2020中考数学精选例题解析：二次根式的运算

a 1
a2 a
2 3
七、已知 x a 1 （ 0 a 1 ）， a
求代数式 x 2 x 6
x3
x2
x2 4x 的值。
x
x2 2x x 2 x2 4x
参考答案
一、选择题：CACBD
二、填空题：
7 1、＜，＞；2、36，
2 ，10 2 ， 9a
a ， 45 6 ，－1， 12 6 ，1；
2020 中考数学精选例题解析：二次根式的运算
知识考点：
二次根式的化简与运算是二次根式这一节的重点和难点。也是学习其它数学知识的 基础，应熟练掌握利用积和商的算术平方根的性质及分母有理化的方法化简二次根式， 并能熟练进行二次根式的混合运算。
精典例题：
【例 1】计算：
（1） 2
2
2 3
41 1 22
2
∵ 3 2 ≈1.732－1.414＝0.318， 2 1 ≈1.414－1＝0. 414
∴ 3 2 ＜ 2 1
同理： 4 3 ＜ 3 2 ， 5 4 ＜ 4 3
根据以上各式二次根式的大小有理由猜测： n 1 n ＜ n n 1
证明： n 1 n ＝ n 1 n n 1 n n1 n
∵112 121 ∴ 121 11
∵1112 12321 ∴ 12321 111
因此猜想： 12345678987654321 ＝
。
5
三、化简题：
22 3 5
1、
；
( 2 3)( 3 5)
2、 3 xy 2x
y y
x xy
1
；
xy
xy
3、 3 3 3 (1 3)2 1 (x 1)0
3
1。
8
2
tan 600 cos 300 2 3
四、已知 x 1 ，求 x 1 2 2 x 1 2 的值。 3 2 x x
五、计算： 1 1 1
1
。
1 2 2 3 3 4
99 100
六、先化简，再求值： a 2 1 a 2 2a 1 ，其中 a 1 。
3 1
3 1 ＝
3 ， ab 1
2
2
2
∴原式＝
ab
ab b
ab a
＝
a
b
＝
3
探索与创新：
【问题一】比较 3 2 与 2 1的大小； 4 3 与 3 2 的大小； 5 4 与 4 3 的大小；猜想 n 1 n 与 n n 1 的大小关系，并证明你的结论。
分析：先将各式的近似值求出来，再比较大小。
2 3
；Hale Waihona Puke Baidu
（2） 2 1 8
1 2
18
22
1 3
；
（3） 5 1 2002 2 5 1 2001 4 5 1 2000 2002 ；
（4） 5 3 2 5 3 2 ；
（5） sin 600 2 1 0 3 1 2 1 1 。
2
3 1 2
答案：（1） 4 2
a
a
∴ (x 2)2
a
1 2 ，即 x 2 a
4x
a2
1 a2
2
a
1 2 a
∴原式＝ a 2 2
7
a b
a b a b
1
【例 3】已知 a
1 ，b 3 1
1 ，求
3 1
ab
a b
b a
的值。
分析：直接代入求值比较麻烦，可考虑把代数式化简再求值，并且 a 、 b 的值的分 母是两个根式，且互为有理化因式，故 ab 必然简洁且不含根式， a b 的值也可以求出 来。
解：由已知得： a b ＝
B、 a 4b4 a 2b3 （ a ＞0， b ＜0）
C、 2 3 的绝对值是 3 2
D、 3 3 a 1 3 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1
2、下列各式中与 4a 2 （ a 1 ）是同类二次根式的是（ ） 2
(4a 2)3
A、
3
1 B、
3(4a 2)
3
C、 a 2
D、 2 2a 1
n 1 2
2
n
＝
n1 n
1 ＝
n1 n
2
n n 1 ＝ n n 1 n n 1 n n 1
n 2 n 1 2
＝
n n 1
1 ＝
n n 1
1
1
又∵
＜
n 1 n n n 1
∴ n 1 n ＜ n n 1
a
【问题二】阅读此题的解答过程，化简：
a 2b 4ab2 4b3 （ 0 a 2b ）
3、下列等式或说法中正确的个数是（ ）
① a2 b2 a b ；
② 2 a 的一个有理化因式是 2 a ；
③ 12 27 4 9 5 ； 3
④3 3 3 3；
⑤2 5 1 5 9 5。 44
4
A、0 个
B、1 个
C、2 个
D、3 个
4、已知 a 1 ， b 3 2 ，则 a 与 b 的关系是（ ） 32
2 3 ；（2）
34
2 ；（3）2002；（4） 2
6 ；（5）－1
3
3
【例 2】化简：
ab a b
ab
ab
b a b
ab
分析：将
和
b 分别分母有理化后再进行计算，也可将除以 ab 变
a b a b
1 为乘以 ，与括号里各式进行计算，从而原式可化为：
ab
原式＝ a 1 b ＝ a b 1 ＝0
。
3
分析：此题是阅读形式的题，要找出错误的原因，错误容易产生在由根式变为绝对 值，绝对值再化简出来这两步，所以在这两步特别要注意观察阅读。
解：（1）④；（2）化简 a 2b a 2b 时，忽视了 a 2b ＜0 的条件；（3） ab
跟踪训练： 一、选择题： 1、下列各式正确的是（ ）
A、 a 2b a ab
A、 a b
B、 a b
5、下列运算正确的是（ ）
A、 32 3
C、 a 1 b
D、 ab 1
B、 1 2 1 2 1
0
C、 3 2 0
2
D、 5 3 2 2 83 20 6
二、填空题：
1、比较大小： 5 6
6 5 ； 13 2
17 6 。
2、计算： 27 48 ＝
2
2
3、111 111 111；
三、化简题：
6
1、 3 5 2 ；2、 3 xy ；3、 4 3 1 22
四、14 4 3
五、原式＝ ( 2 1) ( 3 2) ( 4 3) ( 100 99)
＝ 100 1
＝9 六、3
七、∵ x a 1 a
∴ x a 1 2 ，即 x 2 a 1
a 2b
a
a b(a 2 4ab 4b2 )
解：原式＝
①
a 2b
a
a ab(a 2b)2
＝
②
a 2b
a2
＝
a
a 2b
ab
③
a 2b a
＝ a a 2b ab
④
a 2b a
＝ ab
问：（1）上述解题过程中，从哪一步开始出现错误，请填写出该步的代
号
；
（2）错误的原因是
；
（3）本题的正确结论是
；
32
1 ＝
；
2
5
11 52
20 10 ＝
1 ；
12a 3
3a ＝
4
；
9
45 3
13
2 2＝
52 3
； (5)2 2 20 ( 3 )1 3 1 0.2 3
＝
。
( 3 3 2)2 ( 3 3 2)2 ＝
＝
。
3、请你观察思考下列计算过程：
； (4 15)2001 (4 15)2001