2018届高考数学立体几何(理科)专题02二面角

2018届高考数学立体几何（理科）专题02二面角1 •如图，在三棱柱ABC — A,BQ 中，AA 二AB,. ABC =90 侧面AABB j _ 底面ABC.

(1)求证：AB1_ 平面A1BC ；

⑵若AC =5, BC =3, . AAB =60 ,求二面角B - AC -G的余弦值.

2.如图所示的多面体中，下底面平行四边形心二与上底面馆平行, 且汕I im.

霜-弩匚-；必「平面-

1 3

平面,•，点•为—”的中点.

(1)过点：作一个平面•与平面几胡:平行，并说明理由；

(2)求平面珂卜川与平面U所成锐二面角的余弦值.

3•如图，在四棱锥P — ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB = 2AD , BD =,：3AD，且PD _底面ABCD .

（1）证明：平面PBD —平面PBC ;

I

（2）若Q为PC的中点，且AP BQ =1，求二面角Q 一BD —C的大小.

4 .如图所示的几何体是由棱台:4di-.i 和棱锥二-朮 U拼接而成的组合体，其底面四边形応匚C是边长为2的菱形，「、卜-:，工”，IM .平面2FV 2.

（1）求证：mi」”

（2）求平面1:-1 ■■■<■与平面匚"忻所成锐角二面角的余弦值•

5•在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PAB丄平面ABCD，点E、F分

别为BC、AP中点•

(1)求证：EF / /平面PCD ；

(2)若AD二AP二PB,. APB =120°,,求平面DEF与平面PAB所成锐二面角的余弦值

f

J5¥

6 .如图，在四棱锥P -ABCD中,底面ABCD为直角梯形，AD L BC, ._ADC = 90 ,平面PAD _底面ABCD ,

1 _ Q 为AD 中点，M 是棱PC 上的点，PA 二PD=2,BC AD=1,CD = .,3.

2

(I)若点M是棱PC的中点，求证：PA］平面BMQ ;

(H)求证:平面PQB _平面PAD ;

(川)若二面角M —BQ -C为30，设PM二tMC，试确定t的值.

2018届高考数学立体几何（理科）专题 02二面角（教师版）

1 •如图，在三棱柱 ABC — A ,BQ 中， AA 二 AB,. ABC =90 侧面 AABB j _ 底面 ABC . （1）求证：AB 1 _ 平面 A 1BC ； ⑵

若AC =5, BC =3, . AAB =60 ,求二面角B - AC -G 的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）

试題解折：（1＞证明：在侧面时血岡中, AA = A£, 二四边形舟迪为菱枚

二对线.迅丄胡. 14 丫 侧面 A 1ABB 1 _底面 ABC, ABC =90，CB _ 侧面 A 1ABB 1，CB _ . 又；AB - BC = B , AB 1 _ 平面 A 1BC . ⑵

在 Rt[_ABC 中，AC =5,BC =3, AB =4,又菱形 A 1ABB 1 中，； AAB =60 , . L A 1AB

为正三角形• 如團，以菱形4应场的对角线交点o 为坐标原点哲方向为兀轴，皿方向为y 轴，过。且与月c 平行 的方向为卫轴建立如團空间直甬坐标系, 则站（2Q0）.月（―2卫0）口—2心）同他—2点町珂隹―2展町. QC = （-2.2遐0）・£ =Q2尊T,

设 n = x,y,z 为平面 ACG 的方向量，贝H

= 0,

{ _2x ^3^0,

nLCA =0.

2x+2』3y -3z = 0. 2x

令x =3,得n =：3；

3,4为平面ACG 的一个法向量•又OB^! = 0,-2.3,0为平面ABC 的一个法向量,

21 14

（2）求平面；L 'Jl

'与平面'所成锐二面角的余弦值.

沁晁=擁=2总厂语•二面角B 2C 1的余弦值为

试题解析：(1)取，的中点，的中点，连接’、’•、-, 如图所示•则平面「I

J平面讥i：，平面即为所求的平面• • 理由如下：在平行四边形」■中，点

I討分别是…与：的中点, 所以于在二M匸中，点卜.1•分别是越阴的中点，

所以W

显然卜"：4 - ：，-二所以平面L~ J平面，叮旅，亦即平面，II平面AM-；•

(2)不妨设- 、「：••'，注二故小：_ ：」.二 _ ； m - ? j

n

在平行四边形；“匚r中，u-上.，所以一•

3

取」的中点■则九匚丄又平面处：2| 1平面,平面■" ■■- 平面仇厂-:，所以住匚丄平面■：,. •连接二：|■，因为8-「：二，二「-花，所以:：w 又汇丄,所以冥I...-?:：

如图所示，以点：.为坐标原点建立空间直角坐标系」y ［屮Luc, ,门…匚⑺，计―，*

所以w -I ；孚2,二一-—

3.如图，在四棱锥P - ABCD 中,底面ABCD为平行四边形，AB =2AD , BD二.3AD，且PD _底面ABCD .

(1) 证明：平面PBD _平面PBC ；

(2) 若Q为PC的中点，且AP BQ h，求二面角Q - BD -C的大小.

则由•

fn J-A.C

1-,即,

n - A C. =* = 0 f x = 0

Z；D ’ - 2^y z-A/3z2二0，整理得阴 +=0 令- ,' •所以，I 1•

m - n

)= -----------------

ImPinl

x0 + 2xl + (-l)x(-2) J10

【答案】(1见解析;

5

设平面州W的法向量为m =叫丫以讥

设平面：厂”的法向量为'