势可以说, 继理论分析和科学试验之后, 数值模拟已成为科学技术发展的主要手段之一。
随着软件技术和计算机技术的发展, 目前国际上数值模拟软件发展呈现出以下一些趋势：（1）. 由二维扩展为三维。
早期计算机的能力十分有限，受计算费用和计算机储存能力的限制，数值模拟程序大多是一维或二维的，只能计算垂直碰撞或球形爆炸等特定问题。
随着第三代、第四代计算机的出现, 才开始研制和发展更多的三维计算程序。
现在，计算程序一般都由二维扩展到了三维，如LS-DYNA2D和LS - DYNA3D、AUTODYN2D 和AUTO-DYN3D。
（2）.从单纯的结构力学计算发展到求解许多物理场问题。
数值分析综述报告
淮阴工学院《数值分析》考试──基于Matlab的方法综合应用报告班级：金融1121 姓名：婷婷学号： 1124104129成绩：数理学院2014年6月7日《数值分析》课程综述报告前言：数值分析也称计算方法，它与计算工具的发展密切相关。
数值分析是一门为科学计算提供必需的理论基础和有效、实用方法的数学课程，它的任务是研究求解各类数学问题的数值方法和有关的理论。
正文：第一章 近似计算与误差分析1、产生误差的原因：①模型误差；②观测误差；③截断误差；④舍入误差。
2、四则运算的误差： ①加减法运算()()()****x y x y δδδ±=+②乘法运算()()()***************xy x y xy xy xy x y x y y y x x x y x y y x δδδ-=-+-≤-+-⇒=+③ 除法运算：()()()()************************x x xy x y y y yy xy x y x y x yyy x x yy y x yy x yy xx y y δδδ--=-+-=-+-=+⎛⎫⇒≈⎪⎝⎭3、科学表示法、有效数字、近似值的精度 任何一个实数都可以表示成如下的形式：其中：是正整数，是整数，如果是数的近似值 并且则称该近似值具有位有效数字（significant digit ）。
此时，该近似值的相对误差为另一方面，若已知()()*1111021nr x a δ-≤+那么，()()***1112110.10211102r m n n m n x x x x a a a a δ----≤⨯=+≤即：*x 至少有n 位有效数字。
例： 3.141592653589793...π= 取其近似值如下： x*=3.14 x *=3.14159 x*=3.1415 x*=3.141**213100.314110.0016...0.005101022x x π--=⨯-=<=⨯=⨯**516100.314159110.0000026...0.000005101022x x π--=⨯-=<=⨯=⨯**314100.31415110.000092...0.0001101022x x π--=⨯-=<<⨯=⨯**213100.3141110.00059...0.001101022x x π--=⨯-=<<⨯=⨯第二章 线性方程组在科学计算中，问题的本身就是求解线性方程组，许多问题的求解需要最后也归结为线性方程组的求解，所以线性方程组的求解是科学计算中最常见的问题。
数值分析报告资料
《数值分析》课程名称数值分析实验报告专业班级应用数学111班姓名陈伟学号8教学教师岳雪芝实验二函数逼近与曲线拟合一、问题提出从随机的数据中找出其规律性，给出其近似表达式的问题，在生产实践和科学实验中大量存在，通常利用数据的最小二乘法求得拟合曲线。
在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系，试求含碳量与时间t 的拟合曲线。
二、要求1、用最小二乘法进行曲线拟合；2、近似解析表达式为23123()t a t a t a t ϕ=++；3、打印出拟合函数()t ϕ，并打印出()j t ϕ与()j y t 的误差，1,2,,12j =；4、另外选取一个近似表达式，尝试拟合效果的比较；5、* 绘制出曲线拟合图。
三、目的和意义1、掌握曲线拟合的最小二乘法；2、最小二乘法亦可用于解超定线代数方程组；3、探索拟合函数的选择与拟合精度间的关系。
四、实验步骤:输入代码：t=[0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55];y=[0 1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 4.58 4.02 4.64];for i=1:12A(i,1)=t(i);A(i,2)=t(i).^2;A(i,3)=t(i).^3;endp_star=A\y';y_star=p_star(1)*t+p_star(2)*t.^2+p_star(3)*t.^3;s_star=0;for i=1:12s_star=s_star+(y_star(i)-y(i))^2;endplot(t,y,'*',t,y_star,'g');比较拟和结果，分别取二次，三次和四次多项式，再做最小二乘法，代码如下：t=[0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55];y=[0 1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 4.58 4.02 4.64];%3次拟合p3=polyfit(t,y,3)y_new=polyval(p3,t);s_3=0;for i=1:12s_3=s_3+(y_new(i)-y(i))^2;end%2次拟合p2=polyfit(t,y,2);y_new2=polyval(p2,t);s_2=0;for i=1:12s_2=s_2+(y_new2(i)-y(i))^2;end%4次拟合p4=polyfit(t,y,4);y_new4=polyval(p4,t);s_4=0;for i=1:12s_4=s_4+(y_new4(i)-y(i))^2;end比较4种拟合函数，结论：常数项为0的三次拟合函数在保证拟合精度的同时，保证0点的函数值仍为0，是四种拟合方法中最好的一种。
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淮阴工学院《数值分析》考试──基于Matlab的方法综合应用报告班级：金融1121 姓名：婷婷学号： 1124104129成绩：数 理 学 院2014年6月7日《数值分析》课程综述报告前言：数值分析也称计算方法，它与计算工具的发展密切相关。
数值分析是一门为科学计算提供必需的理论基础和有效、实用方法的数学课程，它的任务是研究求解各类数学问题的数值方法和有关的理论。
正文：第一章 近似计算与误差分析1、产生误差的原因：①模型误差；②观测误差；③截断误差；④舍入误差。
2、四则运算的误差： ①加减法运算()()()****x y x y δδδ±=+②乘法运算()()()***************xy x y xy xy xy x y x y y y x x x y x y y x δδδ-=-+-≤-+-⇒=+③ 除法运算：()()()()()**********************2**x x xy x y y y yy xy x y x y x yyy x x yy y x yy x yy xx y y δδδ--=-+-=-+-=+⎛⎫⇒≈⎪⎝⎭3、科学表示法、有效数字、近似值的精度 任何一个实数都可以表示成如下的形式：其中：是正整数，是整数，如果是数的近似值并且则称该近似值具有位有效数字（significant digit ）。
此时，该近似值的相对误差为另一方面，若已知()()*1111021nr x a δ-≤+那么，()()***1112110.10211102r m n n m n x x x x a a a a δ----≤⨯=+≤即：*x 至少有n 位有效数字。
例： 3.141592653589793...π= 取其近似值如下： x*=3.14 x *=3.14159 x*=3.1415 x*=3.141**213100.314110.0016...0.005101022x x π--=⨯-=<=⨯=⨯**516100.314159110.0000026...0.000005101022x x π--=⨯-=<=⨯=⨯**314100.31415110.000092...0.0001101022x x π--=⨯-=<<⨯=⨯**213100.3141110.00059...0.001101022x x π--=⨯-=<<⨯=⨯第二章 线性方程组在科学计算中，问题的本身就是求解线性方程组，许多问题的求解需要最后也归结为线性方程组的求解，所以线性方程组的求解是科学计算中最常见的问题。
对于线性方程组的求解一般有两种方法：（1) 直接法：高斯消去法；（2) 间接法：各种迭代法。
(1) 高斯消去法：①求解思路：先消元，即按一定的规律逐步消去未知量，将方程组Ax B =化为等价的上（或下）三角形方程组；然后进行回代，即由上三角形方程组逐个求出；②高斯（列、全）主元素消去法,及在消元的每一步选取（列）主元素——列中绝对值最大的元取做主元素，计算步骤：⑴消元过程：按列选主元、行交换、消元计算；⑵回代过程； ③高斯列主元素消去法的MATLAB 实现：。
第三章 解线性方程组的迭代法通常逆矩阵不易求得，特别是对于大型的线性方程组，需要用迭代法求解。
用迭代法求解线性方程组，要把线性方程组写成等价的形式，右边写为迭代格式，如：kbx k A k x b x k A b kx Ax kx b Mx b x E A b x Ax x b Mx x b Ax E E n n ++=∴++=++=⇒+=++=++=⇒+=⇒-=)(1)()(2、关于迭代法收敛性的两个重要结论： ①充分必要条件是：矩阵的谱半径()1M ρ<；②充分条件是：矩阵M 的某个算子数1M <。
3、线性方程组的迭代法主要有Jacobian 迭代法，Gauss-Seidel 迭代法。
①Jacobian 迭代法:()()()()()()11111k k Ax b D L U xbA D L UDx L U x b x D L U x D bM D L U f D b+----=⎧⇒--=⎨=--⎩⇒=++⇒=++⎧=+⇒⎨=⎩②Gauss-Seidel 迭代法:()()()()()()()11111k k Ax b D L x Ux b A D L U x D L Ux D L bM D L U f D L b--+--=⎧⇒-=+⎨=--⎩=-+-=-⇒=- (3.7)③Jacobian 迭代法与G-S 迭代法比较：()()()()()()()()()11111121122111111211121000000000000k k k k k k n nn n n k n k n n k n x x a x x D a a x x x a a x D D ba x ++++-++----⎛⎫⎛⎫⎡⎤ ⎪ ⎪⎢⎥- ⎪ ⎪⎢⎥= ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪--⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎛⎫--⎡⎤ ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥++ ⎪-⎢⎥ ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭（3.8） 式（3.7）和 (3.8) 表明：Gauss-Seidel 迭代法在计算第1k+次迭代的第i 个分量()1k ix +时，及时地利用了在此步迭代中得到的新的迭代值：()1k jx +，1,2,,1j i =-，由于第1k +步的迭代值通常比第k 步的迭代值更接近方程组的精确解，所以，在Jacobian 迭代法和GS 迭代法都收敛的情况下，Gauss-Seidel 迭代法的收敛速度比Jacobian 迭代法的收敛速度高。
例题：用MATLAB 函数normrdn 生成5阶矩阵M 和向量b 分别构造线性方程组Ax b =的Jacobi 迭代格式和G-S 迭代格式，并判断收敛性。
Jacobian 迭代法和GS 迭代法程序如下：clc;clear all;%1、生成M和bM=normrnd(1,2,5)b=normrnd(1,2,5,1)%Jacobian迭代法M1=D\(L+U)f1=D\brho=max(abs(eig(M1)));R=1e-08; %设定的一个收敛标准switch sign(1-rho)case -1disp('the Jocobian method is not applicable') otherwisex(:,1)=normrnd(0,9,5,1);k=1while k<=50*5x(:,k+1)=M1*x(:,k)+f1;if norm(x(:,k+1)-x(:,k))>=Rk=k+1;elseX=x(:,k+1);disp('Jacobian迭代法迭代次数为：')IterN=k %Jacobian迭代法迭代次数breakendendend%Causs-Seidel迭代法M2=(D-L)\Uf2=(D-L)\brho=max(abs(eig(M2)));R=1e-08;switch sign(1-rho)case -1disp('the auss-seidel method is not applicable')otherwisex(:,1)=normrnd(0,9,5,1);k=1while k<=50*5x(:,k+1)=M2*x(:,k)+f2;if norm(x(:,k+1)-x(:,k))>=Rk=k+1;elseX=x(:,k+1)disp('Causs-Seidel迭代法迭代次数为：')IterN=kbreakendendend第四章非线性代数方程（组）的数值解法：一、二分法：首先要确定适当的包含根的区间，这可以依据闭区间上连续函数的介值定理来确定，例如该方程：()320.80.750=--+=f x x x xxf (x )对于该方程()120.80.750f -=-++<()00.750f =>所以该方程至少有一个实根位于区间，图像表明该区间中只含有一个实根；用*x 表示方程()0f x =在区间[],a b 上的精确解，对于给定的精度要求0ε>，取区间[],a b 的中点2a b x +=，并按下式进行判断：()()()()()***00[,]0[,]f x x x f x f a x a x f x f b x x b ⎧=⇒=⎪⎪⎪<⇒∈⎪⎨⎪⎪<⇒∈⎪⎪⎩（1）以()()0f x f a <为例，① 如果2b aε-≥,没有达到精度要求，令xb =，并重复（1）的迭代过程；②如果2b aε-<，那么，必有[]*,,x x x a x ε-<∀∈，因为[]*,x a x ∈。
即区间[],a x 的任何一点都可以作为方程()0f x =的近根，特别地，可取x 做为近似解。
二、牛顿迭代法：任取初始值)(],,[0x f y b a x =∈上过点（)(,00x x f ）的切线方程为：))(()(000x x x x f f y -'+=与x 轴交于点x 1，)()(0001x x x x f f '-=，过点))(,(11x x f 的切线方程为))(()(111x x x x f f y -'+=与x 轴交于点x2，)()(1112x x x x f f '-= ，……… ，如此下去得牛顿迭代公式：)()(1x x x xn n n n f f '-=+例题：考虑如下三阶非线性方程组：22222222=22204a x y z a x yaa xa y az b其中取适当的迭代初值000,y ,Tx z ，用Newton 迭代法求方程组的数值解程序：%Newton 迭代法求解 x=sym('x','clear'); y=sym('y','clear'); syms z ;F=[x^2+y^2+a^2*z^2/2-a^2; x+y-a;(2*x-a)^2+(2*y-a)^2+a^2*(z-b)/4]; Fx=diff(F,x,1); Fy=diff(F,y,1);Fz=diff(F,z,1);DF=[Fx Fy Fz];F=(x,y,z)[x^2+y^2+a^2*z^2/2-a^2;x+y-a;(2*x-a)^2+(2*y-a)^2+a^2*(z-b)/4];%Newton迭代法求解过程Fr=10^-10;Er=10^-10;x0=[-a/4;-a;-a/2];x0=[-a/4;-a;a/2];k=1;X(:,1)=x0;while norm(F(X(1,k),X(2,k),X(3,k))-[0;0;0],2)>=Fr tic;f(:,k)=F(X(1,k),X(2,k),X(3,k));J=subs(DF,'x',X(1,k));J=subs(J,'y',X(2,k));J=subs(J,'z',X(3,k));X(:,k+1)=X(:,k)-J\f(:,k);t(k)=toc;if norm((X(:,k+1)-X(:,k)),2)<Erbreakendk=k+1;enddisp('Newton 迭代法结果为：'); disp(X(:,end)); 运行结果：Newton 迭代法结果为： 3.42910.46580.6535第五章 插值一、插值：插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值状况，估算出函数在其他点处的近似值。