2021年中考数学分类专题训练：圆周角定理综合运用(三)

2021年中考数学分类专题训练：

圆周角定理综合运用（三）

1．如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，AD是⊙O的弦，OC⊥AD于F交⊙O于E，连接DE，BE，BD．AE．

（1）求证：∠C＝∠BED；

（2）如果AB＝10，tan∠BAD＝，求AC的长；

（3）如果DE∥AB，AB＝10，求四边形AEDB的面积．

2．如图甲，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC＝45°，等腰直角△DCE中，∠DCE 是直角，点D在线段AC上．

（1）问B、C、E三点在一条直线上吗？为什么？

（2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，试求的值；

（3）将△DCE绕点C逆时针旋转α（O°＜α＜90°）后，记为△D

1CE

1

（图乙），若M

1

是线段BE

1的中点，N

1

是线段AD

1

的中点，则＝．

3．如图，在圆内接四边形ABCD中，CD为∠BCA的外角的平分线，F为上一点，BC＝AF，延长DF与BA的延长线交于E．

（1）求证：△ABD为等腰三角形．

（2）求证：AC•AF＝DF•FE．

4．已知：在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，在劣弧上取一点E使∠EBC＝∠DEC，延长BE依次交AC于点G，交⊙O于H．

（1）求证：AC⊥BH；

（2）若∠ABC＝45°，⊙O的直径等于10，BD＝8，求CE的长．

5．如图，已知AB是⊙O的弦，OB＝2，∠B＝30°，C是弦AB上的任意一点（不与点A、B 重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD．

（1）弦长AB等于（结果保留根号）；

（2）当∠D＝20°时，求∠BOD的度数；

（3）当AC的长度为多少时，以A、C、D为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似？请写出解答过程．

6．已知：D为△ABC边BC上一定点，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，若∠B＝∠CAE，AF＝DF，DF＝3，EF＝4

（1）求证：AD为∠BAC的平分线；

（2）求证：；

（3）求∠AED的余弦值．

7．如图，△ABC内接于圆，D是BC上一点，将∠B沿AD翻折，B点正好落在圆上E点处．（1）求证：AD过圆心；

（2）若已知：∠C＝38°，求∠BAE的度数．

8．（1）如图，在▱ABCD中，点E是AD的中点，连接CE并延长，交BA的延长线于点F．求证：FA＝AB．

（2）如图，在⊙O中，∠ACB＝∠BDC＝60°，AC＝，①求∠BAC的度数；②求⊙O的周长．

9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，DE⊥BC于E，AF⊥BC于F．（1）求证：BE＝CF；

（2）作OG⊥BC于G，若DE＝BF＝3，OG＝1，求弦AC的长．

10．正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上，E是⊙O上的一点．

（1）如图①，若点E在上，F是DE上的一点，DF＝BE．求证：△ADF≌△ABE；

（2）在（1）的条件下，小明还发现线段DE、BE、AE之间满足等量关系：DE﹣BE＝AE．请你说明理由；

（3）如图②，若点E在上．写出线段DE、BE、AE之间的等量关系．（不必证明）

参考答案

1．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，CA切⊙O于A，

∴∠C+∠AOC＝90°；

又∵0C⊥AD，

∴∠OFA＝90°，

∴∠AOC+∠BAD＝90°，

∴∠C＝∠BAD．

又∵∠BED＝∠BAD，

∴∠C＝∠BED．

（2）解：由（1）知∠C＝∠BAD，tan∠BAD＝，

∴tan∠C＝．

在Rt△OAC中，tan∠C＝，且OA＝AB＝5，

∴，解得．

（3）解：∵OC⊥AD，∴，∴AE＝ED，

又∵DE∥AB，∴∠BAD＝∠EDA，∴，

∴AE＝BD，

∴AE＝BD＝DE，

∴，

∴∠BAD＝30°，

又∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，

∴BD＝AB＝5，DE＝5，

在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD＝，

过点D作DH⊥AB于H，

∵∠HAD＝30°，∴DH＝AD＝，

∴四边形AEDB的面积＝．

2．解：（1）在一条直线上．

理由如下：

∵AB为⊙O直径，

∴∠ACB＝90°，

∵△DCE为等腰直角三角形，

∴∠ACE＝90°，

∴∠BCE＝90°+90°＝180°，

∴B、C、E三点共线．

（2）连接BD，AE，ON，并延长BD交AE于F，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，

∴BC＝AC，

在△BCD和△ACE中，

∵，

∴△BCD≌△ACE，

∴AE＝BD，∠DBE＝∠EAC，

∴∠AEB+∠EBD＝90°，

∴BD⊥AE，

∵O，N为中点，

∴ON∥BD，ON＝BD，

同理：OM∥AE，OM＝AE，

∴OM⊥ON，OM＝ON，

∴MN＝OM，

∴

＝，

（3）成立．

理由如下：连接BD 1，AE 1，ON 1，延长BD 1交AE 于点F ，

和（2）一样，易证得△BCD 1≌△ACE 1，∴∠E 1AC ＝∠FBC ， ∠BD 1C ＝∠AE 1C ，

∴∠E 1FB +∠AE 1C +∠D 1BC +90°+∠D 1CB ＝360°（四边形内角和定理）， 又∵∠AE 1C +∠D 1BC +∠D 1CB ＝180°，

∴∠E 1FB +90°+180°＝360°，

∴∠E 1FB ＝90°，

∴BD 1⊥AE 1，

可得△ON 1M 1为等腰直角三角形，

从而有M 1N 1＝

OM 1． 故答案为：．

3．证明：（1）∵四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，

∴∠DCB +∠DAB ＝180°，

∵∠MCD +∠DCB ＝180°，

∴∠MCD ＝∠DAB ，

∵CD 为∠BCA 的外角的平分线，

∴∠MCD ＝∠ACD ，

∵∠DCA 和∠DBA 都对弧AFD ，

∴∠DCA ＝∠DBA ，

∴∠DAB ＝∠DBA ，

∴DB ＝DA ，