模块法对《初联难度几何100题》第32题的几种解法
平面几何求解角格点的新方法--模块法
模块法——平面几何求解角格点的新方法目录一、简介二、模型模块三、普通模块（1）正三角形黄金角格点（2）等腰三角形是演绎角格点的主角（3）两分角组有一个分角相等的角格点优先考虑外心求解（4）与模块有三个分角相等的角格点镶嵌解法（5）分角线中含高线的角格点考虑先用模型1镶嵌（6）相邻两个分角与模块相等的角格点镶嵌解法四、含0.5°角的角格点解法五、运用实例六、结束语一、简介1、弦起首先我们来看一道网上流传的一道初中平面几何题。
例1 如图，△ABC中，BD⊥AC于D，E为BD上一点，且∠ABD=38°，∠CBD=68º，∠BCE=14º，∠DCE=8º，求∠DAE的度数。
这是一个普通的整数度角格点三角形问题，用量角器很容易量出来∠DAE=24°，或者上网查一查同行们用电脑求得的资料，同样可以得到∠DAE=24°。
但是用平面几何的方法证明这个结论，就不是很容易的事情了，只有大神和学霸可以在较短的时间内拿出一个证明过程来，普通的同学可以想几个小时，几天，甚至几周几个月，找不出结果来，许多人只好放弃了事。
一些解答者给出了一个三角函数方程求解的方法，用三角函数证平面几何题，还放在初中题解答中，也是没办法的办法了。
网上有一篇文章《“角格点”完全分类》，不仅把所有的角格点找了出来，而且在理论上逻辑上提供了一种解决平面几何求解角格点的方法——“三外心法”。
只是这个方法操作起来实在是过于复杂，离实际运用还有一段距离。
好在大神们在贴吧里公布了几种纯几何的证法，过程比较复杂曲折，技术要求较高，不是一般的同学想得出来的。
于是末学在想，能不能有一个比较规范的程序方式来求解，让普通的同学们都能便利的顺畅地写出一个完美的几何证明过程呢？颇有时日，几经周折，终于弄出一个“模块法”来，多次试验，对大多数整数度角格点的求解真还管用，比方上面的这个题目，就有了这么一种求解方法：解：BD⊥AC , F是AC上A关于BD的对称点，连接FB、FE△BEF的外接圆交EC于P，连接PB、PFO是△BFC的外心，连接OB、OC、OP、OF∠FBC=68°-38°=30°∠FOC=2∠FBC=60°△OFC是正三角形∠BFP=∠BEP=90°+8°=98°∠BFD=90°-38°=52°∠PFC=180°-52°-98°=30°O、C 关于FP对称∠POF=∠PCF=8°∠POC=60°-8°=52°∠BOF=2（8°+14°）=44°∠BOP=44°+8°=52°OB=OC B、C 关于OP对称∠PBC=∠PCB=14°∠PBF=30°-14°=16°∠PEF=∠PBF=16°∠EAD=∠EFD=16°+8°=24°证明过程是完成了，其工整和精美的程度和大神的作品相差无几，只是有人还是会说，你这个证明过程的复杂程度也不小呀，这是因为这位朋友不知道我在这个过程中应用了模型模块，别人感觉不出来是依模型做事而已。
一题多证 开拓思路——一道平面几何题的七种证法
所 以 HD = AD.
又 因 为 , 所以
思路5 如 图 6,过 点 F 作 fM
/々ID 交 /I S 于 点 M ，证明
即 可 . 只 需 证 明 £C = 厂对，
Z FEC = /_BFM , Z EFC = zi FBM.
证 法 5 过 点 F 作 / ///l£» A
交 /I B 于 点 M_
启 发 ，研读之际，又作思考，发现此定理还有其他证明
^
fc - fc
方 法 ，现整理如下，供参考.
2 从对称角度思考
三 角 形 内 角 平 分 线 定 理 三角形的内角平分线
证法2 在 /IB 上 截 取 =
A
分对边所得的两条线段和这个角
A
AC，过 点 £ 作 //B D 交 于 点
的两边对应成比例.
所 以 E F = CD.
作者简介:韩敬（1977 - ) , 男，安徽定远人，本科，中学高级教师，研究方向：课堂优化教学研究.
眼 界 ，又能收到举一反三，灵活解题之功效，对培养数学核心素养十分有益.
关键词：一 题 ；多证；开拓 ；思路
“一 题 多 证 ”是 克 服 学 生 思 维 定 势 的 一 种 有 效 途 径 ，也是培养发散思维的有效方法.下面以一道初中 平面几何题为例，分 析 讲 解 它 的 七 种 证 法 ，有助于培 养 数 学 核 心 素 养 ，希 望 起 到 抛 砖 引 玉 的 作 用 .
笔 者有幸拜读了《数 学 教 学 研 究 》（1994年 第 3 期 ）雪保安老师的文章“三角形内角平分线性质定理
S AACD=~~AC •ADsin ADAC,
多 种 证 明 ”，此 文 虽 然 离 现 在 时 间 已 久 ，但原文从不同 角度分析给出的7 种证明方法令人大开眼界,给人以
初中竞赛几何多解题
初中竞赛几何多解题1. 引言几何学是数学中的一个重要分支，它研究空间形状、大小和相对位置的性质。
在初中阶段，几何学的学习主要包括平面几何和立体几何两个部分。
在竞赛中，几何多解题是一种常见的题型，它要求考生找出一个或多个与给定条件相符的解。
本文将介绍初中竞赛几何多解题的基本方法和技巧。
2. 准备知识在开始解决几何多解题之前，我们需要掌握一些基本的几何知识，包括： - 平行线与平行线之间的关系：平行线具有相同的斜率。
- 直角三角形：直角三角形满足勾股定理（a^2 + b^2 = c^2）。
- 圆与圆之间的关系：两个圆可以相交于两个点、一个点或者没有交点。
- 多边形内角和公式：n边形内角和公式为（n-2）×180°。
3. 解题步骤解决几何多解题可以遵循以下步骤：步骤1：仔细阅读题目在开始解题之前，我们需要仔细阅读题目，理解题目的要求和给定条件。
特别要注意题目中是否有特殊要求或限制。
步骤2：绘制图形根据题目中给出的条件，我们需要在纸上绘制出相应的图形。
通过绘图可以更好地理解问题，并且有助于找到解决问题的方法。
步骤3：分析给定条件在绘制图形后，我们需要仔细分析给定的条件。
首先，确定哪些条件是已知的，哪些是需要找到的。
然后，根据已知条件进行推理和判断，寻找可能存在的关系和性质。
步骤4：尝试不同方法几何多解题要求我们找出一个或多个与给定条件相符的解。
因此，在解决问题时，我们可以尝试不同的方法和思路。
例如，可以尝试使用平行线性质、相似三角形性质、勾股定理等来推导出新的结论。
步骤5：验证答案在找到一个或多个可能的解后，我们需要验证这些解是否满足所有给定条件。
如果满足所有条件，则可以确定这些解是正确的；如果不满足某个条件，则需要重新检查推理过程，找出错误的地方。
步骤6：总结解题方法在解决几何多解题的过程中，我们可能会使用到一些特定的方法和技巧。
为了更好地应对类似的问题，我们需要总结和归纳这些方法，并进行反思和思考。
初中数学几何模型解题方法(一)
数学几何模型解题方法
数学几何作为初中数学的一个重要分支，对于学生来说可能是一个难点，尤
其是在解题过程中。
但是只要掌握了一定的解题方法，就能轻松解决数学几何的难题。
下面将详细介绍初中数学几何模型解题的方法。
1. 确定题目类型
首先，在解题之前需要仔细阅读题目，确定题目类型。
数学几何题目通常包
括求面积、周长、角度等内容，因此需要根据题目要求来确定解题思路。
2. 绘制图形
在解题过程中，绘制图形是非常重要的一步。
通过绘制图形可以更直观地理
解题目，并且可以帮助我们找出解题的关键点。
在绘制图形的过程中，要根据题目要求准确地画出各个几何图形，确保图形的准确性。
3. 利用几何公式
在解题过程中，需要熟练掌握各种几何公式，比如三角形的面积公式、周长
公式、角度关系等。
通过运用这些几何公式，可以更快地解决问题，提高解题效率。
4. 运用几何知识
除了几何公式，还需要灵活运用几何知识来解决问题。
比如利用相似三角形
的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等。
了解并掌握这些几何知识，可以帮助我们更快地找到解题的方法。
5. 多做几何题
最后，多做几何题也是提高解题能力的重要途径。
通过反复练习，可以加深对几何知识的理解，加强对解题方法的把握，提高解题的准确度和速度。
通过以上几个步骤，我们可以更好地解决初中数学几何模型的题目。
希望同学们能够认真学习，并在解题过程中灵活运用这些方法，提高自己的数学几何解题能力。
高联难度几何题100道
高联难度几何题100道
【实用版】
目录
1.几何题的重要性
2.高联难度几何题的特点
3.高联难度几何题的解决方法
4.高联难度几何题的训练价值
5.结语
正文
几何学作为数学的一个重要分支，其地位和作用不容忽视。
几何题在各种数学竞赛和考试中都占有重要地位，它能够锻炼学生的空间思维能力、逻辑推理能力和创新思维能力。
因此，对于学生来说，掌握几何题的解题技巧和方法是非常重要的。
高联难度几何题是几何题中难度较大的一部分，其特点是题目复杂、条件隐蔽、思路难以寻找。
这类题目的解决需要学生具有扎实的几何基础知识和丰富的解题经验，同时还需要具备敏锐的洞察力和创新思维能力。
解决高联难度几何题的方法有很多，其中最重要的方法是通过画图来帮助理解题目，找到解题思路。
此外，对于一些复杂的题目，还可以通过分割、旋转、翻转等方法来简化题目，找到解题的关键。
在解题过程中，还需要注意题目的条件和要求，避免出现低级错误。
高联难度几何题虽然难度较大，但是对于学生的数学能力和思维能力的提升具有很大的帮助。
通过解决这类题目，学生可以锻炼自己的空间思维能力和逻辑推理能力，同时也能够培养自己的创新思维和解决问题的能力。
总的来说，高联难度几何题虽然难度较大，但是对于学生的学习和发
展具有很大的帮助。
2024年新高考数学I卷分析
2024年新高考数学I卷分析2024年高考数学全国卷,考主干、考能力、考素养,重思维、重创新、重应用,突出考查思维过程、思维方法和创新能力.创设全新的试卷结构,减少题量,给学生充足的思考时间,加强思维考查,强化素养导向,给不同水平的学生提供充分展现才华的空间,服务拔尖创新人才选拔,助推素质教育发展,助力教育强国建设.一、依托高考评价体系,创新试卷结构设计2024年数学新课标卷调减了题量,同时增加了解答题的总分值,优化了多选题的赋分方式,强化了考查思维过程和思维能力的功能.试卷题量减少能够增加用于思考的时间,学生不必过多地关注做题的进度和速度,可以更专注、更深入地思考,更从容地试错,使思维能力强的学生能够展示素养、发挥潜力、脱颖而出,发挥了高考的选拔功能,引导数学教学关注对学生核心素养的培养.新课标卷打破以往的模式,灵活科学地确定试题的内容、顺序.机动调整题目顺序,有助于打破学生机械应试的套路,打破教学中僵化、固定的训练模式,防止猜题押题,同时测试学生的应变能力和解决各种难度问题的能力.引导教学培养学生全面掌握主干知识、提升基本能力,灵活地整合知识解决问题.如新课标Ⅰ卷将解析几何试题安排在解答题的第2题,数列内容则结合新情境,安排在最后压轴题的位置.试卷聚焦主干知识内容和重要原理、方法,着重考查数学学科核心素养,引导中学教学遵循教育规律,突出数学教学本质,回归课标,重视教材,重视概念教学,夯实学生学习基础,给学生留出思考和深度学习的空间.避免超纲学、超量学,助力减轻学生学业负担.如新课标Ⅰ卷第10题以基本求导公式及求导法则、利用导数判断函数单调性的方法为素材,考查灵活运用导数工具分析、解决问题的能力,以及学生的逻辑推理能力、运算求解能力.二、突出思维能力考查,助力拔尖创新人才选拔数学作为一门重要的基础学科,也是唯一一门理科性质的统考科目,在服务人才选拔、服务国家发展战略、助力强国建设方面承担重要责任、发挥关键作用.2024年高考数学重点考查学生逻辑推理、批判性思维、创新思维等关键能力,助力拔尖创新人才选拔,引导培育支撑终身发展和适应时代要求的能力.试卷贯彻改革要求,注重整体设计,很好地处理考试时间、试卷题量、试题难度之间的关系,统筹协调试题的思维量、计算量和阅读量.优化题量设置、合理控制试题的计算量,尽量避免繁难运算,保证学生在分析问题的过程中有充裕的时间进行思考,强调对思维能力的考查,适应拔尖创新人才选拔需要.如新课标Ⅰ卷第12题,通过应用双曲线的定义和性质,可以避免较为复杂的坐标计算以及联立方程求解,从而有效地减少计算量,节省考试时间.试题突出创新导向,新课标卷根据试卷结构调整后整卷题量减少的客观情况,创新能力考查策略,设计全新的试题情境、呈现方式和设问方式,加强解答题部分对基本能力的考查,提升压轴题的思维量,突出理性思维和数学探究,考查学生运用数学思维和数学方法发现问题、分析问题和解决问题的能力.如新课标Ⅰ卷第19题以等差数列为知识背景,创新设问方式,设置数学新定义,搭建思维平台,引导学生积极思考,在思维过程中领悟数学方法,自主选择路径和策略分析问题、解决问题.试题强化综合性考查,强调对原理、方法的深入理解和综合应用,考查知识之间的内在联系,引导学生重视对学科理论本质属性和相互关联的深刻理解与掌握,引导中学通过深化基础知识、基本原理方法的教学,培养学生形成完整的知识体系和网络结构.如新课标Ⅰ卷第5题将圆柱与圆锥结合,综合考查侧面积、体积的计算,第18题在函数导数试题中考查了曲线的对称性的这一几何性质.三、加强考教衔接,引导中学教学2024年高考数学试卷立足课程标准,考查的内容依据学业质量标准和课程内容,注重考查学生对基础知识和基本技能的熟练掌握和灵活应用,强调知识的整体性和连贯性,引导教学以课程目标和核心素养为指引,避免超纲教学,注重内容的基础性和方法的普适性,避免盲目钻研套路和机械训练.高考数学通过创新试卷结构设计和题目风格,深化基础性考查,强调对学科基础知识、基本方法的深刻理解,不考死记硬背、不出偏题怪题,引导中学把教学重点从总结解题技巧转向培养学生学科核心素养.增加基础题比例、降低初始题起点,增强试题的灵活性和开放性.如新课标Ⅰ卷第14题,不是考查学生记住了哪些知识点,而是突出考查学生的理性思维和探究能力,使得一些套路无用、模板失效,让死记硬背的教学方式不能适应现在高考的新要求.1.总题量由21题减少为19题,多选题由4题减少为1题,填空题由4题减少为1题,解答题由6道减少为5题.2.多选题分值由每题5分调整为每题6分,解答题分值增加,由原来的70分增加到77分.3.增加新定义问题,全国卷I为数列新定义问题压轴,解答题中少了单调考查概率统计的试题,导数题目增加为3道,立体几何题由3道减少为2道,导数解答题中出现对“纯”函数内容的考查.4.大部分题目都比较简单,考查基础知识与基本技能题占100分左右,难题数量少,但更难,难在数学上思维上.减少题量,体现“多想少算”,加强思维考查,强化素养导向,容易题占多数,难题更难,给不同水平的学生提供充分展现才华的空间,服务拔尖创新人才选拔,助推素质教育发展,不考死记硬背、不出偏题怪题,引导中学把教学重点从总结解题技巧转向培养学生学科核心素养.题号分值题型考查内容模块（题目数）15分单选题集合与不等式 1.集合（共1题）2.不等式（共2题）25分单选题复数的运算复数（共1题）35分单选题平面向量的数量积平面向量（共1题）45分单选题三角变换三角函数与解三角形（共3题）55分单选题圆锥的体积立体几何（共2题）65分单选题分段函数单调性函数（共2题）75分单选题三角函数的图象三角函数与解三角形（共3题）85分单选题抽象函数函数（共2题）96分多选题正态分布概率统计（共3题）106分多选题导数应用1导数（共3题）2.不等式（共2道）116分多选题曲线与方程解析几何（共3题）125分填空题双曲线解析几何（共3题）135分填空题导数的几何意义导数（共3题）145分填空题概率概率统计（共3题）1513分解答题解三角形三角函数与解三角形（共3题）1615分解答题椭圆、面积解析几何（共3题）1715分解答题线面平行、二面角立体几何（共2题）1817分解答题导数应用、对称问题导数（共3题）1917分解答题新定义、数列数列（共1题）1．重视“双基”复习,首轮复习时在概念定义、通性通法上回归教材,把教材上典型的例题、习题（复习题）过一下,做到：正确地理解基本概念的内涵和外延；熟练地掌握和应用相关的公式与定理；熟悉并运用常见的基本技能和方法.2.一轮复习要做到：各章内容综合化；基础知识体系化；基本方法类型化；解题步骤规范化.3.对复习资料要处理,删去偏难、偏怪、超纲、解法太唯一的题目,对基本运算能力、空间想象能力、推理论证能力、数据处理能力等在复习时要逐步提高,达到高考要求4.第一轮复习结束后,要做好以下几个方面的工作：抓住每一专题（板块）的宏观主线,提纲挈领,将板块知识及题型和解题方法等高度系统化,条理化.把高考试题进行专题整合,采对重要知识、方法和技能通过高考试题的链式分析,体会“突出重点、突破难点、关注热点、把握通性、注重通法、淡化技巧”的内涵,真正明白高考到底考什么、怎么考,对高考试题的认识和把握形成清晰的思维脉络.5.对于大部分考生高考数学考不好的原因不是难题没有作对,二是基础题失分过多,可以说会做做不对是失分的主要原因.所以平时的复习要注意纠错,对每次考试中“会做做不对的题”,要找出错误原因进行标注,同时再找几道类似的题进行巩固,做到以例及类、题不二错.2024年新高考数学I 卷试题一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}355A x x =-<<,{}3,1,0,2,3B =--,则A B =（）A ．{}1,0-B ．{}2,3C ．{}3,1,0--D ．{}1,0,2-【命题意图】本题考查集合的交集运算及简单不等式的解法,考查数学运算的核心素养.难度：易.【解析】由355x -<<得x <<,因为158<<,12<,所以{}1,0A B =- ,故选A.【快解】因为333275,285-=-<-=>,排除BCD,故选A.【点评】集合是高考每年必考知识点,一般以容易题面目呈现,考查热点一是集合的并集、交集、补集运算,二是集合之间的关系,所给集合多为简单不等式的解集、离散的数集或点集,这种考查方式多年来保持稳定.【知识链接】1.求解集合的运算问题的三个步骤：(1)看元素构成,集合是由元素组成的,从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键,即辨清是数集、点集还是图形集等,如{x |y ＝f (x )},{y |y ＝f (x )},{(x ,y )|y ＝f (x )}三者是不同的；(2)对集合化简,有些集合是可以化简的,先化简再研究其关系并进行运算,可使问题简单明了、易于解决；(3)应用数形结合进行交、并、补等运算,常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩图(Venn).2．若1i 1zz =+-,则z =（）A ．1i--B ．1i-+C ．1i-D 1i +．【命题意图】本题考查复数的运算,考查数学运算与数学抽象的核心素养.难度：易.【答案】C 【解析】由1i 1z z =+-得,1i1i i z +==-,故选C.【点评】复数是高考每年必考知识点,一般以容易题面目呈现,新高考复数题单选题、多选题、填空题都可能出现,考查热点一是复数的概念与复数的几何意义,如复数的模、共轭复数、纯虚数、复数相等、复数的几何意义等,二是复数的加减乘除运算.【知识链接】解复数运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i 的看作一类同类项,不含i 的看作另一类同类项,分别合并即可．(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,解题中要注意把i 的幂写成最简形式.(3)复数的运算与复数概念的综合题．先利用复数的运算法则化简,一般化为a ＋b i(a ,b ∈R )的形式,再结合相关定义解答．(4)复数的运算与复数几何意义的综合题．先利用复数的运算法则化简,一般化为a ＋b i(a ,b ∈R )的形式,再结合复数的几何意义解答．3．已知向量()()0,1,2,x ==a b ,若()4⊥-b b a ,则x =（）A ．2-B ．1-C ．1D.2【命题意图】本题考查平面向量的数量积及坐标运算,考查数学运算与逻辑推理的核心素养.难度：易.【答案】D【解析】因为()4⊥-b b a ,所以()2244440x x ⋅-=-⋅=+-=b b a b a b ,所以2x =,故选D.【点评】平面向量是高考数学必考知识点,一般以客观题形式考查,热点是平面向量的线性运算及平面向量的数量积,可以是容易题,也可以是难题,难题常用平面几何、不等式、三角函数等知识交汇考查.【知识链接】1.求平面向量数量积,当已知向量的模和夹角时,可利用a·b ＝|a ||b |cos 〈a ,b 〉求解；当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则a·b ＝x 1x 2＋y 1y2.2.求解与平面几何有关的平面向量数量积的最值与范围问题,常见的方法有2种,一是建立坐标系,把问题转化为代数问题利用函数思想或基本不等式求解,二是引进角作变量,把问题转化为三角函数求最值或范围.4.已知()cos ,tan tan 2m αβαβ+==,则()cos αβ-=A ．3m-B ．3m -C ．3m D.3m【命题意图】本题考查两角和与差的余弦公式、同角三角函数基本关系式,考查数学运算与逻辑推理的核心素养.难度：易.【答案】A 【解析】因为()()()()cos cos 2sin sin tan tan 2cos cos 2cos cos αβαβαβαβαβαβαβ--+===-++.所以()()cos cos mmαβαβ--=-+2,所以()cos αβ-=3m -,故选A.【快解】因为tan tan 2αβ=,取π,sin 4αββ===则()cos αβ+=()2cos sin 2βα-=1010,()cos αβ-=()2cos sin 2βα+=()3103cos 310m αβ=-+=-,故选A.【点评】三角函数与解三角形在高考中通常有2-3道试题,若有3道题,通常是三角变换、三角函数图像与性质、解三角形各有1道题.【知识链接】1.使用两角和与差的三角函数公式,首先要记住公式的结构特征．2.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．3.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角,二看名,三看式子结构与特征；三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式子和三角函数公式之间的联系点．4.给角求值与给值求值问题的关键在“变角”,通过角之间的联系寻找转化方法．5．已知圆柱与圆锥的底面半径相等,侧面积相等,且它们的高均为则圆锥的体积为（）A ．B ．C ．D ．【命题意图】本题考查圆柱与圆锥的侧面积与体积,考查逻辑推理、直观想象等核心素养.难度：易【答案】B【解析】设圆柱与圆锥的底面半径相等为r ,由侧面积相等,得2ππr r =,解得r ,所以圆锥的体积为21π33⨯=,故选B.【点评】新课标高考数学立体几何客观题一般有两道（今年特殊,只有1到客观题）,一般分别涉及多面体与旋转体,表面积、体积计算及线面位置判断是考查热点.【知识链接】对于柱体、椎体、台体的体积可直接使用公式求解,对于不规则多面体的体积计算常采用割补法：将这个几何体分割成几个柱体、锥体,分别求出柱体和锥体的体积,从而得出要求的几何体的体积；对于三棱锥,由于其任意一个面均可作为棱锥的底面,从而可选择更容易计算的方式来求体积；利用“等积性”还可求“点到面的距离”.6.已知函数()()22,0ln 1,0x x ax a x f x e x x ⎧---<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递增,则a 的取值范围是A ．(],0-∞B ．[]1,0-C ．[]1,1-D ．[)0,+∞【命题意图】本题考查分段函数的单调性,考查逻辑推理、数学运算等核心素养.难度：中【答案】B【解析】当0x ≥时()f x 单调递增,要使()f x 在R 上单调递增,应满足01a a -≥⎧⎨-≤⎩,所以10a -≤≤,故选B.【点评】高考函数客观题一般有2道,考查热点是函数的奇偶性、单调性与周期性,利用函数单调性求参数取值范围更是热点中的热点.【知识链接】1.确定函数单调性的四种方法(1)定义法：利用定义判断．(2)导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．(3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写,用“和”或“,”连接,不能用“∪”连接．(4)性质法：利用函数单调性的性质,尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时,需先确定简单函数的单调性．2.函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小．(2)求最值．(3)解不等式．利用函数的单调性将“f ”符号脱掉,转化为具体的不等式求解,应注意函数的定义域．(4)利用单调性求参数．①依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较．②需注意若函数在区间[a ,b ]上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．③分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值．7．[]0,2x π∈时,曲线sin y x =与π2sin 36y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的交点个数为（）A ．3B ．4C ．6D ．8【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质,考查数形结合思想,考查直观想象的核心素养.难度：中【答案】C【解析】作出曲线sin y x =与π2sin 36y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[]0,2π上的图象如图所示,由图象可得交点有6个,故选C.【点评】三角函数的图象与性质基本是高考每年必考题,本题求解没有过多的技巧,关键是能熟练作出三角函数图像,高考中有不少题目都需要借助图形求解,在此提醒考生,做题时千万不要得“意”忘“形”.【知识链接】1.y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到,可通过变量代换z ＝ωx ＋φ计算五点坐标．2.对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0,ω≠0),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心的横坐标一定是函数的零点．3.根据y ＝A sin(ωx ＋φ),x ∈R 的图象求解析式的步骤：(1)首先确定振幅和周期,从而得到A 与ω.(Ⅰ)A 为离开平衡位置的最大距离,即最大值与最小值的差的一半．(Ⅱ)ω由周期得到：①函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值,且相邻的两条对称轴之间的距离为函数的半个周期；②函数图象与x 轴的交点是其对称中心,相邻两个对称中心间的距离也是函数的半个周期；③一条对称轴与其相邻的一个对称中心间的距离为函数的14个周期(借助图象很好理解记忆)．(2)求φ的值时最好选用最值点求．峰点：ωx ＋φ＝π2＋2k π；谷点：ωx ＋φ＝－π2＋2k π.也可用零点求,但要区分该零点是升零点,还是降零点．升零点(图象上升时与x 轴的交点)：ωx ＋φ＝2k π；降零点(图象下降时与x 轴的交点)：ωx ＋φ＝π＋2k π(以上k ∈Z )．8．已知函数()f x 的定义域为R ,()()()12f x f x f x >-+-,且当3x <时,()f x x =,则下列结论一定正确的是（）A ．()10100f >B ．()20100f >C ．()101000f <D ．()2010000f <【命题意图】本题考查抽象函数求值,考查逻辑推理与数学抽象的核心素养.难度：难【答案】C【解析】由3x <时()3f x =,()()()12f x f x f x >-+-得,()()()321f f f >+=3()()()432f f f >+>5,()()()5438f f f >+>,()()()65413f f f >+>,不等式右侧恰好是裴波那契数列从第3项起的各项：3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597 ,所以()()201615971000f f >>>,故选B.【点评】抽象函数是近两年高考考查热点,考查频率比较高的是抽象函数求值、奇偶性、周期性及与不等式的交汇问题.【知识链接】1.本题是由裴波那契数列改编而成,下面列出斐波那契数列{}n a 的一些基本性质,供有兴趣的同学参考：(1)n a a a a ++++...321=12-+n a ；(2)n n a a a a a 212531...=++++-；(3)1...122642-=+++++n n a a a a a ；(4)12232221...+=++++n n n a a a a a a ；(5)1)()1()1(...1321+--=-++-+-+n n nn na a a a a a ；(6)11+-++=m n m n n m a a a a a ；(7)nn n n a a a ）（1211-=--+；(8)n n n a a a 322=+-+.2.对称性与周期性是抽象函数考查的热点,下面列出一些基本结论,供参考：(1)若()()f a x f b x +=-,则()f x 的图象关于直线2a bx +=对称；(2)()y f a x =+的图象与()y f b x =-的图象关于直线2b ax -=对称；(3)若()()22f a x f x b -+=,则()f x 的图象关于点(),a b 对称.(4)若函数()f x 的图象既关于直线x a =对称,又关于直线x b =对称()a b ≠,则()f x 是周期函数,且()2b a -是它的一个周期.(5)若函数()f x 的图象既关于点(),0a 对称,又关于点(),0b 对称()a b ≠,则()f x 是周期函数,且()2b a -是它的一个周期.(6)若函数()f x 的图象既关于直线x a =对称,又关于点(),0b 对称()a b ≠,则()f x 是周期函数,且()4b a -是它的一个周期.二、选择题：本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9．为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况,从该种植区抽取样本,得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x =,样本方差20.01s =,已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.8,0.1N ,假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布()2N x s ,则（）（若随机变量Z 服从正态分布()2,N u σ,()0.8413P Zu σ<+≈）A ．(2)0.2P X >>B ．(2)0.5P X ><C ．(2)0.5P Y >>D ．(2)0.8P Y ><【命题意图】本题考查正态分布,考查逻辑推理与数学运算的核心素养.难度：易【答案】BC【解析】依题可知,22.1,0.01x s ==,所以()2.1,0.1Y N ,故()()()2 2.10.1 2.10.10.84130.5P Y P Y P Y >=>-=<+≈>,C 正确,D 错误；因为()1.8,0.1X N ,所以()()2 1.820.1P X P X >=>+⨯,因为()1.80.10.8413P X <+≈,所以()1.80.110.84130.15870.2P X >+≈-=<,而()()()2 1.820.1 1.80.10.2P X P X P X >=>+⨯<>+<,B 正确,A 错误,故选BC ．【点评】概率统计在新高考试卷中通常有2-3道题,由于概率统计知识点比较多,出题没有固定方向,但大多有实际背景.【知识链接】正态曲线的特点：①曲线位于x 轴上方,与x 轴不相交；②曲线是单峰的,它关于直线x ＝μ对称；③曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π；④曲线与x 轴之间的面积为1；2.解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x ＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ,σ,分布区间的特征进行转化,使分布区间转化为3σ特殊区间,从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为x ＝0.10．设函数2()(1)(4)f x x x =--,则（）A ．3x =是()f x 的极小值点B ．当01x <<时,()2()f x f x<C ．当12x <<时,4(21)0f x -<-<D ．当10x -<<时,()()2f x f x->【命题意图】本题考查利用导数研究函数单调性,考查数学运算与逻辑推理的核心素养,难度：中【答案】ACD【解析】解法一：对于A,因为()()()()()()22141313f x x x x x x =--+-=--',当()1,3x ∈时,()0f x '<,当(),1x ∞∈-或()3,x ∞∈+时,()0f x '>,()f x 在(),1∞-上单调递增,在()1,3上单调递减,在()3,∞+上单调递增,3x =是函数()f x 的极小值点,A 正确；对于B,当01x <<时,210x x >>>,由()f x 在()0,1上单调递增,可得()()2f x f x >,B 错误；对于C,当12x <<时,1213x <-<,由()f x 在()1,3上单调递减,可得()()()1213f f x f >->,即()4210f x -<-<,C 正确；对于D,当10x -<<时,()()()()()()222(2)()12141220f x f x x x x x x x --=------=-->,所以(2)()f x f x ->,D 正确；故选ACD.解法二：对于A,由()()()313f x x x -'=-,且()1,3x ∈时,()0f x '<,当()3,x ∞∈+时,()0f x '>,得3x =是函数()f x 的极小值点,A 正确；对于B,取12x =,则1728f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,1135464f ⎛⎫=-⎪⎝⎭,12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭>14f ⎛⎫⎪⎝⎭,B 错误；对于C,因为()()()22141250f x x x -=--<,()()()221442210f x x x -+=-->,C 正确；对于D,当10x -<<时,()()()()()()222(2)()12141220f x f x x x x x x x --=------=-->,所以(2)()f x f x ->,D 正确；故选ACD.【点评】利用导数研究函数单调性是高考热点,客观题中此类问题常与数式大小比较、不等式等知识交汇.【知识链接】1.确定函数单调区间的步骤(1)确定函数f (x )的定义域．(2)求f ′(x )．(3)解不等式f ′(x )>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间．(4)解不等式f ′(x )<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间．特别提醒：划分函数的单调区间时,要在函数定义域内讨论,还要确定导数为零的点和函数的间断点．2.根据函数单调性求参数的一般思路：(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ,b )上单调,则区间(a ,b )是相应单调区间的子集．(2)f (x )为增(减)函数的充要条件是对任意的x ∈(a ,b )都有f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)且在(a ,b )内的任一非空子区间上,f ′(x )不恒为零,应注意此时式子中的等号不能省略,否则会漏解．(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题．11．造型可以做成美丽的丝带,将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足横坐标大于2-,到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4,则（）A ．2a =-B ．点(22,0)在C 上C ．C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D ．当点()00,x y 在C 上时,0042y x ≤+【命题意图】本题考查曲线与方程,考查数学运算与逻辑推理的核心素养,难度:难【答案】ABD【解析】对于A ：设曲线上的动点(),P x y ,则2x >-()2224x y x a -+-=,因为曲线过坐标原点,故()2202004a -+-=,解得2a =-,故A 正确.对于B ：又曲线方程为()22224x y x -++=,而2x >-,故()()22224x y x -++=.当22,0x y ==时,()()2222222844-=-=,故()2,0在曲线上,故B 正确.对于C ：由曲线的方程可得()()2221622y x x =--+,取32x =,则2641494y =-,而64164525624510494494494---=-=>⨯,故此时21y >,故C 在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1,故C 错误.对于D ：当点()00,x y 在曲线上时,由C 的分析可得()()()220022001616222y x x x =--≤++,故0004422y x x -≤≤++,故D 正确.故选ABD.【点评】往年解析几何试题都是以圆、椭圆、双曲线、抛物线为载体命题,该题以与生活有关的曲线命题,背景新颖,对解题能力要求较高,是一道好题.【知识链接】直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程,要注意翻译的等价性.通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤,但最后的证明可以省略,如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步,求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性.三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分.12.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12F F 、,过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ,B 两点,若1||13,||10F A AB ==,则C 的离心率为___________．【命题意图】本题考查双曲线,考查数学运算的核心素养,难度：易【答案】32【解析】解法一：由题可知2,,A B F 三点横坐标相等,设A 在第一象限,将x c =代入22221x ya b-=得2b y a =±,即22,,,b b Ac B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故2210b AB a ==,225b AF a ==,又122AF AF a -=,得1222513AF AF a a =+=+=,解得4a =,代入25b a=得220b =,故22236,c a b =+=,即6c =,所以6342c e a ===.解法二：在直角△12AF F 中1213,5F A AF ==,由勾股定理得1212F F =,所以C 的离心率为12121231352F F e F A AF ===--.【点评】本题通过应用双曲线的定义和性质求离心率,没有较为复杂的计算,属于基础题,高考中双曲线客观题以容易题居多.【知识链接】1.过双曲线()222210,0x y a b a b -=>>焦点且与实轴垂直的弦长为22b a；2.在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ,运用平方的方法,建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．3.根据双曲线的渐近线求离心率常用结论：e =13.若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线,则=a __________.【命题意图】本题考查导数的几何意义,考查逻辑推理、直观想象,难度：中【答案】ln 2【解析】由e x y x =+得e 1x y '=+,00|e 12x y ='=+=,故曲线e xy x =+在()0,1处的切线方程为21y x =+；由()ln 1y x a =++得11y x '=+,设切线与曲线()ln 1y x a =++相切的切点为()()00,ln 1x x a ++,由两曲。
几何问题的解法与推理
几何问题的解法与推理几何问题作为数学中的一个重要分支，涉及到图形的性质、变换和推理等方面。
在解决几何问题的过程中，我们需要灵活运用几何知识，理清思路，并进行合理的推理和证明。
本文将介绍几何问题的解法和推理方法，帮助读者更好地应对几何问题。
一、基本解法几何问题的解法一般有以下几种基本方法：1. 图形分析法：通过观察、分析给定的图形，寻找其中的规律和特点，从而得到问题的解答。
例如，在求解一个角度大小的问题时，可以通过观察图形中的角度关系，运用相应的几何定理来解答。
2. 推导法：通过逻辑推理，从已知条件出发，按照一定的步骤和规则，推导出问题的解答。
推导法需要运用几何的基本定理和定律，进行严密的证明过程，以确保解答的准确性。
3. 假设法：对于一些复杂的几何问题，可以通过假设一些条件，缩小问题的范围，从而更容易求解。
假设法需要合理运用条件，控制假设的范围，并进行合理的推理和验证。
二、推理方法在解决几何问题时，除了基本解法外，我们还可以运用一些推理方法来辅助求解。
下面介绍几种常见的几何推理方法：1. 反证法：当无法直接证明某个结论时，可以尝试采用反证法。
即假设结论不成立，通过逻辑推理和分析，得出矛盾结论，从而推出原结论的正确性。
2. 递推法：递推法常应用于图形排列问题中。
通过观察图形的排列规律，找出其中的规律，进而推断出下一个图形的位置或形状。
3. 归纳法：归纳法适用于一些需要找出规律和性质的几何问题。
通过观察已知条件的各个具体实例，总结归纳出共同的规律和性质，从而解决整个问题。
4. 二分法：对于一些长度或角度的问题，可以采用二分法来逐步逼近解答。
即将待求解的长度或角度进行逐步分割，再通过推理和计算，找出最接近或确切的解答。
5. 构造法：对于一些图形构造问题，可以采用构造法来解答。
即通过合理地构造辅助线、辅助图形等，将问题转化为已知条件更明确的几何问题，从而更容易求解。
通过灵活运用上述的几何问题解法和推理方法，我们可以更好地解决各类几何问题。
小学奥数 巧求周长 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
一、基本概念①周长：封闭图形一周的长度就是这个图形的周长． ②面积：物体的表面或封闭图形的大小，叫做它们的面积．二、基本公式：①长方形的周长2=⨯(长+宽)，面积=长⨯宽．②正方形的周长4=⨯边长，正方形的面积=边长⨯边长．三、常用方法：（1）对于基本的长方形和正方形图形，可以直接用公式求出它们的周长和面积，对于一些不规则的比较复杂的几何图形，我们可以采用转化的数学思想方法割补成基本图形，利用长方形、正方形周长及面积计算的公式求解．（2）转化是一种重要的数学思想方法，在转化过程中要抓住“变”与“不变”两个部分．转化后的图形虽然形状变了，但其周长和面积不应该改变，所以在求解过程中不能遗漏掉某些线段的长度或某部分图形的面积．转化的目标是将复杂的图形转化为周长或面积可求的图形．（3）寻求正确有效的解题思路，意味着寻找一条摆脱困境、绕过障碍的途径．因此，我们在解决数学问题时，思考的着重点就是要把所需解决的问题转化为已经能够解决的问题．也就是说，在直接求解不容易或很难找到解题途径的问题时，我们往往转化问题的形式，从侧面或反面寻找突破口，知道最终把它转化成一个或若干个能解决的问题．这种解决问题的思想在数学中叫“化归”，它是数学思维中重要的思想和方法．（4）在几何中，有许多图形是由一些基本图形组合、拼凑而成的．这样的图形我们称为不规则图形．不规则图形的面积往往无法直接应用公式计算．那么，不规则图形的面积怎样去计算呢？对称、旋转、平移这几种几何变换就是解决这类面积问题的手段．四、几个重要的解题思想 （1）平移在平面图形的计算中，常常要将一个平面图形移动到平面上的另一个位置进行计算．其中，将图形沿一个固定方向的移动叫做平移，一个图形经过平行移动不改变其形状与大小，所以图形面积是保持不变的．利用图形的平移，可以使面积计算问题的解法简捷明快，颇有新意．知识点拨4-2-2.巧求周长（2）割补割补法在我国古代叫“出入相补原理”，我国古代魏晋时期著名的数学家刘徽在《九章算术注》中就明确地提出“出入相补，各从其类”的出入相补原理．这个原理的内容是几何图形经过分、合、移、补所拼凑成的新图形，它的面积不变．（3）旋转在平面图形的割补中，有时要将一个图形绕定点旋转到一个新的位置，产生一种新的图形结构，图形在转动过程中形状大小不发生改变．利用这种新的图形结构可以帮我们解决面积的计算问题．（4）对称平面图形中有许多简单漂亮的图形都是轴对称图形．轴对称图形沿对称轴折叠，轴两侧可以完全重合．也就是说，如果一个图形是轴对称图形，那么对称轴平分这个图形的面积．熟悉轴对称图形这个性质，对面积计算会有很大帮助．（5）代换在几何计算中，对有关数量进行适当的等量代换也是解决问题的已知技巧．小结：本讲主要通过求一些不规则图形的周长，体会一种转化思想，重点在于把不规则图形转化为规则图形的方法，包括平移、旋转、割补、差不变原理，通过这些方法的学习，让学生体会求周长的技巧，提高学生的观察能力、动手操作能力、综合运用能力．例题精讲模块一、图形的周长和面积——割补法【例1】求图中所有线段的总长(单位：厘米)D【考点】巧求周长【难度】2星【题型】填空【解析】要注意到，题目所求的是图中所有线段的总长，而图中的线段，并不仅仅是AB、BC、CD、DE四段，还包括AC、BE等等，因此不能简单地将图中标示的线段长度进行求和．同时应该注意到，BE BC CD DE，等等．因此，为了计算图中所有线段的=++=++=AC AB BC；3126=+=+43总长，需要先计算AB、BC、CD、DE这四条线段分别被累加了几次．这里，可以按照每条线段分别是由几部分组成的加以讨论：由1段组成的线段共有4条，即AB、BC、CD、DE，而求和过程中AB、BC、CD、DE这四条线段各被累加了1次．类似地考虑到，由2段组成的线段共有3条，求和过程中AB、DE各被累加了1次, BC、CD各被累加了2次．由3段组成的线段共有2条，求和过程中AB、DE各被累加了1次，BC、CD各被累加了2次．由4段组成的线段只有AE，其中AB、BC、CD、DE各被计算了1次．综上所述，AB、DE各被计算了4次，BC、CD各被计算了6次．因而图中所有线段的总长度为：()()⨯++⨯+（厘米）442631=48【答案】48【例2】如图所示，点B是线段AD的中点，由A、B、C、D四个点所构成的所有线段的长度均为整数，若这些线段的长度之积为10500，则线段AB的长度是。
初联难度几何题100道(上)解答
初中教师转正必做100题第一题：已知：ABCAE⊥，ABBAC，BCCF⊥，AE、CF相交∠60∆外接于⊙O，︒=于点H，点D为弧BC的中点，连接HD、AD。
求证：AHD∆为等腰三角形简证：易证∠BHC＝120°，∠BOC＝120°，∴B、H、O、C四点共圆。
AHDO是菱形∴AH＝HD，△AHD为等腰三角形。
第二题：如图，F为正方形ABCD边CD上一点，连接AC、AF，延长AF交AC的平行线DE于点E，连接CE,且AC=AE。
求证：CFCE简证：作点E关于AD对称点G，则DE⊥DG△CDG≌△ADE，△ACG是等边三角形。
∠GAC＝60°，∠DAF＝15°，∠CEF＝30°，∠DEF＝30°，∠CFE＝30°，∴△CEF是等腰三角形。
CE＝CF。
A第三题：已知：ABC ∆中，AC AB =，︒=∠20BAC ，︒=∠30BDC 。
求证：BC AD =简证：以AD 为边作正三角形ADE （如图） 易知△ABC ≌△CAE ∴AD ＝AE ＝BC 。
E第四题：已知：ABC ∆中，D 为AC 边的中点，C A ∠=∠3，︒=∠45ADB 。
求证：BC AB ⊥ 简证：过D 作DE ⊥AC 交BC 于E 由已知得AE ＝EC ，∠EAD ＝∠C又∠A ＝3∠C ，∴∠BAE ＝∠BEABA ＝BE ，由∠ADB ＝45°得∠EDB ＝45°∴A 、D 、E 、B 四点共圆，∠ABE ＝∠ADE ＝90°即AB ⊥BC 。
第五题：如图，四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 交于点E ，︒=∠50BAC ，︒=∠60ABD ，︒=∠20CBD ，︒=∠30CAD ，︒=∠40ADB 。
求ACD ∠。
解：设AD 、BC 交于点F ，过D 作DG ∥AB 交BF 于点G ，AG 交BD 于H 。
则 △ABF 是等腰三角形，A 、B 、G 、D 四点共圆。
初中数学解几何题技巧分享
初中数学解几何题技巧分享几何是一个需要很高的直觉和想象能力的学科，需要有很多的绘图和推理，但是几何题目却又是数学中最好解决的题目之一，因为几何题目的条件通常比较清晰明确，模型也比较容易构建。
初中时期的数学学习主要是以平面几何作为主要内容，其难度也基本上以平面几何中的解题为主。
在数学中，解几何题需要分为两方面，一方面是几何图形的画法和构建，另一方面则是根据所给条件运用相关的几何知识进行分析。
本篇文章将重点分享初中数学解几何题的技巧和方法，提供一些对初中学生有帮助的知识要点。
一、解题方法1. 要理解题意。
在解题前，一定要认真阅读题目，理解题目所给的条件和要求。
只有真正明白了题目的意思，才能够更有力地去解决问题。
2. 逐步分析。
在明确了题目的要求和条件之后，就应该对这些条件进行分析和归纳。
这个过程可以帮助你建立几何图形和确定问题的方向。
3. 运用几何知识。
把分析过程中得出的各个条件相互联系起来，寻找相关的几何知识，然后再去用这些知识来推导出问题的解答。
4. 检查答案。
在你完成了解题之后，一定要认真地检查自己的答案，确定是否符合题目的要求。
二、画图技巧初中数学中，解决几何问题的第一步就是要会画图。
下面提供一些画图技巧。
1. 标上角度。
在画线段时，要标明线段间的夹角，以便能迅速地确定关系，并可以运用角度的性质快速推导出答案。
2. 利用相似三角形。
如果题目中提到了两个三角形相似，那么就可以对相应的角度和线段比例进行处理，进而推导出所需要的信息。
3. 切割线段。
如果哪一个线段太难处理，可以将其平分成多条线段，以便更容易进行运算和判断。
4. 关注特殊情况。
如果题目给出的条件无法唯一确定，可以考虑一些特殊情况，例如角度为直角、线段平行、等长等特殊情况，通过这些情况可以推导出其他答案。
三、常见几何问题的解法1. 求角度问题求解角度问题的方法可以使用角度的性质，例如平行线锐角一对，余弦定理和正弦定理，以及相似三角形的比例等方法。
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5步轻松搞定初中几何难题作业帮出版初中几何48模型数学5步轻松搞定初中几何难题作业帮出版《初中几何48模型》|数学_网易科技创新5步法随时“翻越”几何难题本书根据中考考试情况和章节知识分类，总结了48个经典几何模型及其变体，涵盖了初中常见考点、重难点，如相贯线与平行线、轴对称、勾股定理、旋转等。
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2017建平中学自招数学答案
2017 建平中学自招数学真题剖析
代数部分：1-7 题 几何部分 8-12 题 解答题 13-14 题
n n
为偶数）；（3） a 1a 0
0
【自招真题类比】（2013 进才） n 2n 1 （答案：8） （2015 复附） x 3
x 2 8 x 15 x2
2
n 2 41
n 2 2n 1
16 n 15
且 n 为实数，则 n 的个数为？
1 的解有___________个。
1. 进制是人们规定的一种进位方法。计算机中常用十六进制是逢 16 进 1 的计数制，而十五进制是 15 为基数进位 的计数制，该数制很少使用，但在度量衡中，我国的旧面积单位却与国际公制面积单位存在着十五进制关系， 现采用数字 0～9 和字母 A～E 共 15 个计数符号，这些符号与十进制的数对应关系如下表：
【教辅同类题型原题对比】《辅导与训练》七年级第一学期 P78（17 年下半年此书将全套改版，此页码依据此 之前版本），拓展训练最后一题原题为： x 2 【原题难度】★★ 【原题一流初中常见性】★★★☆ 【自招重要性】★★★☆ 【点评】解方程作为数学的重要模块，一定是自招的重点，本题结合的幂为 1 的运算常考不过难度不大，但自 招出现的其他方程及方程组问题通常难度不小。 【补充延伸】自招题的方程和方程组中除了解法分析中总结还需要注意的要点有：“数形结合思想”、“轮换 对称式”、“因式分解及乘法公式的拓展（尤其立方和立方差）”、“幂的单调性”
初中难度几何100题之欧阳理创编
第一题：已知：ABCBAC，BCAE⊥，ABCF⊥，∠60∆外接于⊙O，︒=AE、CF相交于点H，点D为弧BC的中点，连接HD、AD。
求证：AHD∆为等腰三角形第二题：如图，F为正方形ABCD边CD上一点，连接AC、AF，延长AF交AC的平行线DE于点E，连接CE,且AC=AE。
CE求证：CFE第三题：已知：ABC ∆中，AC AB =，︒=∠20BAC ，︒=∠30BDC 。
求证：BC AD =B第四题：已知：ABC ∆中，D 为AC 边的中点，C A ∠=∠3，︒=∠45ADB 。
求证：BC AB ⊥AC第五题：如图，四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 交于点E ，︒=∠50BAC ，︒=∠60ABD ，︒=∠20CBD ，︒=∠30CAD ，︒=∠40ADB 。
求ACD ∠。
BD第六题：已知，︒=∠30ABC ，︒=∠60ADC ，DC AD =。
求证：222BD BC AB =+DB第七题：如图，PC切⊙O于C，AC为圆的直径，PEF为⊙O的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D。
求证：四边形ABCD为平行四边形第八题：已知：在ABC ∆中，AC AB =，︒=∠80A ，︒=∠10OBC ，︒=∠20OCA 。
求证：OB AB =CB第九题：已知：正方形ABCD 中，︒=∠=∠15ODA OAD ，求证：OBC ∆为正三角形。
第十题：已知：正方形ABCD中，E、F为AD、DC的中点，连接BE、AF，相交于点P，连接PC。
PC求证：BC第十一题：如图，ACB ∆与ADE ∆都是等腰直角三角形，︒=∠=∠90ACB ADE ，︒=∠45CDF ，DF 交BE 于F ，求证：︒=∠90CFDEB第十二题：已知：ABC ∆中，CAB CBA ∠=∠2，CBA ∠的角平分线BD 与CAB ∠的角平分线AD 相交于点D ，且AD BC =。
求证：︒=∠60ACBA第十三题：已知：在ABC ∆中，BC AC =，︒=∠100C ，AD 平分CAB ∠。
探索流行题集《初联几何100题》的解题思路和方法
探索流行题集《初联几何100题》的解题思路和方法一、直线与角的性质1. 直线与角的基本概念在解答与直线与角的性质相关的题目时，首先需要对直线、角的概念有一个清晰的认识。
直线是由无数个点连成的一条轨迹，没有起点和终点；而角是由两条射线共同起点所组成的图形。
此外，还需要熟悉直线与角的基本性质，如直线的平分线、垂直平分线、相交直线的性质等。
2. 解题思路针对直线与角的性质的题目，我们需要注意观察题目给出的条件，然后根据条件找到相关的性质，并利用这些性质解决问题。
例如，如果题目给出了两条平行线，我们就可以利用平行线的性质得出与其相关的角的性质，从而解答问题。
3. 解题方法在实际解答问题时，可以通过画图、列方程、运用一些定理等多种方法来解题。
比如，对于给定的角度大小，可以利用直尺和圆规画出角度，从而帮助理解问题和解答问题。
另外，还可以根据题目的要求列出相关的方程式，通过求解这些方程式来完成题目的解答。
二、平行线与全等三角形1. 平行线的基本概念解答与平行线相关的题目，首先需要对平行线的概念有一个清晰的认识。
平行线是指在同一平面内，方向相同且不相交的直线，这些直线之间的距离始终保持一致。
此外，还需要熟悉平行线的基本性质，如平行线的性质、平行线的判定等。
2. 解题思路在解答平行线相关的题目时，需要注意观察题目给出的条件，从而找到相关的性质。
例如，如果题目给出了平行线的性质，就可以利用这些性质来得出与其相关的角的性质，从而解答问题。
3. 解题方法对于平行线相关的题目，可以通过画图、列方程、引入中垂线、利用全等三角形的性质等多种方法来解题。
例如，对于给定的平行线及其交叉的角度，可以通过引入中垂线来得出相关的三角形，从而利用全等三角形的性质来解答问题。
三、平行四边形与梯形1. 平行四边形与梯形的基本概念在解答与平行四边形与梯形相关的题目时，首先需要对这两个几何图形的概念有一个清晰的认识。
平行四边形是指四边形的对边平行，四个内角相等；梯形是指至少有一对对边平行的四边形，同时其对角线互相垂直。
初中数学竞赛100道平面几何题解析
初中数学竞赛100道平面几何题解析初中数学竞赛中的平面几何部分是难度较高的内容，对于大部分初中生来说，需要掌握一定的解题技巧和方法。
本文将为大家解析100道初中数学竞赛平面几何题，帮助大家更好地理解和掌握平面几何知识。
一、平面几何的基本概念和定理在解析平面几何题之前，我们需要了解一些基本的概念和定理。
例如，线段、角、三角形、四边形等基本图形，以及平行线、垂直关系、相似三角形等基本定理。
这些基本概念和定理是解决平面几何题的基础。
二、解题技巧和方法1. 寻找已知条件：在解题时，要仔细阅读题目，找出所有的已知条件，并利用这些条件进行分析和推理。
2. 建立数学模型：将几何问题转化为数学问题，如列方程、建立不等式等，通过数学方法来解决。
3. 推理过程：在解题过程中，要注意推理的步骤和过程，做到步步有据可依。
4. 解题示例：接下来，我们将通过一些具体的例子来演示解题的步骤和方法，帮助大家更好地理解和掌握。
三、100道平面几何题的解析接下来，我们将对100道初中数学竞赛平面几何题进行详细的解析。
每道题目都会给出解题的步骤和思路，帮助大家更好地理解解题的方法和技巧。
在解析过程中，我们会强调解题的要点和注意事项，帮助大家更好地掌握解题技巧。
需要注意的是，有些题目可能会有多种解法，我们会选择其中一种较为简单和常用的方法进行解析。
同时，我们也会强调解题的规范性和准确性，帮助大家养成良好的解题习惯。
四、总结通过本文的解析，相信大家对初中数学竞赛平面几何部分有了更深入的了解和掌握。
在今后的学习和解题过程中，希望大家能够不断总结经验和方法，提高自己的解题能力。
同时，也希望大家能够多做练习，巩固所学知识，不断提高自己的数学水平。
初中数学平面几何题解法总结
初中数学平面几何题解法总结平面几何是数学中很重要的一个分支，也是初中数学中的一项重要内容。
在平面几何中，解题时需要运用几何知识、分析问题、推理证明等能力。
本文将总结初中数学平面几何题的解题方法，帮助同学们更好地应对考试。
一、平面几何基础知识回顾在解题之前，我们先回顾一些平面几何的基础知识：1. 平面几何的基本概念：点、线、线段、角等；2. 各种线段的性质：对称、等分线、中线等；3. 各种角的性质：相等角、平行线与交线上的内、外角等；4. 各种三角形的性质：等腰三角形、直角三角形等；5. 圆的基本概念和性质：圆心角、半径、弦、切线等；6. 直线与圆的位置关系：相离、相切、相交等。
二、解题方法1. 理清思路解平面几何题需要仔细分析题目，理清思路。
首先，明确题目要求，确定解题方向；其次，仔细观察图形、角度、线段的关系，判断能否直接运用已知条件求解，如果不能，需要进一步分析。
2. 运用几何知识解题时需要灵活运用几何知识。
我们需要了解各种线段、角度、三角形、圆的性质，并能熟练运用它们解题。
例如，对于线段的性质，可以使用线段中点定理、线段等分和相似三角形等知识来解题。
3. 运用基本公式和推理证明解平面几何题时，有时需要运用一些基本公式和推理证明来得到结论。
比如，可以运用勾股定理、正弦定理、余弦定理等公式来求解三角形的边长和角度。
而要想证明一些结论，可以运用反证法、等齐次性原理等推理方法。
4. 运用图形的对称性质在解题过程中，有时可以运用图形的对称性质来简化解题过程。
比如，可以利用等腰三角形的对称性来求解问题，或利用图形的对称性质来推导结论。
5. 综合运用多种解题方法有些问题需要综合运用多种解题方法才能得到正确答案。
在解题时，可以尝试使用不同的方法来解决同一个问题，然后比较各种方法的优劣，选择最简明的解法。
三、常见题型及解题思路1. 直角三角形直角三角形是平面几何题中的常见题型。
对于直角三角形来说，常用的解法有勾股定理、三角函数等。
平面解析几何13个模块题型归纳
模块一 直线的方程1．当直线l 与x 轴相交时，把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线l 的倾斜角，并规定：直线l 与x 轴平行或重合时倾斜角为0°，因此倾斜角α的范围是0°≤α＜180°．2．当倾斜角α≠90°时，tan α表示直线l 的斜率，常用k 表示，即k ＝tan α.当α＝90°时，斜率不存在．当直线过P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)且x 1≠x 2时，k ＝2121y y x x --．3．直线方程的几种形式考点1 直线的斜率与倾斜角【例】（1）已知两点A (－1，－5)、B (3，－2)，直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，求l 的斜率． （2）直线2x cos α－y －3＝0的倾斜角的取值范围是 ．(3)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的范围为 ． 【解析】（1）设直线l 的倾斜角为α.则直线AB 的倾斜角为2α，由题意可知：tan2α＝2(5)33(1)4---=--，∴22tan 31tan 4αα=-，整理得3tan 2α＋8tanα－3＝0，解得1tan 3α=或tanα＝－3，∵3tan 204α=>，∴0°<2α<90°，∴0°<α<45°，∴tanα>0，故直线l 的斜率为13.（2）,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α，因为α∈,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以1cos 2α≤≤，因此k ＝2cos α∈．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈．又θ∈[0，π)，所以θ∈,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即倾斜角的取值范围是,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.(3) (,[1,)-∞+∞ ．如图，∵k AP ＝1021--＝1，k BP ＝001=-k ∈(,[1,)-∞+∞． 巩固1.若过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为_______． 【解析】题意得412m m-=--，解得m ＝1.巩固2.(2018·南京名校联考)曲线y ＝x 3－x ＋5上各点处的切线的倾斜角的取值范围为________． 【解析】设曲线上任意一点处的切线的倾斜角为θ(θ∈[0，π))，因为y ′＝3x 2－1≥－1，所以tan θ≥－1， 结合正切函数的图象可知，θ的取值范围为30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭巩固3.经过两点(1,1)-的直线的倾斜角为 __．【解析】因为经过两点(1,1)-的直线的斜率为1k ==，所以倾斜角为45. 考点2 直线方程【例】根据所给条件求直线的方程： (1)过点P (－2,4)且斜率k ＝3的直线l 的方程；(2)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；【解析】 (1)由题设知，该直线可采用点斜式．直线l 的方程为y －4＝3[x －(－2)]，即3x －y ＋10＝0.(2)由题设知直线在平面直角坐标系中的横、纵截距均不为0，故可设直线方程为112x y a a+=-.因为直线过点(－3，4)，所以34112a a-+=-，解得a ＝－4或9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0. 巩固1.倾斜角为120°，在x 轴上的截距为－1的直线方程是________．【解析】由于倾斜角为120°，故斜率k =又直线过点(－1,0)，所以直线方程为1)y x =+，即0y ++=巩固2.求经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线方程．【解析】当直线不过原点时，设所求直线方程为12x y a a +=，将(－5,2)代入所设方程，解得a ＝12-，所以直线方程为x ＋2y ＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，则－5k ＝2，解得25k =-，所以直线方程为25y x =-，即2x ＋5y ＝0.故所求直线方程为2x ＋5y ＝0或x ＋2y ＋1＝0.巩固3.直线l 过点(5，10)，且到原点的距离为5，则直线l 的方程是【解析】当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0.当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)，即kx －y ＋(10－5k )＝0.由点到直线的距离公式，5=，解得34k =.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.巩固4.过点(2，－3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________． 【解析】若直线过原点，则直线方程为3x ＋2y ＝0；若直线不过原点，则斜率为1，方程为y ＋3＝x －2，即为x －y －5＝0，直线为3x ＋2y ＝0或x －y －5＝0考点3 直线方程的综合问题【例】（1） 已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a 的值．（2）已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．【解析】（1）由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,2)，直线l 1在y 轴上的截距为2－a ，直线l 2在x 轴上的截距为a 2＋2，所以四边形的面积22112(2)2(2)422S a a a a =⨯⨯-+⨯⨯+=-+2115()24a =-+，当12a =时，四边形的面积最小．（2）方法一 设直线方程为1(0,0)x ya b a b+=>>，把点P (3,2)代入得321a b +=≥ab ≥24， 从而S △AOB ＝12ab ≥12，当且仅当32a b=时等号成立，这时23b k a =-=-，从而所求直线的方程为2x ＋3y －12＝0.方法二 由题意知，直线l 的斜率k 存在且k <0， 则直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k <0)，且有2(3,0)A k-，B (0,2－3k )，∴12141(23)(3)12(9)1222()2OABS k k k k ∆⎡⎡⎤=--=+-+≥+⎢⎢⎥-⎣⎦⎣ 1(1212)122=⨯+=当且仅当49k k -=-，即23k =-时，等号成立． 即△ABO 的面积的最小值为12.故所求直线的方程为2x ＋3y －12＝0.巩固1.过直线l ：y ＝x 上的点P (2,2)作直线m ，若直线l ，m 与x 轴围成的三角形的面积为2，则直线m 的方程为____________．【解析】 ①若直线m 的斜率不存在，则直线m 的方程为x ＝2，直线m ，直线l 和x 轴围成的三角形的面积为2，符合题意；②若直线m 的斜率k ＝0，则直线m 与x 轴没有交点，不符合题意； ③若直线m 的斜率k ≠0，设其方程为y －2＝k (x －2)，令y ＝0，得22x k=-，依题意有122222k ⨯-⨯=，即111k -=，解得12k =，所以直线m 的方程为12(2)2y x －＝－，即x －2y ＋2＝0. 综上可知，直线m 的方程为x －2y ＋2＝0或x ＝2. 巩固2.已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S ，求S 的最小值并求此时直线l 方程．【解析】 (1)证明：直线l 的方程可以变形为k(x ＋2)＋(1－y)＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2，1)．(2)由方程知，当k≠0时，直线在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ≤－2，1＋2k≥1，解得k>0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意．故k≥0. (3)由l 的方程得A(－1＋2kk，0)B(0，1＋2k)．依题意得k>0.∵S ＝12|OA|·|OB|＝12|1＋2k k |·|1＋2k|＝12·（1＋2k ）2k ＝12(4k ＋1k ＋4)≥12×(2×2＋4)＝4，当且仅当k>0且4k ＝1k ，即k ＝12时，等号成立，S ＝4，此时l ：x －2y ＋4＝0.巩固3.设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； (2)若直线l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．【解析】 (1)当a ＝－1时，直线l 的方程为y ＋3＝0，不符合题意；当a ≠－1时，直线l 在x 轴上的截距为a －2a ＋1，在y 轴上的截距为a －2，因为l 在两坐标轴上的截距相等，所以a －2a ＋1＝a －2，解得a ＝2或a ＝0，所以直线l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.(2)将直线l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，所以⎩⎪⎨⎪⎧－（a ＋1）>0a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－（a ＋1）＝0a －2≤0，解得a ≤－1.综上所述，a ≤－1.巩固4.如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°，过点P (1，0)作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．【解析】 由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan (180°－30°)＝－33，所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x .设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以AB 的中点C (m －3n 2，m ＋n 2)．由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n2m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)．又P (1，0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，3＋3所以l AB：y＝2(x－1)，即直线AB的方程为(3＋3)x－2y－3－3＝0.模块二 两条直线的位置关系1．有斜率的两条直线平行与垂直若l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则__l 1∥l 2__⇔k 1＝k 2，b 1≠b 2； __l 1⊥l 2__⇔k 1·k 2＝－1；l 1与l 2重合⇔__k 1＝k 2，b 1＝b 2__． 2．直线的一般式方程中的平行与垂直条件若直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(其中A 1，B 1不同时为0，A 2，B 2不同时为0)，则l 1∥l 2⇔__A 1B 2＝A 2B 1且A 1C 2≠A 2C 1__；l 1⊥l 2⇔__A 1A 2＋B 1B 2＝0__． 3．两直线的交点直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的公共点的坐标与方程组11122200A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解一一对应．(1)__相交__⇔方程组有一组解；(2)__平行__⇔方程组无解；(3)__重合__⇔方程组有无数组解． 4．已知两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则两点间的距离为d5．设点P (x 0，y 0)，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)，则点P 到直线l 的距离为d6．两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0(A ，B 不同时为0)之间的距离d．考点4 两条直线平行、垂直关系【例】已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0. (1)当l 1∥l 2时,求a 的值；(2)当l 1⊥l 2时，求a 的值．【解析】(1)解法1： 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2； 当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2； 当a ≠1且a ≠0时，两直线可化为l 1：32a y x =--，l 2：1(1)1y x a a=-+-， l 1∈l 2∈ 1213(1)aa a ⎧-=⎪-⎨⎪-≠-+⎩解得a ＝－1，综上可知，当a ＝－1时，l 1∈l 2.解法2： 由A 1B 2－A 2B 1＝0，得a (a －1)－1×2＝0，由A 1C 2－A 2C 1≠0，得a (a 2－1)－1×6≠0，∈l 1∈l 2∈2(1)120(1)160a a a a --⨯=⎧⎨--⨯≠⎩∈2220(1)6a a a a ⎧--=⎪⎨-≠⎪⎩可得a ＝－1，故当a ＝－1时，l 1∈l 2. (2) 解法1： 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1与l 2不垂直，故a ＝1不成立； 当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不垂直于l 2，故a ＝0不成立； 当a ≠1且a ≠0时，l 1：32a y x =--，l 2：1(1)1y x a a =-+-由1121a a⎛⎫-⋅=- ⎪-⎝⎭，得a ＝23. 解法2： 由A 1A 2＋B 1B 2＝0，得a ＋2(a －1)＝0，可得a ＝23. 巩固1.直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m ＝________. 【解析】直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则有21432m m +=≠-，故m ＝2或－3. 巩固2.两条直线12:(3)253,:4(5)16l m x y m l x m y ++=-++=，且1l 与2l 平行，则m = 【解析】因为1l 与2l 平行，所以(3)(5)24m m +⨯+=⨯，解得1m =-或7m =-. 当1m =-时，12:228,:4416l x y l x y +=+=重合，不成立，舍去； 当7m =-时1:4226l x y -+=，2:4216l x y -=，成立.所以7m =-.巩固3.已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值． (1)l 1⊥l 2，且l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． 【解析】 (1)由已知可得l 2的斜率存在，且k 2＝1－a .若k 2＝0，则1－a ＝0，a ＝1.∈l 1∈l 2，直线l 1的斜率k 1必不存在，即b ＝0.又∈l 1过点(－3，－1)，∈－3a ＋4＝0，即a ＝43(矛盾)，∈此种情况不存在， ∈k 2≠0，即k 1，k 2都存在且不为0.∈k 2＝1－a ，k 1＝ab，l 1∈l 2，∈k 1k 2＝－1，即ab(1－a )＝－1.(*)又∈l 1过点(－3，－1)，∈－3a ＋b ＋4＝0.(**)由(*)(**)联立，解得a ＝2，b ＝2.(2)∈l 2的斜率存在，l 1∈l 2，∈直线l 1的斜率存在，k 1＝k 2，即ab＝1－a ，∈ 又∈坐标原点到这两条直线的距离相等，且l 1∈l 2，∈l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b ，∈ 联立∈∈，解得22a b =⎧⎨=-⎩或232a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∈a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.考点5 直线的交点【例】下面三条直线l 1：4x ＋y －4＝0，l 2：mx ＋y ＝0，l 3：2x －3my －4＝0不能构成三角形，求实数m 【解析】 (1)三条直线交于一点时：由4400x y mx y +-=⎧⎨+=⎩，解得l 1和l 2的交点A 的坐标44(,)44mm m ---，由A在l 3上可得4423()444m m m m -⨯-⨯=--，解得m ＝23或m ＝－1. (2)至少两条直线平行或重合时：l 1、l 2、l 3至少两条直线斜率相等，当m ＝4时，l 1∥l 2；当m ＝16-时，l 1∥l 3；若l 2∥l 3，则需有123m m =-，m 2＝23-不可能．综合(1)、(2)可知，m ＝－1，16-，23，4时，这三条直线不能组成三角形，因此m 的取值集合是{－1，16-，23，4}．巩固1.求证：无论k 取任何实数，直线(1＋4k )x －(2－3k )y ＋2－14k ＝0必经过一个定点，并求出定点坐标．【解析】 原直线方程可以转化成k (4x ＋3y －14)＋(x －2y ＋2)＝0，联立43140220x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩，即直线必经过一个定点，且此定点的坐标为(2，2)． 巩固2.已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线122y x =-+的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是________． 【解析】由方程组21122y kx k y x =++⎧⎪⎨=-+⎪⎩解得24216121k x k k y k -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩， (若2k ＋1＝0，即k ＝12-，则两直线平行) ∴交点坐标为2461(,)2121k k k k -+++.又∵交点位于第一象限，∴2402161021kk k k -⎧>⎪⎪+⎨+⎪>⎪+⎩解得1162k -<<.巩固3.已知平面上三条直线1l ：x ＋2y －1＝0，2l ：x ＋1＝0，3l ：x ＋ky ＝0，如果这三条直线将平面划分为六个部分，则实数k 的取值集合________．【解析】若三条直线有两条平行，另外一条与这两条直线相交，，当1l //3l 时，2k =，当2l //3l 时，k ＝0；若三条直线交于一点，也符合要求，此时k ＝1， 故实数k 的取值集合为{0,1,2}．考点6 距离公式【例】 已知点P (2，－1)．(1)求过点P 且与原点距离为2的直线l 的方程．(2)求过点P 且与原点距离最大的直线l 的方程，并求出最大距离．(3)是否存在过点P 且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．【解析】 (1)过点P 的直线l 与原点距离为2，而P 点坐标为(2，－1)，可见过P (2，－1)垂直于x 轴的直线满足条件．此时l 的斜率不存在，其方程为x ＝2.若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)，即 kx －y －2k －1＝0.2=，解得34k =.此时l 的方程为3x －4y －10＝0.综上，可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.(2) 过点P 与原点O 距离最大的直线是过点P 且与PO 垂直的直线，由l ⊥OP ，得k l k OP ＝－1.所以 k l ＝1OPk -＝2.由直线的点斜式方程得y ＋1＝2(x －2)，即2x －y －5＝0，即直线2x －y －5＝0是过P 点且与原点O=(3)由(2)可知，过P 点不存在与原点距离超过的直线，因此不存在过P 点且与原点距离为6的直线． 巩固1.若直线l 过点P (－1,2)且到点A (2,3)和点B (－4,5)的距离相等，则直线l 的方程为___________． 【解析】当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0.=，即|3k －1|＝|－3k －3|，∴k ＝13-. ∴直线l 的方程为y －2＝13-(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意．巩固2.在平面内，已知直线l 1∥l 2，点A 是l 1，l 2之间的定点，点A 到l 1，l 2的距离分别为3和2，点B 是l 2上的一个动点，若AC AB ⊥，且AC 与l 1交于点C ，则ABC ∆面积的最小值为 .【解析】以A 为坐标原点，平行于l 1的直线为x 轴，建立直角坐标系，设(,2),(,3)B a C b - ∈AC AB ⊥，∈60ab -=，即6b a=.∈Rt ABC ∆的面积6S ===≥=， ∈Rt ABC ∆的面积的最小值是6.巩固3.若动点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)分别在直线l 1：x －y －5＝0，l 2：x －y －15＝0上移动，求P 1P 2的中点P 到原点的距离的最小值．【解析】由题意得P 1P 2的中点P 的轨迹方程是x －y －10＝0，则原点到直线x －y －10＝0的距离为d ==P到原点距离的最小值为巩固4.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：kx －y ＋2＝0与直线l 2：x ＋ky －2＝0相交于点P ，则当实数k 变化时，点P 到直线x －y －4＝0的距离的最大值为______． 【解析】当k ＝0时，点P (2,2)到直线x －y －4＝0的距离为当k ≠0时，解方程组2020kx y x ky -+=⎧⎨+-=⎩,得两直线交点P 的坐标为222222,11k k k k -+⎛⎫⎪++⎝⎭， 所以点P 到直线x －y －4＝0=，为求得最大值，考虑正数k ，则有211112k k k k=≤++，当且仅当k ＝134⨯≤= 巩固5.三条直线：l 1：2x －y ＋a ＝0(a ＞0)；l 2：－4x ＋2y ＋1＝0；l 3：x ＋y －1＝0，且l 1与l 2间的距离是10(1)求a 的值；(2)能否找到一点P ，使P 同时满足下列三个条件： ①点P 在第一象限；②点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的12； ③点P 到l 1的距离与点P 到l 3若能，求点P 的坐标；若不能，请说明理由．【解析】 (1)直线l 2：2x －y －12＝0，所以两条平行直线l 1与l 2间的距离为10d ==，所以10d ==，即1722a +=，又a ＞0，解得a ＝3. (2)假设存在点P ，设点P (x 0，y 0)．若点P 满足条件②，则点P 在与l 1，l 2平行的直线l ′：2x －y ＋c ＝012=，即132c =或116，所以直线l ′的方程为2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0；若点P=， 即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|，所以x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0；由于点P 在第一象限，所以3x 0＋2＝0不可能．联立方程2x 0－y 0＋132＝0和x 0－2y 0＋4＝0，解得00312x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩ (舍去)；联立方程2x 0－y 0＋116＝0和x 0－2y 0＋4＝0，解得00193718x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；所以存在点P 137,918⎛⎫⎪⎝⎭同时满足三个条件．考点7 对称问题【例】如图，已知A (4,0)，B (0,4)，从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是________．（2）已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，求直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程．【解析】（1） 直线AB 的方程为x ＋y ＝4，点P (2,0)关于直线AB 的对称点为D (4,2)，关于y 轴的对称点为C (－2,0)，则光线经过的路程为CD=（2）在直线m 上任取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上．设对称点M ′(a ，b )，则2023102202123a b b a ⎧++⎛⎫⎛⎫⨯-⨯+= ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨-⎪⨯=-⎪-⎩解得6133013a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴630(,)1313M '. 设直线m 与直线l 的交点为N ，则由23103260x y x y -+=⎧⎨--=⎩得N (4,3)．又∵直线m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0.巩固1.若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2恒过定点________．【解析】由于直线l 1：y ＝k (x －4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又由于直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，所以直线l 2恒过定点(0,2)．巩固2.已知△ABC 的两个顶点A (－1，5)和B (0，－1)，若∠C 的平分线所在的直线方程为2x －3y ＋6＝0，则BC 边所在直线的方程为_____________．【解析】设A 点关于直线2x －3y ＋6＝0的对称点为A ′(x 1，y 1)，则1111152360225312x y y x -+⎧⋅-⋅+=⎪⎪⎨-⎪=-+⎪⎩∴111123503270x y x y --=⎧⎨+-=⎩ ,解得113113113x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,即A ′ 311(,)1313-，∵角平分线是角的两边的对称轴，∴A ′点在直线BC 上．∴直线BC 的方程为1(1)13(1)31013y x ---=--，整理得12x －31y －31＝0.模块三 圆的方程1．圆心为C (a ，b )，半径为r 的圆的标准方程为 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2．2．形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的二元二次方程：当D 2＋E 2－4F >0时，叫做圆的一般式方程，圆心坐标为(,)22D E --，当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程表示一个点，该点坐标为(,)22D E--；当D 2＋E 2－4F <0时，该方程不表示任何图形．3．二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是220040A C B D E F ⎧=≠⎪=⎨⎪+->⎩；而A ＝C ，B ＝0是方程表示圆的必要不充分条件．4．以两个不同点A (x 1，y 1)和B (x 2，y 2)为直径的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0 ． 5．点与圆的位置关系有三种：点在圆上、点在圆外、点在圆内．具体内容如下： 设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点M 的坐标为(x 0，y 0)． (1)点在圆上：(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2； (2)点在圆外：(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2； (3)点在圆内：(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2．考点8 圆的方程的求解问题【例】（1）圆心在直线4y x =-上，且与直线10x y +-=相切于点(3,2)P -的圆的标准方程为 ．（2）过点(0,2)A 且与圆()()223318x y +++=切于原点的圆方程是 ．【例】（1）法一： ∵圆与直线10x y +-=相切于点(3,2)P -，∴过点(3,2)P -且与直线10x y +-=垂直的直线为50x y --=，由450y x x y =-⎧⎨--=⎩得14x y =⎧⎨=-⎩，则半径r ==，则圆的方程是()()22148x y -++=．法二 ：∵圆心在直线4y x =-上，设圆心(,4)C a a -，又∵圆与直线10x y +-=相切于点(3,2)P -，则4213PC a k a-==-，∴1a =，也即圆心为(1,4)-.则半径r ==()()22148x y -++=．（2）圆22:(3)(3)18C x y +++=的圆心(3,3)C --，根据两圆相切于原点，设所求的圆的圆心为M ，可以得M O C 、、共线，所以圆心M 在直线y x =上.又因为圆C 过点(0,2)A 和原点O ，所以C 在OA 的中垂线1y =上，由1y xy =⎧⎨=⎩解得圆心为(1,1)C ， 所以所求圆的方程是()()22112x y -+-=.巩固1.过点A （1，-1），B （-1，1），且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程是 ．网【解析】AB 的中垂线为y x =,所以20y xx y =⎧⎨+-=⎩解得圆心为（1，12=，所以圆的方程为22(1)(1)4x y -+-=．巩固2.已知点A (－4，－5)，B (6，－1)，则以线段AB 为直径的圆的方程为________________． 【解析】由题意可知A (－4，－5)，B (6，－1)，则以线段AB 为直径的圆的圆心为 点(1，－3)=故以线段AB 为直径的圆的方程是(x －1)2＋(y ＋3)2＝29.巩固3.经过三点A (1,12)，B (7,10)，C (－9,2)的圆的标准方程为________． 【解析】 法一 设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则1144120491007100814920D E F D E F D E F ++++=⎧⎪++++=⎨⎪+-++=⎩解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－95， ∴所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －95＝0，即圆的标准方程为：(x －1)2＋(y －2)2＝100. 法二 由A (1,12)，B (7,10)，得A 、B 的中点坐标为(4,11)，k AB ＝13-，则AB 的中垂线方程为：3x －y －1＝0.同理得AC 的中垂线方程为x ＋y －3＝0联立31030x y x y --=⎧⎨+-=⎩，得12x y =⎧⎨=⎩即圆心坐标为(1,2)，半径r 10=.∴所求圆的标准方程为：(x －1)2＋(y －2)2＝100.巩固4.在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．【解析】直线mx －y －2m －1＝0恒过定点(2，－1)，由题意，得半径最大的圆的半径r ＝故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.考点9 与圆有关的最值问题【例】 若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0，求下列各式的最大值和最小值．(1)4yx -；(2)3x －4y ；(3)x 2＋y 2. 【解析】 (1)方法一：令4yx -＝k ，则kx －y －4k ＝0.因为x ，y 满足x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0，所以圆心(－1，2)到直线kx －y －4k ＝0的距离不大于圆的半径2，2≤，解得20021k -≤≤，所以4yx -的最大值为0，最小值为2021-. 方法二：令4yx -＝k ，则y ＝k (x －4)代入圆的方程，整理得(1＋k 2)x 2＋(2－4k －8k 2)x ＋16k 2＋16k ＋1＝0，因为上述方程有实数根，所以Δ＝(2－4k －8k 2)2－4(1＋k 2)·(16k 2＋16k ＋1)≥0，化简整理得21k 2＋20k ≤0，解得20021k -≤≤，所以4yx -的最大值为0，最小值为2021-. (2)设3x －4y ＝k ，则3x －4y －k ＝0，圆心(－1，2)2≤，解得－21≤k≤－1，所以3x －4y 的最大值为－1，最小值为－21. (3)先求出原点与圆心之间的距离d ==x2＋y 2的最大值为)229=+)229=-巩固1.已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为________．【解析】两圆的圆心均在第一象限，先求|PC 1|＋|PC 2|的最小值，作点C 1关于x 轴的对称点1(2,3)C '-，则(|PC 1|＋|PC 2|)min ＝12C C '=，所以(|PM |＋|PN |)min＝(13)4+=．巩固2.设P (x ，y )是圆(x －2)2＋y 2＝1上的任意一点，则(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为 ．【解析】 (x －5)2＋(y ＋4)2表示点P (x ，y )到点(5，－4)的距离的平方．点(5，－4)到圆心(2，0)的距离5d==.则点P(x，y)到点(5，－4)的距离最大值为6，从而(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为36.巩固3.已知点P(x，y)是圆(x＋2)2＋y2＝1上任意一点．(1)求P点到直线3x＋4y＋12＝0的距离的最大值和最小值；(2)求x－2y的最大值和最小值；(3)求21yx--的最大值和最小值．【解析】(1)圆心C(－2，0)到直线3x＋4y＋12＝0的距离为65d==.∴P点到直线3x＋4y＋12＝0的距离的最大值为611155d r+=+=，最小值为61155d r-=-=.(2)设t＝x－2y，则直线x－2y－t＝0与圆(x＋2)2＋y2＝11≤.∴22t≤≤.∴t max2，t min＝2.即x－2y2.最小值为2.(3)设21ykx-=-，则直线kx－y－k＋2＝0与圆(x＋2)2＋y2＝1有公共点，∴1≤ .∴k≤≤∴k maxk min.即21yx--.巩固4.(2018·南通模拟)已知点M是直线3x＋4y－2＝0上的动点，点N为圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝1上的动点，则|MN|的最小值是________．【解析】圆心(－1，－1)到点M的距离的最小值为点(－1，－1)到直线的距离342955d---==，故点N 到点M的距离的最小值为d－1＝45.巩固5.(2018·徐州期初)若直线l：ax＋by＋1＝0(a≥0，b≥0)始终平分圆M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周长，则a2＋b2－2a－2b＋3的最小值为________．【解析】因为直线ax＋by＋1＝0始终平分圆x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周长，所以圆心(－2，－1)在直线ax ＋by＋1＝0上，从而2a＋b－1＝0.a2＋b2－2a－2b＋3＝(a－1)2＋(b－1)2＋1，而(a－1)2＋(b－1)2表示点(1,1)与直线2a＋b－1＝0上任一点的距离d的平方，其最小值22min45d==，所以a2＋b2－2a －2b＋3的最小值为49155+=.考点10 与圆有关的轨迹问题【例】）已知ABC ∆中，AB AC =，ABC ∆所在平面内存在点P 使得22233PB PC PA +==，则ABC∆面积的最大值为 ▲ ．【解析】以BC 所在的直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴建立坐标系，设(,0),(,0)(0)B a C a a ->，则A ，(,)P x y ，则(,)P x y 点满足2222()()3x a y x a y +++-+=，和22(1x y +=， 即(,)P x y 点为圆22232x y a +=-和圆22(1x y +=的交点．则11≤=223016a <≤， ∴ABC ∆面积为122S a =⨯== ∵22330162a <≤<，∴当22316a =时S有最大值16． 巩固1.设定点M (－3，4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为邻边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．【解析】如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为,22x y ⎛⎫⎪⎝⎭，线段MN 的中点坐标为0034,22x y -+⎛⎫⎪⎝⎭.由于平行四边形的对角线互相平分，故0322x x -=，0422y y +=.从而0034x x y y =+⎧⎨=-⎩ 又N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.因此所求轨迹为圆：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4．但应除去两点912,55⎛⎫- ⎪⎝⎭和2128,55⎛⎫- ⎪⎝⎭(点P 在直线OM 上时的情况)．巩固2.已知Rt △ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3，0)．求： (1)直角顶点C 的轨迹方程；(2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程．【解析】 (1)方法一 设C (x ，y )，因为A ，B ，C 三点不共线，所以y ≠0.因为AC ⊥BC ，所以k AC ·k BC ＝－1， 又1AC y k x =+，3BC y k x =-，所以113y yx x ⋅=-+-，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0. 因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(y ≠0)．(2) 设M (x ，y )，C (x 0，y 0)，因为B (3,0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得032x x +=，002y y +=，所以x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)知，点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)，将x 0＝2x －3，y 0＝2y 代入得 (2x －4)2＋(2y )2＝4，即(x －2)2＋y 2＝1.因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)． 巩固3.点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是________________．【解析】设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，22004x y +=，连线中点坐标为(x ，y )，则002422x x y y =+⎧⎨=-⎩，解得002422x x y y =-⎧⎨=+⎩，代入22004x y +=中，得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1. 巩固4.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2,4)．(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程； (2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程； (3)设点T (t,0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA TP TQ +=，求实数t 的取值范围． 【解析】圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25，所以圆心M (6,7)，半径为5. (1)由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6，y 0)．因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以0＜y 0＜7，圆N 的半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1.圆N 标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1. (2)因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为40220-=-. 设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0，则圆心M 到直线l的距离d ==.因为BC OA ===2222BC MC d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()252555m +=+，解得m ＝5或m ＝－15 故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.(3)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．因为A (2,4)，T (t,0)，TA TP TQ +=，所以212124x x ty y =+-⎧⎨=+⎩ ①因为点Q 在圆M 上，所以(x 2－6)2＋(y 2－7)2＝25.②，将①代入②，得(x 1－t －4)2＋(y 1－3)2＝25.于是点P (x 1，y 1)既在圆M 上，又在圆[x －(t ＋4)]2＋(y －3)2＝25上，从而圆(x －6)2＋(y －7)2＝25与圆[x －(t ＋4)]2＋(y －3)2＝25有公共点，所以5555-≤≤+，解得22t -≤≤+因此，实数t的取值范围是22⎡-+⎣．模块四 直线与圆的位置关系1． 直线与圆的位置关系：设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0和圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则圆心到直线l 的距离d ＝||Aa ＋Bb ＋C A 2＋B 2．若l 与圆C 相离⇔d >r ；l 与圆C 相切⇔d ＝r ；l 与圆C 相交⇔d <r .若通过直线方程与圆的方程所组成的方程组，根据解的个数来研究，若有两解，即Δ>0，则相交；若有一解，即Δ＝0，则相切；若无解，即Δ<0，则相离．2．圆的弦和切线：圆的半径为r ，直线l 与圆相交于A 、B ，圆心到l 的距离为d ，则|AB |＝2r 2－d 2．过圆 x 2＋y 2＝r 2上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2．3．直线与圆的方程的应用包括在平面几何中的应用以及在实际生活中的应用． 4．坐标法解决平面几何问题的“三步曲”第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．5．过圆外一点求圆的切线，应该有两个结果，若只求出一个结果，应该考虑切线斜率不存在的情况．考点11 直线与圆的位置关系【例】 已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝4，点O 是坐标原点，直线l ：y ＝kx 与圆C 交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)直线l 能否将圆C 分割成弧长之比为13的两段弧？若能，求出直线l 的方程；若不能，请说明理由．【解析】 (1)法一：将y ＝kx 代入圆C 的方程x 2＋(y －4)2＝4.得(1＋k 2)x 2－8kx ＋12＝0.∵直线l 与圆C 交于M ，N 两点，∴Δ＝(－8k)2－4×12(1＋k 2)>0，得k 2>3，(*)∴k 的取值范围是(－∞，－3)∪(3，＋∞)． 法二：求圆心到直线的距离d<r 即可．(2)假设直线l 将圆C 分割成弧长的比为13的两段弧，则劣弧MN 所对的圆心角∠MCN ＝90°，由圆C ：x 2＋(y －4)2＝4知圆心C(0，4)，半径r ＝2.在Rt △MCN 中，可求弦心距d ＝r·sin 45°＝2，故圆心C (0，4)到直线kx －y ＝0的距离||0－41＋k2＝2，∴1＋k 2＝8，k ＝±7，经验证k ＝±7满足不等式(*)，故l 的方程为y ＝±7x .因此，存在满足条件的直线l ，其方程为y ＝±7x .巩固1.在平面直角坐标系xOy 中，A (－12，0)，B (0，6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上，若·≤20，则点P 的横坐标的取值范围是____．【解析】设P (x ，y )，由·≤20，易得2x －y ＋5≤0，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋5＝0x 2＋y 2＝50，可得M ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5y ＝－5或N ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝7，由2x －y ＋5≤0得P 点在圆左边弧MN 上，结合限制条件－52≤x ≤52，可得点P 横坐标的取值[]－52，1. 巩固2.已知直线l ：x ＋3y －2＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，则弦AB 的长为________． 【解析】∵圆心C (0,0)到直线l 的距离d ＝|0＋3×0－2|1＋3＝1，∴AB ＝24－1＝23，故弦AB 的长为2 3.巩固3.已知过点M (－1，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋6＝0相交，则直线l 的斜率的取值范围____． 【解析】 设过点M (－1，－1)的直线l 的方程为y ＋1＝k (x ＋1)，将圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋6＝0改写成(x －1)2＋(y ＋3)2＝4，则圆心坐标为(1，－3)，若直线与圆相交，则圆心到直线的距离小于半径，故圆心到直线l ：y ＋1＝k (x ＋1)的距离可知||k （1＋1）－1＋31＋k 2<2，解得k <0.巩固4.已知圆C ：(x －2)2＋(y －2)2＝4及直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y ＝7m ＋4(m ∈R )，则直线l 与圆C 的位置关系是____．【解析】 注意到直线(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y ＝7m ＋4，即(x ＋y －4)＋m (2x ＋y －7)＝0恒过直线x ＋y －4＝0与2x ＋y －7＝0的交点(3，1)，且点(3，1)与圆心(2，2)的距离等于2(小于半径2)，即点(3，1)位于圆C 内，因此直线l 与圆C 的位置关系是相交．考点12 圆的切线问题【例】在平面直角坐标系xOy 中，已知点(4,0),(0,4)A B -，从直线AB 上一点P 向圆221x y +=引两条切线，切点分别为C ，D ．设线段CD 的中点为M ，求线段AM 长的最大值．【解析】∵直线AB 的方程为4x y -=，∴设00(,4)P x x -，则以OP 为直径的圆方程为2200(4)0x y x x x y +---=，联立圆221x y +=，并消去二次项得CD 的直线方程为00(4)4x x x y +-=，∵线段CD 的中点为M ，∴直线OM 的方程为00(4)0x x x y --=，两式消去0x 得M 点的轨迹方程为22111()()222x y ++-=，即圆心为11(,)22-，半径为2的圆．又(4,0)A -，∴AM= 巩固1.过点P (1，3)作圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线(O 为坐标原点)，切点分别为A ，B ，则·＝____． 【解析】 可知OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，OP ＝1＋3＝2.又OA ＝OB ＝1，可以求得AP ＝BP ＝3，∠APB ＝60°.故·＝3×3×cos 60°＝32.巩固2.求过点(－2,3)作圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝4的切线方程．【解析】当斜率不存在时，直线方程为2x =-，此时圆心(1,2)-到直线2x =-的距离等于1， ∴圆与直线相切.当斜率存在时，设切线的斜率为k ，则切线方程为3(2)y k x -=+1=，解得0k =，∴切线方程为3y =.综上切线方程为3y =或2x =-.巩固3.若过点P (3，4)的直线与圆(x －2)2＋(y －2)2＝4相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则实数a 值__ __． 【解析】 设过点P (3，4)的直线方程为y －4＝k ()x －3，此直线与圆(x －2)2＋(y －2)2＝4相切，所以圆心()2，2到直线的距离为圆的半径2.即||2k －2－3k ＋4k 2＋1＝2，解得k ＝0或－43，又因为与直线ax －y ＋1＝0垂直，所以k ＝－43，ka ＝－1，所以a ＝34.巩固4.在平面直角坐标系xOy 中，过点P (－2,0)的直线与圆x 2＋y 2＝1相切于点T ，与圆 (x －a )2＋(y －3)2＝3相交于点R ，S ，且PT ＝RS ，则正数a 的值为________．【解析】因为PT 与圆x 2＋y 2＝1相切于点T ，所以在Rt △OPT 中，OT ＝1，OP ＝2，∠OTP ＝π2，从而∠OPT＝π6，PT ＝3，故直线PT 的方程为x ±3y ＋2＝0，因为直线PT 截圆(x －a )2＋(y －3)2＝3得弦长RS ＝3，设圆心到直线的距离为d ，则d ＝|a ±3＋2|2，又3＝23－d 2，即d ＝32，即|a ±3＋2|＝3，解得a ＝－8或a ＝－2或a ＝4，因为a >0，所以a ＝4.模块五 隐形圆问题隐形圆也就是题目中给出的条件不是给出一个圆，而是要通过设点、列式、化简得到动点的轨迹是一个圆.本专题分四个方面讲了隐形圆问题.1． 利用圆的定义：在平面内到定点的距离等于常数，则这个点的轨迹是一个圆.解决这类问题只要抓住两个关键词：定点，定长.然后再化归为圆中的有关问题去解.2． 是利用几何特征，直径所对的圆周角是直角，得到了隐形圆，有时两个定点所张的角也不一定是90，可以是其他的定角，则动点的轨迹是两段圆弧.3． 动点到两个定点的距离的平方和是定值，则这个点的轨迹也是一个圆，当然这个定值会有一定的范围，否则轨迹不存在，如果在某一距离前加其他系数也可以.4． 是著名的阿波罗尼斯圆：到两个定点的距离之比是一个不为1的定值，这类题可能给出的背景也不在解析几何中，是要自己建系后，才能看出点的轨迹.所以在解题时要当心给出的条件.5． 化归思想在本专题的作用很重要，因为给出的条件不是圆，是需要大家在解题分析得出的，另外得到圆以后，要合理用好点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系.【例1】(1)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x －a )2＋(y －a ＋4)2＝1.若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得∠APB ＝60°，则a 的取值范围为____．(2)如果圆(x －2a )2＋(y －a －3)2＝4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围是____． 【解析】（1）连OP ，则30OPA ∠=，∵1OA =，∴2OP =，即P 点的轨迹方程为224x y +=，又点P在圆M 22()(4)1x a y a -+-+=上，∴两圆有交点，即221(4)9a a ≤+-≤，解得：22a ≤≤+． （2）到原点的距离为1的点的轨迹方程为221x y +=，如果圆(x －2a )2＋(y －a －3)2＝4上总存在两个点到原点的距离为1等价于两圆相交，即2214(3)9a a ≤++≤，解得605a -≤≤． 【例2】(1)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m ，0)，B (m ，0) 0m >，若圆上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的取值范围是____．(2)（2019·南通一模）在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆x 2＋y 2＝4上两点，点A (1，1)，且AB ⊥AC ，则线段BC 的长的取值范围为_ ___．【解析】（1）∵∠APB ＝90°，∴点P 在以AB 为直径的圆上，其方程为222x y m +=，又点P 在圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1上，且有两个，∴两圆相交，即11m m -≤≤+，解得46m ≤≤.（2）∵AB ⊥AC ，设D 为AB 的中点，D 点坐标为(,)x y ，BC 的长为2m ，∴DA m =，在三角形OCD 中，有224m OD +=，即2222(1)(1)4x y x y -+-++=，化简得22113()()222x y -+-=，∴DA 的取值范围为,22．∴BC 的取值范围为． 【例3】在平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,0)A ，直线:4l y x =-，圆C 的半径为1，圆心在l 上．若圆C 上存在点M ,使2210MA MO +=,求圆心C 的横坐标a 的取值范围．【解析】设(,)M x y ，∵2210MA MO +=，∴2222(2)10x y x y -+++=，即2223x y x +-=，又圆C 的半径为1，圆心在l 上，∴圆C 的方程为22()(4)1x a y a -+-+=．∵点M也在圆C 上，∴两圆有交点，即221(1)(4)9a a ≤-+-≤，∴2540a a -+≥或250a a -≤，解得4a ≥或1a ≤或05a ≤≤，综上横坐标a 的取值范围为45a ≤≤或01a ≤≤．【例4】已知点A(-2,0)，B(4,0),圆C: 16)4(22=++y x ,P 为圆C 上任意一点，问是否存在常数λ，使λ=PBPA，若存在，求出常数λ的值，若不存在，请说明理由．【解析】假设存在，设P 的坐标为(,)x y ，∵λ=PB PAλ=， ∴22222(2)[(4)]x y x y λ++=-+，即222222(1)(1)(48)4160x y x λλλλ-+-+++-=，又∵P 为圆C 上任意一点，∴16)4(22=++y x ，即228x y x +=-，∴22(164)4160x λλ-+-=对于圆上的任意一点均成立，∴21640λ-=，即12λ=． 巩固1.已知ABC ∆是边长为3的等边三角形，点P 到点A 的距离为1，点Q 满足2133AQ AP AC =+，则BQ 的最小值为 ．【解析】以BC 所在的直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，则33(,0),(,0),(0,)222B C A -，∵点P 到点A 的距离为1，∴2200(12x y +-=，设00(,),(,)Q x y P x y ，。
初联难度几何题100道(2)(1)
初中教师转正必做100 题第一题： 4 第二题： 5 第三题： 6 第四题：7 第五题：8 第六题：9 第七题：10 第八题：11 第九题：12 第十题：13 第十一题：14 第十二题：15 第十三题：16 第十四题：17 第十五题：18 第十六题：19 第十七题：20 第十八题：21 第十九题：22 第二十题：23 第二十一题：24 第二十二题：25 第二十三题：26 第二十四题：27 第二十五题：28 第二十六题：29 第二十七题：30 第二十八题：31 第二十九题：32 第三十题：33 第三十一题：34 第三十二题：35 第三十三题：36 第三十四题：37 第三十五题：38 第三十六题：39 第三十七题：40 第三十八题：41 第三十九题：42 第四十题：43 第四十一题：44 第四十二题：45第四十四题：47 第四十五题：48 第四十六题：49 第四十七题：50 第四十八题：51 第四十九题：52 第五十题：53 第五十一题：54 第五十二题：55 第五十三题：56 第五十四题：57 第五十五题：58 第五十六题：59 第五十七题：60 第五十八题：61 第五十九题：62 第六十题：63 第六十一题：64 第六十二题：65 第六十三题：66 第六十四题：67 第六十五题：68 第六十六题：69 第六十七题：70 第六十八题：71 第六十九题：72 第七十题：73 第七十一题：74 第七十二题：75 第七十三题：76 第七十四题：77 第七十五题：78 第七十六题：79 第七十七题：80 第七十八题：81 第七十九题：82 第八十题：83 第八十一题：84 第八十二题：85 第八十三题：86 第八十四题：87 第八十五题：88 第八十六题：89第八十八题：91 第八十九题：92 第九十题：93 第九十一题：94 第九十二题：95 第九十三题：96 第九十四题：97 第九十五题：98 第九十六题：99 第九十七题：100第九十八题：101 第九十九题：102 第一百题：103已知：外接于⊙，，，、相交于点，点为弧的中点，连接、。
初中经典几何题，多样思路多种解法让几何不在“几合”！
初中经典几何题，多样思路多种解法让几何不在“几合”！
几何，是初中数学里比较重要的一大类型。
但是初中几何难学是绝大多数学生暴露出的短板和障碍，但凡遇到数学考试每张试卷的解答题（也就是俗称的大题部分）都会有几道几何题。
那么初中几何难吗?对于不会的孩子来说，当然是难的!
几何题的解答通常都需要通过作图来进行的解答，而几何题考察了学生们一个空间构想能力以及几何模型的掌握能力，通常一道题目文字不多配上几个简单图形的几何题，让大多数学生苦思不得答案。
几何题的解答是离不开辅助线的构划，能够正确做出辅助线一道几何体便能轻松解决，这是为什么一些学生觉得几何题很难，完全没有头绪，一些学生却觉得很简单的原因了。
对于学生想轻松做好几何题，在日常学习中是需要下功夫的，几何题让学生束手无策的主要原因是学生解法单一，思维不够灵活，在遇见了相似的题型却无法解答。
因此平时的学习生活中学生就该如何多方面思考、多种方法解答几何题，进行练习。
下面为大家介绍初中经典几何题多思路解答。
作为教育者我都会坚守教育本真，不忘“初心”。
始终研究小学、中学青少年的学习、成长，我也会在朋友圈不定期更新很多好的学习方法，提分技巧、记忆诀窍、各年级的学习资料等。
帮助解决孩子学习过程中的困难，提高孩子的学习效率。
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模块法对《初联难度几何100题》第32题的几种解法用模块法来求解角格点，和使用七巧板相似。
七巧板用七个固定的模块，来组成许多不同形状精美的图形，而模块法，是用五种不同的角格点模型模块，来镶嵌组成其它的角格点。
末学在原创拙文《平面几何求解角格点的新方法—模块法》（以下简称《模块法》）中，示例了《初联难度几何100题》第32题的一种解法，做法如下：如图，△ABC中，BD⊥AC于D，E为BD上一点，且∠ABD=38°，∠CBD=68º，∠BCE=14º，∠DCE=8º，求∠DAE的度数。
第32题解法1：BD⊥AC ,F 是AC上A关于BD的对称点，连接FB、FE△BEF的外接圆交EC于P，连接PB、PFO是△BFC的外心，连接OB、OC、OP、OF∠FBC=68°-38°=30°∠FOC=2∠FBC=60°△OFC是正三角形∠BFP=∠BEP=90°+8°=98°∠BFD=90°-38°=52°∠PFC=180°-52°-98°=30°O、C 关于FP对称∠POF=∠PCF=8°∠POC=60°-8°=52°∠BOF=2（8°+14°）=44°∠BOP=44°+8°=52°OB=OCB、C 关于OP对称∠PBC=∠PCB=14°∠PBF=30°-14°=16°∠PEF=∠PBF=16°∠EAD=∠EFD=16°+8°=24°本文将对这种纯几何的求解过程是如何运用模块法形成的做出详细的说明，并且对该题提供其它几种模块法的解法。
模块法求解步骤：根据题目提供的四个角度及分组（8°,68°,14°,38°）到《模块法》提供的123个整数度角格点列表中，查找对应的角格点，结果发现目的角格点是第5种模型模块第8号模块，即mod5-8(8°,28°,68°,24°,14°,38°)。
实际上已经查到目的角格点两个未知角的大小为：∠EAD=24°，∠EAB=28°。
既然目的角格点是模型5 模块的成员，那就可以直接引用模型5的证明方法进行求解。
这里引用了模型5的第三种证法，它是：mod5证法3：已知ABC-P ( 3α,_,30°+α,60°-4α,α,_ )3α+(30°+α)+(60°-4α)=90° CP⊥ABD是AB上A关于CP的对称点，连接PD、CD△PCD的外接圆交PB于E，连接EC、ED∠EBD=α ∠ECD=∠EPD=3α-α=2α∠EDC=∠EPC= 90°+α∠EDB=180°-3α-(60°-4α)-(90°+α)=30°根据mod4 ( 30°，2α，30°-2α，α，30°-2α，90°+α)则有DBC-E ( 30°，30°-2α，2α，90°+α,α，30°-2α)∠PBC=30°-2α∠PCB=180-(90°+α)-(30°-2α)=60°-α由ABC-P (3α,30°-2α ,30°+α, 60°-4α,α,60°+α)可知mod5( α,60°-4α,60°+α,3α,30°-2α ,30°+α)成立发现模型5的证法3并没有直接完成mod5证明，只是在左边引用了模型1类模块ADC-P 后，在右边生成了一个四边形角格点BCPD，依照《模块法》前面所述的外接圆方法做△PCD的外接圆交PB于E，将四边形角格点BCPD转换成了三角形角格点DBC-E，进而发现DBC-E是模型4的一个成员模块mod4- 8( 30°,16°,14°, 8°,14°, 98°)，可以引用模型4的证明方法进行求解。
《模块法》提供了模型4的三种证明方法，这里引用的是第2种证明方法：mod4证法:2：已知ABC-P (30°-2α，2α，α，30°-2α )O是△ABC 的外心，连接OA、OB、OC、OP∠ABC=（30°-2α）+2α=30° => ∠AOC=60°△AOC 是正三角形∠PAB=∠PBA=30°-2α OA=OB A、B关于OP对称∠COB= 2(30°-2α+α)= 60°-2α∠POA=∠POB=α+(30°-2α)+30°= 60°-α∠POC= α => A、O关于PC对称∠PCA=60°/2=30°∠PCB=180°-（30°-α）-30°-30°=90°+α由ABC-P ( 30°-2α，2α，30°，α，30°-2α，90°+α)可知mod4 ( 30°，2α，30°-2α，α，30°-2α，90°+α)成立材料已经齐全，余下的工作就是编写平面几何的求解过程了，在编写过程中自然不必再提及模块的事情。
现在我们再来看整个的求解过程，那个形似复杂的解题的几何图形，实际上展示了整个目的角格点ABC-P由两个模型模块合成，左边是一个模型1模块，右边是一个模型4模块，中间只进行了一次四边形角格点转换成三角形角格点的操作，几乎所有的推证过程都有现成的证明过程可以引用。
朋友，是不是很清爽很顺畅呀？注意到目的角格点中有一条分角线是高线，这种分割方法往往是成功的。
模型模块的证明有多种方法，决不止《模块法》中提示的几种。
下面我们也对模型4做一种新的证法。
mod4证法4：已知：ABC-P(30°-2α,2α,α,30°-2α)延长BC交AB的中垂线于E∠PAB =∠PBA P在AB的中垂线上A、B关于PE对称在AE的延长线上取点D，使∠EBD= 2α 连接DC、DP∠EBA= （30°-2α）+2α =30° ∠PEB=∠PEA=60°∠BED=180°-2×60°=60°∠EBD= ∠EBP= 2αP、D 关于BE对称∠EAP=∠EBP=2α ∠EAC=2α-α=α=∠PACF是AD上P点关于AC的对称点CD=CP=CF∠CDF=∠CFD ∠CPA=∠CEA∠CDA+∠CPA=180°A、P、C、D四点共圆∠PCA=∠PDA=90°-60°=30°∠PCB=180-α-（30°-2α)-(30°-2α)-2α-30°=90°+α由ABC-P ( 30°-2α，2α，30°，α，30°-2α，90°+α)可知mod4 ( 30°，2α，30°-2α，α，30°-2α，90°+α)成立用mod4的证法4替代证法2，可得到第32题的一种新的求解过程。
第32题解法2：做BC的中垂线GH，且令∠GBH=∠GCH=30°，GH与EC交于P ∠PBH=∠PCH=14°∠GBP=∠GCP=30°-14°=16°在CG的延长线上取点F，使∠GBF=∠GBP∠BGH=∠CGH=60°∠BGF=180°-120°=60°P、F关于BG对称，连接PF，设BG交AC于D，连接DP、DF DP=DF ∠FCD=30°-14°-8°=8°∠FCD=∠PCD设Q是P关于CD的对称点，则DP=DQ ∠DPE=∠DQF=∠DFQ P、C、F、D四点共圆∠DPF=∠DCF=8°∠DFP=∠DCP=8°∠BDP=90°+8°=98°=∠BEP B、E、D、P四点共圆∠DEP=∠DBP=16°∠EDA=16°+8°=24°BE⊥AC ∠EBD=∠EBC-∠DBC=68°-30°=38°=∠EBAA、D关于BE对称∠EAD=∠EDA=24°这时自然会有人问，模型4已知有三种证明方法，这里只用了第2种，其它两种是不是也可以用呢？我们在选择辅助模块的证法时，一定要考虑模块在证明时的形状是否和目的角格点相似，也就是要考虑模块证明时已知角度的位置是否易于和目的角格点相适配。
如果不相似，可以引用模块的证明后再把模块的形状改造成和目的角格点相似，也可以先把目的角格点的形状改造成和模块证明时的形状相似，调用模块证明后再返回成原形状。
mod4证法1：已知：ABC-P( 30°，2α，α，30°-2α)作AB的中垂线交AB、BC于E、F,交∠CBP的平分线于D，连DA、DP ∠FAB=∠FBA=30°∠AFE=∠BFE=60°∠PAB=30°P在AF上BD平分∠CBP ∠PBD=∠FBD=α∠FAD=α=∠PAC ∠AFC=180°-∠AFB=60°∠AFC= ∠AFD =>C、D关于AF对称∠PAD=∠PBD= α => A、B、D、P四点共圆∠PDA=∠PBA=30°-2α∠PCA=∠PDA=30°-2α∠PCB=180°-（30°+α）-30°-（30-2α）=90°+α由ABC-P 可知mod4 ( 30°，2α，30°-2α，α，30°-2α，90°+α)成立引用模型4的证法1 ，可以得到第32题如下的求解过程，先做一个模型4模块BDF-K，引用模型4的证法1于以证明。
然后在右边做外接圆转换，在左边做模型1镶嵌，最后生成目的角格点。