伯努利方程及其应用

称速度水头。
z p g＋V 2 2g：称总水头。
那么，例题中③所示情况怎样标出他的各 种水头呢？
例题中③所示情况的各种水头大小的变化如图所示：
二、溢水道问题
今有理想不可压重力流体流过一垂直 墙，墙顶水层的厚度较水库水深为无穷小 量，试确定流体自由表面处的速度。
假定水库的容积足够大，故可以认为远离溢水口处的水面高度是
V2 2
pa
gz
V2 2
p0 pa
g(z0 z)
V 2( p0 pa ) 2gh
又：①如容器不密封而与大气相通，有p0=pa 上式
V 2gh
（托里拆利公式 ）
②如容器内为气体，则2gh为一般是小量，可忽略：
V 2( p0 pa )
注意此时计算结果中V最大不能超过100m/s，否则压缩性不能忽略。
面工程中，绝大多数情况M都小于0.3，喷管流例外，当M大于0.2或
0.3以后，我们就不能直接应用以上方程计算气体流动了。
第二节 伯努利方程的应用
在应用伯努利方程时，要注意它的应用条件，在确认求解问题符 合方程的应用条件后，关键就是要正确的选取计算点或计算截面，即 公式中的的①、②位置，选取的一般原则：１、包含未知数的截面； ２、包含已知数最多的截面。必要时，伯努利方程可以与连续方程联 立，以求解两个未知数。
第一节 伯努利定理
在流体静力学中，我们曾引入过压力函数的概念，现在在推导伯 努利方程之前，我们先对压力函数的性质在作进一步的分析。
一、压力函数分析
在流体静力学中，对于密度仅是压力 的函数的正压流体，引入了压力函数：
我们考察流场中的任意一条曲线L，规定线上的某点o为原点，因 此曲线L上的任意一点能用该点到o弧长 l 表示,而dl 表示曲线弧的微 元长度。显然，在曲线L上，密度和压力是弧长 l 的函数，并且在不 同的曲线L上，其函数也是不同的，这样速度和压力就可表示为：
p1
gz1
V22 2
p2
gz2
滞止点与滞止参数：根据柏努利方程，如
果忽略位置高度的影响，当流体质点沿着
流线运动时，随着速度的降低其压力会增
高，而当 V=0 时，其压力会达到可能的最
大值。我们将此时流体质点所处的状态叫
机械能的损失不会体现在动能上，因为速度的关系还要服从连续方程 的规定；一般也不会体现在势能上，因为势能的关系由位置确定。所 以更多的是体现在压力（静压头）上。
其中，pl12、 il12、hl12，分别代表流体从１点流到２点时，损失的 总压力、总焓和总水头。 很显然，上面三个方程不是独立的。
4、关于不可压缩流体的判断
三、汽油机化油器的流动
1、风道进口流动问题。如图所示一直径为D的圆柱形通风管，假设B 截面的速度分布均匀，空气密度为air，并已知通风流量Q，求B点的 压力pB。
设A点远离进口，则VA=0，pA=pa
B点的流速为： 写出A、B两点间的柏努力方程：
所以：
2、化油器的流动。化油器结构如图，已知D、d、pB，以及油箱油面
的圆柱体，其头部为光滑过渡面，如半球面，放置方向与来流一致，
则可得如图的流场。前面讲过，迎风的前缘上是一滞止点，该点的流
速为零。到管壁侧面，离头部足够远，流速又恢复到了接近远前方的
流速(因为柱体足够小)，即V2=V∞。写出∞ 、2两点的伯努利方程：
V 2 2
p
gz
V22 2
p2
gz2
p2 p
再写出1、2两点的伯努利方程，设g(z2-z1)很小，并有V1=0：
常见的正压场有： 1、不可压缩流场：
2、完全气体等温流场：
3、完全气体的绝热等熵流场 ：
在现实问题中最常见的是第一种和第三种流场。比如对于液体，一般 就可以视为不可压缩流场。对于气体，当流速较低时，今后会讨论到， 也可以视为不可压缩流场；而当流速较高时，由于其导热系数小，又 可以视为绝热流场。
二、沿流线和涡线成立的伯努利积分
联立以上两式消去l，即可将ρ表示为p的函数，注意，此时并不要求流 场是正压流场。 代入压力函数定义式：
可知L在曲线上，压力函数沿l的变化率为：
一般情况下，曲线L上的函数关系 ( p, L)是未知的，但是当流
场是正压流场时，这时ρ仅是p的函数（根据定义），与所取曲线就无 关了。所以只要已知 ( p) ，压力函数就可以积分。
线无关。或者说在全流场中的积分为同一常数C，等式两边的1点和2点
可以不必在同一流线或涡线上。
ur V
ur
0
的情况有三种：
1、
ur V
0
流体静止，其结果为静力学基本方程，对动力学无意义。
ur
2、 0 流动无旋。
ur ur
3、 V P 通常不可能，只有在一些理想的特殊流动中存在。
由此我们知道，无旋流动的伯努利积分，其常数全场相等，也就 是说，此时我们应用伯努利方程不必在意1点和2点是不是在同一条流 线或涡线上。面对流场是否无旋的判断，上一章我们在讲到弗里德曼 方程时有结论：理想流体，在质量力有势，流场正压时，流场如一开 始无旋，则永远无旋，这有助于我们做出判断。
液体肯定是不可压缩的，气体从物性上来讲是可压缩的，但是，
如果在流动过程中，忽略位置水头的变化（一般所占比重小），并将
过程看作是等温的，p1 1 p2 2，密度的变化量取决于压力的变化
量，考虑一个绕流问题，流场中速度变化量最大的两点：滞止点和远
前方，有
设：
p1
1 22
pa 105 Pa , 1kg / m3, V 100m / s
l
(V 2 ) 2
1
p U l l
ur ur (V )l
注意压力函数的微分关系
，代入上式有：
这里曲线函数尚是任意取的，如果将该曲线取为流线或涡线，则曲线
上任意点的切线方向与向量
ur V
ur
垂直，因而有：
（沿流线或涡线假设4）
于是：
积分：
这就是欧拉方程的最一般形式的伯努利积分，他表明：
在理想流体、质量力有势，流动定常的条件下，沿流线或涡线流体的动 能、压力能和势能之和是一个常数。
一、容器小孔出流问题
密闭容器，D>>d，即小孔足够小，设 流体为理想流体，求小孔的出流速度。有流 线如图，知柏努利方程沿流线总焓不变，而 每一根流线的起始点机械能相等，即可得结 论，柏努利方程积分全场为同一个常数，亦 可得出流动是无旋的，为此，设液面为1， 出口为2，写出方程：
V0 2 2
p0
gz0
由兰姆方程(引入理想流体假设1)：
假设流动为定常(2)
ur 0 ，质量力有势(3) f U
，兰姆方程为：
t
左边是标量场的梯度，标量梯度在某一方向的
投影，等于标量在该方向的方向导数。等式反
映了四个向量的平衡关系，他们投影到某一方
向仍然是平衡的。在流场中做任意曲线L，将上式在曲线的微元弧线
(切线)上投影，有：
不变的，并且流动是定常的。流体自由表面上的压力等于大气压力pa， 溢口处水层厚度较水库深度为小量，故远离溢口处的流速近似为V=0， 自由表面是流线。可写出沿流线的伯努利方程:
pa
gz1
V2 2
pa
gz
可得自由表面上z处的流速关系: V 2g(z1 z) 2gh
上式在形式上与小孔出流公式一 样。由上式可见，随着z的减小或落差 h的增大，速度V增大，由连续方程知 其流管宽度应减小。同时，由于在溢 口B处流速VB已不能忽略，故此时的 液面已低于远处的z1，也就是说，水 库水面的高度在靠近溢口处时就已开 始降低了。
p
1 2
104
5 103
Pa
此时压力的相对变化量：p
pa
0.05，故密度的相对变化量：
0.05
5%
我们知道音速： a 340m / s
因而： M V 100 0.294 0.3
a 340
说明当Ｍ＜ 0.3 时，流速的变化导至密度的变化量小于5%，流体可看
作不可压缩的流体。有的定为M＝0.25，M＝0.2，要求更严。而在地
到汽化器轴线的垂直高度h，油面压力为pa，求将汽油吸入汽化器的空
气流量。设空气与汽油的密度分别为：air , oil
欲使汽油被吸入汽化器，C截面必须要有 一定的真空度，其最小真空度所对应的 油柱高度应为h。即：
(a)
截面C处的真空度又与流过该截面的空气 流量有关。写出B与C截面的伯努利方程：
(b)
连续方程：
2、当流体不可压时，压力函数为： p const
3、代入伯努利积分，有：
V2
p
gz
C(L)
2
或者：
这是我们最常见的伯努利方程。总结一下它的应用条件：不可压 缩的理想流体，定常流动，质量力仅为重力，沿流线或涡线成立。
四、伯努利积分与所取曲线无关的情况
在正压流场中，如果恒有 Vur
ur
0
。则以上伯努利积分与所取曲
其中第I、II式多用于气体流动，III式多用于液体流动分析。
2、应用条件 理想流体，定常流动，不可压缩流体（正压流体），质量力为重力
（质量力有势），沿流线或涡线成立。如为无旋流动，则全场成立。
3、应用拓展 柏努利方程由理想流体流动分析得出，说明流动过程中的机械能
守恒。如果流体不是理想流体，则流动必有旋（粘性产生旋涡），这 时沿流线方向的总机械能将不会守恒。因为粘性效应，旋涡流动将把 一部分机械能耗散为热能（不可逆），这时沿流线的能量守恒应该是 机械能+耗散能的守恒。
五、总结
1、伯努利方程的形式
I、
p1
1 2
V12
gz1
p2
1 2
V22
gz2
物理意义：单位体积流体的能量守恒。压力能、动能、势能。