点到平面的距离

D A' B' C'
D E A B
C
例3 : 如图,已知四边形 ABCD是边长1的正方形 , 四边形 AA' B' B是矩形 , 平面AA' B' B ABCD, 若AA' 1, 求直线 AB面DA' C的距离.
A'
A
B'
B
O D C
点到平面的距离
(1) 点到平面距离的定义 :
一点到它在一个平面内 的正射影的距离叫做这 一点到这个面的距离.
一个点P，一个面，P ， 怎样找到点P到面的距离?
例1.如图，AB是⊙O的直径，PA⊥平面 ⊙O，C为圆周上一点，若AB＝5，AC＝ 2，求B到平面PAC的距离。
例2 如图，已知正三角形 ABC 的边长为 6cm，点 O 到 ABC 各顶点的距离都是 4cm，求点 O 到这个三角形所在平面的 距离。
A B x C D y
归纳总结 ⑴、直接法： 一作、二证、三计算
⑵、间接法:
向量法：利用法向量与点到面的距 离关系，把几何问题转化为代数问 题。还有等体积法，转移法待续。
2. 直线到它平行平面的距离
定义：直线上任一点到与它平行的平面的 距离，叫做这条直线到平面的距离。 由定义可知，求直线到它平行平面的距离
P
O为三角形ABC的垂心
A D O C
B
3、已知三棱锥P-ABC的顶点P到底面三 角形ABC的三条边的距离相等,试判断点 P在底面ABC的射影的位置？
P
O为三角形ABC的内心
O
E C F A
B
例2 : 如图, 在棱长为1的正方体 ABCD A1B1C1D1中, 点E是棱AD的中点, 求A1到平面 BD1E的距离.
A
O
C H E
B
一作
二证
三计算
即点O到这个三角形所在平面的距离为2 cm.
1、已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA=PB=PC 试判断点P在底面ABC的射影的位置？
P
PA=PB=PC
O为三角形ABC的外心
A O C
B
2、已知三棱锥P-ABC的三条侧棱 PA,PB,PC两两垂直,试判断点P在底面 ABC的射影的位置？
解：设H为点O在平面ABC内的射影，延 长AH，交BC于E，则 OA OB OC , HA HB HC , 即H是△ABC的外心。在Rt △ABC中，
BE 1 BH 2 3 , BE BC 3 , cos30 2
OH OB 2 BH 2 42 (2 3)2 2 (cm) ,
的问题可由点到平面距离的知识来解决。
3. 两个平行平面的距离 和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个 平面的公垂线。公垂线夹在平行平面间的部分， 叫做这两个平面的公垂线段。 两个平行平面的公垂线段都相等，公垂线段长 小于或等于任一条夹在这两平行平面间的线段 长。 两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平 行平面的距离。 求两平行平面的距离，只要求一个平面上一 点到另一个平面的距离，也就是求点到平面 的距离。
练习： 1.已知四面体ABCD，AB＝AC＝AD＝6， BC＝3，CD＝4，BD＝5，求点A到平面 BCD的距离。 A
B
D
O
C
3.如图，已知D为△ABC外一点，DA、DB、 DC两两垂直，且DA＝DB＝DC＝3，求D 点到平面ABC的距离。
D
A
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O
C
B
4.如图，已知在长方体ABCD－A’B’C’D’ 中，棱AA’=5，AB=12，求直线B’C’到 平面A’BCD’的距离。
D1 A1 E A D B B1 C C1
用向量方法来处理点到面的距离 （用推理说明问题） A
B
n
设n是平面 的法向量 ， 在内取一点 B， 则A到 的距离 d AB cos AB n n
练习: SA 平面ABCD，DAB ABC 90， SA AB BC a，AD 2a , z 求A到平面SCD的距离。 S