自适应滤波器的特点
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13
输入为N个不同的信号源
14
同一信号源延时后的输出
15
1. 矩阵表示式
16
N 1
y(n) x(n) w(n) w(m) x(n m)
m0
令 i m1
N
y j y( j)
w ji
xij
X
T j
Wj
W
T j
X
j
i 1
W j [w1 j , w2 j , , wNj ]T
4
本章安排: ⑴ 原理 ⑵ W * 的求解 ⑶自适应对消 ⑷自适应滤波 ⑸其他应用
5
应用举例
自适应横向滤波器 自适应时域滤波 自适应格型滤波 器
自适应空域滤波(自适应阵列) 最小二乘自适应滤波
自适应滤波器 可编程滤波器（滤波部分）
的组成
自适应算法（控制部分）
6
自适应滤波器的特点
1.可以根据误差（或其他参数）的大小自动调整； 2.采用MMSE误差准则，最终解是Wiener解； 3.不需要任何关于信号和噪声的先验知识； 4.适用于非平稳随机过程。
j 2E[ejXj] 2Rxx Wj 2Rdx 0
W
* j
R 1 xx
Rdx
E[ejXj]
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X
T j
Wj)]
Rdx
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27
E[e
2 j
]
min
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2 j
]
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W
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Rxx
W
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2 j
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]
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* j
X j [x1 j , x2 j , , xNj ]T
ej
dj
yj
dj
X
T j
Wj
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W
T j
X
j
17
2.最小均方误差和 最佳权系数
18
性能函数表面
E[e2j ]
E[(d
j
yj
)2 ]
E[(d
j
X
T j
W
)2 ]
E[d来自百度文库
2 j
]
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j
X
T j
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W
T j
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j
X
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19
令 Rdx E[d j X j ] E[d j x1j , d j x2 j ,L , d j xNj ]T
1
2
Rxx E djxj
djxj 1 T 0
sin
2
N
T
n
31
E[e2j ]
E[d
2 j
]
2RdTx
W
WT
Rxx
W
2 20
sin
2
N
w1 w2
并满足 QQ T I
22
性能函数是权系数的二次函数，存在极小 值，如果信号是平稳的，并具有不变的统计特 性，则性能函数的形状将保持不变，并且在它 的坐标系中保持固定。自适应过程将从性能表 面的某点出发，向下运动至最小点附近，最后 停在那儿。
23
如果信号是非平稳的，并具有慢变化的统 计特性，可将性能表面视为”模糊的”或起伏 的，或在其坐标系中移动，这样自适应过程不 仅要向下移动至最小点，而且当性能表面移动 时，还要跟踪它的最小点。
第三章 自适应滤波器
1
前面讨论了Wiener滤波和Kalman滤波， Wiener滤波器的参数是固定的，仅适用于平稳随 机信号；Kalman滤波器参数是时变的，适用于非 平稳和平稳随机信号。要设计这两种滤波器，必 须对信号和噪声的统计特性有先验知识。在实际 中，常常无法预先知道这些统计特性，或者它们 是随时间变化的，从而不能用Wiener滤波方法实 现最优滤波。
)T
Rxx
自适应横向滤波器的简化符号:
xj
AF
yj
ej
28
ex: 一个单输入二维权向量的自适应滤波器,输入 信号 x j 和期望信号 d j 分别为:
xj
sin( 2
N
j)
dj
2 cos(2
N
j)
求Wiener滤波器的最佳权向量
E[e
2 j
]min
29
解：
E[x j
x jn ]
1 N
N
sin(
7
三大要求
1.更新，权系数的更新公式 2.收敛及收敛速率
自我调节: wk wk 1 校正项；
误差大,调节量大；误差小,调节量小；误差足够小, 停止调节；
3.最佳滤波，收敛后的权向量应等于最佳权向量。
8
应用
通信信道的自适应均衡； 雷达与声纳的波束形成； 减少或消除心电图中的周期干扰； 噪声中信号的检测、跟踪、增强及线性预测。
2
自适应滤波器可以自动调节自身的参数，而在 设计时只需要很少的、或者根本不需要任何关于信 号和噪声的先验统计知识，这种滤波器的实现几乎 像Wiener滤波器那样简单，而性能几乎如Kalman滤 波器一样好。因此在信号和噪声的先验知识不完全 知道的情况下，只有使用自适应滤波器才能得到优 越性能。
3
基于此，自从1967年B.Widrow等人提出自适应 滤波器以来，短短几十年间，自适应滤波器发展很 快，现已广泛应用于系统模型识别、通信信道的自 适应均衡、雷达与声纳的波束形成、心电图中的周 期干扰的减少或消除、噪声中信号的检测、跟踪、 增强及线性预测，电视接收机的自动增益控制、自 动频率微调。
2
j 1
N
j) sin[ 2 ( j n)] 0.5cos 2 n
N
N
E[d j
x jn ]
1 N
N
2
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30
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X
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j
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]
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Wj
W
T j
Rxx
Wj
x1 j xNj
x2
j
xNj
xNj
xNj
20
输入信号自相关矩阵的 特征值及其性质
21
1.R的所有特征值是实的并且大于等于零； 2.对于不同特征值的特征向量相互正交； 3.特征向量矩阵Q 可以归一化（正交化），
24
输入自相关矩阵的特征向量确定了误 差表面的主轴。
输入自相关矩阵的特征值给出了误差 对它的主轴的二次函数。
25
令
j
E[e2j ] Wj
E[e2j w1 j
]
,
E[e2j w2 j
]
,L
,
E[e2j wNj
]
T
基于梯度法使性能函数到达它的最小点。
26
误差信号与轨入信号正交，Wiener解。
9
§3.2 自适应横向滤波器
10
基本原理
e(n) d(n) y(n) s(n) sˆ(n) s(n) y(n)
E[e2 (n)]min
11
FIR网络：理论上可以绝对收敛到最小； IIR网络：(全局最小点)不止一个，一般选用
方程误差最小；本课程不涉及。
12
一、自适应线性组合 器和自适应FIR滤波器
输入为N个不同的信号源
14
同一信号源延时后的输出
15
1. 矩阵表示式
16
N 1
y(n) x(n) w(n) w(m) x(n m)
m0
令 i m1
N
y j y( j)
w ji
xij
X
T j
Wj
W
T j
X
j
i 1
W j [w1 j , w2 j , , wNj ]T
4
本章安排: ⑴ 原理 ⑵ W * 的求解 ⑶自适应对消 ⑷自适应滤波 ⑸其他应用
5
应用举例
自适应横向滤波器 自适应时域滤波 自适应格型滤波 器
自适应空域滤波(自适应阵列) 最小二乘自适应滤波
自适应滤波器 可编程滤波器（滤波部分）
的组成
自适应算法（控制部分）
6
自适应滤波器的特点
1.可以根据误差（或其他参数）的大小自动调整； 2.采用MMSE误差准则，最终解是Wiener解； 3.不需要任何关于信号和噪声的先验知识； 4.适用于非平稳随机过程。
j 2E[ejXj] 2Rxx Wj 2Rdx 0
W
* j
R 1 xx
Rdx
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E[ Xjej]
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W
T j
X
j
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2.最小均方误差和 最佳权系数
18
性能函数表面
E[e2j ]
E[(d
j
yj
)2 ]
E[(d
j
X
T j
W
)2 ]
E[d来自百度文库
2 j
]
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j
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令 Rdx E[d j X j ] E[d j x1j , d j x2 j ,L , d j xNj ]T
1
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2
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2
N
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并满足 QQ T I
22
性能函数是权系数的二次函数，存在极小 值，如果信号是平稳的，并具有不变的统计特 性，则性能函数的形状将保持不变，并且在它 的坐标系中保持固定。自适应过程将从性能表 面的某点出发，向下运动至最小点附近，最后 停在那儿。
23
如果信号是非平稳的，并具有慢变化的统 计特性，可将性能表面视为”模糊的”或起伏 的，或在其坐标系中移动，这样自适应过程不 仅要向下移动至最小点，而且当性能表面移动 时，还要跟踪它的最小点。
第三章 自适应滤波器
1
前面讨论了Wiener滤波和Kalman滤波， Wiener滤波器的参数是固定的，仅适用于平稳随 机信号；Kalman滤波器参数是时变的，适用于非 平稳和平稳随机信号。要设计这两种滤波器，必 须对信号和噪声的统计特性有先验知识。在实际 中，常常无法预先知道这些统计特性，或者它们 是随时间变化的，从而不能用Wiener滤波方法实 现最优滤波。
)T
Rxx
自适应横向滤波器的简化符号:
xj
AF
yj
ej
28
ex: 一个单输入二维权向量的自适应滤波器,输入 信号 x j 和期望信号 d j 分别为:
xj
sin( 2
N
j)
dj
2 cos(2
N
j)
求Wiener滤波器的最佳权向量
E[e
2 j
]min
29
解：
E[x j
x jn ]
1 N
N
sin(
7
三大要求
1.更新，权系数的更新公式 2.收敛及收敛速率
自我调节: wk wk 1 校正项；
误差大,调节量大；误差小,调节量小；误差足够小, 停止调节；
3.最佳滤波，收敛后的权向量应等于最佳权向量。
8
应用
通信信道的自适应均衡； 雷达与声纳的波束形成； 减少或消除心电图中的周期干扰； 噪声中信号的检测、跟踪、增强及线性预测。
2
自适应滤波器可以自动调节自身的参数，而在 设计时只需要很少的、或者根本不需要任何关于信 号和噪声的先验统计知识，这种滤波器的实现几乎 像Wiener滤波器那样简单，而性能几乎如Kalman滤 波器一样好。因此在信号和噪声的先验知识不完全 知道的情况下，只有使用自适应滤波器才能得到优 越性能。
3
基于此，自从1967年B.Widrow等人提出自适应 滤波器以来，短短几十年间，自适应滤波器发展很 快，现已广泛应用于系统模型识别、通信信道的自 适应均衡、雷达与声纳的波束形成、心电图中的周 期干扰的减少或消除、噪声中信号的检测、跟踪、 增强及线性预测，电视接收机的自动增益控制、自 动频率微调。
2
j 1
N
j) sin[ 2 ( j n)] 0.5cos 2 n
N
N
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1 N
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2
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T j
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x1 j xNj
x2
j
xNj
xNj
xNj
20
输入信号自相关矩阵的 特征值及其性质
21
1.R的所有特征值是实的并且大于等于零； 2.对于不同特征值的特征向量相互正交； 3.特征向量矩阵Q 可以归一化（正交化），
24
输入自相关矩阵的特征向量确定了误 差表面的主轴。
输入自相关矩阵的特征值给出了误差 对它的主轴的二次函数。
25
令
j
E[e2j ] Wj
E[e2j w1 j
]
,
E[e2j w2 j
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E[e2j wNj
]
T
基于梯度法使性能函数到达它的最小点。
26
误差信号与轨入信号正交，Wiener解。
9
§3.2 自适应横向滤波器
10
基本原理
e(n) d(n) y(n) s(n) sˆ(n) s(n) y(n)
E[e2 (n)]min
11
FIR网络：理论上可以绝对收敛到最小； IIR网络：(全局最小点)不止一个，一般选用
方程误差最小；本课程不涉及。
12
一、自适应线性组合 器和自适应FIR滤波器