2019年上海市各区高三二模数学分类汇编—解析几何及答案

2019年上海各区高三二模汇编——解析几何专题
一、 填空题 1、（宝山2）圆2
2266x y x y +-+=的半径r =__________
【答案】4
【解析】写出圆的标准方程：2
2222266(1)(3)4x
y x y x y +-+=⇒-++=
2、 （宝山3）过点()2,4A -，且开口向左的抛物线的标准方程是___________
【答案】2
8y
x =-
【解析】设抛物线为2
2,0y
px p =->，代入点()2,4A -，则28y x =-
3、 （宝山6）在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,1P ，若(),Qxy 为平面区域2
2
1x y x y +≥⎧⎪
≤⎨⎪≤⎩
上一个动点，则OP OQ 的取值范围是_____________ 【答案】[]3,5
【解析】数形结合，画出平面区域，则()()2,1,2OP OQ x y x y ==+，令2x y z +=则即求z 的取值范围，2y x z =-+，线性规划得到分别在点()1,1和()2,1P 取到最值，为[]3,5 4、（崇明5）已知椭圆的焦点在x 轴上，焦距为2，且经过点（0,2），则该椭圆的标准方程为_________.
【答案】1452
2=+y x
【解析】由题意可知，1=c ，2=b ，则52
2
=+=c b a ，
所以，椭圆方程为1452
2=+y x
5、 （崇明7）已知直线:
1l 01)4()3=+-+-y a x a （与:2l 032-)32=+-y x a （平行，则=a _____. 【答案】3或5
【解析】当两直线中一条斜率为0，另一条斜率不存在时，轻易可知3=a ；当两条直线斜率都存在时，两直线方向向量或法向量平行，以法向量为例，)4,3(a a --与)2,62(--a 为共线向量，计算可得5=a
6、 （奉贤4）参数方程2cos sin x y θ
θ=+⎧⎨
=⎩
（θ为参数，[0,2)θπ∈）表示的普通方程为
【答案】()122
2
=+-y x
【解析】由圆的参数方程可知()122
2
=+-y x .
7、（奉贤6）若x 、y 满足约束条件0
262x y x y x y -≥⎧⎪
+≤⎨⎪+≥⎩
，则3x y +的最小值为
【答案】2-
【解析】由线性规划，画图可知，直线过点()2-4，
时，取到最小值2-. 8、（奉贤8）双曲线的右焦点恰好是24y x =的焦点，它的两条渐近线的夹角为2
π
，则双曲
线的标准 方程为
【答案】12
1212
2=-y x
【解析】设双曲线的标准方程，为122
22=-b
y a x 。

由题意得双曲线的右焦点为)0,1(，即1=c 。

两条渐进性为x y ±=，故b a =。

从而解得双曲线为12
1212
2=-
y x 。

注意标准方程格式！
9、（虹口6）已知12,F F 是椭圆22
:13627
x y C +=的两个焦点，点P 为椭圆C 上的点，18PF =,
若M 为线段1PF 的中点，则线段OM 的长为 。

【答案】2
【解析】椭圆定义及三角形中位线可得2OM =
10、（虹口10）在平面直角坐标系xOy 中，边长为1的正六边形ABCDEF 的中心为坐标原点O ，如图所示，双曲线Γ是以C 、F 为焦点的，且经过正六边形的顶点A 、B 、D 、E ，则双曲线Γ的方程为
【答案】12
32312
2
=--
y x
【解析】.2
3
,13||||2,12
22=
-=-=-==a c b AF AC a c 11、（黄埔3）椭圆2
212
x y +=的焦距长为 【答案】2
【解析】椭圆2
2
2
c b a +=，所以2
12c +=，所以1=c ，焦距22=c 12、（黄埔10）设[0,2)θπ∈，若圆222(cos )(si n )x y r θθ-+-
=（0r >）与直线
2100x y --=有交
点，则r 的最小值为 【答案】1-52 【
解
析
】
圆
心
()c o s ,s i n
θθ
到直线的距离
：
1,1d ⎡⎤=
=
⎣
⎦；
有交点r 取最小即可1r =.
13、（嘉定长宁6）已知实数y x ,满足⎪⎩
⎪
⎨⎧-≥≤≥110x y y x ，则y x 2-的最大值为
【答案】2
【解析】由已知条件画出约束条件的区域图，设2b x y =-，看成直线的截距课求出答案。

14、（嘉定长宁10）已知直线1cos sin x t y t α
α
=+⎧⎨=⎩（t 为参数）与抛物线24y x =相交于A B 、两
点，若线段AB 中点的坐标为(),2m ，则线段AB 的长为 【答案】8
15、（金山7）方程2
1
3x t y t
=+⎧⎨
=-⎩ （t 为参数，t R ∈）所对应的曲线的普通方程为 . 【答案】()2
2
3122y x x x =--=-++
【解析】1t x =-，带入得()2
2
3122y x x x =--=-++
16、（金山10）已知函数()sin f x x =和(
)g x =[]-ππ，，则它们
的图像围城的区域面积是 .
【答案】32
π
【解析】y =0y >，所以222y x π+=， 0y >，所以是
一个半圆。

因为,12π⎛⎫-
- ⎪⎝⎭和2π⎛⎫
⎪⎝⎭
,1
两顶点带入y =
1y =>，所以()f x 函数图在圆内，2
3
2
2
r S ππ=
=
如图：
17、（闵行松江2）抛物线2
2y x =的准线方程为_ ．
【答案】12
x =-
．
19、（浦东7）焦点在x 轴上，焦距为6，且经过点
()0,5的双曲线的标准方程为__________。

【答案】1
4522=-y x
【解析】设该双曲线的标准方程为122
22=-b
y a x
由()
()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
=-+==10562222
2222b a
b a
c c 则设该双曲线的标准方程为14522=-y x 。

20、（浦东11）已知正方形ABCD 边长为8，BE EC =,3DF FA =,若在正方形边上恰有6
个不同的点P ，使PE PF λ∙= ,则λ 的取值范围_____________
【答案】
-1,8（） 【解析】以BC 为x 轴，BA 为
y 轴建立空间直角坐标系。

设x P （,y) ，求其轨迹方程为：
223)(4)17x y λ-+-=+（ .与正方形四条边有64,5（）
可得-1,8λ∈（）
21、（普陀2）双曲线19
16:
2
2=-y x C 的顶点到其渐近线的距离为______. 【参考答案】
5
12 【解析】顶点为()0,4±，渐近线为x y 43±
=，求()0,4到直线043=+y x 的距离为5
12=d 22、（普陀4）设直线l 经过曲线⎩
⎨⎧+=+=θθ
sin 21cos 21:y x C （θ为参数，πθ20<≤）的中心，且
其方向向量()1,1=d ，则直线l 的方程为______. 【参考答案】x y =
【解析】曲线C 为圆，方程为()()4112
2
=-+-y x ，其中心为()1,1，直线l 的斜率为1，
故直线方程为x y =
23、（普陀7）设x ，y 均为非负数，且满足⎩⎨
⎧≤+≤+6
25
y x y x ，则y x 86+的最大值为______.
【参考答案】40
【解析】画出可行域，令z y x =+86，则8
43z
x y +-=，当此直线过()5,0时，y x 86+最大为40.
24、（青浦5）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2
214
x
y -=经过抛物线22y px
=（0p >）的焦点，则p =________ 【答案】4 【解析】把-
,02p ⎛⎫
⎪⎝⎭
代入曲线方程即可得出，注意取舍 25、（青浦8）若实数x 、y 满足条件1
10220x y x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩
，则22
x y +的最小值为________
【答案】
12
【解析】画图，数形结合，2
2
x y +理解为(,)x y 到原点的距离的平方
26、（徐汇6）若2i +（i 是虚数单位）是关于x 的实系数方程20x mx n ++=的一个根，则圆锥曲线
22
1x y m n
+=的焦距是 【答案】6
【解析】根据题意可得625,4=∴=-=c n m ，
27、（徐汇11）在平面直角坐标系中，设点(0,0)O
，A ，点(,)P x y
的坐标满足
200y x y -≤+≥⎨⎪≥⎪⎩
，则OA 在OP 上的投影的取值范围是 【答案】[3,3]- 【解析】
)3,1(0
233:A y x x y A ⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-= 同理，B ),0,2(-在
上的投影为S =
3max ==
S -3
min ==
S
28、（杨浦10）古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点(,0)A a -，(,0)B a ，动点P 满足
||
||
PA PB λ=（其中a 和λ是正常数，且1λ≠），则P 的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”，该圆的半径为
【答案】
2
2|1|
a λ
λ- 【解析】设(),P x y ，由
PA PB
λ=得()()22222x a y x a y λ⎡⎤++=-+⎣⎦
，
整理得()()()()
2222222
112110x y a x a λλλλ-+--++-=，
∵1λ≠，∴两边同时除以21λ-得：()
222
22
2101
a x y x a λλ++-
+=-，
进一步可得：()()2
2
2222222
2
222114111a a x y a a λλλλλλ⎡⎤+⎛⎫+⎢⎥-+=-= ⎪--⎢⎥⎝⎭-⎣⎦
，故P 的轨迹是一个圆，该圆的半径为
221
a λλ-．
二、选择题
1、（宝山14）设121212(,),(,),(,)A a a B b b C c c 点均非原点，则“OC 能表示成OA 和OB 的
线性组合”是“方程组111222
a x
b y
c a x b y c +=⎧⎨+=⎩有唯一解”的（ ）
【A 】充分不必要条件 【B 】必要不充分条件 【C 】充要条件 【D 】既不充分也不必要条件 【答案】B
【解析】OC 能表示成OA 和OB 的线性组合说明情况一：向量不共线，则1221a b a b ≠，情况二：可以是三者都共线，也能够表示；方程组有唯一解即是1221a b a b ≠，故选择B
2、（宝山15）已知双曲线22
221(0)x y a b a b
-=>>的右焦点为(,0)F c ，直线()y k x c =-与
双曲线的右支有两个交点，则（ ）
【A 】||b
k a
>
【B 】||b k a
<
【C 】||c k a >
【D 】||c
k a
<
【答案】A
【解析】数形结合，与右支要有两个交点，说明斜率绝对值要大于渐近线斜率，选择A 3、（崇明15）已知线段AB 上有动点D （D 异于A 、B ），线段AB CD ⊥，且满足BD AD CD ⋅=λ2（λ是大于0且不等于1的常数），则点C 的运动轨迹为（） 【A 】圆的一部分 【B 】椭圆的一部分 【C 】双曲线的一部分 【D 】抛物线的一部分 【答案】B
【解析】令)0,1()0,1(B A -，建系，设),()0,(y x C x D ；根据
BD AD CD ⋅=λ2
，可知，22)1)(1(x x x y λλλ-=-+=，整理可得，C 点运动轨迹为12
2
=+
λ
y x ，轨迹为椭圆。

4、（奉贤15）已知△ABC 的周长为12，(0,2)B -，(0,2)C ，则顶点A 的轨迹方程为（ ）
【A 】
22
11216x y +=(0)x ≠ 【B 】
22
11216
x y += (0)y ≠
【C 】
22
11612
x y += (0)x ≠ 【D 】
22
11612
x y +=(0)y ≠ 【答案】A
【解析】由题设知8=+AC AB ,由椭圆的定义可知A 的轨迹方程为
22
11216
x y +=(0)x ≠ 5、（虹口15）已知直线l 经过不等式组21034020x y x y y -+≤⎧⎪
+-≥⎨⎪-≤⎩
表示的平面区域，且与圆
22:16O x y +=相交于A 、B 两点，则当||AB 最小时，直线l 的方程为（ ）
【A 】20y -= 【B 】 40x y -+= 【C 】20x y +-= 【D 】32130x y +-= 【答案】D
【解析】可行域为右图中ABC 区域（含边界），AB 最短意味着，弦心距最长，而圆心O 到可行域内的点()3,2C 的距离最长，所以所求直线l 过点()3,2C ，且以OC 为法向量，所以选D
6、（嘉定长宁15）已知圆()2
229x y -+=的圆心为C ，过点()2,0M 且与x 轴不重合的
直线l 交圆C 于A B 、两点，点A 在点M 与点B 之间.过点M 作直线AC 的平行线交直线
BC 于点 ,则点P 的轨迹是 （ ）
【A 】圆的一部分 【B 】椭圆的一部分 【C 】双曲线的一部分 【D 】抛物线的一部分
【答案】C
【解析】由题目条件圆以及平行易得PC PB =，得3PC PM MC -=<，所以可得P 的轨迹是双曲线的一只。

7、（金山15）设12,F F 是双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的两个焦点，P 是C 上一点，
若126PF PF a +=，12PF F ∠是12PF F △的最小内角，且°
1230PF F =∠，则双曲线
C 的渐近线方程是（ ） 【A
】0x =
【B
0y ±= 【C 】20x y ±= 【D 】20x y ±= 【答案】B
【解析】122PF PF a -=，126PF PF a +=，得到124,2PF a PF a ==,在12PF F △中，由正弦定理可得
°
21
24=sin 30sin a a PF F ∠,得到°
21=90PF F ∠，所以°1260F PF =∠，再根据正弦定理
°°
24=sin 60sin 90
c a ，得
到,c
=b =，所以渐近线方程
是=b
y x a
=±
±，所以答案是B 8、（金山16）若实数,a b 满足20
101
a b b a a +-≥⎧⎪
--≤⎨⎪≤⎩
，则22
3b ab a -的取值范围是（ ） 【A 】[]2,0-
【B 】9
4⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦
，
【C 】9,24⎡⎤--⎢⎥⎣⎦
【D 】94⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
，0
【答案】D
【解析】画出,a b 可行域的区域图如下图，其中a x
b y →⎧⎨→⎩
可行域为ABC ∆，且()1,1A 、13,22B ⎛⎫
⎪⎝⎭
、()1,2C ， 则2
22
33b ab b b
a a a -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭
，令b k a =，则[][],1,3OA OB k k k ∈= 在[]1,3k ∈的范围内，2
2
3993,0244k k k ⎛
⎫⎡⎤-=--∈- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦，故选D
9、（闵行松江14）过点()1,0与双曲线2
14
x
y -=仅有一个公共点的直线有（ ）
【A 】1条 【B 】2条 【C 】3条 【D 】4条
【解析】
过点()1,0作平行于渐近线的直线有两条，且都与双曲线有一个公共点；过点()1,0作与双曲线右支相切的直线有两条，且都与双曲线有一个公共点．
10、（浦东14）点(2,0)P 到直线1423x t
y t =+⎧⎨=+⎩
（t 为参数，t R ∈）的距离为 ( )
【A 】3
5
【B 】45 【C 】65 【D 】115
【答案】D
【解析】直线方程3450,x y -+=
点到直线的距离为11
5
d =
=
，故选D 11、（浦东15）已知点(,)P x y 满足约束条件：50252000400
x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪
⎨≤≤⎪⎪≥⎩，则目标函数z x y =-的最
小值为（ ） 【A 】40 【B 】-40 【C 】30
【答案】B
【解析】画出线性域及目标函数，分析目标函数y x z =-图像y 截距的最大值，易得答案为-40
12、（普陀13）若椭圆的焦点在x 轴上，焦距为,62且经过点()2,3，则该椭圆的标准
方程为（ ）
【A 】13
92
2=+x y 【B 】
112362
2=+y x 【C 】
112362
2=+x y 【D 】13
92
2=+y x
【参考答案】D
【解析】易知6=c ，设,16
2
2
22=-+a y a x 代入()2,3解得92
=a
，所以32=b ，故选D
13、（青浦15）已知曲线3sec :tan x y θ
θ
=⎧Γ⎨
=⎩（θ是参数），过点(6,2)P 作直线与曲线Γ有且仅
有一个公共点，则这样的直线l 有（ ） 【A 】1条 【B 】2条 【C 】3条 【D 】4条 【答案】B
【解析】由题意曲线Γ：
19
22=-y x ，所以其渐近线方程为x y 31
±=，故点)2,6(P 在其中一条渐进线上，所以过点)2,6(P 与其中一条渐近线平行的存在一条，还有结合图像联立过点)2,6(P 的直线与双曲线，进而可解的还有另一条是相切的情况，故一共有两条. 14、（徐汇15）已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，则抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（ ）
【A 】
37
16
【B 】
11
5
【C 】2
【D 】
74
【答案】C
【解析】原问题可等价为2
3
4604,2
2
11=++-=
≤+FM FM d PF
15、（杨浦13）若x 、y 满足020x y x y y -≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
，则目标函数2f x y =+的最大值为（ ）
【A 】 1
【B 】 2 【C 】 3 【D 】 4 【答案】C
【解析】可行域如右图，在点()1,1A 处，目标函数取得最大值3．
16、（杨浦14） 已知命题α：“双曲线的方程为222x y a -=（0a >）”和命题β：“双曲线的两条渐 近线夹角为
2
π
”，则α是β的（ ）
【A 】 充分非必要条件 【B 】 必要非充分条件
【C 】 充要条件 【D 】 既非充分也非必要条件 【答案】A
【解析】命题:β“双曲线的两条渐近线夹角为
2
π
”即双曲线为等轴双曲线，也即双曲线的方
程为()2
2
2
0x y a a -=±>，∴充分性成立，必要性不成立，选A ．
三、解答题
1、（宝山20）已知椭圆22
2:
19x y b
Γ+=的左右焦点为12,F F ，M 是椭圆上半部分的动点，连接M 和长轴的左右两个端点所得两
直线交y 正半轴于A B ，两点（点A 在B 的上方或重合）．
（1）当12M F F ∆面积12MF F S ∆最大时，求椭圆的方程；
（2
）当b =B 是线段OA 的中点，求直线MA 的方程；
（3）当1b =时，在x 轴上是否存在点P 使得PM PA ⋅为定值，若存在，求P 点的坐标，若不存在，说明理由．
【答案】（1）22199
2
x y +=；（2）2360x y -+=；（3）存在0()1,3P -，定值为109PM PA ⋅=. 【解析】（1）12
22
1212211||||2222
MF F M F F b c a S y b bc F F ∆+=⋅⋅≤⋅⋅=≤=，当且仅当b c =时等号成立；则：22
2
922
a b c ==
=，此时椭圆方程为：22
1992
x y +=； （2）点M 在y 轴或其左侧，则图形如本题图，设00(,)M x y ，那么：
00:(3)3MA y l y x x =
++，00:(3)3MB y
l y x x =--，令0y =得：0000330,,0,33y y A B x x ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭
；
B 是线段OA 的中点，则：
00
0033233
y y x x -=⋅
+-，解得：01x =-，则4(1,)3M -，则：2
:(3)3
MA l y x =+，即：2360x y -+=；
（3）2
2:19
x y Γ+=，设(,0)P m ，00(,)M x y
若同（2）点M 在y 轴左侧，则0030,
3y A x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，0
0003(,),(,
)3
y PM x m y PA m x =-=-+2
200000000(3(3)(3)11
))()133(33
y x x m x m m x m m x m x PM P x A +---+=--+⋅=-+⋅=++++，
使其与0x 取值无关，则13m =-
，10
9
PM PA ⋅=； 综上，故存在点0()1
,3
P -使得PM PA ⋅为定值.
2、（崇明20）对于直线l 与抛物线y x 42=Γ：，若l 与Γ有且只有一个公共点且l 与Γ对称轴不平行（或重合），则称l 与Γ相切，直线l 叫做抛物线Γ的切线。

（1）已知),(00y x P 是抛物线上一点，求证：过点P 的Γ的切线l 的斜率2
x k =
； （2）已知),(00y x M 为x 轴下方一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为),(11y x A 、
),(22y x B ，求证：1x 、0x 、2x 成等差数列；
（3）如图所示：),(n m D ，),(t s E 是抛物线Γ上异于坐标原点的两个不同的点，过点D 、
E 的Γ的切线分别是1l 、2l ，直线1l 、2l 交于点),(b a G ，且与y 轴分别交于点1D 、1E ，
设1x 、2x 为方程02
=+-b ax x （R b a ∈,）的两个实根，}{d c ,max 表示实数c 、d 中较
大的值，求证：“点G 在线段1DD 上”的充要条件是“{}
2
,max 21m x x =
”。

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析； 【解析】（1）证明：由题意知，l 的斜率必然存在，
设l 的方程为00()y y k x x -=-.............................................2分
代入抛物线方程，得：
2
001()04
x kx kx y -+-= 由题意，得：2
000k kx y ∆=-+=，
又2
004
x y =，所以20()02x k -=，所以02x k =.............................................4分
（2）证明：由（1）知，直线MA 的方程是：1
11()2
x y y x x -=
-， 直线MB 的方程是2
22()2
x y y x x -=
-.............................................2分 由111222
()2()
2
x y y x x x y y x x ⎧
-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，得：211221()()22x x y y x x x x -=---
所以2222
21211222244
x x x x x x x -=-+-
因为12x x ≠，所以12
02
x x x +=
，.............................................5分 即102,,x x x 成等差数列.............................................6分
（2）证明：由（1）知：1l ：()2m y n x m -=-（*），故2
1(0,)4
m D -
由（2）知：2m s a +=
，代入（*）中，得：4ms b =，所以(
,)24
m s ms
G +. 所以方程20x ax b +=-的两个根是12m x =
，22
s
x =............................................2分 设1DG GD λ=()R λ∈，则22
(,)(,)244244
s m ms m m s ms m λ-+-=-+ 所以
22
s m m s
λ-+=-.............................................3分 ①必要性：当点G 在线段1DD 上时，有0λ≥，
所以()()0s m s m -+≤，所以||||s m ≤
所以12||
max{||,||}2
m x x =
②充分性：当12||
max{||,||}2
m x x =
时，所以||||s m ≤，所以()()0s m s m -+≤ 所以0λ≥，所以点G 在线段1DD 上
综上所述：“点G 在线段1DD 上”的充要条件是“12||
max{||,||}2
m x x =
”.................6分 3、（奉贤20）已知两点1(2,0)F -，2(2,0)F ，动点P 在y 轴上的射影是H ，且
2121
2
PF PF PH ⋅=，
（1）求动点P 的轨迹方程；
（2）设直线1PF 、2PF 的两个斜率存在，分别记为1k 、2k ，若121k k =，求点P 的坐标； （3）若经过点(1,0)N -的直线l 与动点P 的轨迹有两个交点为T 、Q ，当4
||||7
N T N Q -= 时，求直线l 的方程
【答案】（1）14822=+y x ；（2）点P )332,334(或)332,334(-或)3
32,334(-或)3
3
2,334(--
；
（3）)1(3+±=x y 【解析】（1）设),(y x P ，则),0(y H ，又)0,2(1y x PF ---=→
-，)0,2(2y x PF --=→
-，
)0,0(x PH -=→
-, 又有2
212
1→-→
-→-=⋅PH PF PF ，∴222214x y x =+-，所以动点P D 的轨迹方
程为14
82
2=+y x ； （2）由题意得：x y k x y k --=---=20,2021，所以142221=-=⋅x y k k ，即42
2-=x y ，又由（1）
得14822=+y x ，所以解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==343
16
22y x ，即点P 为P )332,334(或)332,334(-或
)332,334(-
或)3
3
2,334(--； （3）设直线方程
)1(+=x k y ，联立方程组,8
2)
1(2
2⎩⎨⎧=++=y x x k y 得0824)21(2222=-+++k x k x k ，计算0>∆恒成立，设),(),,(2211y x Q y x P ，所以
2
2212221218
2,214k
k x x k k x x +-=⋅+-=+，所以74||||=-→-→-NQ NT
)2(1|1|1|1|12122212+++=++-++=x x k x k x k
即
7
4
2112)2214(122222
=++=++-+k k k k k ，解得3±=k ，所以直线得方程为
)1(3+±=x y .
4、（虹口20）设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过点F 的直线l 与抛物线C 相交于,A B 两点。

（1） 若2AF FB =，求此时直线l 的方程；
（2） 若与直线l 垂直的直线1
l 过点F ，且与抛物线C 相交于,M N 两点，设直线,AB MN 的中点分别为,P Q ,如图1。

求证：直线PQ 过定点；
（3） 设抛物线C 上的点,S T 在其准线上的射影分别为11,S T ,若11
S T F ∆的面积是STF ∆的面积的两倍，如图2，求线段ST 中点的轨迹方程。

【答案】（1）440x -=；（2）()3,0；（3）2
24y x =-；
【解析】（1）不妨设()11,A x y ，()22,B x y ，设直线:1l x my =+，其其与抛物线联立得：
22
1
4404x my y my y x
=+⎧⇒--=⎨=⎩，0,m R >∈ 又2AF FB =，即：()()11221,21,x y x y --=--，得：122y y =-
利用韦达定理得：21222424y y y y =-⇒-=-⇒=
1222224y y y y y m m +=-+=-=⇒=，则
：
:1l x y =+，
即4240
x -= （2）同（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，则AB 中点P 的坐标满足：
12
22
P y y y m +=
=，2121,P P x my m =+=+ 0m ≠，即()221,2P m m + 同理，MN 中点Q 坐标为2
221,Q m
m ⎛⎫+-
⎪⎝⎭，0m ≠ ① 若1m =±，则:3PQ l x =，过点()3,0；
② 若1m ≠±且0m ≠，则()22212:22112PQ m m l y m x m m m ⎛
⎫+ ⎪
⎝⎭-=--⎛
⎫- ⎪
⎝
⎭ 即()2
1:2211PQ l y m x m
m m
-=
---
，令0y =可得3x =，故直线过点()3,0；
综上：直线过定点()3,0
（3）设点()(),,,,S S T T S x y T x y 则()()11,,1,S T S y T y --，那么：11S T F 的面积可表示为：
111
22
S T F
S T S T S
y y y y =
-=-，设线段ST 与x 轴交点为R ，则S T F 的面积可表示为：
1
2STF
S T S
FR y y =-，又：112S T F STF
S S =，则1FR =，故：()2,0R 设线段ST 中点为(),U x y ，()(),,,,S S T T S x y T x y
:2ST l x my =+，联立抛物线与直线得：2480,y my m R --=∈，利用韦达定理，
22,2222
S T
y y y m x my m +=
==+=+，消参可得：224y x =-
5、（黄埔20）双曲线2
2
2:1y x b
Γ-=（0b >）.
（1）若Γ的一条渐近线方程为2y x =，求Γ的方程；
（2）设1F 、2F 是Γ的两个焦点，P 为Γ上一点，且12PF PF ⊥，△12PF F 的面积为9，求
b 的值；
（3）斜率为2的直线与Γ交于A 、B 两点，试根据常数b 的不同取值范围，求线段AB 中点的轨迹方程.
【答案】（1）22
14y x -=；（2）3；（3）2b <，22b y x =
（x <
或x >，
2b >，2
2
b y x =（x ∈R ）
【解析】（1）Γ的渐近线方程为y bx =±，因为0b >，所以2b =，所以Γ的方程是
22
14
y x -=；
（2）有题意可得2
2
1c b =+，因为12PF PF ⊥，所以12222
12244
PF PF PF PF b ⎧-=⎪
⎨+=+⎪⎩解得2122PF PF b ⋅=，又因为△12PF F 的面积为9，所以29b =，0b >，所以3b =.
(3) 设斜率为2的直线方程为2y x m =+(m ∈R )，11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 中点(,)M x y ．
由2
221,2,y x b
y x m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩
得2222(4)4()0b x mx m b ---+=． 因为l 与Γ交于两点，所以240b -≠，且2224(4)0b b m ∆=+->．
AB 中点M 的坐标122
224
x x m
x b +==-，224mb y b =-． 此时，对于2224(4)b b m ∆=+-．
因为m ∈R ，所以当2b >时，240b -<，224m b >-恒成立，即0∆>恒成立．
因此，当2b >时，线段AB 中点的轨迹方程为2
2b y x =． 当02b <<时，线段AB 中点的轨迹方程为2
2
b y x =，||x >
6、（嘉定长宁20）已知椭圆22
:
143
x y Γ+=的左、右焦点分别为1F 、2F , 过2F 的直线l 与椭圆Γ交于P 、Q 两点．
（1）求1F PQ ∆的周长；
（2）设点A 为椭圆Γ的上顶点，点P 在第一象限，点M 在线段2AF 上. 若
112
3
F M F P =
，求点P 的横坐标； （3）设直线l 不平行于坐标轴，点R 为点P 关于x 轴的对称点，直线QR 与x 轴交于点N . 求2QF N ∆面积的最大值.
【答案】（1）8；（2）
65；（3【解析】解：（1）椭圆22
:
143
x y Γ+=的长轴长为4， 由椭圆定义知，1F PQ ∆的周长为8； ………………4分
（2）由椭圆方程得(A ，()11,0F -，()20,1F ， ………………2分 设()11,P x y ，()22,M x y ，
由1123F M F P =
，得()212113x x +=+，212
3
y y =， ① ………………3分
点M 线段2AF 上，所以22,x y
满足方程为)221y x =- ………………4分
将①式代入，得)112y x =-， ………………5分
代入椭圆方程，得2
1156120x x -+=，
因为10x >，所以16
5
x =
. ………………6分 （3）设()11,P x y ，()33,Q x y ，(),0N n ，直线l 的方程为()1y k x =-.
则点R 的坐标为()11,x y -，直线QR 的方程为()31
3331
y y y x x y x x +=
-+-，
()()33113133113331
311322
y x x x x x x x y x y n x y y y y x x --++=-
=
=+++- …………3分 将直线方程代入椭圆方程得：
()2
2
2
2
3484120k x k x k +-+-=，则2132834k x x k +=+，2132412
34k x x k -=+，
所以22
22
2
2
2(412)8343448234k k k k n k k
--++==-+ ， ………………5分
(
)131412QF N S y ∆=⨯-⨯≤
所以2QF N ∆
. ………………6分 7、（金山20）已知椭圆22
:
11x y m m
Γ+=+，过点(1,0)D -的直线l :(1)y k x =+与椭圆Γ交于M N 、两点（M 点在N 点的上方），与y 轴交于点E .
（1） 当1m =且1k =时，求点M N 、的坐标；
（2） 当2m =时，设,EM DM EN DN λμ==，求证：λμ+为定值，并求出该定
值；
（3） 当3m =时，点D 和点F 关于坐标原点对称，若MNF ∆的内切圆面积等于
18
49
π，求直线l 的方程.
【答案】（1）41
(0,1)(,)33
M N -
-、（2）3（3）(1)y x =±+ 【解析】（1）当1m =且1k =时，联立2
2121
x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩解得4-03
11-3x x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩
或，………2分 即41
(0,1)(,)33
M N -
-、……………………………………………………………4分 （2）当2m =时，联立22
+132
(1)x y y k x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩
得2222
(32)6360k x k x k +++-=， 设1122(,y )(,y )M x N x 、，由韦达定理得21222
122632
3632k x x k k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩
，…………………………6分
(0,)E k ，由,E M D M E N D N
λμ==得1122(1),(1)x x x x λμ=+=+…………………8分
从而121211x x x x λμ+=+++=2
2122212122262
2322233661
1
3232
k x x k k k x x x x k k -++++-=-=-⋅+++-+++
故λμ+为定值，该定值为3…………………………………………………10分
（3）当3m =时，椭圆22
:143
x y Γ+= 由MNF ∆的内切圆面积等于
1849π
得半径为7
， (1,0)(1,0)D F -、为椭圆焦点 MNF ∴∆周长为8
18277MNF S ∆∴=⨯⨯=
……………………………………………12分 联立22
+143
(1)x y y k x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩
得2222(43)84120k x k x k +++-=，则
12121|DF ||y y ||()|||||2MNF
S k x x k k ∆=⋅-=-===…14分
化简得4217180k k +-=，解得1k =±……………………………………15分 故直线l 方程为(1)y x =±+ ………………………………………………16分
8、（闵行松江20）把半椭圆()22122:10x y T x a b
+=≥与圆弧()()222
2:10T x y a x -+=<合
成的曲线称作“曲圆”，其中()1,0F 为1T 的右焦点.如图所示，1A 、2A 、1B 、2B 分别是“曲圆”与x 轴、y 轴的交点，已知1223
B FB π
∠=
，过点F 且倾斜角为θ的直线交“曲圆”于P Q 、，（P 在x 轴的上方）.
（1）求半椭圆1T 和圆弧2T 的方程；
（2）当点P Q 、在第一、三象限时，求1A PQ ∆的周长C 的取值范围；
（3）若射线FP 绕点F 顺时针旋转2
π
交“曲圆”于点R ，请用θ表示P R 、两点的坐标，
并求FPR ∆的面积的最小值．
【答案】（1）221:1(0)43
x y x Γ+=≥，()2
22:14x y Γ-+=（0x <）．；（2）()6,8；（3）
【解析】
（1）易得：2a =，1c =，221:1(0)43
x y x Γ+=≥，()2
22:14x y Γ-+=（0x <）． （2）由题意得：03πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，，此时1
AQP ∆为腰长为2的等腰三角形，14sin 2
A Q θ
=，故1
AQP ∆的周长()1124sin 64sin 6,822
C QA QF PF A P a a θ
θ
=+++=++=+∈
所以周长C 的取值范围为()6,8．
（3）不妨设1FP r =，2FR r =，
由题意得：()111cos ,sin P r r θθ+，221cos ,sin 22R r r ππθθ⎛⎫⎛
⎫
⎛
⎫+-
- ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭⎝⎭， 即：()221sin ,cos R r r θθ+-
①当20,3πθ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
，时，将P 点坐标代入22143x y +
=得： ()()2
2
1131cos +4sin 120r r θθ+-=，整理得：()22114cos 6cos 90r r θθ-+-=
解得：132cos r θ=
+或13
cos 2
r θ=-（舍），可得：233
2sin 2cos 2r πθ
θ=
=+⎛⎫+- ⎪
⎝
⎭ ()12113319
=222cos 2sin 2sin cos 2sin cos 4
FPR S r r θθθθθθ=⋅⋅=⋅
+++++△
令sin cos 4t πθθθ⎛
⎫+=
+= ⎪⎝⎭
，则2
9=47FPR S t t ++△
当t =
20,43π
πθ⎛⎤
=
∈ ⎥⎝⎦时，(
)min FPR S =
△②当2,3πθπ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
时，121133=2222sin 2sin FPR S r r θθ=⋅⋅
=>>
++△
综上：PFR ∆
9、（浦东19）浦东一模之后的“大将”洗心革面，再也没进过网吧，开始发奋学习。

2019年春节档非常热门的电影《流浪地球》引发了他的思考：假设地球（设为质点P ，地球半径忽略不计）借助原子发动机开始流浪的轨道是以木星（看作球体，其半径为700R =万米）的中心F 为右焦点的椭圆C 。

已知地球的近木星点A （轨道上离木星表面最近的点）到木星表面的距离为100万米，远离木星点B （轨道上离木星表面最远的点）到木星表面的距离为2500万米。

（1） 求如图给定的坐标系下椭圆C 的标准方程；
（2） 若地球在流浪的过程中，由A 第一次逆时针流浪到与轨道中心O
米时（其中,a b 分别为椭圆的长半轴，短半轴的长），由于木星引力，部分原子发动机突然失去了动力，此时地球向着木星方向开始变轨（如图所示），假设地球变轨后的轨道为一条直线L ，称这条直线的斜率k 为“变轨系数”。

求“变轨系数”k 的取值范围，使地球与木星不会发生碰撞。

（精确到小数点后一位）
【答案】（1）22
22
120001600
x y += （2）( 1.8,1.1)k ∈- 【解析】（1）由题意得32002000
160018001200
a c a
b a
c c +==⎧⎧⇒⇒=⎨
⎨-==⎩⎩
C ：22
22
120001600
x y += （2
=
设)P θθ带入C ：
2222))2
1sin 200016003
θθθ+=⇒=
所以4000(
,33
P
设直线4000
()3
y k x =- 圆心(1200,0)
700d =
>
21>
24258390k +-<
所以( 1.8,1.1)k ∈-
10、（普陀21）设曲线Γ：()022>=p px y ，D 是直线l ：p x 2-=上的任意一点，过D 作Γ的切线，切点分别为B A 、，记O 为坐标原点.
（1）设()24，-D ，求DAB ∆的面积；
（2）设B A D 、、的纵坐标依次为210y y y 、、，求证：0212y y y =+；
（3）设点M 满足OB OA OM +=，是否存在这样的点D ，使得M 关于直线AB 的对称点N 在Γ上？若存在，求出D 的坐标；若不存在，请说明理由.
【参考答案】
解：如图，直线DA ，DB 为切线，设()11,y x A ，()22,y x B ，()00,y x D
因为A 点在抛物线上，有12
12px y =，则点A 在直线11px px y y +=上，
联立⎩⎨⎧=+=px y px px y y 2211，11px y y px -=，代入抛物线方程得
022********=+-⇒-=px y y y px y y y ()
024********=-=-=∆px y px y
所以11px px y y +=与抛物线相切于A 点，即过抛物线上A 点的切线方程为11px px y y +=， 同理可得，过抛物线上B 点的切线为22px px y y +=
由直线DA 和直线DB 相交于D 点，有⎩⎨
⎧+=+=2
0021
001px px y y px px y y ，
可得直线AB 的方程为px px y y +=00，因为点A 和点B 在此直线上；
（1）已知()2,4-D ，即242=⇒-=-p p ，可得直线AB 的方程
为
0442=--⇒+-=y x px p y
所以D 到直线AB 的距离为252
4
24=---=
d
联立016444
2
2
=--⇒⎩⎨
⎧=+=y y x
y y x ，有⎩⎨⎧-=⋅=+1642121y y y y 所以104641621121=+⋅=
-⋅+=y y AB
所以520104252
1
21=⋅⋅=⋅⋅=
∆AB d S DAB （2）直线AB 的方程为px px y y +=00
联立022202200=+-⇒⎩⎨⎧=+=px y y y px
y px
px y y
可得0212y y y =+
（3）假设存在D 点，设OM 与AB 交于C 点，MN 与AB 交于E 点 由()11,y x A ，()22,y x B ，所以()2121,y y x x M ++，设()33,y x N
则⎪⎭⎫
⎝⎛++2,22121y y x x C ，⎪⎭
⎫ ⎝⎛++++2,2321
321y y y x x x E 由C 在直线AB 上，有22210210x
x p px y y y +⋅+=+⋅
① 由E 在直线AB 上，有2
232103210x
x x p px y y y y ++⋅+=++⋅
②
②-①得p
y
y x x p y y 30333022⋅=⇒⋅=⋅
根据N 点在抛物线上，有3232px y =，所以033303
02
32022y y y y y p
y y p
y ==⇒==或 当03=y 时，()0,0N ，此时C 点与E 点重合，易知M 点位于x 轴上，A 点与B 点关于x 轴上下对称，此时D 点坐标为()0,2p -
当032y y =时，此时x MN //轴，x AB ⊥轴，根据AB 方程得00=y ，舍 综上，存在()0,2p D -
11、（青浦20）.在平面直角坐标系xOy 中，对于任意一点(,)P x y ，总存在一个点(,)Q x y ''满足关系式：
:x x
y y
λϕμ'=⎧⎨
'=⎩（0λ>，0μ>），则称ϕ为平面直角坐标系中的伸缩变换. （1）在同一直角坐标系中，求平面直角坐标系中的伸缩变换ϕ，使得椭圆224936x y +=变换为一个单位圆；
（2）在同一直角坐标系中，△AOB （O 为坐标原点）经平面直角坐标系中的伸缩变换
:x x
y y
λϕμ'=⎧⎨
'=⎩（0λ>，0μ>）得到△A O B '''，记△AOB 和△A O B '''的面积分别为S 与S '，求证：
S S
λμ'
=； （3）若△EFG 的三个顶点都在椭圆22
221x y a b
+=（0a b >>），且椭圆中心恰好是△EFG
的重心，求△EFG 的面积.
【答案】（1）1,3
1.
2
x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩；（2）证明略.提示用行列式表示面积；（3
.
【解析】（1）224936x y +=可得：22194x y +=；令 3
2
x
x y y ⎧'=⎪⎪
⎨⎪'=
⎪⎩，则22()()1x y ''+=. （2）设1122(,),(,)A x y B x y ，变换后为1122(,),(,)A x y B x y λμλμ'；
11221221111
122
1
AOB x y S x y x y x y ∆=
=-； 11221221111
122001
A O
B x y S x y x y x y S λμλμλμλμλμ''
∆==-= 故成立.
（3）取伸缩变换：x
x a
y y b ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩
， 0a b >>，
则椭圆22221x y a b
+=变换为圆22
()()1x y ''+=，
设112233(,),(,),(,)E x y F x y G x y ，变换后为112233111111
(
,),(,),(,)E x y F x y G x y a b a b a b
'''；显然E F G '''∆重心也是原点，又原点为E F G '''∆的外心，
则
2sin 60)E F G S '''∆=
⋅=.
故EFG S ∆=
12、（徐汇19）2018年世界人工智能大会已于2018年9月在上海徐汇西岸举行，某高校的志愿者服务小组受大会展示项目的启发，会后决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏，如图，A 、
B 两个信号源相距10米，O 是AB 的中点，过O 点的直线l 与直线AB 的夹角为45°，机器
猫在直线l 上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足：接收到A 点的信号比接收到B 点的信号晚
8
v 秒（注：信号每秒传播0v 米），在时刻0t 时，测得机器鼠距离O 点为4米. （1）以O 为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系（如图），求时刻0t 时机器鼠所在位置的坐标；
（2）游戏设定：机器鼠在距离直线l 不超过1.5米的区域运动时，有“被抓”风险，如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？
【答案】（1）(4,0)；（2
） 1.5d =
>，没有“被抓“风险. 【解析】解：（1）设机器鼠在点(,)P x y 处，则由题意，得00
8
8PA PB v AB v -=
⋅=< 所以，P 为以A 、B 为焦点，实轴长为8，焦距为10 的双曲线右支上的点，
该双曲线的方程为
()22
14169
x y x -=≥，
又4PO =，解得(4,0)P ，
即在时刻0t 时，机器鼠所在位置的坐标为40（，）.
（2）与直线l 平行且距离不超过1.5
的直线方程为(y x m m =+≤
考虑(2y x m m =+≤与()2214169x y x -
=≥是否有交点， 22
22217321614405764032169
x y x mx m m y x m ⎧-
=⎪⇒+++=⇒∆=-⎨⎪=+⎩
因为m ≤
，所以0∆<
所以，(2
y x m m =+≤与()2214169x y x -
=≥没有交点， 即机器鼠保持目前的运动轨迹不变，没有“被抓”风险.
13、（杨浦20）已知椭圆22:143
x y Ω+=的左右两焦点分别为1F 、2F . （1）若矩形ABCD 的边AB 在y 轴上，点C 、D 均在Ω上，求该矩形绕y 轴旋转一周所得圆柱侧面积S 的取值范围；
（2）设斜率为k 的直线l 与Ω交于P 、Q 两点，线段PQ 的中点为(1,M m ）（0m >）， 求证：1
2
k <-
； （3）过Ω上一动点00(,)E x y 作直线00:
143
x x y y
l +=，其中00y ≠，过E 作直线l 的垂线交x 轴于点R ，问是否存在实数λ，使得1221||||||||EF RF EF RF λ⋅=⋅恒成立，若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由.
【答案】（1）]；（2）略；（3）1.
【解析】（1）解法一：不妨假设C 在第一象限，令)2
0)(sin 3,cos 2(π
ααα<
<C ，
则)2sin(34sin 32cos 22απααπ=⋅⋅=S ，
由)0(2πα，∈，得]34,0(π∈S ；
解法二：不妨假设()00,C x y 在第一象限，则22
00
143
x y +=
有 1≥ 所以 00x y ≤
004S x y π=≤ 得]34,0(π∈S ；
（2）解法一：直线l 的方程为)1(-=-x k m y ，代入0124322=-+y x ，
012)(4)(8)34(222=--+-++k m x k m k x k ， 0]3)(4[48]12)(4)[34(4)(64222222>+--=--+--=∆k m k k m k k m k ，
即03)(422>+--k m k ，
又M 为中点，故134)(42
=+--
k k m k ，得k
m 43
-=，0<k ， 代入03)(422>+--k m k 得，0)34)(12)(12(2>++-k k k ，
而0)34)(12(2<+-k k ，故012<+k ，即2
1
-
<k 解法二：设()()1122,,,P x y Q x y ，
则，22221122
1,14343x y x y +=+=两式相减整理得
12121212
34y y x x x x y y -+=--+ 即12
1234x x k y y +=-
+
由题意得
12
1,2
x x +=12
,2
y y m += 于是3
4k m
=-
中点()1,M m 在椭圆内部，则22
11
43
m +< 解得302m <<（要说明理由，否则扣2分） 故1
2
k <-
- 41 - （3）当00x =时， 1221EF RF EF RF ⋅=⋅， 所以，存在实数满足条件，则1λ=； 直线ER 的方程为0)(4
)(30000=---y y x x x y ， 则)0,4
(0x R ， 故2
02020
202020212222212)411()411()1()1(||||||||x x y x y x RF EF RF EF +-⨯+-++=⋅⋅=λ 1)4()4()4()4()4()4(4
33)1(433)1(20202020202020202020=+-⨯-+=+-⨯-+--++=x x x x x x x x x x 所以，1=λ。