概率论与数理统计实验_传染病传播问题

传染病传播问题

传染病是人类共同的敌人. 小到流感、病毒性肝炎，大到霍乱、天花、艾滋病、非典型性肺炎等，危害着人们的健康，扰乱了人们正常的工作和生活，同时也侵蚀着人类大量的财富. 因此建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，预报传染病高峰的到来，及时控制传染病的传播是非常重要的事情，一直是各国政府和科学家关注的课题. 以下探讨几类传染病数学模型，对传染病相关的问题做出相应的回答.

注：（1）这里不从医学的角度分析各种传染病的传播，而只是按照一般的传播机理建立几种数学模型；

（2）讨论问题的前提是假定在疾病的传播期内，所考察地区的总人数不变（总人数为N ）.

解：假设 (1) t 时刻健康者和病人在总人数中所占的比例分别为).(),(t i t s 另外,

0)0(i i =；

(2) 每个病人每天有效接触的平均人数为常数λ. λ称日接触率，即当病人与健康者有效接触时，使健康者感染变成病人. 根据假设，有

)0(1)()()()()

(i i t i t s t i t Ns dt

t di N ==+=λ 故可得

???

??=-=0

)0()](1)[()

(i i t i t i dt t di λ （1）

得到

t

e i t i λ-???

? ??-+=

1111

)(0 (2)

这个模型可以用于传染病的前期（对于传染较快的病），早期预报传染病高峰的到来. 1）)(t i ~t 曲线表示传染病的传染曲线；dt

di

~t 曲线表示传染病的上升率与时间的关系，医学上称为传染病曲线.

2) 求)(t i 的一阶导数：

这里已经把0i =0.0012, λ=0.25代入到)(t i 的表达式. 再输入

回到)(t i 的表达式(2), 再求)(t i 的二阶导数, 令022=dt i d ，求出dt di

函数的极大值点,

}}]

001Log[{},{{λ

λai ai t t +--→

∞-→ ????

??-=-11ln 011i t λ （3）

再代入)(t i 的表达式，得2

1

即已求出 2

1*=i 时，dt di

达到最大值. 即传染病的上升率达到最大，这个时刻是

???

?

??-=-11ln 011i t λ.

说明：病人在这个时刻增加得最快，预示着传染病高潮的到来，是医疗卫生部门特别关

注的时刻.

3）从（3）式可知1t 与λ成反比. 日接触率标志着该地区的卫生水平，λ越小，卫生水平越高. 而λ越小，1t 越大，传染病爆发的时刻就会越迟. 所以改善保健设施，采取有效的隔离措施，降低日接触率，可以推迟传染病高峰的到来.

4）由（2）式可知，当∞→t 时，1)(→t i . 这就意味着所有的人都将被传染，处于生病状态. 这是不符合实际情况的. 事实上，传染病人经治疗后，或者痊愈，因而具有免疫力；或者死亡；所以最终病人的比例数)(t i 应该趋于零，即当∞→t 时，0)(→t i . 由此可见，需要重新修改模型假设，再建立数学模型.

感染--治愈 假设：

(1) 与感染模型相同； (2) 与感染模型相同；

(3) 病人可以治愈. 病人每天被治愈的人数占病人总数的比例μ，称为日治愈率. 病人治愈后仍可成为被感染的健康者，所以

μ

1

是这种传染病的平均传染期. 由假设（3）可知

1

)()()()()()

(=+-=t i t s t i t i t s dt

t di μλ0)0(i i = 故可得 ???

??=--=0)0()()](1)[()

(i i t i t i t i dt t di μλ （4）

变换得 ???

??=-+-=0

2)0()()()()

(i i t i t i dt t di μλλ （5）

此方程为贝努利方程，

{{i [t]-> 0

)()(0

)(ai e e e ai e t t t t λμλμλλ-+--}} 得到

()t

e i t i μλμλλμλλ--???

? ??--+-=01)(1 当μλ≠ 当μλ=时，上式不是方程的解，应从原方程出发求解.

()???

??=-=0

20)()(i i t i dt

t di

λ （6） 可以利用分离变量法求解.

{{i[t]->

10

ai t ai λ+}}

即

1

)(1i t t i +=λ为当μλ=时的解. 所以方程组的解为： ()()???????=???? ?

?+≠??

???????? ??--+-=----时当时；当μλλμλμλλμλλμλ1

01

011i t e i t i t （7）

分析：

定义： μ

λ

σ= （8） 从λ和

μ

1

的定义可知，σ是一个传染期内每个病人有效接触的平均人数，称为接触数. 1）作出()t t i ~曲线图，分析病人数的变化规律. 首先求出()t i 的极限，讨论极端情况. 因为

()?

????≤>???

??-=???? ??-=-+∞

→1

0111lim 1σσσμλλ，当；，当t i t （9） 这里有两条()t t i ~曲线, 都是1>σ的情形. 上面一条是0i =0.68, λ=0.25, μ=0.10时的图形; 下面一条是0i =0.0012, λ=0.25, μ=0.10时的图形. 从图25.3可见, 虽然0i 不同, 但

()t i 在t 趋于无穷时有相同的极限σ

1

1-.

这是0i =0.68, λ=0.10, μ=0.10时的()t t i

~曲线.

2）接触数1=σ是一个阈值. 当1≤σ时，病人比例()t i 越来越小，最终趋于零. 说明传染期内，每个病人有效接触的平均人数不超过一个人，最终导致使健康者变为病人的数量不超过病人数. 当1>σ时，病人比例()t i 的增减性取决于初始病人数0i 的大小. 当+∞→t 时，σ

1

1)(-

→t i .

从上式分析可知σ越大，σ

1

1-

越大，即：病人比例()t i 随σ的增加而增加. 相反，增

大治愈率μ，减少接触率λ，（即：降低σ的取值）其实际意义就是要提高医疗水平和保健

水平，可以降低传染病的传播，避免传染病的爆发.

3）特殊情况：当0,1==μλ时，相当于)(,时当+∞→+∞→=

t μ

λ

σ的情况. 即：随着天数t 的无限增大，接触数无限增大，将导致所有的人都成为病人. 这也就是模型(一)的情况.

感染--治愈--免疫

考虑大多数传染病治愈后有很强的免疫力. 所以病愈的人既非健康者又非病人，被免疫的人数不再传染别人，别人也不会传染他们，他们已经退出传染系统. 另外死亡者也看作是退出传染系统.

假设：

（1）人群分为健康者、病人和移出者三类. 三类人在总人数N 中占的比例分别记作()()()t r t i t s ,,，三者之间满足条件：()()()1=++t r t i t s ；

（2）病人的日接触率为λ，病人的日治愈率为μ，传染期接触数为μ

λσ=. 由假设（2）可知

()()()t Ni t i t Ns dt

di

N

μλ-= 对移出者应有 ()t Ni dt

dr

N μ=，

记初始时刻的健康者和病人的比例分别是()0),0(00>>i s ，移出者的初始值00=r .则得

到： ()()()()()()()???

?

?????==-=-=000,0s s i i t i t s dt ds

t i t i t s dt di

λμλ （10） 这是非齐次非线性的微分方程组，难以求出精确的解析解.

结果为 图25.5, 图25.6, 图25.7三个图形. 这是λ=0.25, μ=0.10, )0(i =0.0012时的i(t )~t,

s (t)~t, r (t)~t 曲线.

图25.13

在理论上可以根据方程组的特点，先确定()t i 与()t s 之间的关系，然后再利用s i ,的关系，确定()t i . 将（10）式前两个方程左右两边分别相除得：

()?????=-=

0111i s i s

ds di σ （11） 利用分离变量容易得到方程（11）的精确解

()()000

ln

1

s i s s s

s i ++-=

σ （12）

分析：由（11）式可知，当σ

1

=s 时，0)(=ds t di .

容易验证：当σ1ds di ；当σ

1>s 时，0

.

图形25.13中箭头表示随时间t 的增加()t s 和()t i 的变化趋势. 根据图形25.13分析可知，当+∞→t 时，()()∞∞→→→r t r t i s t s ;0;)(. 由此可得到如下结论：

(1) 无论初始条件00,i s 如何，病人终将消失. 即：当+∞→t 时，()0→t i .

(2) 最终未被感染的健康者的比例是()∞+∞

→=s t s t lim . 在（12）式中，令0=i 可得∞s 满

足的方程：

0ln

1

00=+

-+∞

∞s s s i s σ

（13） 故∞s 是方程（13）式在??

?

??σ1,

0内的单根. (3) 若σ

1

0>

s ，则()t i 先增加. 当σ

1

=

s 时，()t i 达到最大值为

()000ln 11

s i s i m σσ

+-

+=. 然后()t i 减少且趋于零. ()t s 则单调减少趋于∞s .

（4）若σ

1

0≤

s ，则()t i 单调减少趋于零，()t s 则单调减少趋于∞s .

结果：由上述分析可以得知：

(1)如果仅当病人比例()t i 有一段增长的时期才认为传染病在蔓延，这时

σ

1

是一个阈值. 当σ1

0>s 时，传染病就会蔓延，而当提高阈值（即：减少传染期内接触数σ），使σ

10≤s ，

传染病就不会蔓延.

(2) μ

λσ1

s

s =是传染期内一个病人传染健康者的平均数，故s σ称为交换数. 所以当

σ

1

0≤

s 时，即有10≤s σ时，必有1≤s σ. 说明：传染期内交换数不超过1人，病人比例()

t i 不会增加，传染病不会蔓延.

(3) 从μ

λ

σ=

表达式可知，日接触率λ越小，日治愈率μ越大，则接触数σ越小，此时有助于控制传染病的蔓延. 提高卫生水平和医疗水平是控制和降低传染病蔓延的最有效途径.

(4) 在上述模型中，σ可以由实际数据估计得到：利用（13）式（一般0i 很小，可忽

略不计），可得∞

∞

--=

s s s s 00ln ln σ，其中0s 和∞s 可在传染病结束时，由统计数据获得. 或者，

在医学上对血样作免疫检验也可以根据对检验有无反应，估计出0s 和∞s .