基于改进差分进化算法的电力系统最优潮流计算
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N pq NG
[18]
。
以发电成本最小为目标函数的有功最优潮流
(2)
式中：Fi(PiG)为机组 i 的耗量特性，一般用二次函 数近似表示；ai、bi、ci 为机组 i 的耗量特性参数； PiG 为第 i 台发电机有功出力；NG 为发电机总台数。 最优潮流是经过优化的潮流分布，必须满足基 本潮流方程。最优潮流的等式约束条件为
DE 算法由 Price 和 Storn 于 1995 年共同提出，
是一种随机的直接寻优方法。它采用有 NP 个浮点 型实数编码个体的种群，基于自然进化理论，用来 优化非线性、不可微的连续空间方程，并且已经扩 展到可以处理混合有离散连续变量的优化问题。在 差分进化算法中，种群规模在整个优化过程保持不 变，每个个体是一个包括很多维数的向量，基本思
赵树本，张伏生
（西安交通大学 电气工程学院，陕西省 西安市 710049）
Solution of Optimal Power Flow Based on Differential Evolution and Its Modified Algorithm
ZHAO Shu-ben, ZHANG Fu-sheng
问题相关，不同的优化问题对应不同的控制参数。 而 F 与收敛 CR 对问题的适应性和复杂性更为敏感， 速率密切相关。本文采用动态变化方法[21-22]并加以 改进。 差分向量实际上是对被变异的基向量 Xrb,M 各 维变量的扰动，F 控制扰动的大小。如果生成差分 向量的 2 个个体适应度趋于一致时，那么生成的差 分向量(Xr2,M −Xr3,M)比较小，从而 F 应该取较大的 值，保证全局搜索。反过来，如果 2 个个体适应度 相差较大，那么生成的差分向量(Xr2,M −Xr3,M)较大， 这时 F 就应该取较小的值， 否则算法变成纯粹的随 机搜索而不能体现进化特性。 因此 F 的取值应该根 据空间中生成差分向量的 2 个个体 Xr3,M 和 Xr2,M 的 相对位置来自适应的变化，动态调节差分向量的大 小，从而保持了良好的全局和局部寻优能力。F 的 取值为
X T = [P 1G , V1 , V2 ,… , VN pq , QG1 , QG 2 ,… , QGN G ]
通过牛顿–拉夫逊法进行潮流计算，得到所有 状态变量的值，采用罚函数方程来处理状态变量的 不等式约束问题。每个个体的状态变量有对应的罚 因子。当它们超过上下限时，每个惩罚项被乘以一 个罚系数。例如本文将负荷母线电压、发电机无功 出力、平衡节点有功出力等的罚函数方程考虑到每 个个体的目标函数中。这样目标函数就包括了机组 燃料成本和惩罚项，方程如下：
算法包括简化梯度法[1]、 牛顿法[2]、 解耦法[3]和内点 法[4-5]等。 这类算法的特点是利用目标函数对控制变 量一阶或二阶梯度求解，由于这类算法对起始点非 常敏感，当搜索起始点在局部最优点的收敛域以内 时，常常收敛到局部最优解，所以这些传统的数学 优化方法难以解决大规模非线性优化问题。现代优 化算法主要是进化类算法。自 1960 年首次提出遗 传算法(genetic algorithm，GA)后，产生了很多其他 进化类算法，如进化规划[6]、差分进化(differential evolution，DE)[7]算法、粒子群优化(particle swarm optimization，PSO)[8-10]、蚁群优化[11-12]。这类算法 与导数无关，无需进行假设和近似，具有随机性， 容易跳出局部最优点，且具有内在并行性，能处理 非连续的、非光滑的、高度非线性解空间的复杂优 化问题，提高了处理复杂优化问题的速度和精度， 展现了良好的收敛特性和全局寻优能力。进化类算 法已经在电力系统领域的许多优化问题中得到了 成功应用。 差分进化算法用一系列浮点型编码个体通过 变异、 交叉、 选择等操作来有效地寻找全局最优解， 由于差分算法的鲁棒性非常好，它可以用来解决电 力系统中的各种优化问题。该算法原则上可以以较 大的概率找到优化问题的全局最优解，且计算效率 较高，已成功地应用于求解各种复杂的优化问题。 差分进化算法被用于求解电网规划[13-14]、无功优化 调度 [15-16] 以及谐波分析与电容器优化配置 [17] 等电 力系统优化问题，都取得了较好的效果。该方法能 在一个广泛约束和目标函数下寻优，并且对起点不 敏感，能够处理发电机耗量曲线这种非凸的、非光 滑的优化问题。本文提出应用改进差分进化算法求 解最优潮流问题，并将在 IEEE 30 节点系统上加以 验证。
不等式约束条件主要是使可调控制变量在一 定的容许范围内，满足系统运行的安全性。其具 体有
⎧ Pi min,G ≤ PiG ≤ Pi max,G , ⎪ ⎪Qi min,G ≤ QiG ≤ Qi max,G , ⎨ ⎪Vi min ≤ Vi ≤ Vi max , ⎪T ⎩ i min ≤ Ti ≤ Ti max , i = 1, 2, i = 1, 2, i = 1, 2, i = 1, 2, , NG , NG ,N , NT
0 引言
最优潮流是当系统的结构参数及负荷给定时， 通过调节控制变量找到能满足所有指定的约束条 件，并使系统的一个或多个性能目标函数达到最优 时的潮流分布。根据采用的目标函数和选择的控制 变量及约束条件，最优潮流问题可分为有功最优潮 流、无功最优潮流和对有功及无功进行综合优化的 最优潮流等。由于它是一个高度约束并且多维的非 线性优化问题，计算的困难性限制了它在电力系统 运行中的应用。最优潮流算法按照所采用的优化方 法大致可分为经典优化算法和现代优化算法。经典
第 34 卷 第 8 期
电
网
技
术
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想就是将 2 个随机选择个体的差作为第 3 个个体的 随机扰动。从产生随机偏差的个体中得到的距离和 方向信息导致了优秀的收敛性质。选择父代个体和 试验个体中适应度更好的个体进行进化。 DE 包括 3 个步骤：变异、交叉、选择。DE 的核心思想就是 通过变异和交叉操作产生一个试验个体，再通过选 择操作决定目标个体和试验个体中的哪一个会被 传到下一代。 它有着良好的收敛特性， 且控制参数少。 2.2 变异操作 对于每个目标向量 Xi,M，变异向量 Xi, M+1 为
(School of Electrical Engineering, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, Shaanxi Province, China) ABSTRACT: The calculation of optimal power flow (OPF) is the process to solve a multi-dimensional nonlinear optimization problem. By means of adjusting active output and terminal voltage of generation units as well as transformer voltage ratio to make the fuel cost function minimized and ensure all constraint conditions satisfied. For this purpose, it is proposed to solve OPF by improved differential evolution algorithm. Calculation results of IEEE 30-bus system show that the algorithm utilized in this paper possesses good search ability and convergence performance, and the fuel cost for generation units can be effectively reduced by this algorithm than by other evolutional algorithms. KEY WORDS: optimal power flow; differential
2 Fcost = ∑ Fi ( Pi G ) = ∑ (ai PiG + bi PiG + ci ) i =1 i =1 NG NG
变压器数。 式(3)为潮流方程， 式(4)为机组出力约束、 节点电压约束和变比约束[19]。 U 是独立变量的向量。包括发电机有功出力 PG(平衡节点的 P1G 除外)、发电机的机端电压 VG、 变压器变比 T，因此 U 可表示成
i =1 i =1
(5)
⎧(V − 1)2 , Vi < Vmin 或者Vi > Vmax ⎪ V =⎨ i 其他 ⎪ ⎩0,
(3)
⎧(Q − Qmax )2 , Qi > Qmax Q=⎨ i 2 ⎩(Qi − Qmin ) , Qi < Qmin
2 ⎧( P ⎪ 1G − P max ) , P 1G > P max P=⎨ 2 ( ) , P P P P − < ⎪ min 1G min ⎩ 1G
N ⎧ ⎪ Pi − Vi ∑ V j (Gij cos θij + Bij sin θ ij ) = 0 j =1 ⎪ ⎨ N ⎪Q − V V (G sin θ − B cos θ ) = 0 i i∑ j ij ij ij ij ⎪ j =1 ⎩
min F = Fcos t + λv ∑ V 2 + λq ∑ Q 2 + λs P 2
第 34 卷 第 8 期 2010 年 8 月 文章编号：1000-3673（2010）08-0123-06
电 网 技 术 Power System Technology 中图分类号：TM 72 文献标志码：A
Vol. 34 No. 8 Aug. 2010 学科代码：470·4051
基于改进差分进化算法的电力系统最优潮流计算
124
赵树本等：基于改进差分进化算法的电力系统最优潮流计算
Vol. 34 No. 8
1 最优潮流的数学模型
电力系统有功最优潮流是一个多变量、非线 性、多约束的组合优化问题。其目标函数一般采用 发电燃料耗量最小或发电费用最小， 数学上可表示为 min F ( X ,U ) (1) s.t. g ( X ,U ) = 0 h( X , U ) < 0 式中：U 是控制变量，通常包括发电机有功出力、 机端电压和变压器变比；X 为状态变量，包括 PQ 节点电压、发电机无功出力等；F 是目标函数，如 发电燃料耗量或发电费用；g 是节点潮流方程等式 约束；h 为不等式约束，如发电功率约束、电压幅 值约束等。通过优化计算发电机的机端电压、有功 出力和变压器变比等，使目标函数最小 模型可以表示为
U T = [ P2G , P3G ,
, PNG ,V1G ,V2G ,
,VNG , T1 , T2 ,
, TNT ]
每个个体的控制变量都是严格按照给定范围 进行赋初值，所以满足了相应的不等式约束。
X 是状态变量的向量，包括平衡节点有功出力 P1G、负荷母线电压 VL、发电机无功出力 QG、因此 X 可表示成
evolution(DE); control parameters; penalty function 摘要： 电力系统的最优潮流计算问题是一个多维非线性优化 问题。它通过调节发电机有功出力、机端电压、变压器变比 等使发电机组燃料成本函数最小， 并保证所有的约束条件都 得到满足。 提出了利用改进差分进化算法来解决电力系统的 最优潮流问题。IEEE 30 节点系统算例表明，与其他进化类 算法相比， 文中算法能够有效减少发电机燃料费用， 并有良 好的寻优能力和收敛特性。 关键词：最优潮流；差分进化；控制参数；罚函数
式中：V 为节点电压越限的罚函数项；Q 为发电机 节点无功出力越限的罚函数项；P 为平衡节点有功 出力越限的罚函数项；λv、λq、λs 分别为对应惩罚
(4)
项的罚系数[20]。
2 DE 算法的基本原理
2.1 DE 算法简介
式中： PiG、 QiG 是每台发电机有功出力和无功出力； Pi、Qi 为节点 i 的注入有功功率和无功功率；Gij 和 Bij 是线路的电导和电纳； Vi 和 Vj 分别是节点 i 和节 点 j 的电压幅值；θij 是节点 ij 之间的电压相角差； Pimax,G、 Pimin,G 分别为发电机有功上下限值； Qimax,G、 Qimin,G 分别为发电机无功上下限值；Vimax、Vimin 分 别为节点 i 电压幅值的上下Βιβλιοθήκη Baidu值；Timax、Timin 分别 为变压器变比的上下限值；N 为所有节点数；NT 为
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以发电成本最小为目标函数的有功最优潮流
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式中：Fi(PiG)为机组 i 的耗量特性，一般用二次函 数近似表示；ai、bi、ci 为机组 i 的耗量特性参数； PiG 为第 i 台发电机有功出力；NG 为发电机总台数。 最优潮流是经过优化的潮流分布，必须满足基 本潮流方程。最优潮流的等式约束条件为
DE 算法由 Price 和 Storn 于 1995 年共同提出，
是一种随机的直接寻优方法。它采用有 NP 个浮点 型实数编码个体的种群，基于自然进化理论，用来 优化非线性、不可微的连续空间方程，并且已经扩 展到可以处理混合有离散连续变量的优化问题。在 差分进化算法中，种群规模在整个优化过程保持不 变，每个个体是一个包括很多维数的向量，基本思
赵树本，张伏生
（西安交通大学 电气工程学院，陕西省 西安市 710049）
Solution of Optimal Power Flow Based on Differential Evolution and Its Modified Algorithm
ZHAO Shu-ben, ZHANG Fu-sheng
问题相关，不同的优化问题对应不同的控制参数。 而 F 与收敛 CR 对问题的适应性和复杂性更为敏感， 速率密切相关。本文采用动态变化方法[21-22]并加以 改进。 差分向量实际上是对被变异的基向量 Xrb,M 各 维变量的扰动，F 控制扰动的大小。如果生成差分 向量的 2 个个体适应度趋于一致时，那么生成的差 分向量(Xr2,M −Xr3,M)比较小，从而 F 应该取较大的 值，保证全局搜索。反过来，如果 2 个个体适应度 相差较大，那么生成的差分向量(Xr2,M −Xr3,M)较大， 这时 F 就应该取较小的值， 否则算法变成纯粹的随 机搜索而不能体现进化特性。 因此 F 的取值应该根 据空间中生成差分向量的 2 个个体 Xr3,M 和 Xr2,M 的 相对位置来自适应的变化，动态调节差分向量的大 小，从而保持了良好的全局和局部寻优能力。F 的 取值为
X T = [P 1G , V1 , V2 ,… , VN pq , QG1 , QG 2 ,… , QGN G ]
通过牛顿–拉夫逊法进行潮流计算，得到所有 状态变量的值，采用罚函数方程来处理状态变量的 不等式约束问题。每个个体的状态变量有对应的罚 因子。当它们超过上下限时，每个惩罚项被乘以一 个罚系数。例如本文将负荷母线电压、发电机无功 出力、平衡节点有功出力等的罚函数方程考虑到每 个个体的目标函数中。这样目标函数就包括了机组 燃料成本和惩罚项，方程如下：
算法包括简化梯度法[1]、 牛顿法[2]、 解耦法[3]和内点 法[4-5]等。 这类算法的特点是利用目标函数对控制变 量一阶或二阶梯度求解，由于这类算法对起始点非 常敏感，当搜索起始点在局部最优点的收敛域以内 时，常常收敛到局部最优解，所以这些传统的数学 优化方法难以解决大规模非线性优化问题。现代优 化算法主要是进化类算法。自 1960 年首次提出遗 传算法(genetic algorithm，GA)后，产生了很多其他 进化类算法，如进化规划[6]、差分进化(differential evolution，DE)[7]算法、粒子群优化(particle swarm optimization，PSO)[8-10]、蚁群优化[11-12]。这类算法 与导数无关，无需进行假设和近似，具有随机性， 容易跳出局部最优点，且具有内在并行性，能处理 非连续的、非光滑的、高度非线性解空间的复杂优 化问题，提高了处理复杂优化问题的速度和精度， 展现了良好的收敛特性和全局寻优能力。进化类算 法已经在电力系统领域的许多优化问题中得到了 成功应用。 差分进化算法用一系列浮点型编码个体通过 变异、 交叉、 选择等操作来有效地寻找全局最优解， 由于差分算法的鲁棒性非常好，它可以用来解决电 力系统中的各种优化问题。该算法原则上可以以较 大的概率找到优化问题的全局最优解，且计算效率 较高，已成功地应用于求解各种复杂的优化问题。 差分进化算法被用于求解电网规划[13-14]、无功优化 调度 [15-16] 以及谐波分析与电容器优化配置 [17] 等电 力系统优化问题，都取得了较好的效果。该方法能 在一个广泛约束和目标函数下寻优，并且对起点不 敏感，能够处理发电机耗量曲线这种非凸的、非光 滑的优化问题。本文提出应用改进差分进化算法求 解最优潮流问题，并将在 IEEE 30 节点系统上加以 验证。
不等式约束条件主要是使可调控制变量在一 定的容许范围内，满足系统运行的安全性。其具 体有
⎧ Pi min,G ≤ PiG ≤ Pi max,G , ⎪ ⎪Qi min,G ≤ QiG ≤ Qi max,G , ⎨ ⎪Vi min ≤ Vi ≤ Vi max , ⎪T ⎩ i min ≤ Ti ≤ Ti max , i = 1, 2, i = 1, 2, i = 1, 2, i = 1, 2, , NG , NG ,N , NT
0 引言
最优潮流是当系统的结构参数及负荷给定时， 通过调节控制变量找到能满足所有指定的约束条 件，并使系统的一个或多个性能目标函数达到最优 时的潮流分布。根据采用的目标函数和选择的控制 变量及约束条件，最优潮流问题可分为有功最优潮 流、无功最优潮流和对有功及无功进行综合优化的 最优潮流等。由于它是一个高度约束并且多维的非 线性优化问题，计算的困难性限制了它在电力系统 运行中的应用。最优潮流算法按照所采用的优化方 法大致可分为经典优化算法和现代优化算法。经典
第 34 卷 第 8 期
电
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想就是将 2 个随机选择个体的差作为第 3 个个体的 随机扰动。从产生随机偏差的个体中得到的距离和 方向信息导致了优秀的收敛性质。选择父代个体和 试验个体中适应度更好的个体进行进化。 DE 包括 3 个步骤：变异、交叉、选择。DE 的核心思想就是 通过变异和交叉操作产生一个试验个体，再通过选 择操作决定目标个体和试验个体中的哪一个会被 传到下一代。 它有着良好的收敛特性， 且控制参数少。 2.2 变异操作 对于每个目标向量 Xi,M，变异向量 Xi, M+1 为
(School of Electrical Engineering, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, Shaanxi Province, China) ABSTRACT: The calculation of optimal power flow (OPF) is the process to solve a multi-dimensional nonlinear optimization problem. By means of adjusting active output and terminal voltage of generation units as well as transformer voltage ratio to make the fuel cost function minimized and ensure all constraint conditions satisfied. For this purpose, it is proposed to solve OPF by improved differential evolution algorithm. Calculation results of IEEE 30-bus system show that the algorithm utilized in this paper possesses good search ability and convergence performance, and the fuel cost for generation units can be effectively reduced by this algorithm than by other evolutional algorithms. KEY WORDS: optimal power flow; differential
2 Fcost = ∑ Fi ( Pi G ) = ∑ (ai PiG + bi PiG + ci ) i =1 i =1 NG NG
变压器数。 式(3)为潮流方程， 式(4)为机组出力约束、 节点电压约束和变比约束[19]。 U 是独立变量的向量。包括发电机有功出力 PG(平衡节点的 P1G 除外)、发电机的机端电压 VG、 变压器变比 T，因此 U 可表示成
i =1 i =1
(5)
⎧(V − 1)2 , Vi < Vmin 或者Vi > Vmax ⎪ V =⎨ i 其他 ⎪ ⎩0,
(3)
⎧(Q − Qmax )2 , Qi > Qmax Q=⎨ i 2 ⎩(Qi − Qmin ) , Qi < Qmin
2 ⎧( P ⎪ 1G − P max ) , P 1G > P max P=⎨ 2 ( ) , P P P P − < ⎪ min 1G min ⎩ 1G
N ⎧ ⎪ Pi − Vi ∑ V j (Gij cos θij + Bij sin θ ij ) = 0 j =1 ⎪ ⎨ N ⎪Q − V V (G sin θ − B cos θ ) = 0 i i∑ j ij ij ij ij ⎪ j =1 ⎩
min F = Fcos t + λv ∑ V 2 + λq ∑ Q 2 + λs P 2
第 34 卷 第 8 期 2010 年 8 月 文章编号：1000-3673（2010）08-0123-06
电 网 技 术 Power System Technology 中图分类号：TM 72 文献标志码：A
Vol. 34 No. 8 Aug. 2010 学科代码：470·4051
基于改进差分进化算法的电力系统最优潮流计算
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赵树本等：基于改进差分进化算法的电力系统最优潮流计算
Vol. 34 No. 8
1 最优潮流的数学模型
电力系统有功最优潮流是一个多变量、非线 性、多约束的组合优化问题。其目标函数一般采用 发电燃料耗量最小或发电费用最小， 数学上可表示为 min F ( X ,U ) (1) s.t. g ( X ,U ) = 0 h( X , U ) < 0 式中：U 是控制变量，通常包括发电机有功出力、 机端电压和变压器变比；X 为状态变量，包括 PQ 节点电压、发电机无功出力等；F 是目标函数，如 发电燃料耗量或发电费用；g 是节点潮流方程等式 约束；h 为不等式约束，如发电功率约束、电压幅 值约束等。通过优化计算发电机的机端电压、有功 出力和变压器变比等，使目标函数最小 模型可以表示为
U T = [ P2G , P3G ,
, PNG ,V1G ,V2G ,
,VNG , T1 , T2 ,
, TNT ]
每个个体的控制变量都是严格按照给定范围 进行赋初值，所以满足了相应的不等式约束。
X 是状态变量的向量，包括平衡节点有功出力 P1G、负荷母线电压 VL、发电机无功出力 QG、因此 X 可表示成
evolution(DE); control parameters; penalty function 摘要： 电力系统的最优潮流计算问题是一个多维非线性优化 问题。它通过调节发电机有功出力、机端电压、变压器变比 等使发电机组燃料成本函数最小， 并保证所有的约束条件都 得到满足。 提出了利用改进差分进化算法来解决电力系统的 最优潮流问题。IEEE 30 节点系统算例表明，与其他进化类 算法相比， 文中算法能够有效减少发电机燃料费用， 并有良 好的寻优能力和收敛特性。 关键词：最优潮流；差分进化；控制参数；罚函数
式中：V 为节点电压越限的罚函数项；Q 为发电机 节点无功出力越限的罚函数项；P 为平衡节点有功 出力越限的罚函数项；λv、λq、λs 分别为对应惩罚
(4)
项的罚系数[20]。
2 DE 算法的基本原理
2.1 DE 算法简介
式中： PiG、 QiG 是每台发电机有功出力和无功出力； Pi、Qi 为节点 i 的注入有功功率和无功功率；Gij 和 Bij 是线路的电导和电纳； Vi 和 Vj 分别是节点 i 和节 点 j 的电压幅值；θij 是节点 ij 之间的电压相角差； Pimax,G、 Pimin,G 分别为发电机有功上下限值； Qimax,G、 Qimin,G 分别为发电机无功上下限值；Vimax、Vimin 分 别为节点 i 电压幅值的上下Βιβλιοθήκη Baidu值；Timax、Timin 分别 为变压器变比的上下限值；N 为所有节点数；NT 为