电磁场与电磁波(西安交大第三版)第5章课后答案解析

第五章 习题
5.1如图所示的电路中,电容器上的电压为)(t u c ,电容为C, 证明电容器中的位移电流等于导线中的传导电流。

解：设电容器极板面积为S ，电容器中的位移电流为D i ,传导电流为c i c C C S D D i t
u C t C u t q t S t D S SJ i =∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂==)(ρ
5.2由麦克斯韦方程组推导H
满足的波动方程。

解：解：对麦克斯韦的旋度方程
t
E J H ∂∂+=⨯∇
ε
两边取旋度得
t
E
J H ∂∂⨯∇+⨯∇=⨯∇⨯∇
ε
上式左边利用矢量恒等式A A A 2
∇-⋅∇∇=⨯∇⨯∇，并考虑到0=⋅∇H ，上式右端代入麦克斯韦方程t H
E ∂∂-=⨯∇
μ，得
J t
H H ⨯-∇=∂∂-∇2
22
με
5.3 在线性、均匀，各向同性的导电媒质中，证明),(t r H
满足下列方程
02
22
=∂∂-∂∂-∇t H t
H H μσμε 解：在线性、均匀，各向同性的导电媒质中，麦克斯韦旋度方程为
t
E E H ∂∂+=⨯∇
εσ
两边取旋度得
t
E
E H ∂∂⨯∇+⨯∇=⨯∇⨯∇
εσ
上式左边利用矢量恒等式A A A 2
∇-⋅∇∇=⨯∇⨯∇，并考虑到0=⋅∇H ，上式右端代入麦克斯韦方程t H
E ∂∂-=⨯∇
μ，得
02
22
=∂∂-∂∂-∇t H t
H H σμμε 5.4 在11,με和22,με两种理想介质分界面上
z E y E x
E E z y x ˆˆˆ0001++=
z H y H x
H H z y x ˆˆˆ0001++=
求22,H E。

题5.4图
解：由两种理介质分界面的边界条件 t t E E 21= n n E E 2211εε= t t H H 21= n n H H 2211μμ=
得 z E y E x
E E z y x ˆˆˆ021002εε++= ，z H y H x H H z y x ˆˆˆ02
1002μμ
++=
5.5在法线方向为x n
ˆˆ=的理想导体面上 t J y t J z
J y z S ωωcos ˆsin ˆ00-=
求导体表面上的H。

解：由理想导体表面上的边界条件
S J H n
=⨯ˆ 得导体表面上的H 为 t J z t J y x J n
J H y z S S ωωcos ˆsin ˆˆˆ00+=⨯=⨯=
5.6自由空间中，在坐标原点有一个时变点电荷2
20/)(0τt t e q q --=，其中τ,,00t q 均为常数。

求标量位。

解：根据(5.4-１１）式
R
dV v
R
t r t r '
),'(41),(-=Φ
ρπε
取q sV =ρ得
R
v R t r q t r ),'(41),(-=Φ πε 将2
20/)(0τt t e
q q --=代入，考虑到时变点电荷在坐标原点，得
r
e q t r t v
r
t 2
20/)(041),(τπε
---=
Φ
5.7自由空间中，在坐标原点有一用细导线连接的时变电偶极子，电偶极矩为
τ/)(00ˆt t le q z
p --=
，其中τ,,00t q 均为常数。

求标量位，矢量位。

解：1）标量位
)(4),(2
/)(1
/)(002
01
R e
R e q t r t v
R t t v
R t ττπε
--
---
--
=
Φ
θcos 2/1l r R -=，θcos 2/1l r R +=
)(4),(2
/)cos 2/(1
/)cos 2/(000R e
R e q t r t v
l r t t v
l r t τθ
τθ
πε-+-
----
--
=Φ
)
)cos 2/()cos 2/((4)(4cos 2/cos 2/2
)
(0
2
cos 2/1
cos 2/)
(0
00τ
θτ
θτ
θτ
θθθπεπε
v l v l t v
r t v l v l t v
r t e l r e l r r e q R e
R e
e q --+=-
=-----
---
（2）矢量位
细导线中的电流为 ττ//)(00t t e q dt
dq
i ---==
代入矢量位
R
dV v R t r J t r A '),'(4),(-= πμ 得
R
l v R t r i t r A ),'(4),(-= πμr le q t v r
t τπτμ/)(004----=
5.8已知导电媒质中
)sin(2ˆ),(00z k t e E x
t r E -=-ωα
求：（1）),(t r H ；（2）),(t r w ；（3）),(t r P
；（4）),(t r S
解：（1）由麦克斯韦方程t
H
E ∂∂-=⨯∇
μ
)]cos()sin([2ˆ1
0000z k t k z k t e E y E t H z ---=⨯∇-=∂∂-ωωαμ
μα
)]sin()cos([2ˆ),(0000z k t k z k t e E y t r H z ----=-ωωαωμ
α
（2）),(),(),(t r w t r w t r w m e
+= )(sin ),(2
1),(022202z k t e E t r E t r w z e -==-ωεεα
20002202)]sin()cos([)(),(21
),(z k t k z k t e E t r H t r w z m -+-==
-ωωαωμ
μα
（3）)(sin 2),(02202z k t e
E E t r P z
-==-ωσσα
（4）)]sin()cos()[sin(2ˆ),(0000220z k t k z k t z k t e E z
H E t r S z
----=⨯=-ωωαωωμ
α
5.9 在无源的自由空间
)cos(2ˆ)sin(2ˆ),(00001z k t E y z k t E x t r E -+-=ωω
)cos(2ˆ)sin(2ˆ),(00002y k t H z y k t H x t r H z x -+-=ωω
求：),(),(),(111t r H r H r E ，),(),(),(222t r E r E r H。

解：)cos(2ˆ)sin(2ˆ),(00001z k t E y z k t E x t r E -+-=ωω
z jk e y x j E E 0)ˆˆ(0
1-+-=
H j E 0ωμ-=⨯∇
z jk e x y j E k E z
k j E
H 0)ˆˆ(ˆ0
000001-+-=⨯=-⨯∇=ωμωμωμ
)]cos(ˆ)sin(ˆ[2000
1z k t x z k t y
kE H ---=
ωωωμ )cos(2ˆ)sin(2ˆ),(00002y k t H z y k t H x t r H z x -+-=ωω
y jk z x e z
H x jH H 0)ˆˆ(002-+-=
由E j H 0ωε=⨯∇得
y jk z x e H x jH z
k
E 0)ˆˆ(000
2---=ωε )]sin(ˆ)cos(ˆ[2),(00000
2y k t H z y k t H x
k t y E x z -+--=ωωωε
5.10已知在空气中
jkr e r
E r E -=θθsin ˆ)(0
在圆球坐标系中，求c S t r H t r E r H
),,(),,(),(。

解：)cos(sin 2ˆ),(0
kr t r
E t r E -=ωθθ
由H j E ωμ-=⨯∇ jkr e r
kE j E H -=-⨯∇=θωμϕωμsin ˆ0
)cos(sin 2ˆ),(0kr t r
kE t r H -=ωωμθ
ϕ
2220*sin ˆr
kE r H E S c ωμθ=⨯=
5.11已知在空气中 jkr
z e r A r A -=
0)(
在圆球坐标系中，求)(),(r E r H。

解：在圆球坐标系中 jkr
z r e r
A A A -=
=θθcos cos 0
jkr
z e r
A A A --=-=θθθsin sin 0 0=ϕA
利用关系式A
H ⨯∇=μ
1
得 0=r H 0=θ
H jkr e r
r jk A H -+=)1(sin 12
0θμϕ 上式代入E j H
ωε=⨯∇得 jkr r e r
r jk A j E -+-=)1(cos 23
20ωεμθ jkr e r
j r k r jk A E --+=
)(sin 3220ωεμθθ 0=ϕ
E
5.12 已知在如图所示的用理想导体制作的矩形管中
z jk z e x a
E y
E -=)sin(ˆ0π
z k 为常数，
（1） 求H
；
（2） 求),(),,(t r H t r E
； （3） 验证H E ,满足边界条件；
（4） 求各理想导体面上的面电流S J
；
（5） 求穿过管截面的平均功率。

题5.12图
解：（1）由H j E ωμ-=⨯∇得
z jk z x z e x a
E k H --
=)sin(0
π
ωμ z jk z z e x a
a E j H -=
)cos(0π
ωμπ （2）)cos()sin(2),(0z k t x a
E t r E z y -=
ωπ
)cos()sin(2),(0z k t x a E k t r H z z x --=ωπ
ωμ
)2
cos()cos(2),(0π
ωπωμπ+-=z k t x a a E t r H z z
（3）在a x ,0=的理想导体面上0)sin(
=x a
π
，因此
0,0==x y H E 即0,0==n t H E 满足理想导体面边界条件。

（4）由H n
J S ⨯=ˆ 在0=x 的理想导体面上
z jk z z x z e a
E j y x H y z H x H x J
--==-=+⨯=ωμπ0ˆ)0(ˆ)ˆˆ(ˆ 在a x =的理想导体面上
z jk z z x z e a
E j y x H y z H x H x J
-===+⨯-=ωμπ0ˆ)0(ˆ)ˆˆ(ˆ 在0=y 的理想导体面上
z jk z z x z e x a
a E j x x a E k z z H x H y J
-+=+⨯=))cos(ˆ)sin(ˆ()ˆˆ(ˆ00πωμππωμ
在b y =的理想导体面上
z jk z z x z e x a
a E j x x a E k z z H x H y J
-+-=+⨯-=))cos(ˆ)sin(ˆ()ˆˆ(ˆ00πωμππωμ （5） S d H E P b a ⋅⨯=⎰⎰00*]Re[
ωμ
π
ωμ2)(sin 2
2
00
E abk dxdy x a E k z b a
z =
=
⎰⎰
5.13直接由麦克斯韦方程的复数形式推导电场强度和磁场强度满足的亥姆霍兹方程。

解：根据麦克斯韦方程的复数形式
E j J H
ωε+=⨯∇ (1)
H j E ωμ-=⨯∇ (2) ρε=⋅∇E
(3)
0=⋅∇B
(4)
(1)式两端求旋度后将（2）式代入得
)H j j J H
ωμωε-+⨯∇=⨯∇⨯∇（
利用矢量恒等式A A A 2
∇-⋅∇∇=⨯∇⨯∇，并考虑到0=⋅∇H 得 J H H ⨯-∇=+∇μεω2
2
（5）
(2)式两端求旋度后将（1）式代入得
)(E j J j E
ωεωμ+-=⨯∇⨯∇
利用矢量恒等式A A A 2
∇-⋅∇∇=⨯∇⨯∇，并考虑到ε
ρ=⋅∇E 得
ε
ρωμμεω∇+=+∇J j E E 2
2
5.14直接由麦克斯韦方程的复数形式推导（5.７-1８）式。

解：
ε
ρ
-
=Φ+Φ∇2
2k (5.７-1８b) 将 Φ∇--=A j E ω代入ρ=⋅∇D
，对于均匀介质，得
ε
ρ
ω=Φ∇--⋅∇)(A j
将洛伦兹条件的复数形式Φ-=⋅∇ωμεj A
代入，得
ε
ρ-
=Φ+Φ∇2
2
k 5.15在线性、均匀，各向同性的导电媒质中，证明)(r E 满足下列方程 0)(2
2
=-+∇E j E ωμσμεω
解：H j E
ωμ-=⨯∇式两端求旋度将 E j E H ωεσ+=⨯∇
代入得
)(E j E j E
ωεσωμ+-=⨯∇⨯∇
利用矢量恒等式A A A 2
∇-⋅∇∇=⨯∇⨯∇，并考虑到在均匀媒质中0=⋅∇E 得
E j E E
ωμσμεω=+∇2
2
5.16在线性、均匀，各向同性的导电媒质中，证明H
满足下列方程
0)(22=-+∇H j H ωμσμεω 解：E j E H
ωεσ+=⨯∇式两端求旋度将
H j E ωμ-=⨯∇
代入得
H j j H
ωμωεσ)(+-=⨯∇⨯∇
利用矢量恒等式A A A 2
∇-⋅∇∇=⨯∇⨯∇，并考虑到在均匀媒质中0=⋅∇H 得 0)(2
2
=-+∇H j H ωμσμεω
5.17 写出电磁场边界条件的复数形式。

解：
解： 电磁场边界条件的复数形式和瞬时形式是相同的。

即
0)(ˆ21=-⨯E E n
S J H H n
=-⨯)(ˆ21 S n
D D ρ=⋅-ˆ)(21 0ˆ)(21=⋅-n
B B 对两理想介质的界面
t t E E 21=
t t H H 21=
n n D D 21=
n n B B 21=
在理想导体表面
0ˆ=⨯E n
S J H n
=⨯ˆ S n D ρ=⋅ˆ
0ˆ=⋅n
B 5.18 试写出矢量磁位z
A A z ˆ= 在两理想介质分界面的边界条件（用直角坐标系，设介质分界面法向为z ˆ）。

解： 展开A B ⨯∇=和]1[2A k
A j E ⋅∇∇+-=ω得
根据t t E E 21=， t t H H 21=得
5.19 证明电场可以用矢量磁位表示为
]1[2A k A j E ⋅∇∇+-=ω 证明： 将 Φ-=⋅∇ωμεj A
代入 Φ∇--=A j E ω
得 A j A j E ⋅∇∇--
-=ωμεω1 ]1[2A A j ⋅∇∇+
-=μεωω
令μεω22=k 得 ]1[2A k
A j E ⋅∇∇+-=ω 5.20如图所示，两个厚度为d ，间距为b 的平行导体长板。

导体板宽度为a )(b a >>，板上恒定电流为I 构成回路，电压为V 。

（1） 导体板近似看作理想导体，忽略边缘效应。

求穿过0=z 端面的功率。

（2） 证明流进电导率为σ的单位长度导体板中的功率正好等于欧姆定律计算出的单位
长度导体板的损耗功率。

题5.20图
解：（1）导体板近似看作理想导体，忽略边缘效应，导体板之间的电场强度为
b V y E ˆ= a I z J S ˆ= ，a I x y J H ˆˆ-=⨯= ab VI z H E S ˆ=⨯= 穿过0=z 端面的功率为 VI dxdy z
S P ⎰⎰=⋅=ˆ （3） 电导率为σ的导体中的电流密度为
ad I z J ˆ= 由E J σ=，导体中的电场为 ad
I z E σˆ= 流进电导率为σ的单位长度导体板中的功率为
12
12201
0)ˆ(R I V I ad I dzdx y H E P a ===-⋅⨯=⎰⎰σσ 式中1R 为宽厚为d a ⨯的单位长度导体板的电阻。