一元函数极限的求法和技巧

例 5：求极限 lim x →0
动上限积分表示的极限，常用罗必塔法则求解。 例 6：求极限 lim 2 x ln x 。
x → 0+
＝A 或 f（x）→A（x→x0） 。 二 运用极限的运算法则求极限 定理 1：已知 lim f（x）＝A， lim g（x）＝B，则有下列
x→ x0 x→ x0
1
x → 0+
= lim(1 + x ) x = e 。
x →0
4．用等价无穷小量代换求极限
1 2 x sin x − x cos x − 1 2 =1。 = = lim lim 例 4： lim x →0 tan 3 x x →0 x →0 3 x 2 x3 6
常见等价无穷小有：当 x→0，x～sin x～tan x～arcsin x～
x → x0
5．用罗必塔法则求极限
ln cos 2 x − ln(2 + sin 2 x) 。 x2 −2sin 2 x sin 2 x − ln cos 2 x − ln(2 + sin 2 x) x cos 2 2 + sin 2 x = lim 解： lim 2 x →0 x →0 2x x sin 2 x − 2 1 5。 = lim − ( )=− x→0 2 x cos 2 x 2 + sin 2 x 2 0 ∞ 注： 或 型的极限，可通过罗必塔法则来求。许多变 ∞ 0
学园┃XUEYUAN
2013 年 第 18 期
一元函数极限的求法和技巧
程 娜 辽宁广播电视大学
在高等数学中， 极限有着重要的作用。 如函数的连续性、 导数和微积分的定义和应用等都和极限有着密不可分的关 系。 在现实生活中也有许多实际问题是用了极限的方法才得 以解决的，如求曲边梯形的面积、曲线弧长、瞬时速度等。 因此，掌握好极限的求法是学习微积分的关键，本文深入地 阐述了一元函数极限的求法和技巧。 一 极限的定义 设函数 f（x）在点 x0 的左、右近旁有定义（点 x0 可以除 外） ，如果当 x→x0 时，函数 f（x）无限接近于一个确定的常 数 A， 那么 A 叫做函数 f（x） 当 x→x0 时的极限，记作 lim f（x）
解： 2 lim x ln x = 2 lim ln x = 2 lim x = 2 lim (− x) = 0 。
x → 0+
1 x
x → 0+
−
1 x2
x → 0+
lim ［f（x）±g（x） 法则： （1） x ］＝A±B； （2） lim f（x） ・g →x
0
x → x0
注： 此题为一个 0・ ∞型的极限， 用恒等变形 x ln x = 将它转化为
∞ 型不定式极限，并应用罗必塔法则。 ∞
（x）＝Aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱB； （3） xlim →x
0
f ( x) A = （此时需 B≠0 成立） 。 g ( x) B
ln x 1 x
三 极限的求法和技巧 1．约去零因子求极限 例 1：求 lim x →3
x →3
6．用泰勒展开式求极限 例 7：求极限 lim x →0
2 x3 − x 2 。 3x3 + 1
∞ 型， 可通过这种 ∞
若分子分母都以多项式形式出现且为 方法来求解： lim
1 2− 2x 3 − x 2 x =2。 lim = x →∞ 3 x 3 + 1 x →∞ 1 3 3+ 3 x
a x + a−x − 2 x 2 ln 2 a + （ 0 x 2） 2 = lim = ln a 2 2 x →0 x →0 x x x2 x 2n cosx = 1 − + ⋅ ⋅ ⋅ + (−1) n + 0(x 2n+1 ) ， 常用的泰勒展开式有： 2! (2n)! 1 xn x2 x3 = 1+ x + x2 + L + xn +L+ +（ 0 x n） + ex = 1+ x + ， 1+ x n! 2! 3! x3 x 2 n−1 ，sinx＝x－ + L + (−1) n−1 。 +（ 0 x 2 n） +（ 0 x n） 3! (2n − 1)!
x −9 。 x−3
2
解：因为 lim ( x − 3) = 0 ，所以不能直接应用法则 3，因而 在分式中可约去非零公因子。即：
lim
x →3
x2 − 9 ( x − 3)( x + 3) = lim = lim( x + 3) = 6 x →3 x − 3 x →3 x−3
2．分子分母同除以最高次幂 例 2：求 lim x →∞
∴ lim
3．应用两个重要极限求极限
1 1 x x sin 2 x 2 sin 2 x 2 sin 2 x 2 lim = lim = lim = x →0 x →0 3 3x 2x 3 x →0 2 x 3 1 x 1 sin x lim (1 + ) n lim = 1 和 x →∞ (1 + ) = lim 注： 两个重要极限是 x→0 n →∞ x n x 1 (1 + ) 2 x = lim [(1 + ) x ] 2 = e 2 。 例 3： xlim → +∞ x → +∞
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2 arctan x～ln（1＋x）～ex－1，1－cosx～ x 。
1 2
四 结束语 在近代数学中，极限思想贯穿于微积分学的始终，是一 种重要的数学思想， 更准确地说微积分学的所有定义和概念 都离不开极限。本文主要介绍了有关极限的概念及性质，通 过例题对有关一元函数的极限求解问题进行了分类总结。 我 们发现计算极限的方法多种多样， 并且技巧性都很强。 因此， 本文通过例题讲解以帮助学生更深刻地了解极限的概念并 熟练掌握求极限的方法。 参考文献 ［1］华东师范大学数学系.数学分析［M］.北京：高等教育 出版社，2001 ［2］张敏捷.函数极限的几种特殊求法［J］.黄石理工学院学 报，2008（24） ：56～58 〔责任编辑：庞远燕〕
a x + a −x − 2 （a＞0） 。 x2 2 x x x ln a = 1 + x ln a + ln 2 a + （ 0 x 2） 解： a = e 2 x2 a − x = 1 − x ln a + ln 2 a + （ 0 x 2） 2
a x + a − x − 2 = x 2 ln 2 a + （ 0 x 2）