线性代数 线性代数方程组的解

当 r ( A) > r ( A) 时，
未知数表示． 未知数表示． 通解表达式中就出现 n-k 个任意常数． 个任意常数．
β k +1 , ⋯, β m 中至少有一个不等于零 . α11 α12 ⋯α1n β1 不妨设 β k +1 ≠ 0 . ......................... 此时第 k+1 个方程变成 α k 1 α k 2 ⋯α kn β k 0x1 + 0 x2 + ⋯ + 0 xn = β k +1 ≠ 0 0 0 ⋯ 0 β k +1 这是不可能的． 这是不可能的． ..................... 因此方程无解． 因此方程无解． 0 0 ⋯ 0 βm
4.2.1
Байду номын сангаас齐次线性代数方程组
定理 3 (1) 齐次线性方程组有非平凡解 齐次线性方程组有非平凡解的充分必要条件是 有非平凡解的充分必要条件是 r ( A) < n （系数矩阵的秩小于未知数的个数） 系数矩阵的秩小于未知数的个数） (2) 若齐次线性方程组有非平凡解， 齐次线性方程组有非平凡解，则通解中含有
四个未知数， 四个未知数，两个方程. 选 x2, x4 为自由未知量， 为自由未知量，
r ( A) = 2, n = 4 . 方 程 组有非 平 凡 解 .
令 x2 = t1 , x4 = t2 .
1
1 x1 = −2t1 + 5 t2 x2 = t1 则有 3 x = − t2 3 10 x = t2 4
通解表达式中包含两个任意常数 t1 , t2 . 令
−2 1/ 5 x1 1 0 x 2 . , α2 = x = , α1 = 0 −3/10 x3 0 1 x4
系数矩阵
β = ( β1 β 2 ⋯ β m )T
原方程组 Ax=b 化为同解方程组
当 r ( A) = r ( A) = k 时， 增广矩阵化为 α11 α12 ⋯α1n β1 a11 a12 ⋯ a1n b1 ......................... a21 a22 ⋯ a2 n b2 α k 1 α k 2 ⋯α kn β k ∼ A= ..................... 0 0 ⋯ 0 β k +1 am1 am 2 ⋯ amn bm ..................... r ( A) = r ( A) 可以推出 0 0 ⋯ 0 βm β k +1 = ⋯ = β m = 0 . 当 r ( A) = r ( A) = k = n 时，
(2) 若 r ( A) = r ( A) = n ， 则非齐次方程组有惟一解 .
(3) 若 r ( A) = r ( A) < n ， 则非齐次方程组有无限多解 ,
通解表达式中含有 n-r(A) 个任意常数.
(4) 若 r ( A) > r ( A) ， 则非齐次方程组无解 .
2
将系数矩阵 A 变成梯形矩阵 N 1
下面研究这样的问题： 下面研究这样的问题： ①在什么条件下非齐次方程组有解？ 在什么条件下非齐次方程组有解？ ②怎样求解？ 怎样求解？ ③解的表达式具有什么形式？ 解的表达式具有什么形式？
系数矩阵的秩为3，未知数的个数也 是3，所以方程组只有平凡解： 所以方程组只有平凡解： x1 0 x2 = 0 x3 0
方程组 N1 x = β 的系数矩阵是 n × n 可逆矩阵 . −1 存在惟一解： 存在惟一解： x = N1 β
N1 x = β
只需要讨论这个方程组就可以了． 只需要讨论这个方程组就可以了．
当 r ( A) = r ( A) = k < n 时， 方程组N1 x = β 左端的n -k
个未知数移到方程右端． 个未知数移到方程右端． 移到右端的未知数分别取值
齐次方程组一定有解（ 齐次方程组一定有解（至少有平凡解）． 至少有平凡解）． 但是一般情形， 但是一般情形，非齐次方程组未必有解． 非齐次方程组未必有解． 如果非齐次方程组有解， 如果非齐次方程组有解，则称该方程组相容 则称该方程组相容． 相容． 定理4 (1) 若 r ( A) = r ( A) ， 则非齐次方程组 相容 .
a11 x1 + a12 x2 + ⋯ + a1n xn = b1 a x + a x + ⋯ + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 ..................................... am1 x1 + am 2 x2 + ⋯ + amn xn = bm
或
x1 −2 1/ 5 1 x 2 = t +t 0 x3 1 0 2 −3 /10 0 1 x4
例5：求解齐次线性方程组
x1 + 2 x2 + 3 x3 = 0 3x + 6 x + 10 x = 0 1 2 3 2 x1 + 5 x2 + 7 x3 = 0 x1 + 2 x2 + 4 x3 = 0
k = n − r ( A) 个任意常数.
考察 n 个未知数的齐次线性代数方程组： 个未知数的齐次线性代数方程组：
a11 x1 + a12 x2 + ⋯ + a1n xn = 0 a21 x1 + a22 x2 + ⋯ + a2 n xn = 0 ..................................... am1 x1 + am 2 x2 + ⋯ + amn xn = 0 a11 a12 ⋯ a1n 系数 a21 a22 ⋯ a2 n 方程组的 Ax = 0 矩阵 A = 矩阵表示 ..................... am1 am 2 ⋯ amn
例5
对方程组
kx1 + x2 + x3 = 5 3x1 + 2 x2 + kx3 = 18 − 5k x2 + 2 x3 = 2
问k取何值时方程组有惟一解， 取何值时方程组有惟一解，无限多解或无解. 无限多解或无解. 在无限多解时求出通解.
解一 利用行初等变换， 利用行初等变换，可把讨论相容性与 求解过程结合进行： 求解过程结合进行： 3 2 k 18 − 5k 5 k 1 1 2 A = 3 2 k 18 − 5k r~ 0 1 2 12 r23 k 1 1 5 2 0 1 2 3 0 k − 4 14 − 5k 3 0 k −4 14 − 5k ~ 0 1 2 2 ~ 0 1 2 2 r21 ( −2) k r13 ( − ) r23 ( −1) 3 3 4 1 2 5 2 14 k 0 −1 0 0 k − k − 1 k − k + 3 3 3 3 3 4 1 2 (1) 当 k − k − 1 ≠ 0 时，即当 k ≠ 1 并且 k ≠3 3 3
b1 b b= 2 ⋮ bm
Ax = b
a11 a12 ⋯ a1n a21 a22 ⋯ a2 n A= 系数矩阵 ..................... am1 am 2 ⋯ amn a11 a12 ⋯ a1n b1 增广矩阵: a21 a22 ⋯ a2 n b2 A= ..................... am1 am 2 ⋯ amn bm
则方程组通解可表示为： 则方程组通解可表示为： x
= t1 α1 + t2α2 , 其中
1 3 A= 2 1
2 3 6 10 用行初等变换将系数 5 7 矩阵变为梯形矩阵 2 4
α1 ,α2 称为齐次方程组的基础解系。 称为齐次方程组的基础解系。
1 3 A= 2 1 1 0 0 0
t1 , t2 ,⋯, tn −k
左端的未知数由右端的
α11 α12 ⋯α1n β1 ......................... α k 1 α k 2 ⋯α kn β k 0 0 ⋯ 0 β k +1 ..................... 0 0 ⋯ 0 βm
证明 对于增广矩阵进行行初等变换 对于增广矩阵进行行初等变换， ， a11 a12 ⋯ a1n b1 a21 a22 ⋯ a2 n b2 A= ..................... am1 am 2 ⋯ amn bm
A ~ [ N1 ⋮ β ]
4.2 线性代数方程组的解
第二节 线性代数方程组的解
齐次方程组 非齐次方程组
一个存在解的线性代数方程组称为是相容的 一个存在解的线性代数方程组称为是相容的, 相容的, 否则就是不相容或矛盾方程组. 否则就是不相容或矛盾方程组. 利用矩阵的概念可 理性地描述一般齐次[ 理性地描述一般齐次[线性] 线性]方程组的通解以及非齐 次方程组相容的条件和相容线性代数方程组解的结 构.
证明
例4：求解齐次线性方程组 x1 + 2 x2 + 4 x3 + x4 = 0 2 x1 + 4 x2 + 8 x3 + 2 x4 = 0 3x + 6 x + 2 x =0 1 2 3
1 2 4 1 用行初等变换将系数 2 4 8 2 系数矩阵 A = 矩阵变为梯形矩阵 3 6 2 0 1 1 2 4 1 1 2 4 0 0 −10 −3 r12 (−2) 0 0 0 0 r23 r13 (−3) 0 0 0 −10 −3 0 0 0