2020年高三数学大串讲第20讲(数列中的新定义问题)(解析版)

第20讲 数列中的新定义问题
【目标导航】
解决新定义问题，首先考察对定义的理解．其次是考查满足新定义的数列的简单应用，如在某些条件下，满足新定义的数列有某些新的性质，这也是在新环境下研究“旧”性质，此时需要结合新数列的新性质，探究“旧”性质．第三是考查综合分析能力，主要是将新性质有机地应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质． 【例题导读】
例1、数学运算中，常用符号来表示算式，如
n
i
i a
=∑=
0123n
a a a a a +++++L ，其中i N ∈，n N +
∈．
（Ⅰ）若0a ，1a ，2a ，…，n a 成等差数列，且00a =，公差1d =，求证：
()0n
i i
n
i a C ==∑1
2
n n -⋅；
（Ⅱ）若
22
201221
(1)n
k
n
n k x a a x a x a x =+=++++∑L ，20
n
n i i b a ==∑，记1
1[(1)]n
i i
n i n i d b C ==+-∑，且不等式
(1)n n t d b ⋅-≤对于*n N ∀∈恒成立，求实数t 的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）由已知得，等差数列的通项公式为n a n =，
则
()0
n
i i
n
i a C ==∑120
12n n n n n a
a C a C a C ++++L 01120()(2)n n
n n n n n n a C C C C C nC =+++++++L L
因为11k k n n kC nC --=，所以122n n n n C C nC +++L 011
111()n n n n n C C C ----=+++L ，
所以
()0
n
i i
n
i a C ==∑10
22n n a
n -⋅+⋅=12n n -⋅．
（Ⅱ）令1x =，则22
3
20
2(14)
22222421n n
n
n i i a =-=++++=
=⋅--∑L ， 令1x =-，则
20
[(1)]0n i
i i a =-=∑，所以20
n
n i i b a ==∑1
(242)412
n n =
⋅-=-， 根据已知条件可知，012233(41)(41)(41)(1)(41)n n n
n n n n n n d C C C C C =--+---++--L
01223301234[(4)(4)(4)(4)][(1)]1n n n n
n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C =+-+-+-++---+-+++-+L L
(14)(11)1(3)1n n n =---+=-+，所以(3)1n n d =-+，
将41n n b =-、(3)1n n d =-+代入不等式(1)n n t d b ⋅-≤得，(3)41n n
t ⋅-≤-，
当n 为偶数时，41()()33n
n
t ≤-，所以2
2
415()()33
3
t ≤-=
； 当n 为奇数时，41[()()]33n n t ≥--
，所以11
41[()()]133
t ≥--=-；
综上所述，所以实数的取值范围是5
[1,]3
-．
例2、若数列{}n a 同时满足：①对于任意的正整数n ，1a n a a +≥恒成立；②对于给定的正整数k ，
2n k n k n a a a -++=对于任意的正整数()n n k >恒成立，则称数列{}n a 是“()R k 数列”．
（1）已知22,,{
2,,
n n n a n n -=为奇数为偶数判断数列{}n a 是否为“()2R 数列”，并说明理由；
（2）已知数列{}n b 是“()3R 数列”，且存在整数(1)p p >，使得33p b -，31p b -，31p b +，33p b +成等差数列，证明： {}n b 是等差数列． 【解析】
22n n a a -++= ()()222242n n n n a -++==．
所以数列{}n a 是“()2R 数列”．
（2）由题意可得： 332n n n b b b -++=，则数列1b ，4b ，7b ，⋅⋅⋅是等差数列，设其公差为1d ，
数列2b ，3b ，8b ，⋅⋅⋅是等差数列，设其公差为2d ，数列3b ，6b ，9b ，⋅⋅⋅是等差数列，设其公差为3d ． 因为1n n b b +≤，所以313234n n n b b b +++≤≤，所以()1122111b nd b nd b n d +≤+≤++， 所以()2112n d d b b -≥-①，()21121n d d b b d -≤-+②． 若210d d -<，则当12
21
b b n d d ->
-时，①不成立；
若210d d ->，则当121
21
b b d n d d -+>
-时，②不成立；
若210d d -=，则①和②都成立，所以12d d =．
同理得： 13d d =，所以123d d d ==，记123d d d d ===． 设31333131p p p p b b b b --+--=- 3331p p b b λ++=-=，
则()()()
313231311n n p p b b b n p d b n p d ---+-=+--+--3131p p b b d d λ-+=-+=-． 同理可得： 331313n n n n b b b b d λ-+-=-=-，所以1n n b b d λ+-=-，所以{}n b 是等差数列． 【另解】3133p p b b λ--=- ()()()
2312b p d b p d =+--+- 23b b d =-+，
3131p p b b λ+-=- ()()12121b pd b p d b b d =+-+-=-+， 3331p p b b λ++=- ()3131b pd b pd b b =+-+=-，
以上三式相加可得： 32d λ=，所以23d λ=
，所以()3211n b b n d -=+- ()13213
d b n =+-+， ()3121n b b n d -=+- ()11b d n d λ=+-+- ()13113
d
b n =+--，
()331n b b n d =+- ()11b n d λ=++- ()1313
d
b n =+-，
所以()113n d b b n =+-，所以13
n n d
b b +-=，所以数列{}n b 是等差数列．
例3、已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(
)2
*
241n n n a a S n N
+=-∈．
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若2121
1
n n n n a b S S -++=
⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 的取值范围；
（3）若()2
1
1,22,n n n
a n c n ⎧+⎪=⎨⎪⎩为奇数
为偶数
()*n N ∈，从数列{}n c 中抽出部分项（奇数项与偶数项均不少于两项），将抽出的项按照某一顺序排列后构成等差数列．当等差数列的项数最大时，求所有满足条件的等差数列． 【解析】
（1）当1n =时，由2241n n n a a S +=-，得2
111241a a a +=-，得11a =，
由2241n n n a a S +=-，得2
111241n n n a a S ++++=-，两式相减，得
22
111224n n n n n a a a a a +++-+-=，即()221120n n n n a a a a ++--+=，即()()1120n n n n a a a a ++--+=
因为数列{}n a 各项均为正数，所以10n n a a ++>，所以12n n a a +-= 所以数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列．
因此，12(1)21n a n n =+-=-，即数列{}n a 的通项公式为21n a n =-． （2）由（1）知21n a n =-，所以2(121)
2
n n n S n +-==
所以22212112(21)(21)n n n n a n b S S n n -++=
=⋅-+22111
4(21)(21)n n ⎡⎛⎤=-⎢ ⎥-+⎝
⎦⎣ 所以222222
246
133557n T =
++⨯⨯⨯222(21)(21)n n n ++-+L
2222222111111111433557(21)(21)n n ⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎩⎭L 211
14(21)n ⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦
令21()1(21)f n n =-
+，则(1)()f n f n +-=2222
118(1)
0(21)(23)(23)(21)
n n n n n +-=>++++ 所以()f n 是单调递增数列，数列{}n T 递增，所以1
29n T T ≥=，又14n T <，所以n T 的取值范围为21,94⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
． （3）2,212,2n
n n n k c n k
=-⎧⎪
=⎨⎪=⎩ 设奇数项取了s 项，偶数项取了k 项，其中s ，*k N ∈，2s ≥，2k ≥．
因为数列{}n c 的奇数项均为奇数，偶数项均为偶数，因此，若抽出的项按照某种顺序构成等差数列，则该数列中相邻的项必定一个是奇数，一个是偶数．
假设抽出的数列中有三个偶数，则每两个相邻偶数的等差中项为奇数． 设抽出的三个偶数从小到大依次为2i ，2j ，()2
1p
i j p ≤<<，
则1122222i j
i j --+=+为奇数，而1i ≥，2j ≥，则12j -为偶数，12i -为奇数，所以1i =．
又1122222
j p j p --+=+为奇数，而2j ≥，3p ≥，则12j -与12p -均为偶数，矛盾．
又因为2k ≥，所以2k =，即偶数只有两项， 则奇数最多有3项，即s k +的最大值为5．
设此等差数列为1d ，2d ，3d ，4d ，5d ，则1d ，3d ，5d 为奇数，2d ，4d 为偶数，且22d =． 由13224d d d +==，得11d =，33d =，此数列为1，2，3，4，5． 同理，若从大到小排列，此数列为5，4，3，2，1．
综上，当等差数列的项数最大时，满足条件的数列为1，2，3，4，5和5，4，3，2，1． 例4、已知数列{}n a 满足1133,1,{
1,n n n a n n a a a n n ++==---为奇数，
为偶数，
记数列{}n a 的前n 项和为2,n n n S b a =，
*.n N ∈
（1）求证：数列{}n b 为等比数列，并求其通项n b ； （2）求n S ；
（3）问是否存在正整数n ，使得212n n n S b S +>>成立？说明理由． 【解析】
（2）21221n n a a n +=---，所以21221n n a a n ++=--， 当n 为奇数时，可令*
21,n k k N =-∈，
则()()
211232221......n k k k S S a a a a a ---==+++++
()()
()()()2
23211113 (211222)
4
k k n k k +--+=+-++-+=-
=-=-，
当n 为偶数时，可令*
2,n k k N =∈，
则()()
21232221
221......n k k k k k k S S a a a a a a S b ---==++++++=+()2
22234
n
n =---；
（3）假设存在正整数n ，使得212n n n S b S +>> 成立，
因为()22121n S n +=-+，()22223n n S n =---，所以只要()()()222123223n n
n n -+>-->--- 即只要满足 ①：22n >，和②：()()2
2321n
n -+>+，对于①只要2n ≥ 就可以； 对于②，当n 为奇数时，满足()2
2321n n -⋅+>+，不成立，
当n 为偶数时，满足()2
2321n
n ⋅+>+，即22123n n n +->，令221
3
n n
n n c +-=， 因为()2
22222
2232181216
0333
n n
n n n n n n n n n c c +++++++---+-=
-=<， 即2
n n c c +<，且当2n = 时，221
23
n
n n +->， 所以当n 为偶数时，②式成立，即当n 为偶数时，212n n n S b S +>>成立． 例5、
记{}1,2,100U =…，
．对数列{}(
)*
n a n N ∈和U
的子集T ，若T =∅，定义0T S =；若
{}12,,k T t t t =…，，定义1
2
+k
T t t t S a a a =++…．例如：{}=1,3,66T 时，1366+T S a a a =+．现设
{}()*n a n N ∈是公比为3的等比数列，且当{}=2,4T 时，=30T S ．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）对任意正整数()1100k k ≤≤，若{}1,2,k T ⊆…，
，求证：1T k S a +<； （3）设,,C D C U D U S S ⊆⊆≥，求证：2C C D D S S S +≥I ． 【解析】
1）由已知得1
*13
,n n a a n N -=•∈．
于是当{2,4}T =时，2411132730r S a a a a a =+=+=． 又30r S =，故13030a =，即11a =． 所以数列{}n a 的通项公式为1
*3
,n n a n N -=∈． （2）因为{1,2,,}T k ⊆L ，1
*3
0,n n a n N -=>∈，
所以1
121
133
(31)32
k k k r k S a a a -≤+++=+++=-<L L ．
因此，1r k S a +<．
（3）下面分三种情况证明．
①若D 是C 的子集，则2C C D C D D D D S S S S S S S +=+≥+=I ． ②若C 是D 的子集，则22C C D C C C D S S S S S S +=+=≥I ． ③若D 不是C 的子集，且C 不是D 的子集．
令U E C C D =I ，U F D C C =I 则E φ≠，F φ≠，E F φ=I ． 于是C E C D S S S =+I ，D F C D S S S =+I ，进而由C D S S ≥，得E F S S ≥． 设k 是E 中的最大数，l 为F 中的最大数，则1,1,k l k l ≥≥≠． 由（2）知，1E k S a +<，于是1
133l k l F E k a S S a -+=≤≤<=，所以1l k -<，即l k ≤．
又k l ≠，故1l k ≤-，
从而1
121131133
222
l l k E F l a S S a a a ----≤+++=+++==≤L L ，
故21E F S S ≥+，所以2()1C C D D C D S S S S -≥-+I I ， 即21C C D D S S S +≥+I ．
综合①②③得，2C C D D S S S +≥I ．
例6、设数列A ：1a ，2a ，…N a (N ≥)．如果对小于n (2n N ≤≤)的每个正整数k 都有k a ＜n a ，则称n 是数列A 的一个“G 时刻”．记“)(A G 是数列A 的所有“G 时刻”组成的集合． （1）对数列A ：-2，2，-1，1，3，写出)(A G 的所有元素； （2）证明：若数列A 中存在n a 使得n a >1a ，则∅≠)(A G ；
（3）证明：若数列A 满足n a -1n a - ≤1（n=2，3，…，N ），则)(A G 的元素个数不小于N a -1a ．
【解析】
（2）因为存在n a 使得1a a n >，所以{}
∅≠>≤≤∈*1,2a a N i N i i ． 记{}
1,2min a a N i N i m i >≤≤∈=*，
则2≥m ，且对任意正整数m k a a a m k <≤<1,． 因此)(A G m ∈，从而∅≠)(A G ． （3）当1a a N ≤时，结论成立． 以下设1a a N >． 由（Ⅱ）知∅≠)(A G ．
设{}
p p n n n n n n A G <⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅=2121,,,,)(，记10=n ． 则p n n n n a a a a <⋅⋅⋅<<<210．
对p i ,,1,0⋅⋅⋅=，记{
}
i n k i i a a N k n N k G >≤<∈=*
,．
如果∅≠i G ，取i i G m min =，则对任何i i m n k i a a a m k <≤<≤,1． 从而)(A G m i ∈且1+=i i n m ．
又因为p n 是)(A G 中的最大元素，所以∅=p G ． 从而对任意n k n p ≤≤，p n k a a ≤，特别地，p n N a a ≤． 对i i n n a a p i ≤-⋅⋅⋅=-+11,1,,1,0．
因此1)(111111+≤-+=--++++i i i i i n n n n n a a a a a ． 所以p a a
a a a a i i
p n p
i n n N ≤-=-≤--∑=)(11
11．
【反馈练习】
1．定义：若无穷数列{}n a 满足{}1n n a a +-是公比为q 的等比数列，则称数列{}n a 为“()M q 数列”．设数列{}n b 中131,7b b ==
（1）若24b =，且数列{}n b 是“()M q 数列”，求数列{}n b 的通项公式； （2）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且11
22
n n b S n λ+=-+，请判断数列{}n b 是否为“()M q 数列”，并说明理由；
（3）若数列{}n b 是“(2)M 数列”，是否存在正整数,m n ，使得40394040
20192019
m n b b <<？若存在，请求出所有满足条件的正整数,m n ；若不存在，请说明理由． 【解析】
（1）由题意可得21323,3b b b b -=-=，
由数列{}n b 为“()M q 数列”可得()3221b b q b b -=-，即1q =，
则{}1n n b b +-是公比为1的等比数列，即21*
13,n n b b b b n N +-=-=∈，
则{}n b 是首项为1，公差为3的等差数列，32n b n =-； （2）{}n b 是“()M q ”数列，
理由如下：2n ≥时，由1122n n b S n λ+=-+，可得11
2(1)2n n b S n λ-=--+， 两式作差可得1122n n n b b b +-=-即11
3,22
n n b b n +-=-≥，
则211
32n n b b ++-=-，两式作差可得21133n n n n b b b b +++-=-，即()2113,2n n n n b b b b n +++-=-≥，
由32313,72b b b -=-=，可得252b =，则()322193
3322
b b b b -==⨯=-，
则()2113n n n n b b b b +++-=-对任意*n N ∈成立，则{}1n n b b +-为首项是3
2
，公比为3的等比软列，
则{}n b 为()M q 数列；
（3）由{}n b 是(2)M 数列，可得{}1n n b b +-是公比为2的等比数列， 即()1
1212
n n n b b b b -+-=-，则()32212b b b b -=-，由131,7b b ==，可得2
3b
=，则12n n n b b +-=，
则()()()2
1
121321222
22n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-=+++=-L L ，
则21n
n b =-，若正整数,m n 满足4039404020192019m n b b <<，则40392140402019212019
m n -<<
-， 由210,210n m ->->，则2121m n ->-，则m n >，
若2m n ≥+，则22121344212121m n n n n +--≥=+>---，不满足4039214040
2019212019
m n -<<
-， 若1m n =+，则14039214040
2019212019
n n +-<<
-，则403914040222019212019n -<<--，即1122019212019n <<-， 则
2021
220202
n <<，则正整数10n =，则11m =； 因此存在满足条件的,,11,10m n m n ==．
2．设数列{}n a ()*n N ∈是公差不为零等差数列，满足2
369579,6a a a a a a +=+=；数列{}n b ()*n N ∈的
前n 项和为n S ，且满足423n n S b +=． （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；
（2）在1b 和2b 之间插入1个数11x ，使1112,,b x b 成等差数列；在2b 和3b 之间插入2个数2122,x x ，使
221223,,,b x x b 成等差数列；……；在n b 和1n b +之间插入n 个数12,,...,n n nm x x x ，使121,,,...,n n n nm n b x x x b +成等
差数列，
（i ）求11212212......n n n nm T x x x x x x =+++++++； （ii ）是否存在正整数,m n ，使1
2m n m
a T a +=成立？若存在，求出所有的正整数对(),m n ；若不存在，请说明理由． 【解析】
（1）设数列{}n a 的公差为()d d ≠0 则由条件369a a a +=，
可得()()111258a d a d a d +++=+，1a d ∴=，
又由2
5796a a a +=，
可得()()()2
1114668a d a d a d +++=+，
将1a d =代入上式得254954d d d +=，
24949d d ∴=
01n d d a n ≠∴=∴=Q
由423n n S b += ①
当2n ≥时，11423n n S b --+= ② ①-②得：14220n n n b b b -+-=
11
(2)3
n n b b n -∴=≥
又1111423
02
b b b +=∴=
≠ {}n b ∴是首项为12，公比为1
3
的等比数列，
故()1
*
1123n n b n N -⎛⎫
=∈ ⎪
⎝⎭
()1
*
11,23n n n a n b n N -⎛⎫
∴==∈ ⎪
⎝⎭
（2）①在n b 和1n b +之间插入n 个数12,,,n n nn x x x K ， 因为121,,,,,n n n nn n b x x x b +K 成等差数列，设公差为n d
则1
111111
2323
(2)11
3(1)
n n n n n n
b b d n n n -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
===-+-++， 则1
11233(1)
n nk n n n
k
x b kd n -⎛⎫
=+=-
⎪
+⎝⎭
， 1
1
111(1)233(1)23
n n
nk n
n k n n n
x n n -=+⎛⎫
∴=⋅-
⋅= ⎪
+⎝⎭∑， 11212212211333
n n n nn n n
T x x x x x x ∴=+++++++=+++L L L ①
则231111133333
n n n n n
T +-=++⋯++ ②
①-②得：21
1111133211111
11333333233
13n
n
n n n n
n n n n T +++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢
⎥⎛⎫⎣⎦=+++-=-=--
⎪⎝⎭-L ， 13144323
n n n n T -∴=
--⋅⋅ ②若1
2m n m
a T a +=
，因为n a n =，所以m a m =， 则
13111144323222n n n m m m -+--==+⋅⋅， 1111443232n n n m
---=⋅⋅， 从而3321432n n
n m
--=⋅， 故()
23234623462323323323
n n n n n n n n m n n n --++⋅+===+------， 当1n =时，*10
232m N =+
=-∉-， 当2n =时，*14
292
m N =+=∈， 当3n =时，*213m N =+=∈，
下证4(*)n n N ≥∈时，有32346n n n -->+， 即证3690n n -->， 设()369(4)x
f x x x =--≥，
则4
()3ln 3636360x
x
f x '=->-≥->，
()f x ∴在[4,)+∞上单调递增，
故4n ≥时，43693649480n n -->-⨯-=>
即46
01323
n
n n +<
<--， 从而4n ≥时，m 不是整数
故所求的所有整数对为(9,2)及(3,3)．
3．已知n *∈N ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11n n S a a +=-；数列{}n b 的前n 项和为n T ，且满足
()1
12
n n n T b n n b +=++，且12a b =．
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的通项公式； （3）设n
n n
a c
b =
，问：数列{}n c 中是否存在不同两项i c ，j c （1i j ≤<，i ，j *∈N ），使i j c c +仍是数列{}n c 中的项?若存在，请求出i ，j ；若不存在，请说明理由．
【解析】
（1）∵数列{}n b 的前n 项和为n T ，且满足()1
12
n n n T b n n b +=++ ∴11b =，22b =
由11n n S a a +=-，得()112n n S a a n -=-≥． ∴()122n n a a n -=≥，且121a a a =-，即212a a =． ∴数列{}n a 是首项为122a b ==，公比为2的等比数列
∴2n
n a =
（2）∵()1
12
n n n T b n n b +=+
+① 2n ≥时，()()1111
1112n n n T b n n b ---+=-+-+②
①-②得()11111
11222
n n n n n b b b nb n b --+-=++--
∴()114231n n n n b b nb n b ---=+--，()()1433n n n b n b ----=-
3n ≥时，()()12543n n n b n b -----=-，∴()()()214428n n n n b n b n b ---+-=-
∴212n n n b b b --+= ∴{}n b 为等差数列 ∴()111n b n n =+-⋅=
（3）2n n c n
=，假设{}n c 中存在不同的两项i c ，j c （1i j ≤<），使i j k c c c +=（k *
∈N ）222i j k i j k ⇒+=
注意到()()()()
111212
12220111n n
n n n n n n n n c c n n n n n n +++⋅-+⋅-⋅-=
-==≥+++． ∴{}n c 单调递增
由22k j
k j k j
>⇒>，则1k j ≥+． ∴()()
11222211j k j i j k j i j j +-≥⇒≥++ 令j i m -=（m 1≥），∴j m i =+ ∴()()()()()1122
11111j i
j j m i m i m i j i m i i m i -++++⎛⎫⎛⎫≤==++ ⎪⎪-+-+-⎝⎭⎝⎭
∵2m i +≥ ∴2131m i +
≤+-，而11m
m i
+≤+
∴()231m
m ≤+，231m
m
≤+
令21
n
n C n =+，则()()()()()()11121222220211212n n n n n n n n n n C C n n n n n n ++++-+⋅-=
-==>++++++ ∴{}n C 为单调递增，注意到3m =时，322313=<+，4216
3145
=>+
∴m 只能为1，2，3
①当1m =时，11j i j i -=⇒=+
∴()()22
2
2
123232
21i i i i i i i i ++++≤==++，故i 只能为1，2，3
当1i =时，2j =，此时242442k k k =+=⇒=
当2i =时，3j =，此时2814
233
k k =+=无整数解，舍
当3i =时，4j =，此时2820
433
k k =+=
，无正整数解，舍去
②当2m =时，2j i =+，此时()()()2
22
234623360
1i i i i i i i i i
+++≤
⇒≥⇒--≤++ ∴1i =，此时3j =，2814
233
k k =+=⇒无解
③当3m =时，3j i =+，此时()()()
22234871281679120
2i i i i i i i i i i ++≤⇒++≥+⇒+-≤+，无正整数
解，舍去．
综上：存在1i =，2j =满足题意．
4．已知{}n a 是由非负整数组成的无穷数列，对每一个正整数n ，该数列前n 项的最大值记为n A ，第n 项之后各项12,,...n n a a ++的最小值记为n B ，记n n n d A B =-．
（1）若数列{}n a 的通项公式为5,14
1,5n n n a n -≤≤⎧=⎨
≥⎩
，求数列{}n d 的通项公式； （2）证明：“数列{}n a 单调递增”是“,0n n N d *
∀∈<”的充要条件；
（3）若n n d a =对任意n *∈N 恒成立，证明：数列{}n a 的通项公式为0n a =． 【解析】
（1）当14n ≤≤，数列{}n a 是递减数列，最大为14a =， 又451n a a a ==⋯==⋯=， 所以4,
1n n A B ==，1,2,3,n =⋯，所413n n n d A B =-=-=．
（2）充分性：数列{}n a 单调递增，则12n a a a <<<<L L ， 则11,n n n A a B a +==，
所以110n n n n d A B a a +=-=-<．
必要性：对于数列{}n a ，*
,0,0n n n n n N d d A B ∀∈<=-<即n n A B <，
当1n =时，{}111212min ,,,n a A B a a α+==<≤L L ，所以1
2a a <， 当2n =时，222a A B =<，{}2313min ,,,n B a a a +=≤L L ，所以23a a <，
同理34n a a a ⋯<<⋯<即数列{}n a 单调递增，
故“数列{}n a 单调递增”是“,0n n N d *
∀∈<”的充要条件．
（3）当1n =时，11A a =，因为11d a =，所以10B =， 所以{}23min ,,,,0n a a a =L L ，
若设23,,,,n a a a L L 全为零，则{}21234,min ,,,,0n A a B a a a ===L L ， 时22100d A a =-==，故0n a =，其中任意的*n N ∈．
若23,,,,n a a a L L 不全为零，设诸23,,,,n a a a L L 中第一个为零．．．．．的记为0i a ， 则00231,,,,,i i a a a a -L L 中，{}11min ,,,,0m m m n B a a a ++==L L 即0m B =， 其中011m i ≤≤-，所以{}12max ,,,m m m d A a a a ==L ，
因为m m d a =，所以{}12max ,,,m m a a a a =L 对任意的011m i ≤≤-总成立， 所以0121i a a a -≤≤≤L ，下面考虑0i A ，
因为{}
0001231max ,,,,,i i i A a a a a a -=L 即{}
0002311max ,,,,0i i i A a a a a --==L ， 因为000i i d a ==，所以{}0000121
min ,,,,0i i i n i B a a a a
++-==>L L ，
故对任意的01s i ≥+，总有010s i a a -≥>，
则{}
0000+1123111max ,,,,,0,i i i i A a a a a a a -++==L ，因为00+11i i d a +=， 所以{}000+123min ,,,,0i i i n B a a a ++==L L
，这与任意的0
1s i
≥+，总有010s i a a -≥>矛盾，
所以23,,,,n a a a L L 不全为零不成立， 所以0n a =，其中任意的*n N ∈．
5.已知数列{}n a 的首项13a =，对任意的*n ∈N ，都有11(0)n n a ka k +=-≠，数列{}1n a -是公比不为1的等比数列．
（1）求实数k 的值；
（2）设4,,
1,,n n
n n b a n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数数列{}n b 的前n 项和为n S ，求所有正整数m 的值，使得221m m S S -恰好为数列
{}n b 中的项．
【解析】
（1）由11n n a ka +=-，13a =可知，231a k =-，2331a k k =--， 因为{1}n
a -为等比数列，所以2213(1)(1)(1)a a a -=--，
即22(32)2(32)k k k -=⨯--，即231080k k -+=，解得2k =或43
k =， 当43k =
时，14
3(3)3
n n a a +-=-，所以3n a =，则12n a -=， 所以数列{1}n
a -的公比为1，不符合题意；
当2k =时，112(1)n n a a +-=-，所以数列{1}n a -的公比11
21
n n a q a +-=
=-， 所以实数k 的值为2．
（2）由（1）知12n
n a -=，所以4,,
2,,n n
n n b n -⎧=⎨⎩
为奇数为偶数 则22(41)4(43)4[4(21)]4m m S m =-++-+++--+L
2
(41)(43)[4(21)]444m
m =-+-++--++++L L 144
(4)3
m m m +-=-+，
则212244
(4)3
m m m m
S S b m m --=-=-+，
因为22+1324m m m b b m +=-+，又222+322+1()()3420m m m m m b b b b ++-+=⨯->， 且2350b b +=>，130b =>，所以210m S ->，则20m S >，设
221
0,m
t m S b t S -=>∈*N ， 则1,3t =或t 为偶数，因为31b =不可能，所以1t =或t 为偶数，
①当2121
=m
m S b S -时，144(4)3344
(4)3
m m
m m m m +--+=--+，化简得2624844m m m -+=--≤， 即242m m -+≤0，所以m 可取值为1，2，3， 验证
217
3
S S =，433S S =，658723S S =得，当2m =时，413S b S =成立．
②当t 为偶数时，1
22
21
4
4
(4)331443124(4)134m m
m
m m
m m S S
m m m m +---+==+--+--++，
设231244m m m m c -+-=，则211
94221
4
m m m m m c c ++-+-=，由①知3m >，当4m =时，545304c c --=<； 当4m >时，10m m c c +->，所以456c c c ><<L ，所以m c 的最小值为519
1024
c -=
， 所以
221
30151911024m m S S -<
<+<-+，令22214m m S b S -==，则231431241
4m
m m +=-+-+，即231240m m -+-=，无整数解．
综上，正整数m 的值为2．。