《自动控制原理》第5章 控制系统的频域分析：频域稳定判据

0
在[F]，TF包围原点的圈数R=P-Z R=[s]右开环极点的个数－ [s]右闭环极点的个数
系统稳定时：R=[s]右开环极点的个数
5
F (s) = A(s) + B(s) = 1 + G(s)H (s) A( s )
在[F]，TF包围原点的圈数 R=[s]右开环极点的个数－ [s]右闭环极点的个数
Bode图上L( ) 0的所有频率范围内 相频特性 ( )穿越(2K + 1)线的次数
差等于0.(K = 0,1,)
R = 2(N+ − N− ) = 0
24
2、 Bode图闭环系统稳定的充要条件 (2) 开环传函在[s]右有P个极点。
闭环系统稳定的充要条件：
Bode图上L( ) 0的所有频率范围内 相频特性 ( )穿越(2K + 1)线的次数
1
一 、Nyquist判据的数学基础（幅角原理）
复变函数
F(s)
=
k(s − z1 )(s − z2 )(s − (s − p1 )(s − p2 )(s −
zm ) pn )
在[s]取一点s = a + bj 在[F ]确定关于s的映射F = U + jV
2
一 、Nyquist判据的数学基础（幅角原理）P207
28
L(ω)
最 小 相 位 系 统
Φ(ω)
-20dB/dec
− 90 −180
不稳定 ω ω
29
L(ω) 最 小 相 位 系 统
Φ(ω)
− 90 −180 − 270
-60dB/dec
稳定 ω ω
30
5.6 稳定裕度（适用于最小相位系统）
一、相角裕度γ 1、定义
相角裕度 = 180 + (c )
R = 2( N + − N − )
R 0, 顺时针 R 0, 逆时针
9
N+ = 0, N− = 1, R = 2(N+ − N− ) = −2
1
N+
=
, 2
N− = 1,
R = 2(N+ − N− ) = −1
3o 当开环系统含有r个积分环节，修改“D”线.
j + j D
s平面
j0+ C
(3)若开环幅相曲线顺时针包围(-1, j0)点(R<0) 说明闭环系统不稳定。
8
2o 如何判断 Nyquist曲线包围(-1, j0)点的圈数：
正负穿越法(P210) 如图: (ω:0→+∞) 正穿越:从上向下穿越(-∞,-1)段.N+
负穿越:从下向上穿越(-∞,-1)段.N-
半次正穿越、半次负穿越
1 h
=
A( x)
-1
稳定的系统： 0
31
剪切频率
对数幅频特性L()过0dB线频率c （截止频率）
相角裕度 = 180 + (c )
稳定的系统： 0
2、物理意义
对于闭环稳定的系统，开环相频特性再滞后
系统处于临界稳定状态。
32
L(ω)
最 小 相 位 系 统
Φ(ω)
-20dB/dec
− 90
针包围（-1，j 0）点的圈数R等于[s]右的开环极点
数目P。
j
s平面
0
7
1o说明： (1)最小相位系统，开环传函在[s]右无极点。
闭环系统稳定的充要条件： 开环幅相曲线不包围(-1, j0)点. (2)开环传函在[s]右有P个极点。
闭环系统稳定的充要条件： 开环幅相曲线逆时针包围(-1, j0)点R=P圈
(0, b )称为系统的带宽。
44
系统带宽和带宽频率
(1)定义：
b = { | ( j) = 0.707( j0)}或 b = { | 20lg( j) = 20lg( j0) − 3dB}
(0,b )系统的带宽
45
物理意义： 反映系统的跟踪输入信号的能力；
b的频率分量可以从输入传到输出 b的频率分量被不同程度的衰减
辅助函数
F (s) = 1+ G(s)H (s) = A(s) + B(s) A(s)
F (s)的零点是闭环极点，极点是开环极点
4
三、Nyquist 稳定判据
闭环极点多项式 F(s) = 开环极点多项式
1、幅角原理的应用
j
s平面
在[s]作一闭合曲线： 包括整个右半平面和虚轴。 且顺时针围绕的封闭曲线
20
四、Bode图 Nyquist 稳定判据
1、幅相曲线与Bode图的对应关系 [G]
A : −270 → −180 → −90 B : −90 → −180 → −270
B线 A线
单位圆
21
Nyquist图中
(−1, j0)处：对应模是1，对应角是(2k + 1)
Bode图中
模是1，即
A() = 1 L() = 20 lg A() = 0
26
例：开环传递函数G(s) =
360
s(0.1s + 1)(0.01s + 1)
Magnitude (dB)
绘制Bode图，判断闭环系统稳定性。
Bode Diagram 100
50
0
-50
-100
-150 -90
-135
-180
-225
-270
10-1
100
101
102
103
104
Frequency (rad/s)
5.5 频域稳定判据(Nyquist Stability Criterion)
R(s)
C(s) 利用开环频率特性判
G(s)
断闭环系统的稳定性.
H(s)
闭环传递函数为
C(s) = G(s) R(s) 1 + H (s)G(s)
为了保证系统稳定，特征方程 1+ H(s)G(s) = 0 的全部根，都必须位于左半s平面。
-0.6
-0.4
-0.2
0
Real Axis
K＝10
Imaginary Axis
Nyquist Diagram 10
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
-10
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
Real Axis
G(s) =
K
(K 0)
s(s + 1)( s + 2)
实部 = − K 6
−1
0 K 6 ，闭环系统稳定
c = x =
2
K 3 −1
3
2
K = 10, c = 103 −1 = 1.908
x = 3
A((cx))
= =
−187.0 , 1.25, h =
=
0.8
−7.0
例: 开环传递函数
3.16(1+ s)
G(s) = s2 (0.1s + 1)2
计算稳定裕度.
(c ) = −142.6 = 37.4 (x ) = −180 x = 8.94rad / s h = −20lg A(x ) = 11.5dB
E
j0−
B 1
A
Im
=s0=− Ae' j (−9G0H平面 90 )
→ =0−
B'
= D', E', F'
Re
− j F
= 0+
C'
从G( j0)H ( j0)开始顺时针补画v 90 ,半径为
的圆弧
11
N+ = 0, N− = 0, R=0
N+ = 1, N− = 1, R=0
49
二、频域指标和时域指标的关系
五版：P226~228
0.6
0.8
1
Real Axis
14
例2：
开环传递函数G(s) =
K
(K 0)
s(s + 1)( s + 2)
(1)判断K＝10，K=2时闭环系统的稳定性 (2)求闭环系统稳定时K的取值范围?
当开环函数某些参数发生变化， 闭环系统的稳定性发生变化，闭 环稳定为条件稳定。
15
G(s) =
K
(K 0)
N+ = 0,
3
N−
=
, 2
R = −3
例1: 设闭环系统的开环传递函数为：
K H (s)G(s) =
(T1s + 1)(T2s + 1)
Nyquist Diagram 0.6
0.4
0.2
Imaginary Axis
0
-0.2
系统稳定 -0.4
-0.6
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
ωb与系统的响应速度（上升时间）成反比 如果输入信号的带宽为 0 − M
b = (5 ~ 10)M
46
dB L()
( j0) 0 0.707( j0) − 3
( j) 3
带宽
b
输入信号 R( j)
干扰信号 N( j)
0
M
1
n
一阶系统的带宽
(s) = 1
Ts +1
c
=
1 T
|( j) |= 1 T 22 + 1
R = 2( N + − N − ) = P(K = 0,1,)
Βιβλιοθήκη Baidu25
2、 Bode图闭环系统稳定的充要条件 （3）当开环系统含有v个积分环节
在相频特性()曲线上从较小且L() 0的点
向上补作v 90一条虚直线
L(ω)与0dB线只有一个ωc时，且开环系统在[s]右
无极点、零点
(c ) −180 ,系统稳定 (c ) = −180 ,系统临界稳定 (c ) −180 ,系统不稳定
( j) = 0.707( j0) |( j) |= 1 = 0.707
T 22 + 1
b
=
1 T
48
二阶系统的带宽
(s)
=
s2
+
n2 2 n s
+ n2
( j) =
1
(1 − 2 )2 + (2 )2
n2
n
|( j0) |= 1
|( j) |= 0.707
b = n (1− 2 2 )+ 2 − 4 2 + 4 4
27
Phase (deg)
例：开环传递函数G(s) =
360
s(0.1s + 1)(0.01s + 1)
绘制Bode图，判断闭环系统稳定性。
方法二： 求ωc | G( j) |= 1 c = 60
(c ) = −90 − arctanc 0.1 − arctan c 0.01 (c ) = −201.5
A(c ) =
K 3 =1
(1+ c2 ) 2
(x ) = −3arctan x = −
c = x =
2
K 3 −1
3
2
K = 4, c = 43 −1 = 1.233
x = 3
A((cx))
= =
−152.9 , 0.5, h =
2
= 27.1
A(c ) =
K 3 =1
(1+ c2 ) 2
(x ) = −3arctan x = −
且
L() 0, 对应Nyquist图中点(−1, j0)的左侧， L() 0, 对应Nyquist图中点(−1, j0)的右侧。
L(dB) 0
( )
L( ) 0
− 180
(− )
(+ )
23
2、 Bode图闭环系统稳定的充要条件 (1)最小相位系统，开环传函在[s]右无极点。
闭环系统稳定的充要条件：
s(s + 1)( s + 2)
G(s) =
0.5 K
s(s + 1)(0.5s + 1)
G( j ) =
0.5 K
(K 0)
j ( j + 1)( j0.5 + 1)
G(
j )
=
− 0.5K[1.5 2 + j(1 − 2 ( 2 + 1)(0.25 2
0.5 2 )]
(K + 1)
0)
= 2
开环系统G(s)H(s)的Nyquist曲线围绕(-1, j0)点的圈数
Im 1+GH平面
Im GH平面
Re 01
1+G( j)H( j)
−1 1+G( j)H( j)
Re 0 G( j)H( j)
6
2、Nyquist 稳定判据 闭环系统稳定的 充要条件
当由− 变到 + 时，系统的开环幅相曲线逆时
实部 = − K 6
16
开环传递函数G(s) =
K
(K 0)
s(s + 1)( s + 2)
实部 = − K 6
当K=10时， 实部 = − 5
3
当K=2时， 实部 = − 1
3
17
K=2
Nyquist Diagram 3
2
1
Imaginary Axis
0
-1
-2
-3
-1.4
-1.2
-1
-0.8
42
为了得到较满意的暂态响应，一般相角裕度应当
在 30 到 60之间，而幅值裕度应大于 6dB
43
5.7 控制系统频域性能指标
一、控制系统的频带宽度
设( j)为系统闭环频率特性，当闭环幅频特性下
降到频率为0时的分贝值以下3dB,即0.707 ( j0) dB时，
对应的频率称为带宽频率，记为b。 当 b时, 20lg ( j) 20lg ( j0) − 3
系统处于临界稳定状态。
35
1 h
=
A( x)
-1
37
L(ω)
最 小 相 位 系 统
Φ(ω)
-20dB/dec
h
− 90
−180
− 270
不稳定 ω ω
38
开环频率特性
G(
j)
=
K[(1− 3 2 ) − j(3 − 2 )] (1+ 2 )3
A() =
K
3
(1+ 2 ) 2
() = −3arctan
−180 − 270
不稳定 ω ω
34
二、幅值裕度 h 1、定义
正增益裕度表示系统是稳定的； 负增益裕度表示系统是不稳定的。
(x ) = −180,x为系统的穿越频率
幅值A(x )增大h倍为单位1
幅值裕度h = 1
h = −20lg(A(x )) = −L(x )dB
A(x )
2、物理意义
对于闭环稳定的系统，开环幅频特性再增大h倍
R 0顺时针 R = 0不包围 R 0逆时针
在[s]任取一条闭合曲线T，包围F(s)的Z个零点和P个 极点，且不通过F(s)的零点和极点，当复变量s沿曲 线T顺时针绕一周时，在[F]，TF包围原点的圈数 R=P-Z
3
二、闭环极点与开环极点的关系
设系统的开环传函：G(s)H (s) = B(s) A(s)