全国百强名校“领军考试”2020-2021学年高二上学期11月联考试题 数学(理) Word版含解析
2024学年浙江强基联盟高二数学上学期11月联考试卷附答案解析
2024学年浙江强基联盟高二数学上学期11月联考试卷考生注意：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若集合{}{}1,2,3,4,5,2,4,6,8A B ==，则A B ⋂=（）A.{}3,4 B.{}2,4,6 C.{}1,3,5 D.{}2,42.如果椭圆的方程是22142x y +=，那么它的焦点坐标是（）A.()2,0± B.()0,2± C.()D.(0,3.已知点()(),1,2,3P a Q --，若5PQ =，则a =（）A.1B.5- C.1或5- D.1-或54.已知圆221:4C x y +=和圆222:86160C x y x y +--+=，则1C 与2C 的位置关系是（）A.外切B.内切C.相交D.外离5.在正方体1111ABCD A B C D -中，以下说法正确的是（）A.若E 为1DD 的中点，则1BD ∥平面AECB.若E 为1DD 的中点，则1BD ⊥平面11A ECC.若E 为11C D 的中点，则1AE BD ⊥D.若E 为11C D 的中点，则CE ∥1BD 6.已知3x，则函数()11f x x x =+-的最小值是（）A.92B.72C.3D.27.在平行六面体1111ABCD A B C D -中，若直线AC 与BD 的交点为M .设11111,,A B a A D b A A c === ，则下列向量中与1B M共线的向量是（）A.22a b c-+-B.2a b c+-C.22a b c --D.2a b c-- 8.如果函数()()()4,2024,9,2024,x x f x f f x x -⎧⎪=⎨+<⎪⎩那么()10f =（）A.2020B.2021C.2023D.2025二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数34i z =-，以下说法正确的是（）A.z 的实部是3B.5z =C.34iz =+D.z 在复平面内对应的点在第一象限10.抛掷一颗质地均匀的骰子，记随机事件i A =“点数为i ”，其中1,2,3,4i =，则以下说法正确的是（）A.若随机事件1B =“点数不大于3”，则1A 与1B 互斥B.若随机事件2B =“点数为偶数”，则22A B ⊆C.若随机事件3B =“点数不大于2”，则3A 与3B 对立D.若随机事件4B =“点数为奇数”，则34A A ⋃与4B 相互独立11.棱长为1的正四面体ABCD 的内切球球心为O ，点P 是该内切球球面上的动点，则以下说法正确的是（）A.记直线AO 与直线AB 的夹角是α，则cos 3α=B.记直线AO 与平面ABC 的夹角是β，则22sin 3β=C.记(),BP xBC yBD x y --∈R 的最小值为n，则0,6n ⎡∈⎢⎣⎦D.记AP 在BC 上的投影向量为BC m BC，则,1212m ⎡∈-⎢⎣⎦三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.点()2,1A 到直线:230l x y --=的距离是__________.13.已知圆锥的侧面展开图是圆心角为2π3，弧长为2π的扇形，则该圆锥的体积是__________.14.设O 是坐标原点，1F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点，椭圆上的点P 关于O 的对称点是Q ，若1120,PF Q PQ ∠==，则该椭圆的离心率是__________.四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15.（13分）已知圆22:(4)25C x y -+=，点()1,4P ，且直线l 经过点P .（1）若l 与C 相切，求l 的方程；（2）若l 的倾斜角为3π4，求l 被圆C 截得的弦长.16.（15分）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，记ABC 的面积为S ，已知2A B C +=.（1）若2c =，求ABC 外接圆的半径；（2）求()()Sa b c a b c +++-的值.17.（15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD 是正三角形，四边形ABCD 为等腰梯形，且有222,,AD BC AB CD PB PC E F =====分别是,AD BC 的中点，动点Q 在PF 上.（1）证明：平面PEF ⊥平面PBC ；（2）当EQ PF ⊥时，求平面QAB 与平面QCD 所成角的余弦值.18.（17分）在平面直角坐标系中，已知O 是坐标原点，点()()2,0,2,0A B -，直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是14-.记点M 的轨迹是曲线C ，点()()000,0D x y y >是曲线C 上的一点.（1）求曲线C 的方程；（2）若01x =，直线l 过点D 与曲线C 的另一个交点为E ，求ODE 面积的最大值；（3）过点)F 作直线交曲线C 于,P Q 两点，且OD PQ ⊥，证明：211||PQ OD +为定值.19.（17分）在平面直角坐标系xOy 中，我们可以采用公式,x ax by c y mx ny p =++⎧⎨=++⎩''（其中,,,,,a b c m n p 为常数），将点(),P x y 变换成点(),P x y '''，我们称该变换为线性变换，上式为坐标变换公式.常见的线性变换有平移变换和旋转变换.（1）将点(),P x y 向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到点(),P x y '''，求该变换的坐标变换公式，并求将椭圆22143x y +=向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得新椭圆的方程；（2）将点(),P x y 绕原点逆时针旋转π4后，得到点(),P x y '''，求上述变换的坐标变换公式，并求将椭圆22143x y +=绕原点逆时针旋转π4后，所得新椭圆的方程；（3）若点(),P x y 满足22220x xy y x y ++++-=，证明：点(),P x y 的轨迹是椭圆.浙江强基联盟2024年11月高二联考数学卷参考答案与评分标准1.D {}2,4A B ⋂=，故选D.2.C 由2222c a b =-=，则它的焦点坐标是()，故选C.3.C 由两点间的距离公式可得222||(2)(13)25PQ a =+++=，解得1a =或5-，选C.4.A 由222:(4)(3)9C x y -+-=，可得1C 与2C 的圆心距是5，又125r r +=，所以1C 与2C 外切，故选A.5.A 如图所示，EF ∥1BD ，则有1BD ∥平面AEC ，故选A.6.B令()12x t t -= ，则()()11,f t t f t t=++在[)2,∞+单调递增，所以()f t 的最小值是()722f =，故选B.7.C由空间向量的线性运算可得()()1111111111111122222B M B B BM A A B D c A D A B c b a a b c =+=+=+-=+-=-++.选项D 中，112222a b c a b c ⎛⎫--=--++ ⎪⎝⎭，与1B M 共线，故选D.8.B记()()()()()11,n n fx f f x f x f x +==，根据()f x 定义可得()()()()()2322422510192820172026f f f f f ===== ，考虑()()()()()20262022,2022203120272023f f f f f ====，()()()()()()()()2023203220282024,20242020,20202029f f f f f f f f =====()()()()()20252021,2021203020262022f f f f f =====，所以5f （2022）=()()()()43220232024202020212022ff f f ====，所以()2022n f 周期为5，取值分别是22522442023,2024,2020,2021,2022(2026)(2022)(2022)2021f f f ⋅===，故选B.9.ABC34i z =-，则z 的实部是3，故A正确；5z ==，B 正确；34i,C z =+正确，z 在复平面内对应的点的坐标是()3,4-，在第四象限，故D 错误.故选ABC.10.BD1B =“点数为1,2,3”，1A =“点数为1”，则11A B ⊆，则1A 与1B 不互斥，A 错误；2B =“点数为2,4,6，2A =”点数为2“，则22A B ⊆，B 正确；3B =”点数为31,2",A =“点数为3”，A B ⋃=“点数为1,2,3”，不是全集，故C 错误；4B =“点数为1,3,5”，34A A ⋃=“点数为3，4”，则()()3443416P A A B P A A ⎡⎤⋃==⋃⎣⎦.()41132P B =⨯，故D 正确.故选BD.11.ACD如图，设内切球的半径为r，易得4,cos ,A 33AH AH r BAO AB α∠α=====正确；直线AO 与平面ABC 的夹角是β，则1sin 3OH AO β==，B 错误；令xBC yBD BQ += ，则Q 是平面BCD 内一动点，BP xBC yBD BP BQ PQ --=-=，即球面上的点到平面BCD 上点之间的距离，最小值n 表示球面上的点到平面BCD 的距离，[]0,2n r ∈，即60,6n ⎡∈⎢⎣⎦，C 正确；点A 在线段BC 上的投影为线段BC 的中心E ，点P 在线段BC 上的投影点0P 位于点E 的左侧或右侧，且0EP 的最大值等于612r =，则66,1212m ⎡∈-⎢⎣⎦，D 选项正确.故选ACD.12.5由点到直线的距离公式5d ==.13.32πl R α==，则圆锥的母线长是3R =，由2π2πl r ==，得圆锥底面半径1r =，则h ==，由圆锥的体积公式可得211ππ333V Sh r h ===.14.12由1120,PF Q PQ ∠==，可得1260,2F PF PO ∠==.【法一】则由椭圆的定义不妨设12,2PF x PF a x ==-，由余弦定理和中线长公式得()()2222222212(2)2||,(2)22cos60x a x OF OP F F x a x x a x ⎧+-=+⎪⎨⎪=+---⎩｡即2222222222515242,688,223644,x ax c a c a c a x ax c a ⎧-=-∴-=-⎪⎨⎪-=-⎩得22122c a =，则211,42e e ==，【法二】设()12221200Δ0,,tan23F PF F PF P x y S b b cy ∠===，220022222001,3,4x y a b x y a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 即22220242202,33,34b x a a c b x a c ⎧+⋅=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩化简得4222222223343343b a b b a a a c c -+=+=，即2234b a =，得222111,42b e e a =-==.15.解：（1）因为点()1,4P 在圆上，则直线CP 的斜率为43-，则直线l 的斜率是34，可得直线l 的方程是()3414y x -=-，即34130x y -+=.（2）由于直线l 的倾斜角是3π4，则直线l 的斜率是1-，可得:50l x y +-=，则圆心C 到直线l的距离是2d =，则直线l 被圆C截得的弦长是16.解：（1）由2A B C +=，得π3C =，由2c =，可得2sin c R C ==R ABC ∴=∴.（2）()()221sin 2()ab CS a b c a b c a b c =+++-+-2221sin 22ab C a b ab c =⋅++-1sin 22cos 2ab C ab C ab =⋅+1sin 22cos 212C C =⋅=+.17.解：（1）因为四边形ABCD 等腰梯形，,E F 分别为,AD BC 的中点，所以BC EF ⊥，又因为PB PC =，所以PF BC ⊥，又因为,,EF PF F EF PF PEF ⋂=⊂，所以BC ⊥平面PEF ，而BC ⊂平面PBC ，所以平面PEF ⊥平面PBC .（2）当EQ PF ⊥时.假设2BC =，所以EF PF PE ===得到222EF PE PF +=，所以PE EF ⊥.如图建立空间直角坐标系，得()()()2,0,0,,1,A B C -，()2,0,0,0,55D Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面QAB 的一个法向量(),,n x y z =，(),2,55AB AQ ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭.则0,0,0,20,55x AB n AQ n x y z ⎧⎧-+=⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=-++=⎪⎪⎩⎩取1y =得)n =.设平面QCD 的一个法向量()()4323,,,1,,2,,55m a b c DC DQ ⎛=== ⎝⎭0,0,0,20,55a DC m DQ m a ⎧⎧+=⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=++=⎪⎪⎩⎩取1b =-得)1,3m =--.设平面QAB 与平面PCD 所成角为θ，则7cos cos ,13m n m n m n θ⋅=<>==，所以平面QAB 与平面QCD 所成角的余弦值为713.18.解：（1）设点(),M x y ，所以直线AM 的斜率为()22AM yk x x =≠-+，同理直线BM 的斜率为()22BMy k x x =≠-，由已知可得()12224y y x x x ⋅=-≠±+-，化简得点M 的轨迹C 的方程是()22124x y x +=≠±.（2）计算得1,2D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则直线:2OD y x =，当直线l '∥OD 且与C 相切，切点为E ，此时ODE 的面积取最大值，设直线:2l y x m =+'，联立方程组22,244,y x m x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩得2210x m ++-=，()222Δ34140m m m =--=-=，解得2m =±，直线l '与OD之间的距离477d ==，所以1112227ODE S OD d ==⨯= .（2）由题知直线PQ 的斜率存在且不为0，设直线):0PQ x ty t =+≠，设()()1122,,,P x y Q x y ，联立方程组2244,x ty x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得()22410t y ++-=，则122122,41,4y y t y y t ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩所以()2122414t PQ y t +=-=+，因为OD PQ ⊥，则直线:OD y tx =-，联立方程组22,44,y tx x y =-⎧⎨+=⎩得()22144t x +=，所以D OD ==，得()22241||14t OD t +=+，所以()()22222114145||44141t t PQ OD t t +++=+=++，为定值.19.解：（1）由平移可得()1,2PP '=- ，所以1,2.x x y y =-⎧⎨=+⎩''此即为坐标变换公式.设22143x y +=上任一点(),P x y ，向左平移1个单位，向上平移2个单位.得到的新的椭圆上一点(),P x y '''，则1,2,x x y y =-⎧⎨=+⎩''所以1,2,x x y y =+⎧⎨=-''⎩所以()()2212143x y '+-+='.所以新椭圆的方程为22(1)(2)143x y +-+=.（2）设将x 轴逆时针转到OP 的角为θ点，点(),P x y 绕原点逆时针旋转α得到点(),P x y '''由三角函数可得()()cos ,cos ,sin ,sin ,x OP x OP y OP y OP θθαθθα⎧⎧==+⎪⎪⎨⎨==+⎪⎪⎩'⎩'当π4α=时，,22,22x x y y x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩''此即为坐标变换式.设将22143x y +=上任一点(),P x y ，绕原点逆时针旋转π4后，得到的新的椭圆上一点(),P x y '''.则,2222,22x x y y x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩''得()(),22,2x x y y y x ⎪'''⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎩'所以()()22186x y y x '-'+'+='，即22727240x x y y -+'-='''.所以新的椭圆方程为22727240x xy y -+-=.（3）利用待定系数法或者猜测均可，得到π4α=.先把点(),P x y 绕原点逆时针旋转π4，得到点(),P x y '''，此时()(),22,2x x y y y x ⎪'''⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎩'所以()()())()2222111202222x y y x y x x y y x '''''-'++-+++-''+-=''化简得2213202222x y x y +++-=''''.利用配方法或者猜测均可，得到左右平移的单位.把点(),P x y '''向右平移2，向上平移2，得到点(),P x y ''''''，则,2,2x x y y '⎪'⎧=-⎪⎪⎨''''⎪=-⎩所以22132022222222x y x y ⎛⎫⎛-+-+-+--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭''''''⎝⎭⎭'⎝'.化简得22162x y +=''''，是焦点在x 轴上的椭圆.所以点(),P x y 的轨迹是椭。
2020-2021学年河南省全国百强校“领军考试”高二上学期12月联考数学(文)试题(解析版)
2020-2021学年河南省全国百强校“领军考试”高二上学期12月联考数学（文）试题一、单选题1．已知实数0a b >>，则下列结论正确的是（ ） A ．22ac bc > B ．11a b< C ．2a ab < D ．2ab b <【答案】B【分析】由不等式的性质判断各选项． 【详解】因为0a b >>，当0c时，A 不成立，因为110b aa b ab--=<，故B 正确；当2()0a ab a a b -=->时，C 错误；2()0=->-b a b ab b ，故D 错， 故选：B.2．已知两个不重合的平面α，β，若直线//l α，则“//l β”是“//αβ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】根据充分必要条件的定义，及线面、面面位置关系判断．【详解】根据面面平行的判定定理，可知因为//l α，//l β推不出//αβ，反之，当//αβ，//l α，则l 与β的位置关系也不确定，所以“//l β”是“//αβ”的既不充分不必要条件.故选D ．3．已知正项等比数列{}n a ，298a a ⋅=，则52a =，则公比q 为（ ） A ．12B ．2C ．14D ．4【答案】B【分析】由等比数列性质求得56a a ，从而可得出6a ，再由等比数列定义可得公比q ． 【详解】因为数列{}n a 为正项等比数列，因为298a a ⋅=，所以29568a a a a ⋅=⋅=， 而52a =，所以64a =，所以公比2q ，故选：B.4．已知ABC中，bc=，cos2C=，则B等于（）A．60︒B．120︒C．60︒或120︒D．30或150︒【答案】C【分析】由条件可得1sin2C=，进一步可求出角C，由根据正弦定理可得sisnin Bb Cc==，结合条件可得答案.【详解】依题意，cos C=，所以1sin2C=，由0Cπ<<,所以6Cπ=由正弦定理可得，又bc=sisnin Bb Cc==又0Bπ<<，b a>，B A∴>，60B∴=︒或120B=︒.故选：C.5．已知双曲线22221(0,0)y xa ba b-=>>的一条渐近线方程为y x=，且焦距为4，则双曲线焦点到渐近线的距离为（）AB．1CD．2【答案】A【分析】根据已知条件求得焦点坐标，结合点到直线距离公式求得正确结果.【详解】双曲线22221(0,0)y xa ba b-=>>的焦距为4，所以焦点为(0,2)，所以双曲线焦点到渐近线0x y-==.故选：A6．下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若ln ln0a b+=，则1a b⋅=”的逆命题为真命题B．命题“若1a>时，则函数21,0(),0xx ax xf xa x⎧+-≥=⎨<⎩在R上单调递增”是真命题C．A，B是随机事件，命题：“若()()()P A P B P A B+=⋃，则A，B是互斥事件”的否定是：“若()()()P A P B P A B+≠⋃，则A，B不是互斥事件”D．命题“到两个定点的距离之和为定值的点的轨迹是椭圆”的逆命题是真命题【答案】D【分析】写出逆命题，即可判断A 的正误；根据分段函数单调性的求法，在x =0左侧，0()1f x a →=，又(0)1f =-，可判断B 的正误；写出否命题，即可判断C 的正误；写出逆命题，根据椭圆的定义，即可判断D 的正误，即可得答案.【详解】对于A ：命题“若ln ln 0a b +=，则1a b ⋅=”的逆命题为：“若1a b ⋅=，则ln ln 0a b +=”，若,0a b <时，不成立，所以是假命题，故A 错误；对于B ：因为1a >，当x =0时，(0)1f =-，0x -→时，0()1f x a →=， 因为01a >-，所以该命题是假命题，故B 错误；对于C ：A ，B 是随机事件，命题：“若()()()P A P B P A B +=⋃，则A ，B 是互斥事件”的否定是：“若()()()P A P B P A B +=⋃，则A ，B 不是互斥事件”，故C 错误； 对于D ：命题“到两个定点的距离之和为定值的点的轨迹是椭圆”的逆命题为“椭圆上的点到两个定点的距离之和为定值”，根据椭圆的定义，可得其为真命题，故D 正确. 故选：D.7．已知等差数列{}n a 的前n 和为n S ，若1252,15q a S ⋅==，则4a =（ ） A ．3 B ．4或13C ．4或132D ．3或132【答案】C【分析】利用已知条件求得1,a d ，由此求得4a .【详解】因为等差数列{}n a 的前n 和为n S ，125215a a S ⋅=⎧⎨=⎩，即()111251015a a d a d ⎧+=⎨+=⎩，解之得11a =或14a =-，当11a =，所以1d =，则44a =；当14a =-时，72d =，此时4132a =. 故选：C8．设实数x ，y 满足约束条件20202x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =-的最大值为（ ）A ．2B ．2-C ．4-D ．6-【答案】A【分析】首先画出可行域，再利用z 的几何意义求最大值.【详解】由约束条件20202x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，作出可行域如图：由目标函数2z x y =-变形为122z y x =-， 当直线322zy x =-经过图中(2,0)时，z 最大，所以max 2202z =-⨯=. 故选：A . 9．函数221y x=- ） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】C【分析】先化简函数为22211y x x=--，再进行换元21t x =-t 的范围，根据对勾函数的单调性求42y t t=+的最小值即得结果. 【详解】因为22222221421111x y x x x x -+===-+---()1,1-.令21t x =-(0,1]t ∈，4222y t t t t ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，验证可知利用基本不等式求最值时等号不成立. 故根据对勾函数2y t t =+在(2上单调递减，可知22y t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在(0,1]t ∈上递减，所以1t =时，()min 2126y =⨯+=，此时0x =，故函数221y x=-6.故选：C.【点睛】易错点点睛：本题易错点在于求函数42y t t=+最小值时直接使用基本不等式，实际上利用基本不等式求最值时一定要确定取等号条件成立，而本题不成立，不能使用基本不等式求最小值. 10．已知一元二次不等式220x mx +->的解集为{2x x <-或}1x >，则不等式220x x m -++<的解集为（ ）A ．()2,1-B ．()(),21,-∞-⋃+∞C ．1,12⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．()1,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】根据一元二次不等式的解集与方程的关系求出m 的值，再利用一元二次不等式的解法解不等式220x x m -++<，即可得解.【详解】由题意可知，一元二次方程220x mx +-=的两根分别为2-、1， 由韦达定理可得21m -+=-，解得1m =. 所以不等式220x x m -++<即2210x x -++<， 整理得2210x x -->，解得12x <-或1x >，故原不等式的解集为()1,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭.故选：D.11．已知a ∈R ，函数225,0()3,0x x a x f x x x a x ⎧++-≤=⎨-+->⎩，若||()0x f x -≥在[2,)x ∈-+∞恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．[1,5] B ．[1,6] C ．[6,)+∞ D ．(,1)-∞【答案】A【分析】利用分离参数法分别研究0x >和20x -≤≤时不等式||()0x f x -≥恒成立，得到参数范围，再求交集即得结果.【详解】依题意可知：①当0x >时，2()3f x x x a =-+-，||()0x f x -≥即23x x a x -+-≤，整理可得：22a x x ≥-+，结合二次函数的性质可知：当1x =时，()2max21x x -+=，由恒成立的条件可知：()2max2(0)a x x x ≥-+>，故需1a ≥；②当20x -≤≤时，2()5f x x x a =++-，||()0x f x -≥即：25x x a x ++-≤-， 整理可得：225a x x ≤--+，结合二次函数的性质可知：当2x =-或0x =时，()2min255x x --+=，由恒成立的条件可知：()2min25(20)a x x x ≤--+-≤≤，则需5a ≤；综合①②可得a 的取值范围是[1,5]， 故选：A.【点睛】方法点睛：由不等式恒成立（或能成立）求参数时，一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构成函数，利用分类讨论确定函数的最值，即可得出结果.12．已知直线y x m =+与抛物线2:4xC y =交于A ，B 两点，与y 轴交于点D ，若点A 在第二象限，且34OA OB k k ⋅=-时，OAD △外接圆半径为（ ）A．BCD【答案】C【分析】将直线方程代入抛物线方程消元，运用韦达定理及已知及34OA OB k k ⋅=-可解得m ，进一步可求解.【详解】因为抛物线2:4x C y =，设211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 联立方程组：24x y y x m ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，整理得2440x x m --=， 所以124x x +=，124x x m =-，又因为34OA OBk k ⋅=-，即22121230164x x x x +=，所以3m =或0m =(舍)，3m =代入方程2440x x m --= 得24120x x --=，解得2x =-或6x =因为点A 在第二象限，所以(2,1)A -，所以||5OA =， 在OAD △中，4ADO π∠=，由正弦定理可得，OAD △外接圆半径为151022sin 4π⨯=.故选:C.【点睛】关键点睛：代入消元，运用韦达定理建立方程，求出参数的值.二、填空题13．命题q ：存在[1,1]x ∈-，使得不等式230x x --≤成立的否定是___________. 【答案】任意[1,1]x ∈-，不等式230x x -->成立 【分析】根据存在性命题的否定的定义得解.【详解】由全称命题和特称命题的否定可知，命题q ：存在[1,1]x ∈-，使得不等式230x x --≤的否定是:任意[1,1]x ∈-，不等式230x x -->成立.故答案为: 任意[1,1]x ∈-，不等式230x x -->成立.14．如图，已知点P 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上一点，F 为C 的左焦点，若||||5OP OF ==，5cos 5PFO ∠=，则椭圆C 的方程为___________.【答案】22194x y +=【分析】由条件解OPF △可得||1EF =，||2OE =，再结合中位线及椭圆定义即可求解.【详解】由题意可得，该椭圆的半焦距5c =，取椭圆的右焦点1(5,0)F 以及PF 中点E ，连接1PF ，如图，因为||||5OP OF ==5cos PFO ∠=||1EF =，||2OE =， 所以14PF =，||2FP =，所以12||6a PF PF =+=，即3a =， 所以2224b a c =-=，所以椭圆方程为22194x y +=.故答案为：22194x y +=15．函数()()22log 23f x x ax a =-++在[]1,2单调递减，则a 的范围是___________.【答案】4,17⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】分析出内层函数223u x ax a =-++在区间[]1,2上的减函数，且min 0u >，可得出关于实数a 的不等式组，进而可解得实数a 的取值范围.【详解】令223u x ax a =-++，二次函数223u x ax a =-++的图象开口向下，对称轴为直线x a =.由于函数()()22log 23f x x ax a =-++在区间[]1,2上为减函数，外层函数2log y u =为增函数，则内层函数223u x ax a =-++在区间[]1,2上为减函数，所以，1a ≤，且有min 470u a =-+>，解得47a >.综上所述，实数a 的取值范围是4,17⎛⎤⎥⎝⎦.故答案为：4,17⎛⎤ ⎥⎝⎦.【点睛】关键点点睛：解本题的关键点在于以下两点：（1）利用复合函数的单调性“同增异减”分析出内层函数和外层函数的单调性； （2）不要忽略了真数要恒大于零.16．已知数列{}n a 的通项公式为1122n n a -=++⋅⋅⋅+，则1210210a a a ++⋅⋅⋅+=___________.【答案】18379【分析】先利用等比数列前n 项和公式计算n a ，再代入化简1210210a a a ++⋅⋅⋅+，结合错位相减法和等差数列前n 项和公式计算即得结果. 【详解】依题意，1122n n a -=++⋅⋅⋅+，所以122112nn n a -==--，所以()()()21012102101212211021a a a ++⋅⋅⋅+=⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+⨯-()2310122232...102123...10=⨯+⨯+⨯++⨯-++++，设2310122232...102S =⨯+⨯+⨯++⨯， 则234112122232...102S =⨯+⨯+⨯++⨯， 两式作差得，()102113101111221222 (210210229221)S ⨯--=++++-⨯=-⨯=-⨯--，故210111222102922S =⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯=⨯+，又10(101)123 (10552)⨯+++++==，所以11121021092255a a a +++=⨯+-9204825518379=⨯+-=.故答案为：18379.【点睛】方法点睛：数列求和的方法的（1）公式法：利用等差数列和等比数列前n 项和公式进行计算即可；（2）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法；（3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（4）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（5）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（6）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解.三、解答题17．设命题p ：任意[1,)x ∈+∞，不等式2530x m m -+-+<恒成立. （1）若p 为假命题，求实数m 的取值范围；（2）在命题p 为真的条件下，命题q ：“任意[2,1]x ∈-，不等式22230x mx m --+>恒成立”是否一定为真命题？试说明理由.【答案】（1）[]1,4-；（2）p 为真时，得不到命题q 一定为真命题，理由见解析. 【分析】（1）先根据一次函数的单调性求出p 为真命题时实数m 的取值范围，再求补集即可；（2）分类讨论，利用二次函数的最值求出“任意[2,1]x ∈-，不等式22230x mx m --+>恒成立”时m 的取值范围，再根据推出关系判断即可.【详解】（1）对于命题p ：对任意[1,)x ∈+∞，不等式2530x m m -+-+<恒成立， 因为函数253y x m m =-+-+在[1,)x ∈+∞上单调递减， 所以有1x =时，2max 430y m m =-+<， 解之得(,1)(4,)m ∈-∞-⋃+∞，则p 为假命题时，实数m 的取值范围[]1,4-（2）对任意的[2,1]x ∈-，不等式22230x mx m --+>恒成立， 即二次函数2223y x mx m =--+在[2,1]x ∈-上的最小值大于0即可，若2m ≤-，则2x =-时min 44230y m m =+-+>，解得m ∈∅； 若m 1≥，则1x =时min 12230y m m =--+>，解得1m ；若21m -<<，则x m =时22min 2320y m m m =-+->，解得m ∈∅，综上可得1m ，即命题q 为真时1m ， 而p 为真时(,1)(4,)m ∈-∞-⋃+∞， 因为(,1)(4,)m ∈-∞-⋃+∞不能推出1m ， 所以p 为真时，得不到命题q 一定为真命题. 【点睛】方法点睛：二次函数2y f xax bx c (0)a >在区间[],m n 上的最小值的讨论方法：(1) 当2b m a -≤时，()()min ;f x f m =(2) 当2bn a-≥时，()()min;f x f n =(3)2bm n a <-< 时，()min ()2b f x f a=-.18．已知关于x 的不等式222ax x ax -+<. （1）当1a =时，解不等式222ax x ax -+<； （2）当0a ≠时，解等式222ax x ax -+≥. 【答案】（1）(1,2)；（2）答案见解析.【分析】（1）1a =时化简不等式，直接解不含参数的一元二次不等式即得结果； （2）分别讨论0a <时、02a <<时、2a ≥时不等式的解集即可.【详解】解：（1）因为1a =，不等式化简为2320x x -+<，解得12x <<， 所以当1a =时，不等式222ax x ax -+<的解集为(1,2)；（2）令222ax x ax -+≥等价于2(2)20ax a x -++≥，对应方程的解为2x a=或1x =，当0a <时，21a <，对应二次函数开口向下，故2(2)20ax a x -++≥的解集是2,1a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；当02a <<时，21>a，对应二次函数开口向上，故2(2)20ax a x -++≥的解集是2(,1],a ⎫⎡-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭；当2a ≥时，21a<，对应二次函数开口向上，故2(2)20ax a x -++≥的解集是2,[1,)a ⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦ 综上所述：当0a <时，不等式的解集是2,1a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；当02a <<时，不等式的解集是2(,1],a ⎫⎡-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭；当2a ≥时，不等式的解集是2,[1,)a ⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦.【点睛】易错点睛：解含参数的一元二次不等式时，要对二次函数的开口方向、根的分布情况进行讨论，才能避免错误.19．己知a ､b ､c 为正数.（1）若2a b ab +=，证明：3a b +≥+（21=，证明：222a b c ++≥.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）利用“1”的代换的方法，结合基本不等式证得不等式成立. （2）首先证得()22212222ab bc ac a b c ≥++++，然后证得()12222ab bc ac ++≥，从而证得不等式成立. 【详解】（1）因为2a b ab +=，变形得211b a+=所以21()a b a b b a ⎫⎛+=+⋅+= ⎪⎝⎭2213ab b a +++≥+当且仅当2a bb a=，即2b ==+. （2）()22222222212a b c a b c a b c ++=+++++1(222)2ab bc ac ≥++当且仅当19a b c ===时等号成立.1(222)2ab bc ac ++=1()2ab bc ab ac bc ac +++++ 1(2222≥++==当且仅当19a b c ===时等号成立.所以222 a b c ++≥当且仅当19a b c ===时等号成立.【点睛】利用基本不等式时，要注意一正二定三相等，正是正数的意思，定是定值的意思，相等是等号成立的条件.20．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos 20b A c a -+=. （1）求角B ； （2）若b =ABC 为锐角三角形，求ABC 的周长的范围.【答案】（1）3B π=；（2）(3.【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，化简求得cos B ，进而求得B .（2）利用正弦定理将a c +表示为角的形式，结合三角函数值域的求法求得a c +的取值范围，由此求得三角形ABC 的周长的取值范围.【详解】（1）ABC 中，由2cos 20b A c a -+=，得1sin cos sin sin 2B A AC +=， 所以1sin cos sin sin()2B A A A B +=+， 1sin cos sin 2B A A +=sin cos cos sin A B A B +，1sin sin cos 2A A B =，而sin 0A ≠，所以1cos 2B =，即3B π=（2）在ABC中，b =3B π=，由正弦定理可得，2sin sin sin b a c B A C=== 所以2sin a A =，2sin c C =，因为ABC 为锐角三角形，3B π=，22B C C ππ⎧+>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，所以62C ππ<<，所以22sin 2sin 3a c C C π⎫⎛+=-+⎪⎝⎭且62C ππ<<，所以22sin 2sin 3a c C C π⎫⎛+=-+⎪⎝⎭12sin 2sin 22C C C ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭3sin C C =+6C π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2363C πππ<+<，sin 62C π⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，(3,6C π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以3a c <+≤所以ABC 的周长a b c ++的范围为(3+.【点睛】在解三角形过程中，要注意利用正弦定理进行边角互化，结合三角恒等变换来求解.21．在数列{}n a 中，112a =，113nn n a a a +=+.（1）求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式； （2）若(32)n n n b a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）131n a n =-；（2）2(32)nn S n =+. 【分析】（1）由已知递推关系得1113n na a +-=，从而得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以3为公差的等差数列，由此可得通项公式1na ；（2）由（1）求出n b ，然后由裂项相消法求和n S ．【详解】本题考查数列的综合应用，主要考查数列求通项，数列求和，裂项相消法思想等.是较难题. （1）由113n n na a a +=+取倒数可得1113n n a a +-=， 故数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以3为公差的等差数列， 又112a =，所以111(1)23(1)31n n d n n a a =+-=+-=-， 则131n a n =-； （2）由（1）132(31)(32)n n a b n n n ==+-+11133132n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，111111111325588113132n S n n ⎫⎛=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪-+⎝⎭11132322(32)n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭．【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，裂项相消法求和．数列求和的常用方法： 设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和； （2）错位相减法：数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法； （3）裂项相消法；数列1{}n n ka a +（k 为常数，0n a ≠）的前n 项和用裂项相消法； （4）分组（并项）求和法：数列{}n n pa qb +用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；（5）倒序相加法：满足m n m a a A -+=（A 为常数）的数列，需用倒序相加法求和．22．已知椭圆2221(20)4x y b b +=>>的离心率e 2=. （1）求椭圆的方程；（2）已知2P ⎭，直线12y x m =+(不过点P )与椭圆相交于A ，B 两点，PQ 平分APB ∠且与椭圆交于另一点Q .当AP BP ⊥时，求四边形APBQ 的面积.【答案】（1）2214x y +=；（2）85. 【分析】（1）根据2a =，由e 2==求得b 即可. （2）联立方程组221412x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，根据AP BP ⊥，由1AP BP k k ⋅=-，结合韦达定理解得m ，从而得到A ，B 的坐标，||AB 的长度及直线AP 和BP 的倾斜角分别为45︒，135︒，再由PQ 平分APB ∠得到PQ的方程x =进而求得直线AB 与PQ 的夹角θ，由1||||sin 2APBQ S AB PQ θ=⋅求解. 【详解】（1）因为2a =，又e 2==， 所以1b =，故椭圆的方程为2214x y +=.（2）设()()1122,,,A x y B x y ，联立方程组221412x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得2224440x mx m -+-=，由根与系数的关系得：212122,22x x m x x m +=-⋅=- ， 则2121211,22y y m y y m +=⋅=-，因为AP BP ⊥，所以1AP BPk k ⋅=-121y y --=-，即))()12121212122y y y y x x x x ⋅++=-⋅-++ ， 解得325m，510A ⎛∴-- ⎝⎭，B ⎝⎭，所以||5AB ==， 则直线AP 和BP 的倾斜角分别为45︒，135︒， 因为A P B x x x <<，故PQ的方程只能是x ，设直线l 的倾斜角为α，与PQ 所成角为θ，故90αθ+=︒， 而1tan 2α=，故tan 2θ=，sin θ=∴||PQ = 故1||||sin 2APBQ S AB PQ θ=⋅1825==. 【点睛】方法点睛：1、解决直线与曲线的位置关系的相关问题，往往先把直线方程与曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．2、解决直线与曲线的弦长时，往往设直线与曲线的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB==(k为直线斜率)．注意：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式大于零．。
全国百强名校“领军考试”2020-2021学年高二下学期联考理科数学试题(wd无答案)
全国百强名校“领军考试”2020-2021学年高二下学期联考理科数学试题一、单选题(★) 1. 已知命题，关于的方程有实根”，则为（）A．，关于的方程有实根B．，关于的方程有实根C．，关于的方程没有实根D．，关于的方程没有实根(★★) 2. 已知为虚数单位，若，则（）A．B．C．D．(★★) 3. 已知集合，若，则的取值范围是（）A．B．C．D．(★★) 4. 已知双曲线上一点到双曲线的两条渐近线的距离的积为，则双曲线的实轴长为（）A．B．C．D．(★★) 5. 若，且，则（）A．B．C．D．(★★★) 6. 已知函数，满足，则（）A．B．C．D．(★★) 7. 已知向量，均为单位向量，且，则（）A．B．C．D．(★★★) 8. 若，且不等式的解集中有且仅有个整数.则的取值范围是（）A．B．C．D．(★★) 9. 已知菱形中, ，把沿折起，使点到达点处，且，则三棱锥的体积为（）A．B．C．D．(★★★)10. 已知函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则（）A．是奇函数B．图象关于直线对称C．在上是增函数D．图象关于直线对称(★★) 11. 我们把函数称为狄利克雷函数，关于狄利克雷函数给出下列结论：① ；② D（ x+1）= D（ x）；③ ，④ ，其中正确命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4(★★★) 12. 已知椭圆的一个焦点为，一个顶点为，设，点是椭圆上的动点，若恒成立，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题(★★) 13. 的展开式中幂指数绝对值最小的项的系数为 ___________ .(★★★) 14. 已知的三边，，满足，且的面积为，则的值为 ___________ .(★★) 15. 随机变量满足，则 ___________ .(★★★) 16. 已知球内有个半径为的小球，则球的表面积的最小值为 ___________ .三、解答题(★★) 17. 已知数列是公比不为的等比数列，且成等差数列.（1）求；（2）设，求数列的前项的和(★★★) 18. 已知四棱锥中，三角形所在平面与正三角形 ABE所在平面垂直，四边形是菱形，.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.(★★★) 19. 受2020年春季疫情的影响，在线教育前所未有的广为人知，也迎来了加速发展的新机遇，下图为2016—2020年中国在线教育市场规模，设2016年—2020年对应的代码分别为，市场规模为(单位：亿元).（1）由图中数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数(系数精确到)加以说明；（2）建立关于的回归方程，并预测2021年中国在线教育市场规模.附注：参考数据：；，，；参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，.(★★★) 20. 已知点，分别是直线及抛物线：( )上的点，且的最小值为.（1）求抛物线的方程；（2）若直线与抛物线交于点，，线段中点为，判断轴上是否存在点，使得为定值，若存在，求出该定值，若不存在，说明理由.(★★★★) 21. 已知函数（1）讨论的单调性（2）当时，恒成立，求的取值范围.(★★★) 22. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程( 为参数).在以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的极坐标方程；（2）若射线( ，)与直线及曲线分别交于点，，且，求.(★★★) 23. 已知.（1）求不等式的解集；（2）若对任意实数恒成立，求证：.。
山东省顶级名校2020-2021学年高二上学期11月学分认定考试数学答案
所以原点 C 到直线的距离 d 1 CM 5 .
2
2
a 即
5 ，解得 a=
10
经验证满足条件．
22
2，
所以存在点 M ，使得四边形 CAMB ．
此时，直线为 2x 2y 10 0 或 2x 2y 10 0
22. 【解析】(1)设圆 O 的半径长为 r ，圆心到直线 x 3y 2 0 的距离为 d
（法一）
设 C 的圆心为 (1,t) ，则有 1 32 t 02 (1 0)2 t 32 , 解得 t 1．
则圆 C 的半径为 1 32 (1 0)2 5
所以圆 C 的方程为 (x 1)2 ( y 1)2 5.
（法二）
设圆的方程为 x2 y2 Dx Ey F 0 ，则
x3z 2
令 z 2 3 ，则 x 3 3 ， y 5 ，所以 n (3 3, 5, 2 3) ，
所以 cosm, n m n
23
3，
| m | | n | 1 27 25 12 4
所以平面 AEFG 与底面 ABCD 所成角的余弦值为 3 . 4
21.【解析】(1)曲线 y x2 2x 3 与 y 轴的交点为 (0, 3) ，与 x 轴的交点为 3, 0 , (1, 0).
因为与圆相切，所以 k 2 k 2 2 ， k2 1
化简得 k2 8k 7 0 ，解方程得 k1 1,或k2 7 所以反射光线方程分别为 x y 1 0，7x y+5 0
解得与
x
轴的交点为
1,
0
,
5 7
,
0
所以反射点横坐标的取值范围为
5 7
，1
18.【解析】（1）由已知设圆 C 的方程为 x a2 y2 a2
全国百强名校“领军考试”2020-2021学年高二上学期11月联考试题地理Word版含解析
2021－2021学年上学期全国百强名校“领军考试〞高二地理2021.11 考前须知：1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试题相应的位置。
2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
3.答复选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答复非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上。
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
一、选择题：此题共25个小题，每题2分，共计50分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
彝族传统的土掌房(如以下图)多是厚土胚墙的平屋顶建筑。
屋面户户相连，下家屋顶是上家的庭院，形成“楼上楼〞景观。
据此完成1～3题。
1.土掌房最突出的优点是A.保暖隔热B.抗震抗倒C.通风散热D.防水防潮2.土掌房屋面兼具的主要功能是A.集雨蓄水B.晾晒作物C.抵御外敌D.观景嘹望3.根据土掌房的特点可判断当地A.降水日数多B.地势起伏大C.水资源短缺D.土壤肥力高内蒙古S集团在乌兰布和沙漠中养殖奶牛，构建起以牧治沙，以沙种草，以草养牛，牛粪还田的沙草有机循环产业链。
据此完成4～6题。
4.与传统乳畜业比拟，沙漠中开展奶牛养殖的主要优势是A.人口众多，市场广B.远离城市，地价低C.环境清洁，病害少D.光照充足，生长快5.以下地区中适宜推广该养殖模式的是A.西藏B.河南C.云南D.宁夏6.推行该养殖模式后，当地A.产业实现升级换代B.生态环境得到改善C.经济效益大幅提升D.城市土地利用高效纳帕海是云南香格里拉的一个季节性的湖泊，某些季节，湖面会缩小甚至干涸变成大片草原，成为当地牧民放马牧牛的“天堂〞，每年也会有大量来自青藏高原的黑颈鹤到此越冬。
据此完成7～8题。
7.牧民无法在纳帕海湖区放牧的时间最可能是A.春季B.夏季C.秋季D.冬季8.与青藏高原相比，纳帕海成为黑颈鹤越冬地的主要优势是A.纬度和海拔低，水温更适宜B.水域面积广，生存空间大C.冬季枯水期，捕食更方便D.大型猛兽少，天敌威胁小石漠化主要是指岩溶(又称喀斯特)地区的一种土地退化的现象及过程，是目前云贵高原岩溶地区最为突出的生态环境问题之一，严重制约着该地区的可持续开展，加剧了该地区的贫困。
全国百强名校“领军考试”2020-2021学年高二上学期11月联考 英语试题 Word版含解析
全国百强名校2020－2021学年高二上学期“领军考试”英语2020.11 注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试题相应的位置。
2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上。
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
第一部分听力(共两节，满分30分)做题时，先将答案标在试卷上，录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节(共5小题；每小题1.5分，满分7.5分)听下面5段对话，每段对话后有一个小题。
从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
例: How much is the shirt?A. £19.15.B. £9.18.C. £9.15.答案是C。
1. Where will the speakers probably go?A. A garage.B. A petrol station.C. A parking lot.2. How much should the woman pay for two hats?A. ￥20.B. ￥96.C. ￥60.3. Which pet can be kept in the apartment?A. A turtle.B. A dog.C. A cat.4. What's the probable relationship between the speakers?A. Friends.B. Brother and sister.C. Classmates.5. When did the conversation take place?A. On Wednesday.B. On Friday.C. On Sunday.第二节(共15小题，每小题1.5分，满分22.5分)听下面5段对话或独白。
2020-2021学年高二数学上学期11月段考试题
2020-2021学年高二数学上学期11月段考试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2,4}A =，{1,3,5}B =，则()U C A B =∩（ ）A ．{1}B ．{3,5}C ．{1,3,5}D ．{2,3,4,5}2.已知点(1,1)A -，(2,)B t ，若向量(1,3)AB =，则实数t =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．-23.已知直线l 过点(1,1)，且与直线6540x y -+=平行，则l 的方程为（ ）A ．56110x y +-=B ．5610x y -+=C ．65110x y --=D ．6510x y --=4.已知角α的始边为x 轴的正半轴，点(1,3)是角α终边上的一点，则tan α=（ ）A ．-3B ．13- C.13D ．3 5.已知函数32,0,()log ,0,x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则1[()]3f f 的值是（ ） A ．1 B ．12C.-1 D ．-2 6.执行如图所示的程序框图，若输入1x =，则输出k 的值为（ ）A ．3B ．4 C. 5 D ．67.下列函数()f x 中，满足“对任意12,(0,1)x x ∈，当12x x <时，都有12()()f x f x <”的是（ ）A ．()|1|f x x =-B ．1()f x x = C. 1()1()2x f x =- D ．()sin 2f x x = 8.已知实数,x y 满足约束条件5315,1,53,x y y x x y +≤⎧⎪≤+⎨⎪-≤⎩，则3z x y =-的取值范围是（ ）A ．[5,9]-B ．[7,9]- C.[5,3]- D ．[7,7]-11.在区间[0,2]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“1x y +≤”的概率，2p 为事件“1xy ≥”的概率，则（ ）A ．1212p p <<B ．2112p p << C.1212p p << D ．2112p p << 12.已知数列{}n a 满足132a =，111n n a a +=-，则数列1{}1n a -的前100项和为（ ） A ．4950 B ．5050 C. 217 D ．215 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13函数()sin(2)f x x ϕ=+（其中ϕ为常数，||2πϕ=）的部分图象如图所示，则ϕ=_______.15.已知一个四棱锥的底面边长是边长为2的正方形，顶点在底面的正投影为正方形的中心，侧棱长为5，则这个四棱锥的内切球的表面积为__________.16.在平面四边形ABCD 中，2BC =，4DC =，四个内角的角度比为:::3:7:4:10A B C D =，则边AB 的长为__________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）已知向量(sin ,1)(1,cos )a x b x x R ==∈，，，设()f x a b =•.（1）求函数()f x 的对称轴方程；（2）若2()(0,)432f ππθθ+=∈，，求()4f πθ-的值. 18.（本小题满分12分）从某小区随机抽取40个家庭，收集了这40个家庭去年的月均用水量（单位：吨）的数据，整理得到频数分布表和频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中a b ，的值；（2）从该小区随机选取一个家庭，试估计这个家庭去年的月均用水量不低于6吨的概率；（3）在这40个家庭中，用分层抽样的方法从月均用水量不低于6吨的家庭里抽取一个容量为7的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取2个家庭，求其中恰有一个家庭的月均用水量不低于8吨的概率.19.（本小题满分12分）20.（本小题满分12分）.如图，在三棱锥P ABC -中，2PA PB AB ===，3BC =，90ABC ∠=︒，平面PAB ⊥平面ABC ，D ，E 分别为AB ，AC 中点．21.（本小题满分12分）已知直线20x y +-=被圆222:C x y r +=所截得的弦长为8.（1）求圆C 的方程；（2）若直线l 与圆C 切于点P ，当直线l 与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成的三角形面积最小时，求点P 的坐标.22.（本小题满分12分）(3)方程f （|2x ﹣1|）+k （ ﹣3）有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围．数学试题参考答案及评分标准一、选择题1-5:BADDB 6-10:CCAAB 11、12：AD二、填空题 13. 3π 14. 322+ 15. 43π 16.32 三、解答题17.解：（1）()sin cos f x a b x x ==+•222(sin cos )22x x =+所以函数()f x 的对称轴方程为()4x k k Z ππ=+∈.………………4分 （2）由（1）得，()2sin()4f x x π=+. 因为2()43f πθ+=，所以()2sin()444f πππθθ+=++………………5分22sin()2cos 23πθθ=+==.……6分所以1cos 3θ=.……7分 因为(0,)2πθ∈，所以222sin 1cos 3θθ=-=.………………8分所以()2sin()2sin 444f πππθθθ-=-+=………………9分 224233=⨯=.………………10分 18.解：（1）因为样本中家庭月均用水量在[4,6)上的频率为100.2540=， 在[6,8)上的频率为160.440=， 所以0.250.1252a ==，0.40.22b ==.………………2分 （2）根据频数分布表，40个家庭中月均用水量不低于6吨的家庭共有16+8+4=28个， 所以样本中家庭月均用水量不低于6吨的概率是280.740=. 利用样本估计总体，从该小区随机选取一个家庭，可估计这个家庭去年的月均用水量不低于6吨的概率约为0.7.………………4分（3）在这40个家庭中，用分层抽样的方法从月均用水量不低于6吨的家庭里抽取一个容量为7的样本，则在[6,8)上应抽取167428⨯=人，记为,,,A B C D ，………………5分 在[8,10)上应抽取87228⨯=人，记为,E F ，………………6分 在[10,12]上应抽取47128⨯=人，记为G .………………7分 设“从中任意选取2个家庭，求其中恰有1个家庭的月均用水量不低于8吨”为事件，则所有基本事件有：{,}{,}{,}{,}{,}{,}{,}A B A C A D A E A F A G B C ，，，，，，{,}{,}{,}B D B E B F ，，，， {,}{,}{,}{,}{,}{,}{,}{,}{,}{,}B G C D C E C F C G D E D F D G E F E G ，，，，，，，，，{,}F G ，，共21种.…………9分事件包含的基本事件有：{,}{,}{,}A E A F A G ，，，{,}{,}B E B F ，，{,}B G ，{,}{,}{,}{,}{,}{,}C E C F C G D E D F D G ，，，，，，共12种.………………11分所以其中恰有一个家庭的月均用水量不低于8吨的概率为124217=.………………12分 21.解：（1）因为圆C 的圆心到直线20x y +-=的距离为22|002|211d +-==+，……1分所以222228()(2)4182r d =+=+=. 所以圆C 的方程2218x y +=.………………3分 （2）设直线l 与圆C 切于点0000(,)(0,0)P x y x y >>，则220018x y +=.…4分 因为00OP y k x =，所以圆的切线的斜率为00x y -.……5分 则切线方程为0000()x y y x x y -=--，即0018x x y y +=.………………6分 则直线l 与x 轴正半轴的交点坐标为018(,0)x ，与y 轴正半轴的交点坐标为018(0,)y . 所以围成的三角形面积为0000118181622S x y x y =⨯⨯=.………………9分 因为220000182x y x y =+≥，所以009x y ≤. 当且仅当003x y ==时，等号成立.…10分因为00x >，00y >,所以00119x y ≥，所以00162162189S x y =≥=. 所以当003x y ==时，S 取得最小值18.………………11分所以所求切点P 的坐标为(3,3).………………12分22. 1）解：g （x ）=a （x ﹣1）2+1+b ﹣a ， 当a ＞0时，g （x ）在[2，3]上为增函数， 故 ，可得 ，⇔ ．当a ＜0时，g （x ）在[2，3]上为减函数．故 可得 可得 ，∵b＜1∴a=1，b=0 即g （x ）=x 2﹣2x+1．f （x ）=x+ ﹣2．（2）解：方程f （2x ）﹣k •2x ≥0化为2x + ﹣2≥k •2x ， k≤1+ ﹣ 令 =t ，k≤t 2﹣2t+1，∵x∈[﹣1，1]，∴t ，记φ（t ）=t 2﹣2t+1， ∴φ（t ）min =0， ∴k≤0．（3）解：由f（|2x﹣1|）+k（﹣3）=0 得|2x﹣1|+ ﹣（2+3k）=0，|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+（1+2k）=0，|2x﹣1|≠0，令|2x﹣1|=t，则方程化为t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），∵方程|2x﹣1|+ ﹣（2+3k）=0有三个不同的实数解，∴由t=|2x﹣1|的图象（如下图）知，t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0有两个根t1、t2，且0＜t1＜1＜t2或0＜t1＜1，t2=1，记φ（t）=t2﹣（2+3k）t+（1+2k），则或∴k＞0．【感谢您的阅览，下载后可自由编辑和修改，关注我每天更新】。
2020年11月全国百强名校领军考试高二上学期联考文科数学试题
因为数列an 是等比数列, a1 0, a12 0 ,
又
q
0,1
q
q2
q
1 2
2
3 4
0
,
所以 2a12q 1 q q2 0 , a12 a22 a32 > a1 a2 a3 2 ...................................................................（6 分）
高二数学试题
高二数学试题
高二数学试题
高二数学试题
1~5 BCBCA
13.【答案】 0, 5
高二数学试题
2020—2021 学年上学期全国百强名校
“领军考试”高二数学参考答案（文科）
6~10 CBBBD
11~12 BD
33
14.【答案】
4
15.【答案】 , 15 15,
16.【答案】④
高二文数参考答案 第 1 页 共 4 页
高二数学试题
= 2a1 a1q 2a1 a1q 2 2a1q a1q 2 2a12q 1 q q 2 ..........................................................................（3 分）
17.【解析】(1)由 a2
3, S3
2a4
3
成等比数列得
a1 3a1
d
3 3d
2a1
6d
3
,......................................(2 分)
解得
d
3 2
,
a1
3 2
,.........................................................................................................................................(4
湖北省云学部分重点高中2024-2025学年高二上学期11月联考数学试卷(A)含答案
2024年湖北云学部分重点高中高二年级11月联考数学试卷（A ）（答案在最后）命题单位：考试时间：2024年11月13日下午15：00-17：00时长：120分钟试卷满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足()12i 43i z -=-，则z 的虚部为（）A.i B.i- C.1D.1-【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用复数的除法计算，再利用共轭复数及虚部的意义判断得解.【详解】依题意，43i (43i)(12i)105i 2i 12i (12i)(12i)5z --++====+--+，所以2i z =-的虚部为1-.故选：D2.已知直线1l ：630x my ++=与2l ：()3410x m y +--=，若1l 与2l 互相平行，则它们之间的距离是（）A.15B.1C.12D.110【答案】C 【解析】【分析】根据两直线平行满足的系数关系可得8m =，即可利用平行线间距离公式求解.【详解】若1l 与2l 互相平行，则需满足()()6436133m m⎧-=⎪⎨⨯-≠⨯⎪⎩，解得8m =，故直线1l ：6830x y ++=与2l ：6820x y +-=，故两直线间距离为12=，故选：C3.已知空间向量()1,2,4a =- ，()1,4,2b =- ，()4,4,c z = ，若()2a b c +⊥，则z =（）A.52-B.12-C.52D.12【答案】C 【解析】【分析】根据向量垂直，数量积为0求参数的值.【详解】因为()21,6,8a b +=-，且()2a b c +⊥ ，所以()20a b c +⋅= ⇒()()1,6,84,4,0z -⋅=⇒42480z -+=⇒20582z ==.故选：C4.已知实数x ，y 满足方程2240x y x +-=，则22y x ++的最大值为（）A.12B.34C.0D.43【答案】D 【解析】【分析】根据点和圆、直线和圆的位置关系求得正确答案.【详解】由2240x y x +-=得()22222x y -+=，所以(),x y 在以2,0为圆心，半径为2的圆上，()()2222y y x x --+=+--表示圆上的点和点()2,2--连线的斜率，设过()2,2--的圆的切线方程为()22,220y k x kx y k +=+-+-=，2,0到直线220kx y k -+-=2=，解得0k =或43k =，所以22y x ++的最大值为43.故选：D5.如图，在ABC V 中，2AD DB =，P 为CD 上一点，且13AP AC AB λ=+ ，若1AC =，3AB =，π3BAC ∠=，则AP BC ⋅ 的值为（）A.236-B.72-C.92D.4【答案】B 【解析】【分析】由已知结合向量共线定理可得49λ=，进而根据向量数量积的运算律即可求解.【详解】因为2AD DB = ，13AP AC AB λ=+，故1332AP AC AD λ=+ ，由于P 在CD 上，所以13132λ+=，故49λ=，则1429AP AC AB =+，又1AC =，3AB =，π3BAC ∠=，所以133122AB AC ⋅=⨯⨯= ，则2214114()()39399AP BC AC AB AC AB AC AC AB AB⋅=+⋅-=⋅-+ 113471939292=⨯+⨯-⨯=-.故选：B.6.某中学研究性学习小组为测量如图所示的铜雕的高度，在和它底部位于同一水平高度的共线三点,,A B C 处测得铜雕顶端P 处仰角分别为πππ,,643，且10m AB BC ==，则该铜雕的高度为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设P 的投影为O ，且PO x =m ，利用锐角三角函数表示出CO 、BO 、AO ，再在BOC 和BOA △中分别用余弦定理得到方程，解得即可.【详解】设P 的投影为O ，且PO x =m ，在Rt POC △中，π3PCO ∠=，所以CO =，在Rt POB △中，π4PBO ∠=，所以BO x =，在Rt PAO △中，π6∠=PAO，所以AO =，在BOC 和BOA △中分别用余弦定理得222210010033cos cos 02020x x x x OBC OBA x x+-+-∠+∠=+=，解得x =x =-，即该铜雕的高度为.故选：B7.M 为椭圆22159x y +=上任意一点，()0,2A -，()1,1B ，则MA MB +的最大值为().A.3+B.6+C.6+D.6+【答案】D 【解析】【分析】由条件可知6MA MB MB MF +=-+，当且仅当M ，B ，F 三点共线且点M在第二象限时，66MA MB BF +=+=+【详解】由椭圆22159x y +=，可得3a =，b =2c =，所以可知()0,2A -为椭圆的下焦点，设()0,2F 为椭圆上焦点，又因为M 为椭圆上任意一点，所以由椭圆定义可知：26MA MF a +==，即()66MA MB MF MB MB MF +=-+=-+，因为当M ，B ，F 三点共线且点M 在第二象限时MA MB +有最大值，即66MB MF BF -+=+，又因为BF ==，所以66MA MB BF +=+=+故选：D.8.正方形11ABB A 的边长为12，其内有两点P 、Q ，点P 到边1AA 、11A B 的距离分别为3，2，点Q 到边1BB 、AB 的距离也是3和2．现将正方形卷成一个圆柱，使得AB 和11A B 重合（如图）．则此时P 、Q 两点间的距离为（）A.61ππ B.πC.63ππ D.64ππ【答案】C 【解析】【分析】过点,P Q 分别作底面的平行圆，利用空间向量数量积的运算律求解即得.【详解】过点P 作平行于底面的截面圆1O ，过点Q 作平行于底面的截面圆2O ，126O O =，设圆柱的底面圆半径为r ，则2π12r =，解得6πr =，于是12222π,3O P O Q r +〈〉== ，由1122PQ PO O O O Q =++ ，得||PQ =π==，所以P 、Q 两点间的距离为63ππ.故选：C【点睛】关键点睛：求出空间两点的距离，借助空间向量表示及空间向量数量积是解决问题的关键.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知曲线方程22145x y m m+=-+表示椭圆，则下列说法正确的是（）A.m 的取值集合为{}54m m -<<B.当2m =时，焦点坐标为(0,5C.当1m =-时，记椭圆所包围的区域面积为S ，则85S <D.当152m -<<-时，随着m 越大，椭圆就越接近于圆【答案】BCD 【解析】【分析】根据椭圆的基本性质对选项逐一判断即可.【详解】A 选项，因为22145x y m m +=-+，则4050m m ->⎧⎨+>⎩,且45m m -≠+，所以m 的取值范围是115,,422⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 选项错误；B 选项，当2m =时，椭圆方程为22127x y +=，则椭圆表示焦点在y 轴上的椭圆，且725c =-=所以焦点坐标为(0,5；C 选项，当1m =-时，椭圆方程为22154x y +=，则椭圆表示焦点在x 轴上的椭圆，且25a =，24b =，则椭圆所包围的区域面积为S ，且2285S a b <⨯=，则C 选项正确；D 选项，152m -<<-时，曲线方程22145x y m m +=-+表示焦点在x 轴上的椭圆，则24a m =-，25b m =+，222129244c m e a m m--===---，则当152m -<<-，时，离心率表示单调递减的函数，则随着m 越大，椭圆的离心率越接近0，椭圆越圆，故D 选项正确.故选：BCD10.如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 是线段CD 上动点，则下列说法正确的是（）A.平面1BB P ⊥平面1111D C B AB.1B P 的最小值为C.若直线BP 与1B D 所成角的正弦值为5，则14DP =D.若P 是线段CD 的中点，则1AA 到平面1BB P 的距离为5【答案】ABD 【解析】【分析】A 利用面面垂直的判定判断；B 根据正方体的结构特征易得1CD CB ⊥，结合P 是线段CD 上动点，即可判断；C 将已知化为直线1B E 与1B D 所成角为θ，令DP x =且01x ≤≤，应用余弦定理列方程求参数；D 化为求A 到平面1BB P 的距离d ，等体积法求距离.【详解】A ：由题意1BB ⊥面1111D C B A ，1BB ⊂面1BB P ，故平面1BB P ⊥平面1111D C B A ，对；B ：由题意CD ⊥面11BCC B ，1CB ⊂面11BCC B ，则1CD CB ⊥，又P 是线段CD 上动点，显然P 与C 重合时1B P ，对；C ：若PE 平行于侧棱，交11C D 于E ，连接1,B E DE ，显然1PBB E 为矩形，所以1//BP B E ，故直线BP 与1B D 所成角，即为直线1B E 与1B D 所成角，为θ，由sin cos 55θθ=⇒=，而2221111cos ||2B E B D DE B E B D θ+-=⋅，令DP x =且01x ≤≤，则2211(1)B E x =+-，213B D =，221DE x =+，所以22|5=，可得22(2)333(1)5x x -=+-，整理得221(21)(1)0x x x x +-=-+=，可得12x =或1x =-（舍），错；D ：显然C 中P 为CD 的中点，而11//AA BB ，1AA ⊄面1BB P ，1BB ⊂面1BB P ，所以1//AA 面1BB P ，即1AA 到平面1BB P 的距离，即为A 到平面1BB P 的距离d ，由11B PAB A BB P V V --=，且BP =，即1111111132322d ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，所以d =.故选：ABD11.已知圆22:9O x y +=，P 为直线60x y -+=上一动点，过P 向圆O 引两条切线,PA PB ，,A B 为切点，则下列四个命题正确的是（）A.直线210x my m -+-=与圆O 总有两个交点.B.不存在点P ，使π3APB ∠=.C.直线AB 过定点()1.5,1.5-.D.过()2,2Q 作互相垂直的两条直线分别交圆O 于E 、F 和G 、H ，则四边形EGFH 面积的最小值为6【答案】ACD 【解析】【分析】利用直线210x my m -+-=过定点且定点在圆内判断A ，假设存在点P ，利用三角形边长关系和PO 的取值范围判断B ，求出以OP 为直径的圆的方程，结合条件可得公共弦AB 的方程，即可求出定点判断C ，设O 到直线EF ，GH 的距离为12,d d ，利用圆的几何性质求弦长,EF GH ，再结合面积公式和12d d 的取值范围判断D.【详解】选项A ：因为直线210x my m -+-=过定点()12，，且22129+<，即该定点在圆O 内，所以直线210x my m -+-=与圆O 总有两个交点，A 说法正确；选项B ：连接,OA OB ，因为,A B 为切点，所以PAO 与PBO全等，假设存在点P ，使π3APB ∠=，则π6APO ∠=，此时26PO AO ==，因为PO ≥=P ，使π3APB ∠=，B 说法错误；选项C ：设(),P m n ，则60m n -+=，以OP 为直径的圆的方程为2222224m n m n x y +⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即220x y mx ny +--=，又圆22:9O x y +=，两圆作差可得公共弦直线AB 方程为9mx ny +=，消去n 可得()69mx m y ++=，整理得()690m x y y ++-=，令0690x y y +=⎧⎨-=⎩可得直线AB 过定点()1.5,1.5-，C 说法正确；选项D ：设O 到直线EF ，GH 的距离为12,d d ，则222128d d OQ +==，因为2129EF d =-，229GH d =-，所以()()()2222222212121212499481949EF GH d d d d d d d d =--=-++=+，又因为120d d ≥，当且仅当EF 或GH 过原点时等号成立，所以12EF GH ≥，四边形EGFH 面积162S EF GH =≥，即四边形EGFH 面积的最小值为6，D 说法正确；故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设圆M ：()22236x y -+=，()2,0A -为圆M 内一点，P 为圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l和半径MP 相交于Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹方程为______.【答案】22195x y +=【解析】【分析】数形结合，分析出动点Q 满足的条件，再根据椭圆定义，即可求得其方程.【详解】根据题意，作图如下所示：由题可知：PQ QA =，且6PQ QM +=，故64QA QM AM +=>=，故点Q 的轨迹是椭圆，设其方程为22221(0)x y a b a b+=>>，故26a =，3a =，2c =，故2225b a c =-=，故其方程为：22195x y +=.故答案为：22195x y +=.13.已知圆台上、下底面半径分别为1和2，母线与底面所成角为45︒，则圆台的外接球体积与圆台体积之比为______.【答案】2057【解析】【分析】根据题意结合轴截面可知121O O =，即可得圆台的体积，根据圆台的结构特征列式求球的半径和体积，即可得结果.【详解】由题意可知：上底面半径11r =，下底面半径22r =，由轴截面可知：45ABC ∠=︒，可知121O O =，可得圆台的体积(17ππ4π133V =++⨯=圆台，设外接球的半径为R ，则2221122222R O O r R O O r ⎧=+⎨=+⎩，即()222222114R O O R O O ⎧=++⎪⎨=+⎪⎩，解得21O O R =⎧⎪⎨=⎪⎩，（假设球心在圆台内，则()222222114R O O R O O ⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩，此时无解）可得球的体积34205ππ33V ==球，所以20537π73V V ==球圆台.故答案为：714.已知M 是椭圆22110x y +=上一点，线段AB 是圆()22:64C x y +-=的一条动弦,且AB =则MA MB ⋅的最大值为_______.【答案】70【解析】【分析】设AB 中点为N ，易得CN =，点N 的轨迹为以()0,6为圆心，r =为半径的圆，MA MB⋅可转化为()()22MA MB MN NA MN NB MN NA ⋅=+⋅+=-，max max MA MC r =+，设出点M 的参数方程，求出max MC ，即可得解.【详解】如图，设AB 中点为N ，由AB AN =⇒=，CN ==，故点N 的轨迹为以()0,6为圆心，r =()()()()2222MA MB MN NA MN NB MN NA MN NA MN NA MN ⋅=+⋅+=+⋅-=-=- ，max max MN MC r =+，设),cos Mθθ，则MC =====，当且仅当2cos 3θ=-时，max MC ==所以maxmax MNMC r =+=()2maxmax272270MA MBMN⋅=-=-= 故答案为：70【点睛】关键点点睛：由向量的数量积求解椭圆上一点与定点距离问题，转化法和参数方程是解决本题关键，还综合了余弦函数求最值问题，试题整体难度不大，但综合性强，是一道跨知识点考查相对不错的题！四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.直线l 经过两直线1l ：310x y -+=和2l ：3220x y +-=的交点.（1）若直线l 与直线210x y ++=垂直，求直线l 的方程.（2）若点()4,2A到直线l 的距离为4，求直线l 的方程.【答案】（1）210x y -+=（2）0x =或1518y x =-+【解析】【分析】（1）方法一：求出两直线交点坐标，再由垂直关系计算可得结果；方法二：设出两直线组成的直线系方程，再由垂直关系计算可得结果；（2）方法一：分斜率是否存在进行讨论，利用点到直线距离公式计算可得结果；方法二：利用直线系方程求得参数值即可得直线方程.【小问1详解】方法一：由3103220x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得交点()0,1，因为l 与直线210x y ++=垂直，所以设l ：20x y λ-+=，()0,1代入得1λ=，所以l 的方程为210x y -+=；方法二：设l ：()313220x y x y λ-+++-=，整理得()()3321120x y λλλ++-+-=，当l 与直线210x y ++=垂直，所以()()3312210λλ+⋅+-=，解得17λ=-，所以l 的方程为1113321120777x y ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯-+⨯--+-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，即210x y -+=.【小问2详解】方法一：当l 的斜率不存在时，l 为0x =，满足题意，当l 的斜率存在时，设l ：1y kx =+，则()4,2A 到直线l的距离为4d ==，解得158k =-，此时直线l 的方程为1518y x =-+，综上，直线l 的方程为0x =或1518y x =-+.方法二：()4,2A到直线l 的距离为4d ==，化简得2428130λλ-+=，解得12λ=或132λ=，所以直线l 的方程为0x =或15880x y +-=.16.某地区有小学生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局组织网络“防溺水”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取220名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图.（1）成绩位列前10%的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的成绩至少为多少分；（2）已知落在60,70内的平均成绩为67，方差是9，落在[)60,80内的平均成绩是73，方差是29，求落在[)70,80内的平均成绩和方差.（附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m ，1x ，21s ；n ，2x ，22s ，两组数据总体的样本平均数为w ，则总体样本方差()()222221122m n s s x w s x w m n m n ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦++）【答案】（1）88分（2）平均成绩为76，方差为12【解析】【分析】（1）根据百分位数的计算公式，即可求即可，（2）计算频率，即可得比例，即可根据总体方差的计算公式求解.【小问1详解】前4组的频率之和为0.100.150.150.300.700.90+++=<，前5组的频率之和为0.700.250.950.90+=>，第90%分位数落在第5组，设为x ，则()0.70800.0250.90x +-⨯=，解得88x =.“防溺水达人”的成绩至少为88分.【小问2详解】[)60,70的频率为0.15，[)70,80的频率为0.30，所以[)60,70的频率与[)60,80的频率之比为0.1510.150.303=+[)70,80的频率与[)60,80的频率之比为0.3020.150.303=+设[)70,80内的平均成绩和方差分别为2x ，22s 依题意有212736733x =⨯+，解得276x =，()()2222122996773767333s ⎡⎤⎡⎤=⨯+-+⨯+-⎣⎦⎣⎦，解得2212s =所以[)70,80内的平均成绩为76，方差为12.17.如图，由等腰PAD △与直角梯形ABCD 组成的平面图形，已知2AD PD DC ===，4AB =，120PDA ∠=︒，//AB DC ，AB AD ⊥，现将PAD △沿AD 折起，使其成四棱锥P ABCD -，且PB =（1）证明：平面PAB ⊥平面PBC ；（2）求二面角A PC B --的正切值.【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】【分析】（1）根据勾股定理与线面的判定定理证得AB ⊥平面PAD ，再利面面垂直的判定与性质定理，结合线面垂直的性质定理证得CF ⊥平面PAB ，进而得证；（2）根据题意建立空间直角坐标系，求出平面PAC 的法向量，求出平面PBC 法向量，利用空间向量法求二面角，结合三角函数的基本关系式即可得解.【小问1详解】在PDA 中，2PD AD ==，120PDA ∠=︒，22222222cos12012PA ∴=+-⋅⋅⋅︒=，又4AB =，PB =，222PB AB PA ∴=+，PA AB ∴⊥，又AB AD ⊥，,,AD PA A AD PA =⊂ 平面PAD ，AB ∴⊥平面PAD ，AB ⊂ 平面ABCD ，AB ⊂平面PAB ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⊥平面PAB ，取PA 中点E ，连DE ，则DE PA ⊥，又平面PDA 平面PAB PA =，DE ⊂平面PAD ，DE ∴⊥平面PAB ，取PB 中点F ，连EF ，CF ，则//EF DC ，EF DC =，∴四边形DCFE 为平行四边形，//DE CF ∴，CF ∴⊥平面PAB ，又CF ⊂平面PCB ，∴平面PAB ⊥平面PBC ；【小问2详解】由（1）知以D 为原点，DA ，DC 分别为x 轴，y 轴建立如图所示空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()2,0,0A ，()2,4,0B ，()0,2,0C ，(P -，设平面PAC 的法向量为(),,n x y z =，(1,2,PC = ，()2,2,0CB = ，()2,2,0AC =-，0n AC n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22020x y x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令1x =，则(n = ，设平面PBC 法向量(),,m x y z =，则00m CB m PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22020x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令x =，则()m =，cos ,n m n m n m ⋅∴==⋅r u rr u r r u rsin ,n m =r u r，46tan ,3n m ∴=，由图形可知二面角A PC B --为锐角，故二面角A PC B --的正切值为3.18.某公司进行团建活动，最后一活动由两小组各自推荐出来的员工甲、员工乙参加．该活动分为两阶段，第一阶段是选拔阶段，两人各掷飞镖30次，所得成绩的第60百分位数大的员工参加下一阶段，第二阶段是游戏阶段，游戏规则如下：①有4次游戏机会；②依次参加A ，B ，C 游戏；③前一个游戏胜利后才可以参加下一个游戏，若轮到C 游戏后，无论胜利还是失败，一直都参加C 游戏，直到4次机会全部用完；④参加A 游戏，则每次胜利可以获得奖金20元；参加B 游戏，则每次胜利可以获得奖金50元；参加C 游戏，则每次胜利可以获得奖金100元.已知甲参加每一个游戏获胜的概率都是23，乙参加每一个游戏获胜的概率都是13，甲、乙参加每次游戏相互独立，第一阶段甲、乙掷飞镖所得成绩如下表：甲的成绩环数678910次数339114乙的成绩环数678910次数3510102（1）甲、乙两位员工谁参加第二阶段游戏？并说明理由．（2）在（1）的基础上，解答下列两问：（i）求该员工能参加C游戏的概率.（ii）该员工获得的奖金金额超过70元的概率是多少？【答案】（1）甲参加第二阶段游戏，理由见解析（2）（i）2027，（ii）1627【解析】【分析】（1）根据游戏规则求得两人的第60百分位数即可得出结论；（2）（i）依题意游戏至多共使用3次机会，再由概率的加法公式计算可得结果；（ii）分情况根据共参加游戏次数以及获胜次数计算可得结果.【小问1详解】3060%18⨯=，甲的6，7，8环一共有15次，9环11次，故甲的第60百分位数为9；而乙6，7，8环一共有18次，9环10次，，其故乙的第60百分位数为8.5，所以甲参加第二阶段游戏.【小问2详解】（i）若甲能参加C游戏，则A，B游戏至多共使用3次机会，①A，B游戏共使用2次机会，则概率1224 339P=⨯=；②A，B游戏共使用3次机会，则概率21222128 33333327P=⨯⨯+⨯⨯=，所以甲能参加C游戏的概率为4820 92727 +=.（ii）由甲获得的奖金金额超过70元即奖金金额为170和270，也就是说甲能参加C游戏并且C游戏至少获胜一次。
高二数学上学期领军考试试题含解析 试题
八重点高中联盟2021-2021学年高二数学上学期领HY 考试试题〔含解析〕考前须知：1.答卷前，所有考生必须将本人的姓名，准考证号填写上在本试题相应的位置。
2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
3.答复选择题时，选出每一小题答案后，需要用2B 铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答复非选择题时，将答案用0.5mm 黑色笔迹签字笔写在答题卡上。
4.在在考试完毕之后以后，将本试题和答题卡一起交回。
一、选择题〔本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕ABC ∆中，a 、b 、c 分别是内角A 、B 、C 的对边，且222c a b ab =++，那么角C 的大小为〔 〕 A.6π B.3π C.56π D.23π 【答案】D 【解析】分析：根据余弦定理的推论求得cos A ，然后可求得23A π=． 详解：∵222a b c bc =++， ∴222b c a bc +-=-．由余弦定理的推论得2221cos 222b c a bc A bc bc +--===-，又0A π<<，∴23A π=． 应选D ．点睛：此题考察余弦定理推论的应用，解题时容易出现的错误是在求得角的三角函数值后无视了角的范围，从而得到错误的结果．{}n a 的前4项为：12-，34，58-，716，那么数列{}n a 的通项公式是〔 〕A. 212n nn a -= B. ()()1212nnnn a-⋅-=C. 212n nn a +=D. ()()1212nnnn a-⋅+=【答案】B 【解析】 【分析】根据前四项的特点即可归纳出数列的通项公式.【详解】观察数列{}n a 的前4项，可知分母为2n ，分子是奇数，为21n -， 同时符号是正负相间，为()1n-，所以()()1212nnnn a-⋅-=. 应选B.【点睛】此题主要考察数列通项公式的求解，根据条件观察数列项和项数之间的关系是解决此题的关键．3.n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，假设28a =-，6378S S =，那么357a a a =〔 〕A. -1B.12- C.12D. 1【答案】D【解析】【分析】先判断公比能否为1，结合条件求出公比，进而利用等比数列下标和性质及通项公式得到结果.【详解】设等比数列{}n a的公比为q，显然1q≠，那么()()61363311711811a qS qqS a qq--==+=--，解得12q=-.又()33333357521812a a a a a q⎡⎤⎛⎫===-⨯-=⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.应选：D.【点睛】此题考察等比数列通项公式及前n项和公式，考察计算才能，属于常考题型.ABC∆中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，3b==，60B =，那么ABC∆的面积为〔〕D. 【答案】C【解析】【分析】由正弦定理可得30A =，从而可得90C =，利用面积公式得到答案.【详解】由可得a =sin 1sin 322a B Ab ===. 又a b <，所以A B <.所以30A =，所以90C =，所以113222ABC S ab ∆===. 应选：C.【点睛】此题考察正弦定理解三角形，考察推理才能与计算才能，属于根底题.5.n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，假设15915a a a ++=，728S =，那么20202021S =〔 〕 A. 1009 B. 1010C. 2021D. 2021【答案】B 【解析】 【分析】由15915a a a ++=可得55a =，布列方程组解得根本量，从而得到结果. 【详解】由可得1595315a a a a ++==，所以55a =， 设等差数列{}n a 的公差为d ，那么51714572128a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得11a d ==， 所以n a n =，所以()20202020202011010202122021S ⨯+==⨯.应选：B.【点睛】此题考察等差数列通项公式与前n 项和公式，考察等差数列下标和性质，考察学生的运算才能，属于中档题.6.ABC ∆中，A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，角A ，B ，C 成等差数列，且sin sin c Ba A=，那么该三角形的形状是〔 〕 A. 直角三角形 B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 钝角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】由角A ，B ，C 成等差数列，得3B π=，由sin sin c B a A=可知b c =，从而作出判断. 【详解】由角A ，B ，C 成等差数列，得3B π=；由sin sin c B a A =，根据正弦定理得c b a a=，所以b c =，该三角形是等边三角形， 应选：C.【点睛】此题考察三角形形状的判断，考察利用正弦定理进展边角的转化，考察合理恒等变形，属于常考题型.ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，()()()sin sin sin b c B C a A C -+=，那么B =〔 〕A.6π B.3π C.23π D.56π 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理结合条件可得222a c b +-=，进而利用余弦定理可得所求角.【详解】因为()()()sin sin sin b c B C a A C -+=+，那么由正弦定理可得()()()b c b c a a -+=+，即222a c b +-=.那么由余弦定理，可得222cos 2a c b B ac +-==.又0B π<<， 所以56B π=. 应选：D.【点睛】此题考察正余弦定理的应用，考察学生合理边角转化的才能，属于中档题.8.n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，假设117a =，且21a +，51a -，81a +成等比数列，那么n S 的最大值为〔 〕 A. 77 B. 79 C. 81 D. 83【答案】C 【解析】 【分析】利用21a +，51a -，81a +成等比数列，可得34d 9=或者2d =-.分类讨论即可得到等差数列的前n 项和的最值.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为21a +，51a -，81a +成等比数列. 所以()()()2528111a a a -=++，即()()()216418187d d d +=++， 整理得2916680d d --=，解得34d 9=或者2d =-. 当34d 9=时，显然数列{}n a 单调递增，n S 不存在最大值. 所以2d =-，所以()1721219n a n n =--=-+， 所以910a =>，1010a =-<，所以n S 的最大值为981S =.应选：C .【点睛】此题考察等差数列根本量的计算，考察等差数列前n 项和的最值，考察运算才能，属于中档题.{}n a 是正项等比数列，假设数列{}n b 满足：21n n b a -=，2212n n b a +=，且1290a b +=，那么n b =〔 〕A. 23nB. 213n -C. 3nD. 13n -【答案】A 【解析】 【分析】对n 赋值可得232b a =，35b a =，从而得到225a a =，解得1n n a q +=，再结合1290a b +=，可得3q =，得到结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为()0q q >，所以11n n a a q -=.那么由，得当1n =时，由2212n n b a +=，可得232b a =；当3n =时，由21n n b a -=，可得35b a =，所以225a a =，即()2411a q a q =，解得21a q =，所以1n n a q +=，那么22412390a b q a q q +=+=+=，解得3q =， 所以13n n a +=，所以2213n n n b a -==.应选：A.【点睛】此题考察数列通项的求法，考察等比数列通项公式，考察赋值法，考察推理才能与计算才能，属于中档题.10.如图，AD 是某防汛抗洪大坝的坡面，大坝上有一高为20米的监测塔BD ，假设某科研小组在坝底A 点测得15BAD ∠=，沿着坡面前进40米到达E 点，测得45BED ∠=，那么大坝的坡角〔DAC ∠〕的余弦值为〔 〕31B.31221D.212【答案】A 【解析】 【分析】由15BAD ∠=，45BED ∠=，可得30ABE ∠=，在ABE ∆中，由正弦定理得2062BE =，在BED ∆中，由正弦定理得sin 31BDE ∠=，进而由()sin sin 90BDE DAC ∠=∠+可得结果.【详解】因为15BAD ∠=，45BED ∠=，所以30ABE ∠=.在ABE ∆中，由正弦定理得sin 30sin15AE BE=，解得2062BE =.在BED ∆中，由正弦定理得sin sin 45BE BDBDE =∠，所以220622sin 3120BDE ∠==.又90ACD ∠=，所以()sin sin 90BDE DAC ∠=∠+，所以cos 31DAC ∠=.应选：A.【点睛】此题考察正弦定理解三角形，考察诱导公式，考察学生合理进展边角转化的才能，属于中档题.11.梅赛德斯-奔驰〔Mercedes-Benz 〕创立于1900年，是世界上最成功的高档汽车品牌之一，其经典的“三叉星〞商标象征着陆上、水上和空中的机械化.该商标由1个圆形和6个全等的三角形组成〔如图〕，点O 为圆心，15OAB ∠=，假设在圆内任取一点，那么此点取自阴影局部的概率为〔 〕233- 233- 639- D.639- 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出圆与阴影局部的面积，作商即可得到结果. 【详解】由可得60AOB ∠=，那么105ABO ∠=.又()231sin15sin 4530222⎛⎫=-=⨯- ⎪ ⎪⎝⎭624=，()21sin105sin 456022⎛=+=⨯ ⎝⎭=. 不妨设4OA =，那么由正弦定理可得4sin158sin105OA OB ⨯⋅===-，那么(148sin 6083122AOB S ∆=⨯⨯-⨯=， 所以阴影局部的面积为'336AOB S S ∆==，圆O 的面积为16S π=， 那么在圆内任取一点，那么此点取自阴影局部的概率为'369164S P S ππ===. 应选：D.【点睛】此题考察几何概型的面积概型，合理求出阴影局部的面积是解题的关键，考察学生的计算才能，属于中档题.{}n a 中，11a =，()2111111n na a n +⎡⎤=-⋅⎢⎥+⎢⎥⎣⎦，假设2nn a b n =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，那么100S =〔 〕 A.100101B.200101C.300101D.400101【答案】B 【解析】【分析】由题意变形可得1211n n n n a a n n +++⋅=⋅+，即数列1n n a n +⎧⎫⋅⎨⎬⎩⎭是常数列，从而得到21nn a n =+， 又()221n n a b n n n ==+，利用裂项相消法求和即可. 【详解】因为()2111111n na a n +⎡⎤=-⋅⎢⎥+⎢⎥⎣⎦，化简可得1211n n n n a a n n +++⋅=⋅+，所以数列1n n a n +⎧⎫⋅⎨⎬⎩⎭11121a +⋅=， 所以12n n a n +⋅=，解得21n na n =+，那么()2211211n n ab n n n n n ⎛⎫===- ⎪++⎝⎭，所以1111122122311n n S n n n ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-= ⎪++⎝⎭， 所以100200101S =. 应选：B.【点睛】此题考察数列的递推关系，数列通项的求法，裂项相消法求和，考察推理才能与计算才能，属于中档题.二、填空题〔本大题一一共4个小题，每一小题5分，一共20分〕{}n a 中，22a=，56a =，那么8a =______.【答案】18 【解析】 【分析】利用等比数列下标和性质即可得到结果。
河南省“领军考试”2020-2021学年下学期高二联考文科数学试题
2020—2021学年下学期全国百强名校“领军考试”高二数学（文）2021.07注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试题相应的位置。
2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案用0.5mm 黑色签字笔写在答题卡上。
4．考试结束后，将本试题与答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．()()312i i -=（ ） A ．88i -B ．88i --C ．22i +D ．22i --2．已知集合A y y⎧⎫==⎨⎩，{}ln B x y x ==，则（ ） A ．A B = B ．AB C ．B A D ．A B ⋂3．已知命题p ：“对()0,x ∀∈+∞，2221112x x x +<++”，则p ⌝为（ ） A ．(]0,0x ∃∈-∞，20221112x x x +<++ B ．对()0,x ∀∈+∞，2221112x x x +≥++ C ．()00,x ∃∈+∞，20221112x x x +≥++ D ．对(],0x ∀∈-∞，2221112x x x +≥++ 4．若函数()()2223af x x x a =+-+是偶函数，则124a -=（ ）A ．92B ．9C ．18D ．325．双曲线C ：22143x y m m-=（0m >）的渐近线与圆D ：(226x y +=相切，则m =（ ）A ．1BC ．2D 6．若π3π,22α⎛⎫∈⎪⎝⎭，且tan 3α=，则()sin πα+=（ ）A B C ． D7．已知向量AB ，AC 均为单位向量，且()21,1AB AC +=，则BC =（ ） ABCD8．统计某学校100名学生的课外阅读时间，得到如下的频率分布直方图，则这100名学生课外阅读时间的中位数约为（保留一位小数）（ ）A ．1.2B ．1.4C ．1.5D ．1.69．已知菱形ABCD 中2AB BD ==，把ABD △沿BD 折起，使点A 到达P 处，且3PC =，若点E 为线段PD 中点，则异面直线BE 与PC 所成角的余弦值为（ ） A．2B．4C ．12D ．51210．若函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的图象向左平移π6个单位后得到一个偶函数的图象；若()f x 向右平移π12个单位后得到一个奇函数的图象，则ω的值可以是（ ） A ．6 B ．8 C ．12D ．1411．我们把函数()1,0,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数称为狄利克雷函数，关于狄利克雷函数给出下列结论：①()()D x D x =；②()()1D x D x +=；③()()()D D x D x =；④(){}{}0,1y y D x ===，其中正确的命题的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．412．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的一个焦点为()1,0F ，一个顶点为()2,0A ，设(),0B t ，点P 是椭圆C 上的动点，若PB AB ≥恒成立，则t 的取值范围是（ ）A ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[]2,2-D ．()2,+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知实数x ，y 满足102030x y x y x ++≤⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最大值________．14．函数()()22e cos xf x x x x =-+的图象在0x =处的切线方程为________．15．已知ABC △的三边a ，b ，c 满足2a c b +=，且ABC △，则c a 的值为________．16．已知球O 内有3个半径为3的小球，则球O 的表面积的最小值为________．三、解答题：共70分．解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{}n a 是公比不为1的等比数列，且3412a a +=，13a ，23a ，3a 成等差数列． （1）求n a ； （2）设,,n n n n b a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前2n 项的和2n S ．18．已知四棱锥E ABCD -中，三角形ADE 所在平面与正三角形ABE 所在平面垂直，四边形ABCD 是菱形，2AE =，BD =（1）求证：平面ABCD ⊥平面ACE ； （2）求三棱锥A BCE -的体积．19．受2020年春季疫情的影响，在线教育前所未有的广为人知，也迎来了加速发展的新机遇，下图为2016—2020年中国在线教育市场规模，设2016年—2020年对应的代码x 分别为15，市场规模为y （单位：亿元）．（1）由图中数据看出，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数（系数精确到0.01）加以说明；（2）建立y 关于x 的回归方程，并预测2021年中国在线教育市场规模． 附注：参考数据：5117407ii y==∑；5158732i i i x y ==∑2062.7≈ 3.2≈参考公式：相关系数()()niix x y y r --=∑ˆˆˆya bx =+中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()121niii nii x x y y b x x ----=-∑∑，ˆˆay bx =-． 20．已知点A ，B 分别是直线22y x =+及抛物线C ：22y px =（0p>）上的点，且AB 的最小值为（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线()1y k x =-与抛物线C 交于点P ，Q ，线段PQ 中点为M ，判断x 轴上是否存在点N ，使得2214MN PQ -为定值，若存在，求出该定值，若不存在，说明理由． 21．已知函数()()321e 31xf x x ax ax =+---． （1）若0a =，求()f x 在[],0m （0m <）上的最小值； （2）若()f x 在()3,2-上有3个极值点，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程1x y t⎧=+⎪⎨⎪⎩（t 为参数）．在以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=． （1）求直线l 的极坐标方程； （2）若射线θα=（0π2α<<，0ρ>）与直线l 及双曲线C 分别交于点A ，B ，且2OA OB =，求tan α．23．[选修4—5：不等式选讲] 已知()241f x x x =+-．（1）求不等式()31f x x ≥+的解集； （2）若()22113116f x a b ≥+-对任意实数x 恒成立，求证：2a b ab +≤． 2020—2021学年下学期全国百强名校 “领军考试”高二数学参考答案与解析（文科）1．【答案】B【命题意图】本题考查复数的运算，考查数学运算的核心素养． 【解析】因为()()()()31i 2i 1i 8i 88i -=--=--，故选B ． 2．【答案】A【命题意图】本题考查集合的交集运算，考查数学运算与数学抽象的核心素养．【解析】集合{}0A y y y y ⎧⎫===>⎨⎩，{}{}ln 0B x y x x x ===>，所以A B =，故选A ． 3．【答案】C【命题意图】本题考查称命题的否定，考查数学抽象的核心素养．【解析】根据“x M ∀∈，()p x ”的否定是“0x M ∃∈，()0p x ⌝”，可知选C ． 4．【答案】A【命题意图】本题考查二次函数的性质及指数的运算，考查数学运算与数学抽象的核心．【解析】由()()2223af x x x a =+-+是偶函数，可的230a-=，23a =，所以()21229422a a -==，故选A ．5．【答案】C【命题意图】本题考查同角三角函数的基本关系式及诱导公式．考查数学运算的核心素养．【解析】双曲线C的渐近线与圆D相切，则圆心)到直线y x=的距离d==，解得2m=，故选C．6．【答案】A【命题意图】本题考查同角三角函数的基本关系式及诱导公式．考查数学运算的核心素养．【解析】由π3π,22α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭及tan3α=可得sin0α<，由2222sin sin9cos1sinαααα==-，得29sin10α=，sinα=，所以()sinπsinαα+=-=A．7．【答案】C【命题意图】本题考查平面向量的数量积，考查数学运算与数学抽象的核心素养．【解析】因为向量AB，AC均为单位向量，()21,1AB AC+=两边平方得542AB AC+⋅=，所以34AB AC⋅=-，所以2222BC AC AB AB AC=-=-⋅=+C．8．【答案】B【命题意图】本题考查频数分布直方图，考查数学运算及数据分析的核心素养．【解析】设中位数为x，由()0.10.40.50.250.5+⨯=<，()0.10.40.60.50.550.5++⨯=>，可得1 1.5x<<，由()()0.10.40.510.60.5x+⨯+-⨯=，解得 1.4x≈，故选B．9．【答案】B【命题意图】本题考查异面直线所成的角，考查直观想象与数学运算的核心素养．【解析】取CD中点F，连接BE，EF，则BEF∠就是异面直线BE与PC所成角，如图所示，由题意可得BE BF=32EF=，所以12cosEFBEFBE∠==B．10．【答案】D【命题意图】本题考查三角函数的图象，考查数学抽象与直观想象的核心素养．【解析】由题意可得π662πππk ω+=+（k ∈Z ），6π12ππn ω-+=（n ∈Z ），整理得62k ω=+（k ∈Z ），122n ω=-+（n ∈Z ），取2k =，1n =-得14ω=，故选D ．11．【答案】C【命题意图】本题考查狄利克雷函数的性质，考查数学抽象与逻辑推理的核心素养．【解析】当x 为有理数时x ，1x +均为有理数，()()0D x D x ==，()()11D x D x +==，当x 为无理数时x ，1x +均为无理数，()()0D x D x ==，()()10D x D x +==，所以①②正确，当x 为无理数时()0D x =，()()()01D D x D ==，③错误，④正确，故选C ．12．【答案】B【命题意图】本题考查椭圆的方程及二次函数的最值，考查逻辑推理与数学运算的核心素养．【解析】设()00,P x y ，则22220000131434x y x y ⎛⎫+=⇒=- ⎪⎝⎭，因为PB AB ≥，所以22PB AB ≥，所以()()222222200002231444x x t y t x tx t t t ⎛⎫-+≥-⇒-++-≥-+ ⎪⎝⎭．因为()()()200000222412244x x x tx t t x -+-+≥⇒-≥，因为022x -≤≤，所以020x -≥，所以0224x t +≥恒成立，所以0max212142x t t +⎛⎫≥=⇒≥ ⎪⎝⎭，即1,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭． 13．【答案】1【命题意图】本题考查线性规划，考查数学运算与直观想象的核心素养．【解析】如图所示，作出不等式组表示的可行域，是以点()3,2A -，()3,5B --，13,22C ⎛⎫- ⎪⎝⎭为顶点的三角形区域，由2z x y =+得1222y x =-+，当122zy x =-+经过点A 时，其在y 轴上的截距最大，z 最大，所以max 3221z -+=⨯=．14．【答案】210x y +-=【命题意图】本题考查导数的几何意义，考查数学抽象与数学运算的核心素养．【解析】由()()22e cos x x x f x x =-+可得()()22e sin xx f x x '=--，所以()01f =，()02f '=-，所以()f x 的图象在0x =处的切线方程为()120y x -=--，即210x y +-=． 15．【答案】1或73【命题意图】本题考查解三角形，考查数学运算与逻辑推理的核心素养．【解析】由ABC △得1sin 2ab C =，所以sin C =，π3C =或2π3， 若π3C =，则2222222a c a c c a b ab a a ++⎛⎫⎛⎫=+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得a c =，若2π3C =，则 2222222a c a c c a b ab a a ++⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得()()370c a c a +-=，所以73c a =，故1c a=或73．16．【答案】(84π+【命题意图】本题考查球的性质与表面积，考查逻辑推理与直观想象的核心素养．【解析】设3个半径为3的小球的球心分别为1O ，2O ，3O ，则球O 的表面积最小时，3个小球两两相切，每个小球都与球O 相切，此时123OO O △的中心为O ，1223316OO O O O O ===，所以1OO =以球O 的半径最小值为3，球O 的表面积的最小值为()(24π384π=+．17．【命题意图】本题考查等比数列的通项与求和，考查数学运算的核心素养．【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q （1q ≠），由3412a a +=得()21112a q q +=，由13a ，22a ，3a 成等比数列得1334a a +=，即211134a a q a q +=， 因为10a ≠，所以2430q q -+=，即()()130q q --=， 因为1q ≠，所以3q =，代入()21112a q q +=得113a =， 所以11211333n n n n a a q---==⨯=．（2）因为,,n nn n b a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，所以()()21321242n n n S b b b b b b -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()()2221321133n n -=++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+⎡⎤⎣⎦()21191219121988n n n n n ⨯-+-=⨯+=+--．18．【命题意图】本题考查垂直关系的证明及空间向量的应用，考查直观想象、逻辑推理及数学运算的核心素养．【解析】（1）取AE 中点O ，连接DO ，BO ， 因为ABE △为正三角形， 所以BO AE ⊥，面ADE ⋂面ABE AE =，且BO 在面ABE 内 所以BO ⊥平面ADE ， 因为DO ⊂平面ADE ， 所以BO DO ⊥，由题意知BD =BO =，所以DO =因为2AD =，1AO =， 所以222AO DO AD +=， 所以DO AE ⊥ 因为DO BO O ⋂=， 所以AE ⊥平面DOB ， 因为BD ⊂平面ABCD ， 所以平面ABCD ⊥平面ACE ． （2）由（1）知，BO DO ⊥， 又2AD =，1AO =，DO ，222AD AO DO ∴=+DO AO ⊥（即DO AE ⊥），又因为AE BO O ⋂=又DO =//AB DC ， 所以三棱锥C ABE -因为ABE △是边长为2的正三角形， 所以ABE △的面积为224=，所以113A BCE C ABE V V --==．19．【命题意图】本题考查回归分析，考查数据分析、数学应用及数学运算的核心素养． 【解析】（1）由图中数据和附注中参考数据得3x =，()25110ii x x =-=∑，()()555111587323174076511iii iii i i x x y y x y x y===--=-=-⨯=∑∑∑，()()565110.993.22062.7iix x y y r --=≈≈⨯∑因为y 与x 的相关系数0.75r >，说明y 与x 的线性相关程度比较高，从而可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系．（2）由（1）得()()()515216511ˆ651.110iii ii x x y y bx x ==--===-∑∑， 因为174073481.45y ==，ˆˆ3481.4651.131528.1a y bx =-=-⨯=， 所以y 关于x 的回归方程为ˆ651.11528.1yx =+ 将2021年对应的6x =代入回归方程得ˆ651.11528.15434.7yx =+=． 所以预测2021年中国在线教育市场规模为5434.7亿元．20．【命题意图】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数学运算及逻辑推理的核心素养．【解析】（1）设点2,2t B t p⎛⎫⎪⎝⎭是抛物线C 上任意一点，则AB≥=，因为AB2p-=4p=，所以抛物线C的方程为28y x=．（2）设()11,P x y，()22,Q x y，(),0N t，把直线()1y k x=-与28y x=联立得()2222280k x k x k-++=，由题意可得0k≠，所以212222882kx xk k++==+，121x x=，所以()()22221144MN PQ NM PQ MN MP NM MQ-=-=+⋅+()()()()1122,1,1x tNP NQ k x x t k x--=-=⋅⋅-()()()()2121211x t x t k x x=--+--()()()222212121k x x t k x x t k=+-++++()22222812k t k t kk⎛⎫=+-++++⎪⎝⎭22827tt tk=---所以当0t=时22174MN PQ-=-．所以x轴上存在点()0,0N，使得2214MN PQ-为定值7-．21．【命题意图】本题考查用导数研究函数的性质，考查数学运算与逻辑推理的核心素养．【解析】（1）当0a=时()()1e1xf x x=+-，()()2e xf x x'=+，若20m-≤<，[],0x m∈时()0f x'≥，()f x在[],0m是增函数，()f x的最小值为()()1e1mf m m=+-，若2m <-，[],2x m ∈-时()0f x '≤，()f x 是减函数，[]2,0x ∈-时()0f x '≥，()f x 是增函数，()f x 最小值为()2121e f =---， 综上可得20m -≤<时()f x 的最小值为()1e 1m m +-，2m <-时()f x 的最小值为211e -- （2）因为()()321e 31x x ax a f x x =+---， 所以()()()()()2e 322e 3x x x ax x x ax f x =+'-+=+-， ()f x 在()3,2-上有3个极值点，则()0f x '=在()3,2-有3个不同实根，则方程e 30xax -=在()3,2-上有2个不等于2-的实根， 显然0x =不是方程e 30xax -=的根， 所以问题转化为直线3y a =与函数()e xg x x=（32x -<<）的图象有2个横坐标不等于2-的交点， ()()21e x x g x x -'=，()g x 在()3,0-，(]0,1上是减函数，在[)1,2上是增函数，当()3,0x ∈-时，()31,3g x e ⎛⎫∈ ⎪⎝--⎭∞，当(]0,1x ∈时()[)e,g x ∈+∞，当[)1,2x ∈时，()2,2g e e x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭所以当232e e a <<，即236e e a <<时()f x 在()3,2-上有3个极值点， 所以a 的取值范围是2,36e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭．22．【命题意图】本题考查曲线的直角坐标方程、参数方程及极坐标方程；考查数学运算及逻辑推理的核心素养．【解析】（1）直线l的参数方程1x y t⎧=+⎪⎨=⎪⎩，消去参数t得40x -=，由cos x ρθ=，sin y ρθ=，得直线l的极坐标方程为()cos 4ρθθ=， 即πcos 23ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（2）因为射线θα=（π02α<<，0ρ>）与直线l 及曲线C 分别交于点A ，B ，所以2πcos 3OA α=⎛⎫- ⎪⎝⎭，2cos OB α=， 因为2OA OB =， 所以πcos 2cos 3αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即1cos 2cos 2ααα+=，3cos 2αα=，tan α= 23．【命题意图】本题考查绝对值不等式的解法及不等式的证明，考查数学运算与逻辑推理的核心素养．【解析】（1）(][)2220,0170,0,01,4120,4x x x x x x x x x x ⎧⎪-≥<⎪⎪-≥≤<⇒∈-∞⋃+∞⎨⎪⎪+-≥≥⎪⎩ 所以不等式()31f x x ≥+的解集为(][),01,-∞⋃+∞．（2）当14x ≥时()22111141444416x x f x ⎛⎫=+-≥+⨯-= ⎪⎝⎭， 当14x <时()2211141414416x x f x ⎛⎫=-+>+⨯-= ⎪⎝⎭， 所以()116f x ≥，当且仅当14x =时取等号． 所以22113111616a b +-≤，即22112a b +≤， 所以222111124a b a b ⎛⎫+≤+≤ ⎪⎝⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎭， 所以112a b +≤，即2a b ab +≤．。
2020_2021学年高二数学上学期11月领军考试试题理
2020-2021学年高二数学上学期11月领军考试试题理注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试题相应的位置。
2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上。
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“对∀x∈(0，＋∞)，sin2x<()2x12+”的否定为A.对∀x∈(0，＋∞)，sin2x≥()2x12+B.∃x0∈(0，＋∞)，sin2x0<()2x12+C.∃x0∈(0，＋∞)，sin2x0≥()2x12+D.∃x0∈(－∞，0]，sin2x0()2x12+2.已知数列{a n}的前4项依次为2，0，2，0，则数列{a n}的通项不可能是A.a n＝2n0n⎧⎨⎩，为奇数，为偶数B.a n＝1＋(－1)n＋1C.a n＝2|sin2nπ| D.a n＝1(1)22n--3.已知实数a，b，c满足a＋b<b<0<a＋c，则A.a<b<cB.ac＋bc<0C.c－b>c－aD.11 a c >4.《算法统宗》是中国古代数学名著，程大位著，共17卷，书中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还。
”大致意思是：有一个人要到距离出发地378里的地方，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.那么该人第1天所走路程里数为A.96B.126C.192D.2525.已知实数x，y满足约束条件y x1y2x2y2x2≤+⎧⎪≥-⎨⎪≥--⎩，则3x－2y的取值范围是A.[－3，4]B.[－3，1]C.[1，4]D.[－4，3]6.△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论错误的是A.a>b⇔sinA>sinBB.a>b⇔cosA<cosBC.a>b⇔sin2A>sin2BD.a>b⇔cos2A<cos2B7.若a∈(0，1)，则指数函数f(x)＝(am)x在(－∞，＋∞)上为减函数的一个充分不必要条件是A.m<1B.0<m<1C.m>0D.0<m<1 a8.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4＋2a7＝0，则A.S5＝S6，S13＝0B.S5＝S6，S11＝0C.S6＝S7，S13＝0D.S6＝S7，S11＝09.已知命题p：2020≤2021，命题q：若a2＋b2>50，则|a|＋|b|>7，则下列命题为真命题的是A.p∧qB.p∧(⌝q)C.(⌝p)∧qD.(⌝p)∧(⌝q)10.若对∀y∈(1，＋∞)，2231x yx y<+-，则x的取值范围是A.(－2，6)B.(－∞，－3)∪(－2，＋∞)C.(－3，－2)∪(6，＋∞)D.(－∞，－3)∪(－2，6)11.已知数列{a n}满足a n＝2n－1，在a n，a n＋1之间插入n个1，构成数列{b n}：a1，1，a2，1，1，a3，1，1，1，a4，…，则数列{b n}的前100项的和为A.211B.232C.247D.256，则A的最大值是12.△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b3cosBc cosC=-，则A的最大值是A.56πB.23πC.6πD.3π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河南省部分学校大联考2024-2025学年高二上学期11月期中数学试题(含答案)
大联考2024—2025学年（上）高二年级期中考试数学考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知直线的倾斜角为，且经过点，则的方程为（）A B. C. D. 2. 椭圆与，且的（）A. 长轴长相等B. 短轴长相等C. 焦距相等D. 离心率相等3. 已知中心在原点的双曲线的一条渐近线的斜率为2，且一个焦点的坐标为，则的方程为（）A. B. C. D. 4. 在四面体中，为棱的中点，为线段的中点，若，则（）A.B. 1C. 2D. 3l 3π4l ()1,2-l 30x y ++=10x y +-=240x y -+=20x y +=22194x y +=221(494x y m m m+=<--0)m ≠C (C 22128x y -=2214y x -=22146y x -=22182-=y x ABCD M CD E AM BE aBC bBD cBA =++ca=125. 若直线与圆相离，则点（）A. 在圆外 B. 在圆内C. 在圆上D. 位置不确定6. 设为椭圆上一动点，分别为椭圆的左､右焦点，，则的最小值为（）A. 8B. 7C. 6D. 47. 已知为抛物线的焦点，的三个顶点都在上，且为的重心.若的最大值为10，则（）A. 1B. 2C. 3D. 48. 如图，在多面体中，底面是边长为1的正方形，为底面内的一个动点（包括边界），底面底面，且，则的最小值与最大值分别为（）A.B. C.D.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知方程，则（）A. 当时，方程表示椭圆B. 当时，方程表示焦点在轴上的双曲线C. 存在，使得方程表示两条直线D. 存在，使得方程表示抛物线10. 已知直线的方程为，则下列结论正确的是（）A. 点不可能在直线上:40l ax by --=22:4O x y +=(),P a b O O O P 221259x y +=12,F F ()1,0Q -2||||PF PQ +F ()2:20E x py p =>ABC V E F ABC V FA FB +p =EF ABCD -ABCD M ABCD AE ⊥,ABCD CF ⊥ABCD 2AE CF ==ME MF ⋅7,423,47,5257,22()()22:251C m x m y -+-=25m <<C 5m >C x m C m C l ()()0,1,1,3,3ax y a M N --=-M lB. 直线恒过点C. 若点到直线的距离相等，则D. 直线上恒存在点，满足11. 如图，在三棱锥中，平面分别为中点，是的中点，是线段上的动点，则（）A. 存在，使得B. 不存在点，使得C.的最小值为D. 异面直线与三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 在空间直角坐标系中，点与关于原点对称，则点坐标为__________.13. 若圆关于直线对称，则点与圆心的距离的最小值是__________.14. 已知椭圆的任意两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，它的圆心与椭圆的中心重合，半径的平方等于椭圆长半轴长和短半轴长的平方和.如图为椭圆及其蒙日圆，点分别为蒙日圆与坐标轴的交点，分别与相切于点，则四边形与四边形EFGH 的面积的比值为__________.的的l ()1,0,M N l 2a =l Q 0MQ NQ ⋅=A BCD -,BD BC AB ⊥⊥,2,,,,BCD AB BC BDEFGH ===,,,AB BD BC CD M EF N GH 0,0a b >>GM aGH bGE =+N MN EH⊥MN AG EF Oxyz (),0,23P a b -(),0,Q a b O Q 22:(2)(1)1C x y -+-=220ax by ++=(),a b C ()2222Ω:10x y a b a b+=>>,ΩO ,,,A B C D O ,,,AB BC CD AD Ω,,,E F G H ABCD四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 已知圆的圆心在直线和直线的交点上，且圆过点.（1）求圆的方程；（2）若圆的方程为，判断圆与圆的位置关系.16. 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，为的中点.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.17. 已知是抛物线的焦点，是上一点，且在的准线上的射影为.（1）求方程；（2）过点作斜率大于的直线与交于另一点，若的面积为3，求的方程.18. 如图，在斜三棱柱中，平面平面是边长为2的等边三角形，为的中点，且为的中点，为的中点，.的C 2y x =240x y +-=C ()1,1-C B 224430x y x y +-++=B C P ABCD -ABCD 2,4,PA AB AD PB PD N =====CD PA BN ⊥AB PBN F 2:2(03)C y px p =<<()0,4P x C P C ,5Q PQ =C P 43l C M PFM △l 111ABC A B C -11AA C C ⊥,ABC ABC △11,AA A C O =AC 12,A O D =1AC E AD 114BF BB =（1）设向量为平面的法向量，证明：；（2）求点到平面距离；（3）求平面与平面夹角的余弦值.19. 已知双曲线的离心率为2，左､右焦点分别是是的右支上一点，的中点为，且（为坐标原点），是的右顶点，是上两点（均与点不重合）.（1）求的方程；（2）若不关于坐标轴和原点对称，且的中点为，证明：直线与直线的斜率之积为定值；（3）若不关于轴对称，且，证明：直线过定点.的a ABC 0EF a ⋅=A BCD BCD 1B DC ()2222:10,0x y C a b a b-=>>12,,F F P C 1PF Q 11QF QO -=O A C ,M N C AC ,M N MN H OH MN ,M N y AM AN ⊥MN大联考2024—2025学年（上）高二年级期中考试数学一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】B2.【答案】C3.【答案】D4.【答案】C5.【答案】B6.【答案】B7.【答案】D8.【答案】A二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.【答案】BC10.【答案】ABD11.【答案】BCD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.【答案】13.【答案】14.【答案】##四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 【解析】【分析】（1）先求出两直线的交点，结合两点的距离公式和圆的标准方程计算即可求解；（2）由题意知的圆心为，半径，结合两圆的位置关系即可下结论.【小问1详解】由，得，即圆心坐标为.圆的方程为.【小问2详解】由（1）知，圆的圆心为，半径圆的方程可化为，则圆的圆心为，半径.，，圆与圆相交.16. 【解析】【分析】（1）根据已知数据结合勾股定逆定理可证得，，然后利用线面垂直的判定定理得平面，再由线面垂直的性质可证得结论；(0,0,1)83223B ()2,2B -2r =2240y x x y =⎧⎨+-=⎩12x y =⎧⎨=⎩()1,2=∴C 22(1)(2)5x y -+-=C ()1,2C 1r =B 224430x y x y +-++=22(2)(2)5x y -++=B ()2,2B -2r =CB == 12120r r CB r r ∴=-<<+=∴C B PA AD ⊥PA AB ⊥PA ⊥ABCD（2）由题意可得两两垂直，所以以为坐标原点，直线分别为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.【小问1详解】证明：，，.，，.平面，平面，又平面，.【小问2详解】解：四边形是矩形，，平面，平面，，所以以为坐标原点，直线分别为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，.设平面的法向量为，则，令，可得，,,AB AD AP A ,,AB AD AP x yz 2,4PA PD AD === 222PD PA AD ∴=+PA AD ∴⊥2,PA AB PB === 222PB PA AB ∴=+PA AB ∴⊥,,AB AD A AB AD ⋂=⊂ ABCD PA ∴⊥ABCD BN ⊂ABCD PA BN ∴⊥ ABCD AB AD ∴⊥PA ⊥ ABCD ,AB AD ⊂ABCD ,PA AB PA AD ∴⊥⊥A ,,AB AD AP x y z ()()()()0,0,0,2,0,0,1,4,0,0,0,2A B N P ()()()2,0,0,1,4,0,2,0,2AB BN BP ∴==-=-PBN 40220n BN x y n BP x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 1y =4,4x z ==平面的一个法向量为.设直线与平面所成的角为，则，直线与平面.17. 【解析】【分析】（1）根据点在抛物线上得，结合抛物线定义列方程求参数，即可得方程；（2）设直线，联立抛物线，应用韦达定理、弦长及点线距离公式，结合三角形面积列方程求参数t ，即可得结果.【小问1详解】是上一点，，则，由抛物线的定义，知，，则，的方程为.【小问2详解】由（1），知.∴PBN ()4,1,4n =AB PBN θsin θ∴AB PBN 08x p=()3:4404l x t y t ⎛⎫-=-<< ⎪⎝⎭()0,4P x C 2042px ∴=01682x p p==852pPQ p =+=03p << 2p =C ∴24y x =()()1,0,4,4F P设直线，即，代入，整理得，，，又点到的距离为，，即，解得或（舍去），直线的方程为，即.18. 【解析】【分析】（1）先建立空间直角坐标系，应用面面垂直性质定理得出平面，进而得出法向量,最后应用空间向量数量积运算即可；（2）应用空间向量法求法向量及向量应用公式运算即可；（3）应用空间向量法求二面角余弦值即可.【小问1详解】如图，连接.，平面平面，平面平面平面，平面.是边长为2的等边三角形，.以为坐标原点，直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，则，.()3:4404l x t y t ⎛⎫-=-<<⎪⎝⎭44x ty t =-+24y x =2416160y ty t -+-=4161644M P M M y y y t y t ∴==-⇒=-(4442P PM y t ∴=-=--=-F l d (1142322PMF S PM d t ∴==⨯-= 2(2)(34)3t t --=12t =94t =∴l ()1442x y -=-240x y --=1A O ⊥ABC ()0,2,0,AC =BO 111,AA A C A O AC =∴⊥ 11AA C C ⊥ABC 11AA C C 1,ABC AC AO =⊂11AAC C 1A O ∴⊥ABC ABC ,BO AC BO ∴⊥=O 1,,OB OC OA x y z ()()0,0,0,0,1,0O A -)()())11111,0,1,0,0,0,2,2,0,,1,0,,242BC A BDE ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是平面的一个法向量，令.，，.【小问2详解】.设平面的法向量为，则令，可得，平面的一个法向量为，点到平面的距离为.【小问3详解】.设平面的法向量为，则令，可得，()10,0,2OA = ABC 1a OA = ()111110,1,2,0,,442BB BF BB ⎛⎫=∴== ⎪⎝⎭111,,,0422F EF ⎫⎫∴∴=⎪⎪⎭⎭1000202EF a ∴⋅=+⨯+⨯= ()()10,2,0,,0,,12AC BC CD ⎛⎫===- ⎪⎝⎭ BCD (),,m x y z =0,10,2m BC y m CD y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩2x=z =∴BCD (2,m = ∴ABCD d)12CB = 1B DC (),,n a b c =120,10,2n CB c n CD b c ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩2a=b c =-=平面的一个法向量为.由（2）可知平面的一个法向量为.设平面与平面的夹角为，则，平面与平面夹角的余弦值为..19.【解析】【分析】（1）由题设及双曲线定义得，再结合离心率、双曲线参数关系求双曲线方程；（2）设且，应用点在双曲线上、中点公式得，即可证结论；（3）设直线的方程为，联立双曲线，应用韦达定理及向量垂直的坐标表示列方程求参数t ，即可证结论.【小问1详解】设，连接.是的中点，是的中点，，，则.又.，的方程为.【小问2详解】设且的中点为，则，∴1B DC (2,n =- BCD (2,m = BCD 1B DC θ11cos 19n m n m θ⋅=== ∴BCD 1B DC 11191a =()()()(1122000,,,,,0M x y N x y H x y x ≠)00y ≠0121203x y y x x y -=-MN ()1x my t t =+≠()()()12,0,,00F c F c c ->2PF Q 1PF O 12F F //QO ∴221,2PF QO PF =1212222a PF PF QF QO ∴=-=-=1a =e 222c c a a==⇒==22222213b c a ∴=-=-=C ∴2213y x -=()()()(1122000,,,,,0M x y N x y H x y x ≠)00y ≠MN H 1201202,2x x x y y y +=+=是上的两点，①，②，①②，得，即，即，可得，，直线与直线的斜率之积为定值3.【小问3详解】易知，且不关于轴对称，直线的斜率不为0，设直线的方程为，代入，整理得，，，,M N C 221113y x ∴-=222213y x -=-2222121203y y x x ---=()()()()1212121203y y y y x x x x +-+--=()()0120122203y y y x x x ---=0121203x y y x x y -=-012120030MN OH y y y k k x x x --∴=⨯=--OH MN ()1,0A ,M N y ∴MN MN ()1x my t t =+≠2213y x -=()222316330m y mty t -++-=()()()222222310,Δ(6)4313312310,m mt m t m t ⎧-≠⎪∴⎨=---=+->⎪⎩2121222633,3131mt t y y y y m m -∴+=-=--AM AN ⊥ ()()()()112212121,1,11AM AN x y x y x x y y ∴⋅=-⋅-=--+ ()()()()()22121212121111(1)my t my t y y m y y m t y y t =+-+-+=++-++-()()()2222213361(1)3131m t mt m t t m m +-⨯-=-+---22222222222223333663632131m t m t m t m t m t m t m t t m -+--++-+-+-=-，解得或（舍去），直线过定点.22224031t t m +-==-2t =-1t =∴MN ()2,0-。
全国百强名校“领军考试”2020-2021学年高二11月联考生物试卷 Word版含解析
2020－2021学年上学期全国百强名校“领军考试”高二生物（必修3）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试题相应的位置。
2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上。
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共25小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 下列人体内的生理过程，发生在内环境中的是（）A. 血红蛋白与氧气的分离与结合B. 丙酮酸与水反应产生还原氢C. 脱氧核苷酸连接形成DNA分子D. 淋巴因子作用到B细胞上【答案】D【解析】【分析】内环境又叫细胞外液，由血浆、组织液和淋巴组成，凡是发生在血浆、组织液或淋巴中的反应都属于发生在内环境中的反应，发生在细胞内的反应不属于发生在内环境中的反应。
【详解】A、血红蛋白与氧气的分离与结合，发生在红细胞内，不是发生在内环境中，A错误；B、丙酮酸与水反应产生还原氢，发生在线粒体内，不是发生在内环境中，B错误；C、脱氧核苷酸连接形成DNA分子，主要发生在细胞核内，不是发生在内环境中，C错误；D、淋巴因子由T细胞分泌到细胞外液，作用到B细胞上，是发生在内环境中，D正确。
故选D。
2. 内环境是细胞与外界环境进行物质交换的媒介，图示②④⑤构成内环境。
下列叙述错误的是（）A. 图中淋巴管壁细胞直接生活的液体环境是淋巴液B. ③代谢活动增强，则导致②组织液的液体量增加C. 镰刀型细胞贫血症，会导致⑥红细胞的形态结构发生变化D. 某人手指被烫后出现了水泡，水泡内的液体主要是②【答案】A【解析】【分析】1、体液是由细胞内液和细胞外液组成，细胞内液是指细胞内的液体，而细胞外液即细胞的生存环境，它包括血浆、组织液、淋巴等，也称为内环境，内环境是细胞与外界环境进行物质交换的媒介。
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2020－2021学年上学期全国百强名校
“领军考试”高二数学(理科)
2020.11 注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试题相应的位置。
2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上。
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“对∀x∈(0，＋∞)，sin2x<()2
x1
2
+
”的否定为
A.对∀x∈(0，＋∞)，sin2x≥()2
x1
2
+
B.∃x0∈(0，＋∞)，sin2x0<
()2
x1
2
+
C.∃x0∈(0，＋∞)，sin2x0≥()2
x1
2
+
D.∃x0∈(－∞，0]，sin2x0
()2
x1
2
+
2.已知数列{a n}的前4项依次为2，0，2，0，则数列{a n}的通项不可能是
A.a n＝
2n
0n
⎧
⎨
⎩
，为奇数
，为偶数
B.a n＝1＋(－1)n＋1
C.a n＝2|sin
2
nπ
| D.a n＝
1(1)
2
2
n
--
3.已知实数a，b，c满足a＋b<b<0<a＋c，则
A.a<b<c
B.ac＋bc<0
C.c－b>c－a
D.11 a c >
4.《算法统宗》是中国古代数学名著，程大位著，共17卷，书中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还。
”大致意思是：有一个人要到距离出发地378里的地方，第一天健步行走，从第
二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.那么该人第1天所走路程里数为
A.96
B.126
C.192
D.252
5.已知实数x，y满足约束条件
y x1
y2x2
y2x2
≤+
⎧
⎪
≥-
⎨
⎪≥--
⎩
，则3x－2y的取值范围是
A.[－3，4]
B.[－3，1]
C.[1，4]
D.[－4，3]
6.△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论错误的是
A.a>b⇔sinA>sinB
B.a>b⇔cosA<cosB
C.a>b⇔sin2A>sin2B
D.a>b⇔cos2A<cos2B
7.若a∈(0，1)，则指数函数f(x)＝(am)x在(－∞，＋∞)上为减函数的一个充分不必要条件是
A.m<1
B.0<m<1
C.m>0
D.0<m<1 a
8.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4＋2a7＝0，则
A.S5＝S6，S13＝0
B.S5＝S6，S11＝0
C.S6＝S7，S13＝0
D.S6＝S7，S11＝0
9.已知命题p：2020≤2021，命题q：若a2＋b2>50，则|a|＋|b|>7，则下列命题为真命题的是
A.p∧q
B.p∧(⌝q)
C.(⌝p)∧q
D.(⌝p)∧(⌝q)
10.若对∀y∈(1，＋∞)，
22
31
x y
x y
<
+-
，则x的取值范围是
A.(－2，6)
B.(－∞，－3)∪(－2，＋∞)
C.(－3，－2)∪(6，＋∞)
D.(－∞，－3)∪(－2，6)
11.已知数列{a n}满足a n＝2n－1，在a n，a n＋1之间插入n个1，构成数列{b n}：a1，1，a2，1，1，a3，1，1，1，a4，…，则数列{b n}的前100项的和为
A.211
B.232
C.247
D.256
，则A的最大值是
12.△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b3cosB
c cosC
=-，则A的最大值是
A.5
6
π
B.
2
3
π
C.
6
π
D.
3
π
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若－1<
1
x
<2，则x 的取值范围是 。
14.△ABC 中AB ＝1，BC ＝3，CA
ABC 的面积为 。
15.已知f(x)＝x 2－
1
x
＋a ，g(x)＝log 3(2x ＋1)，若对∀x 1∈[，3]，∃x 2∈[1，3]，使得g(x 1)＝f(x 2)，则实数a 的取值范围为 。
16.已知公比为q(q>0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，给出下列命题：
①若a n ＋1>a n ，则a 1>0，q>1；②若a 1>0，则a 3＋a 9>2a 6；③若S n ＝2n ＋
2＋m ，则m ＝－1；④2n
n
S S ＝1＋q n 。
其中真命题的序号为 。
三、解答题：本题共6个小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(10分)
已知命题p ：方程x 2－2x ＋a ＝0有实根，命题q ：a ∈{x|x 2＋y 2－2y －3＝0}。
(1)若p ∨q 为真命题，求实数a 的取值范围；
(2)若m －2<a<m ＋2是p ∧q 为真命题的必要条件，求实数m 的取值范围。
18.(12分)
已知等差数列{a n }满足公差d>0，前n 项的和为S n ，S 3＝2a 4，a 1，a 3＋2，2a 4成等比数列。
(1)求{a n }的通项公式；
(2)若b n
＝()()n
n n 1
12n 5a a +-+，求数列{b n
}的前100项的和T
100。
19.(12分)
解关于x 的不等式：x 2－(a ＋4
a
)|x|＋4<0(a>0)。
20.(12分)
△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝ccosB ＋13
b 。
(1)求cosC ；
(2)若c ＝3，求a ＋b 的最大值。
21.(12分)
某中学高二甲乙两名学生在学习了解三角形知识后决定利用所学知识去测量学校附近的一个高灯的高度，已知高灯在一立柱的最上方，甲在立柱正前方，站立测得眼睛观察立柱底端B 与灯的顶端A 的俯角与仰角分别为θ，θ＋4
π
，且tan θ＝15，已知甲的眼睛到地面距
离为1.6m 。
(1)求灯的顶端A 到地面的距离AB ；
(2)若乙(身高忽略不计)在地面上选两点P ，Q ，∠PBQ ＝60°，且在点P 处观察A 的仰角为α，在点Q 处观察A 的仰角为β，且sinα
＝
5
，tanβ＝4，求P ，Q 两点之间的距离(精确到0.1m)。
≈1.7 22.(12分)
已知数列{a n }满足a n a n ＋1＝2n －
1，且a 2＋a 4＝3。
(1)求数列{a n }的通项，
(2)设b n ＝n 12n 22n 1
a -+-，S n ＝1
n
n i b =∑，求证：2≤S n <n ＋6。