欧拉线的证明3.0版

高一（1）班离弦组制作人：艾莉希儿

2021.3.9

数学实践课简介

欧拉线是指三角形的外心、重心、垂心，三点共线，在欧拉之前，三角形的外心、重心、垂心等的性质已经被人深入研究，但他们之间的联系却很少有人探讨，而欧拉对这些“心”之间的联系产生了较大兴趣，于1765年证明了此定理，因而人们把这条直线叫欧拉线。今天我们组就为大家带来它的证明。

证明：

设O是△ABC的外心，G是重心，AL是中线，

由重心性质可得

AG∶GL＝2∶1，

延长OG至H，使GH＝2GO，则有GH∶GO＝AG∶GL

∴OL∥AH，

∵OL⊥BC，

∴AH⊥BC，

延长AH交BC于D，则AD⊥BC，

同理，CH⊥AB。

故H为△ABC的垂心，

∴O、G、H三点共线，即△ABC的外心、重心、垂心三点共线。

当然我们是要使用向量来证明这个定理的，所以下面是向量的证明方法在此之前，我们先给出平面直角坐标系里重心的表达式

设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)则△ABC的重心

（(x1+x2+x3)/3,(y1+y2+y3)/3）.

设三角形的外接圆半径为1

设3个顶点为A(cosa,sina) B(cosb,sinb) C(cosc,sinc)

由重心坐标公式

G((cosa+cosb+cosc)/3,(sina+sinb+sinc)/3)

设H'(cosa+cosb+cosc,sina+sinb+sinc)

用向量垂直的条件得

AH'⊥BC,BH'⊥AC.

所以,H'与垂心H重合.

易见向量OH=3向量OG.

故O,G,H三点共线.

当然，还可以看出OG:OH=1:3

完结撒花✿✿ヽ(°▽°)ノ✿

感谢聆听

ps：还有什么到不到的地方就这样吧。。。。。。我都快口区了。。。。。。